九年级数学下册1.2 第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质同步练习1(新版)湘教版
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
22.1.2第4节二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(教案)
一、教学内容
22.1.2第4节二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质
1.二次函数y=a(x-h)^2的图象特点
- a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下
- h为抛物线的对称轴，即x=h
-抛物线顶点为(h, 0)
2.二次函数y=a(x-h)^2的性质
（2）强调对称轴（x=h）和顶点（(h, k)）的概念，解释它们与函数最值、单调性的关系，并通过具体例子进行说明。
（3）详细讲解图象的平移变换，使学生掌握左加右减、上加下减的变换规律，并能运用到具体问题中。
（4）结合实际情境，如物体抛掷、经济模型等，展示二次函数的应用，强调数学知识在实际问题中的运用。
1.提供更多具有代表性的案例，让学生在实际问题中运用所学知识。
2.加强对学生的引导和启发，提高他们在解决问题时的独立思考能力。
3.优化问题设计，使学生在讨论过程中能够更加聚焦主题。
4.针对不同学生的掌握程度，进行有针对性的辅导和答疑。
2.掌握二次函数图象变换方法，提高学生数学建模、数学运算的能力。
-通过图象变换，培养学生建立数学模型，解决实际问题的能力。
-在变换过程中，锻炼学生准确进行数学运算，提高解题效率。
3.培养学生运用二次函数知识解决实际问题的意识，提升数学应用、数据分析的核心素养。
-结合实例分析，引导学生运用所学知识解决生活中与二次函数相关的问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.2 二次函数的图象与性质 第4课时湘教版九年级下册
3. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所 用的时间x（单位：min)之间满足函数关系y=-0.1x2+2.6x +43(0≤x≤30),y值越大，表示接受能力越强.
（1）ห้องสมุดไป่ตู้在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什
么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10min时，学生的接受能力是多少？ （3）多长时间时，学生的接受能力最强？
解析：(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的 图象由y=3x2向左平移1个单位得y=3(x+1)2.它是轴对称图 形.它的对称轴和顶点坐标分别是直线x=-1和(-1,0)
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象由二次函数y=-3x2的图
象向右平移2个单位再向上平移4个单位而得. 对于二次函数y=3(x+1)2,当x≥-1时,y的值随x值的增大 而增大.当x≤-1时,y的值随x值的增大而减小.二次函数 y=3(x+1)2+4的增减性与y=3(x+1)2相同.
4ac b 2 个单位 (当 4ac b 2 >0时向上平 体上(下)平移 | | 4a 4a
4ac b 2 <0时,向下平移)得到的. 移;当 4a
2a
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
y=a(x-h)2+k
a>0 a<0
开口方向
向上 向下
对称轴
x=h x=h
顶点坐标
（h,k） （h,k）
2.2
二次函数的图象与性质
第4课时
1.经历把函数y＝ax2的图象沿x轴、y轴平移得到函数y＝ a(x+h)2＋k的图象的探究过程，图象变换的实质
九年级数学下册第30章第4课时二次函数y=ax_h2 k的图像和性质教案(含教学反思)新版冀教版
(函数y＝－ (x－1)2＋2的图像可以看成是将函数y=－ x2的图像向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)
九年级数学下册教案新版冀教版:
二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质
教
学
目
标
知识
和
能力
1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图像与函数y=ax2的图像之间的关系。
2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程
和
方法
让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
情感
态度
价值观
教学重点
确定函数y=a(x－h)2＋k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质
教学难点
正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图像与函数y=ax2的图像之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。
三、做一做
问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图像，并将它与函数y=2(x－1)2的图像作比较吗?
教学要点
1．在学生画函数图像时，教师巡视指导；
2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。
四、课堂练习：
五、小结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?
北师大版数学九年级下册 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质教案与反思
第4课时二次函数y=a （x-h ）2+k 的图象与性质满招损，谦受益。
《尚书》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】会画出y=a(x-h)2+k 这类函数的图象，掌握这类函数的性质.【过程与方法】学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.【情感态度】锻炼学生的观察、分析、归纳能力.【教学重点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.【教学难点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.一、情景导入，初步认知上一节课，我们已经了解到，函数y=a(x-h)2的图象，可以由函数y=ax2的图象左右平移所得，那么y=a(x-2)2+2的图象，是否也可以由函数y=ax2平移得到呢？y=a(x-h)2+k 的图象是如何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律？【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在学生发言的基础上补充并展示.二、思考探究，获取新知探究1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.212y x =，21-12y x =（），21-1-22y x =（），并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.观察三个图象之间的关系.【归纳结论】由抛物线212y x =向右平移一个单位可得到抛物线21-12y x =（），再向下平移2个单位可得到21-1-22y x =（）. 探究2:请依据探究1中的发现，说说拋物线y=a(x-h)2+h 是由拋物线y=ax2通过怎样的平移得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.【归纳结论】二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+h 中k 的值；左右平移，只影响h 的值.在y=a(x-h)2+h 中：（1）当a>0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h ；（3）顶点坐标为（h ，k ）.【教学说明】通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、思维能力、归纳能力等.三、运用新知，深化理解1.拋物线y=-3(x-2)2+4的开口方向对称轴、顶点坐标分别为（）A.开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为(-2,4)B.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2，4)C.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）D.开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）解析：根据y=a(x-h)2+k 的性质可得出结果.答案：D2.把拋物线212y x =向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得拋物线为（ ）解析：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)+k中k的值；左右平移，只影响h的值.答案：B【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.四、师生互动，课堂小结1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.2.平移的方法.1.布置作业：教材“习题2.4”中第1题的(1)、(3)、(4)、(5)小题和第3题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作海明威是一个极具进取精神的硬汉子。
第4课时_二次函数y=a(x-h)2的图象与性质_导学案
5.6 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质（1）学习目标：1．会画二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的图象；2．掌握二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；学习重点：二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质学习难点：二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质教学过程：一．自主探究探究点一：二次函数y=ax2+k的图象与性质自主探究：在同一直角坐标系画出二次函数y＝－12x2,y＝－12x2＋1，y=-12x2－1的图象，并通过观察图象探究以下问题：（1）它们的开口方向与开口大小相同吗？（2）它们的顶点坐标和对称轴分别是什么？（3）它们之间能通过平移得到吗？有什么平移规律吗？（1）列表：x …－4－3－2－10 1 2 34…y＝－12x2……y＝－12x2+1y＝—12x2-1 ……根据它们的图象，填写下表：小结：（1）抛物线y=ax 2+k 与y=ax2有什么位置关系？与同学交流。
（22探究点二：二次函数y ＝a （x-h ）2的图象性质自主探究：请你在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2， y ＝ (x ＋1)2 ，y ＝ (x －1)2，通过图象探究以下问题：（1） 三个函数图象的开口方向与大小相同吗？（2） 三个函数图象的顶点坐标，对称轴分别是什么？ （3） 函数y ＝ (x ＋1)2 与y ＝ (x －1)2的图象能否通过y ＝x 2的图象平移得到？如果能，该怎样平移？你能总结出从函数y ＝x 2的图象到函数y ＝ (x-h)2的图象的平移规律吗？描点并画图．1．观察图象，填表：函数开口方向顶点对称轴最值增减性y＝x2y＝ (x＋1)2y＝ (x－1)2适时小结：二次函数y=a（x-h）2有哪些性质？二、整理知识点1.函数图象开口方向顶点对称轴最值增减性y=ax2+ka﹥0a﹤0 y=a(x-h)2a﹥0a﹤02．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是________不同．三、巩固训练1．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．2．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________．3．将抛物线y＝－13(x－1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．4．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．昌乐外国语学校九年级数学导学案设计人：张玉进审核人：杜荣国审批人：四、达标检测1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则 m＝__________，n＝___________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______________．4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。
初中数学九年级下册 1.2.4 二次函数的图象与性质y=a(x-h)2+k的图象与性质 教案
函数表达式
图象的对称轴
图象的顶点坐标
y＝ x2
x＝0
(0，0)
y＝ (x＋2)2
x＝－2
(－2，0)
y＝ (x＋2)2＋3
x＝－2
(－2，3)
3.总结y＝a(x－h)2＋k的图象和y＝ax2图象的关系
y＝ax2(a≠0)的图象 y＝a(x－h)2的图象，y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k的图象．
(4)函数y＝－3(x－2)2＋4的图象开口向__下__，顶点坐标是__(2，4)__，对称轴是直线__x＝2__，当x__＜2__时，y随x的增大而增大；当x__＞2__时y随x的增大而减小；当x__＝2__时，y有最__大__值是__4__．
【课堂小结】
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
2．用同样的方法得出y＝ x2的图象 y＝ (x－2)2的图象．
3．请你总结二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质．
y＝ax2(a≠0)的图象 y＝a(x－h)2的图象．
函数y＝a(x－h)2的图象的顶点坐标是(h，0)，对称轴是直线x＝h.
4．做一做
(1)
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝2(x＋3)2
1．名称：__抛物线__；
2．顶点坐标：__(0，0)__；
3．对称轴：__y轴__；
4．当a>0时，抛物线的开口向__上__，顶点是抛物线上的最__低__点，图象在x轴的__上方__(除顶点外)；当a<0时，抛物线的开口向__下__，顶点是抛物线上的最__高__点，图象在x轴的__下方__(除顶点外)．
第二步：列表(自变量x从顶点横坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分．
九年级数学二次函数y=a(x-h)2k(a≠0)的图像与性质(知识讲解)Word版含解析
专题2.10 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像与性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.10 二次函数y=a(x -h)2+k(a≠0)的图像与性质（知识讲解）【学习目标】1．会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a≠0)的图像．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图像之间的关系；2．熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3．经历探索2()y a x h k =-+的图像及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图像与性质 1．函数2()(0)y a x h a =-≠的图像与性质2．函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图像与性质特别说明：二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图像常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图像与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．2．性质：要点二、二次函数的平移1．平移步骤：（1）将抛物线解析式转化成顶点式2()y a x h k =-+，确定其顶点坐标(,)h k ；（2）保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到(,)h k 处，具体平移方法如下：2．平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．特别说明：（1）2y ax bx c =++沿y 轴平移：向上（下）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2y ax bx c m =+++（或2y ax bx c m =++-）（2）2y ax bx c =++沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2()()y a x m b x m c =++++（或2()()y a x m b x m c =-+-+）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的性质1．已知二次函数经过点(0,3)，且当1x =时，函数y 有最大值4．（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出一个与该函数图象开口方向相反，形状相同，且经过点(0,3)的二次函数解析式．举一反三：【变式1】2．已知函数()()27322m y m x m -=-++-是二次函数．（1）求m 的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．【变式2】3．已知二次函数y ＝－x 2＋4x .(1)用配方法把该二次函数化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)求这个函数图象与x 轴的交点的坐标．【变式3】4．已知抛物线2()y a x h =-，当2x =时，有最大值，且抛物线过点(1,3)-．（1）求抛物线的解析式；（2）当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围；（3）求抛物线与y 轴的交点坐标．类型二、求二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠开口方向、顶点坐标及对称轴5．已知二次函数20.50.5y x x =--，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算过程：20.50.5y x x =--221x x =--……①；22111x x ……①；()212x =--……①；∴顶点坐标是1,2……①； （1）请你帮他检查一个，在标出的①①①①几个步骤中开始出现错误的是________________步．（2）请写出此题正确的求顶点的计算过程．举一反三：【变式1】6．确定下列函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标.(1)()221y x =+；(2)()245y x =--.类型三、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的平移7．把二次函数y=2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．【变式1】8．抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝3x 2向______平移______个单位得到．【变式2】9．将二次函数y=2x 2﹣1的图象沿y 轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为________．类型四、求二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的解析式10．一条抛物线经过点A(-2，0)且抛物线的顶点是(1，－3)，求满足此条件的函数解析式．11．将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______； 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______．举一反三：【变式1】12．已知二次函数的顶点为(2,2)-且过点(1,3)-，求该函数解析式．【变式2】13．求符合下列条件的抛物线2(1)y a x =-的函数关系式，（1）通过点（3，8）；（2）与212y x =的开口大小相同，方向相反． 【变式3】 14．已知，如图，直线l 经过A （4，0）和B （0，4）两点，抛物线y=a （x ﹣h ）2的顶点为P （1，0），直线l 与抛物线的交点为M ．（1）求直线l 的函数解析式；（2）若S △AMP =3，求抛物线的解析式．类型五、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的实际应用15．A 、B 两地果园分别有橘子40吨和60吨，C 、D 两地分别需要橘子30吨和70吨；已知从A 、B 到C 、D 的运价如表：（1）若从A 果园运到C 地的橘子为x 吨，则从A 果园运到D 地的橘子为____吨，从A 果园将橘子运往D 地的运输费用为____元；（2）设总运费为y 元，请你求出y 关于x 的函数关系式；（3）求总运输费用的最大值和最小值；（4）若这批橘子在C 地和D 地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w 元，且w =-(x -25)2+4360，则当x ＝___ 时，w 有最 __ 值（填“大”或“小”）．这个值是 ___ ． 举一反三：【变式1】16．某商店以30元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．（1）求y与x的函数解析式；（2）要使销售利润达到最大，销售单价应定为每千克多少元？参考答案：1．（1）2(1)4y x =--+；（2）2(1)2y x =-+【分析】（1）设顶点式为y ＝a （x−1）2＋4，然后把（0，3）代入求出a 即可；（2）利用二次函数的性质，抛物线解析式为可设为y ＝（x−1）2＋h ，然后把（0，3）代入求出h 可得到满足条件的一个抛物线解析式．【详解】（1）设抛物线解析式为y ＝a （x−1）2＋4，把（0，3）代入得a （0−1）2＋4＝3，解得a ＝−1，所以抛物线解析式为y ＝−（x−1）2＋4；（2）设抛物线解析式为y ＝（x−1）2＋h ，把（0，3）代入得1＋h ＝3，解得h ＝2，所以满足条件的一个抛物线解析式为y ＝（x−1）2＋2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上的坐标特征．2．（1）-3；（2）()2625y x =-+-，开口方向向下，对称轴是直线2x =-，顶点坐标是（-2，-5）【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m 的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m 的值；（2）将m 代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a 的正负，对称轴为直线x=-h 以及顶点坐标为（-h ，k ），即可解决本题．【详解】解：（1）① 272m -=①3m =±①30m -≠①m≠3①3m =-（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为()2625y x =-+-①a=-6＜0①开口方向向下①对称轴是直线2x =-，顶点坐标是（-2，-5）．【点睛】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式，熟练其概念以及顶点式的性质是解决本题的关键．3．(1)对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，4);(2)(0，0)，(4，0)【详解】试题分析：(1)先将二次函数的表达式化为顶点式，然后写出对称轴与顶点坐标即可.(2)令0y = ，然后解一元二次方程即可.试题解析：(1) y ＝－(x －2)2＋4，其对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，4)．(2)令y ＝0，则－x 2＋4x ＝0，①x 1＝0，x 2＝4，①这个函数图象与x 轴的交点的坐标为(0，0)，(4，0)．4．（1）23(2)y x =--；（2）x 的取值范围为2x <；（3）抛物线23(2)y x =--与y 轴的交点坐标为(0,12)-．【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为2(2)y a x =-，把点(1,3)-代入即可求解；（2）根据函数的对称轴即可求解；（3）令x=0，即可求解．【详解】（1）①抛物线2()y a x h =-，当2x =时，有最大值，①抛物线的解析式为2(2)y a x =-．①抛物线过点(1,3)-，①23(12)a -=-，①3a =-．①此抛物线的解析式23(2)y x =--．（2）①抛物线的对称轴为直线2x =，且抛物线开口向下，①当2x <时，y 随x 的增大而增大．①x 的取值范围为2x <．（3）当0x =时，23(02)12y =-⨯-=-，①抛物线23(2)y x =--与y 轴的交点坐标为(0,12)-．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知对称轴的应用．5．（1）①；（2）见详解【分析】（1）根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式的步骤，即可得到答案；（2）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得到答案．【详解】解：（1）y ＝0.5x 2−x−0.5＝0.5（x 2−2x ）−0.5 ①＝0.5（x 2−2x ＋1−1）−0.5 ①＝0.5（x−1）2−1①①顶点坐标是（1，−1）①；故答案为：①；（2）y ＝0.5x 2−x−0.5＝0.5（x 2−2x ）−0.5＝0.5（x 2−2x ＋1−1）−0.5＝0.5（x−1）2−1①顶点坐标是（1，−1）．【点睛】此题考查二次函数的顶点式，二次函数解析式的三种形式有：顶点式；两根式以及一般式，掌握配方法，是解题的关键．6．(1)抛物线开口向上，对称轴为直线=1x -，顶点坐标为()1,0-；(2)抛物线开口向下，对称轴为直线5x =，顶点坐标为()5,0.【分析】（1）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．【详解】解：(1)由()221y x =+可知，二次项系数为20>，①抛物线开口向上，对称轴为直线=1x -，顶点坐标为()1,0-；(2)由()245y x =--可知，二次项系数为4<0-，①抛物线开口向下，对称轴为直线5x =，顶点坐标为()5,0.【点睛】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．7．224y x x =+或22(1)2y x =+-（答出这两种形式中任意一种均得分）【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x 2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为y=2（x+1）2﹣2．考点：二次函数图象与几何变换．8． 向上 (2，0) 直线x ＝ 2 ≥2 2 小 0 右 2．【分析】根据二次函数()2y a x h =-和2y ax =之间的关系与性质求解即可．【详解】解：抛物线y ＝3（x －2）2的开口方向是向上，顶点坐标为（2，0），对称轴是直线x ＝ 2．当x ≥2时，y 随x 的增大而增大；当x ＝2时，y 有最小值是0，它可以由抛物线y ＝3x 2向右平移2个单位得到．故答案为：向上；（2，0）；直线x ＝2；≥2；2；小；0；右；2．【点睛】本题考查二次函数()2y a x h =-和2y ax =的图象与性质，掌握这两种形式的函数图象以及它们之间的关系是解题关键．9．y=2x 2+1【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．【详解】解：由二次函数2y 2x 1=-的图象沿y 轴向上平移2个单位，因此所得图象对应的函数表达式为：22y 2x 122x 1=-+=+．【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握平移规律是本题的解题关键.10．()211 3.3y x =-- 【分析】设抛物线为：()2,y a x h k =-+ 根据抛物线的顶点坐标求解,h k ，再把()2,0A -代入解析式可得答案．【详解】解：设抛物线为：()2,y a x h k =-+抛物线的顶点是(1，－3)，1,3,h k ∴==-∴ 抛物线为：()213,y a x =-- 把()2,0A -代入抛物线得：()22130,a ---=93a ∴=，1,3a ∴= ∴ 抛物线为：()211 3.3y x =-- 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，根据题意设出合适的抛物线的解析式是解题的关键．11． y=2（x+1）2+1 y=2（x ﹣1）2﹣1【详解】（1）①将抛物线绕其顶点旋转180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同，只有开口方向变了，①将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为：22(1)1y x =++； （2）①抛物线绕原点旋转180°后，新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称，新抛物线对称轴和原抛物线的对称轴关于y 轴对称，开口方向和原来开口方向相反，①将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到的新抛物线的解析式为：2y 2(x 1)1=--. 【点睛】（1）抛物线2()y a x h k =-+关于其顶点对称的抛物线的解析式为2()y a x h k =--+； （2）抛物线2()y a x h k =-+关于原点对称的抛物线的解析式：2()y a x h k =-+-. 12．2=46y x x ++【分析】由题意设抛物线的顶点式：()222y a x =++，再把(1,3)-代入抛物线的解析式，解方程即可得到答案．【详解】解：由顶点（-2，2），可设抛物线为：()222y a x =++，将点（-1，3）代入上式可得： ()21223,a -++=1,a ∴=综上所述：22(2)246y x x x =++=++．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握根据题意设出合适的二次函数的表达式是解题的关键．13．（1）()221y x =-；（2） ()2112y x =-- 【分析】（1）将点(3，8)代入函数解析式求出a 的值得出函数解析式；（2）根据题意得出12a =-，从而得出函数解析式． 【详解】（1）将(3，8)代入函数解析式可得：()2318a -=，解得：a =2，①二次函数的解析式为：()221y x =-；（2）①函数与212y x =的开口大小相同，方向相反， ①12a =-， ①二次函数的解析式为：()2112y x =--． 14．（1）y=﹣x+4；（2）y=2（x ﹣1）2．【分析】(1)根据交点坐标先求直线l 的函数解析式（2）抛物线的顶点坐标已知，设交点M 的坐标，再根据S △AMP =3求出M 的坐标，最后求出解析式.【详解】（1）设一次函数解析式为y=kx+b ，把A （4，0），B （0，4）分别代入解析式得404k b b +=⎧⎨=⎩解得14k b =-⎧⎨=⎩解析式为y=﹣x+4．（2）设M 点的坐标为（m ，n ），①S △AMP =3， ①12（4﹣1）n=3， 解得，n=2，把M （m ，2）代入为2=﹣m+4得，m=2，M （2，2），①抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），可得y=a（x﹣1）2，把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x﹣1）2．【点睛】此题重点考察学生对函数解析式的理解，熟练解析式的求法是解题的关键. 15．（1）（40-x），12（40-x）；（2）y=2x+1050；（3）最大值为1110元，最小值为1050元；（4）25，大，4360【分析】（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，剩下的都运往D地，所以运往D地的是（40-x）吨．运输费用=吨数×每吨的运费．（2）总运费=从A运往C、D的费用+从B运往C、D的费用．（3）总运费与x是一次函数关系，由于0≤x≤30，可计算出总运费的最大值和最小值．（4）利用二次函数的性质，求出函数的最值．【详解】解：（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，那么从A果园运到D地的橘子为（40-x）吨，从A运到D地的运费是12元每吨，所以A果园将橘子运往D地的运输费用为12（40-x）吨．故答案为：（40-x），12（40-x）；（2）从A果园运到C地x吨，运费为每吨15元；从A果园运到D地的橘子为（40-x）吨，运费为每吨12元；从B果园运到C地（30-x）吨，运费为每吨10元；从B果园运到D地（30+x）吨，运费为每吨9元；所以总运费为：y=15x+12（40-x）+10（30-x）+9（30+x）=2x+1050；（3）因为总运费y =2x+1050，，①20①函数值随x 的增大而增大，由于0≤x ≤30，①当x =30时，有最大值2×30+1050=1110元，当x =0时，有最小值2×0+1050=1050元；（4）w =-(x -25)2+4360，①二次项系数-1＜0，①抛物线开口向下，当x =25时，w 有最大值．最大值时4360．故答案为：25，大，4360．【点睛】本题考查了列代数式及函数的性质．利用一次函数的性质求出总运费的最大值和最小值，利用二次函数的性质求出总成本的最值．16．（1）100=-+y x ；（2）65元【分析】（1）设y 与x 的函数解析式为y kx b =+，把()60,40，()70,30代入，得60407030k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1100k b =-⎧⎨=⎩即可； （2）设销售利润为W 元，先求出每件销售利润30x -，再乘以销售量y ，根据题意， (30)(100)W x x =--+2(65)1225x =--+，由10a =-<，65x =时，W 有最大值，最大值为1225．【详解】解：（1）设y 与x 的函数解析式为y kx b =+，把()60,40，()70,30代入，得60407030k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得1100k b =-⎧⎨=⎩， ①y 与x 的函数解析式为100=-+y x ；（2）设销售利润为W元，根据题意，得，=--+，(30)(100)W x x21303000x x=-+-，2=--+，x(65)1225a=-<，①10x=时，W有最大值，最大值为1225．①当65①要使销售利润达到最大，销售单价应定为每千克65元．【点睛】本题考查一次函数的解析式，列二次函数，利用配方法转化为顶点式，掌握一次函数的解析式的求法，列二次函数方法，会利用配方法将二次函数转化为顶点式，根据开口向下有最大值是解题关键．。
湘教版初中数学九年级下册1.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质PPT课件
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
学习目标
1.理解二次函数 y = ax 2 + bx + c 与y = a（ x - h） 2 +k 之 间的联系，体会转化思想；
2.通过图象了解二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质， 体会数形结合的思想；
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
-1x0=－1
向下平移 1个单位
要点归纳
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同. 把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线 y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定. 平移方法:
课后作业 见《学练优》本课时练习
课堂小结
1.各种形式的二次函数的关系
y = a( x - h )2 + k
|k| |h|
左
上
个右
个下
单平
单平
位移
位移
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移
左右平移
y = ax2
|k|个单位
|h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2
形状相同，位置不同.
y=ax2向左(右)平移y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k
|h平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k
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1.2 第4课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质
一、选择题
1．2018·临安抛物线y ＝3(x －1)2
＋1的顶点坐标是( ) A ．(1，1) B ．(－1，1) C ．(－1，－1) D ．(1，－1)
2．对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2
＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；
③顶点坐标为(－1，3)；④x >1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．某抛物线和抛物线y ＝－2x 2
的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的函数表达式为链接听课例3归纳总结( ) A ．y ＝－2(x －1)2
＋3
B ．y ＝－2(x ＋1)2
＋3
C ．y ＝－(2x ＋1)2
＋3
D ．y ＝－(2x －1)2
＋3
4．二次函数y ＝(x ＋1)2
－2的大致图象是( )
图K －5－1 5．2017·金华对于二次函数y ＝－(x －1)2
＋2的图象与性质，下列说法正确的是( ) A ．对称轴是直线x ＝1，最小值是2 B ．对称轴是直线x ＝1，最大值是2 C ．对称轴是直线x ＝－1，最小值是2 D ．对称轴是直线x ＝－1，最大值是2
6．已知二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的图象经过(0，5)，(10，8)两点，若a ＜0，0＜h ＜10，则h 的值可能是( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．1
图K －5－2
7．图K －5－2中是有相同最小值的两个二次函数的图象，则下列关系正确的是( ) A ．k ＜n B ．h ＝m C ．k ＋n ＝0 D ．h ＜0，m ＞0 二、填空题
8．2018·淮安将二次函数y ＝x 2
－1的图象向上平移3个单位，得到的图象的函数表达式是________.链接听课例1归纳总结
9．已知函数y ＝－23
(x ＋3)2
＋1，当x ________时，y 随x 的增大而减小．
10．已知抛物线y ＝a (x －1)2
＋h (a ≠0)与x 轴交于A (x ，0)，B (3，0)两点，则线段AB 的长度为________．
11．设A (－6，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2
＋a 上的三个点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为____________(用“＞”连接)． 三、解答题
12．在同一平面直角坐标系中画出二次函数y ＝12(x ＋1)2－3和y ＝12
(x －1)2
＋3的图象，并
写出它们的顶点坐标和对称轴．
13．已知函数y ＝－3(x －2)2
＋9.
(1)当x ＝________时，函数有最大值________； (2)当x ________时，y 随x 的增大而增大；
(3)该函数图象可由函数y ＝－3x 2
的图象经过怎样的平移得到？ (4)求出该函数图象与y 轴交点的坐标.链接听课例2归纳总结
14．已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，2)，且过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32. (1)求该二次函数的表达式；
(2)求证：对任意实数m ，点M (m ，－m 2
)都不在这个二次函数的图象上.
15．把二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二
次函数y ＝12
(x ＋1)2
－1的图象．
(1)试确定a ，h ，k 的值；
(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
16．如图K －5－3(a)，有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面AB 的宽为20 m ，这时拱
高(点O 到AB 的距离)为4 m.
(1)你能求出在图K －5－3(a)的平面直角坐标系中抛物线的函数表达式吗？
(2)如果将平面直角坐标系建成如图K －5－3(b)的形式，那么抛物线的形状、函数表达式有变化吗？
图K －5－3
1．A 2.C 3.B
4．[解析] C 在函数y ＝(x ＋1)2
－2中，由a ＝1＞0，知抛物线的开口向上，故A 错误；其
对称轴为直线x ＝－1，在y 轴的左侧，故B 错误；由y ＝(x ＋1)2－2＝x 2
＋2x －1，知抛物线与y 轴的交点为(0，－1)，在y 轴的负半轴，故D 错误．故选C .
5．[解析] B 由二次函数的表达式y ＝－(x －1)2
＋2，可知函数图象的对称轴为直线x ＝1，图象开口向下，函数有最大值．
6．[解析] A ∵a ＜0，∴抛物线开口向下．∵图象经过(0，5)，(10，8)两点，0＜h ＜10，∴对称轴在直线x ＝5和直线x ＝10之间，∴h 的值可能是7.
7．[解析] D ∵两个函数有相同的最小值，∴k ＝n.∵顶点分别位于第三和第四象限，∴h ＜0，m ＞0.故选D .
8．y ＝x 2
＋2 9．[答案] >－3
[解析] 因为－23<0，所以函数y ＝－23(x ＋3)2
＋1的图象开口向下，增减性为左升右降．
10．[答案] 4
[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x ＝1，所以点B 到对称轴的距离与点A 到对称轴的距离相等，都等于2，故AB 的长度为4. 11．y 2＞y 3>y 1
12．解：它们的图象如图所示．
抛物线y ＝12(x ＋1)2
－3的顶点坐标是(－1，－3)，对称轴是直线x ＝－1；
抛物线y ＝12
(x －1)2
＋3的顶点坐标是(1, 3)，对称轴是直线x ＝1.
13．解：(1)当x ＝2时，函数有最大值9.
(2)∵函数图象开口向下，且对称轴为直线x ＝2，∴当x ＜2时，y 随x 的增大而增大．
(3)函数y ＝－3(x －2)2＋9的图象可由函数y ＝－3x 2
的图象先向右平移2个单位，再向上平移9个单位得到．
(4)令x ＝0，得y ＝－3×(0－2)2
＋9＝－3，故该函数图象与y 轴交点的坐标为(0，－3)． 14．解：(1)y ＝－12x 2－x ＋32
.
(2)证明：若点M(m ，－m 2)在此二次函数的图象上，则－m 2＝－12m 2－m ＋32，得m 2
－2m ＋3
＝0，Δ＝4－12＝－8＜0，该方程无实根，所以原结论成立． 15．解：(1)图象的平移不改变图象的形状和大小，故a ＝1
2
.
二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后，顶点坐
标为(h －2，k ＋4)，
故h －2＝－1，k ＋4＝－1， 解得h ＝1，k ＝－5. ∴a ＝1
2
，h ＝1，k ＝－5.
(2)原二次函数为y ＝12(x －1)2
－5，其图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，
－5)．
16．解：(1)由图，可知抛物线的顶点坐标为(0，0)，且抛物线过点A (－10，－4)，B (10，
－4)，可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2
，把点A 或点B 的坐标代入，可得a ＝－125，
所以抛物线的函数表达式为y ＝－125
x 2
.
(2)由图，可知抛物线的顶点坐标为(0，4)，可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2
＋4，又因为图象过点A (－10，0)，B (10，0)，把点A 或点B 的坐标代入，得0＝100a ＋4，解得a ＝－1
25
，
所以抛物线的函数表达式为y ＝－125
x 2
＋4.
因为两条抛物线的函数表达式中a 相同，所以两抛物线的形状相同，即抛物线的形状不变，函数表达式改变．。