1.3二次根式的运算(第3课时)二次根式的应用同步练习含答案

第3课时二次根式的应用[学生用书A8]
1．要焊接一个如图1－3－4所示的钢架，需要的钢材长度是(单位：m) (A)
图1－3－4
A．35＋7B．53＋7
C．75＋3 D．37＋5
【解析】由题意得AB＝AD2＋BD2＝42＋22＝20＝2 5，BC＝BD2＋CD2＝22＋12＝5，
∴AB＋BC＋AC＋BD＝25＋5＋5＋2＝35＋7.
2．[2013·聊城]河堤横断面如图1－3－5所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为()米(A)
图1－3－5
A．12 B．4 3
C．5 3 D．6 3
3．[2013·山西]如图1－3－6，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为(A)
图1－3－6
A ．100 3 m
B ．50 2 m
C ．50 3 m D.1003
3 m
4．图1－3－7是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB ，CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC ＝135°，BC 的长约是5 2 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是__5__m.
图1－3－7
【解析】 过C 作CE ⊥AB 的延长线于点E ，
则∠CBE ＝45°，∴CE ＝BE ，设CE ＝x ，
则x 2＋x 2＝(52)2，∴x ＝5.
5．[2013·湘西]钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图1－3－8，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A 处时，测得钓鱼岛C 在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B 处，发现此时钓鱼岛C 与该船距离最短．
图1－3－8
(1)请在图中作出该船在点B 处的位置；
(2)求钓鱼岛C 到B 处的距离(结果保留根号)．
解：(1)如图所示：
第5题答图
(2)在Rt △ABC 中，AB ＝30×0.5＝15，∠BAC ＝ 30°，AC ＝2BC ，
由勾股定理可得BC ＝53(海里)．
答：钓鱼岛C 到B 处的距离为53海里．
6．某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，如图1－3－9所示，已知AC ＝BC ＝8 m ，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D .
图1－3－9
(1)求∠ACB 的大小；
(2)求AB 的长度．
解：(1)∵AC ＝BC ，∠A ＝30°，
∴∠B ＝30°.
∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°， ∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝180°－30°－30°＝120°.
(2)∵AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴AB ＝2AD .
在Rt △ADC 中，∠A ＝30°，AC ＝8，
∴CD ＝12AC ＝12×8＝4，
∴AD ＝AC 2－CD 2＝82－42＝43，
∴AB ＝2AD ＝83(m)．
7．[2013·呼和浩特]如图1－3－10，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地经过C 地沿折线A →C →B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC ＝10千米，∠A ＝30°，∠B ＝45°.则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？(结果保留根号)
图1－3－10
解：如图，作 CD ⊥AB ，垂足为D .在Rt △ACD 中，
第7题答图
∵∠A＝30°，
∴CD＝1
2AC＝5，
∴AD＝5 3.
∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝5，BC＝5 2.
∴AC＋BC－AB＝10＋52－(53＋5)＝(5＋52－53)千米．
答：汽车从A地到B地比原来少走(5＋52－53)千米．
8．如图1－3－11，四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB
＝4，CD＝5，则该四边形的面积是
2．
图1－3－11
【解析】如图，延长DA、CB交于点E，
第8题答图
则∠ABE＝60°，∴∠E＝30°.
∵AB＝4，∴BE＝8，∴AE＝4 3.
在R t△DEC中，∠E＝30°，
∴CE＝3CD＝53，
∴S△ABE＝1
2×4×43＝83，
S △CDE ＝12×5×53＝2532， ∴该四边形的面积为2532－83＝932.
9．如图1－3－12所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A ，B 两个凉亭之间的距离，现测得A C ＝30 m ，BC ＝70 m ，∠CAB ＝120°，请计算A ，B 两个凉亭之间的距离．
图1－3－12
解：过点C 作CD ⊥直线AB ，垂足为D ，
∵AC ＝30 m ，
∠CAB ＝120°，
∴∠CAD ＝60°，
∴∠ACD ＝30°，
∴AD ＝15 m ，CD ＝15 3 m.
在Rt △BDC 中，
BD ＝BC 2－CD 2＝702－（153）2＝65(m)，
∴AB ＝BD －AD ＝65－15＝50(m)．
答：A ，B 两个凉亭之间的距离为50 m
图1－3－13
10．如图1－3－13所示，台风中心位于点P，并沿东北方向P Q移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P 的北偏东75°方向上，距离P点320千米处．
(1)说明本次台风会影响B市；
(2)求这次台风影响B市的时间．
解：(1)如答图所示，作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB＝320，∠BPQ＝30°，
第10题答图
∴BH＝1
2PB＝160＜200，
∴本次台风会影响B市．
(2)如答图所示，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．
由(1)，得BH＝160，
由已知条件，得
BP1＝BP2＝200，
∴P1P2＝22002－1602＝240，
∴台风影响B市的时间t＝240
30＝8(时)．
11．如图1－3－14所示，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底
加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1∶ 3.
图1－3－14
(1)求加固后坝底增加的宽度AF；
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米．(结果保留根号) 解：(1)如图，分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB，
交点分别为G，H.
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴HD綊EG，故四边形EGHD是长方形，
∴ED＝GH.在△DHA中，
∠DAH＝∠ADH＝45°，
∴AH＝DH＝10.在△EFG中，i＝1∶3＝EG
FG
，
∴FG＝3EG＝103，
∴AF＝FG＋GH－AH＝103＋3－10＝103－7.
第11题答图
(2)设防洪堤长为l，则加固部分主体的体积V＝S梯形AFED×l＝1
2(3＋103－
7)×10×500＝25 0003－10 000.
答：加固后坝底增加的宽度为(103－7)米，需要土石(25 0003－10 000)立方米．。