2018-2019学年高二数学精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 章末复习
2018-2019数学苏教版选修2-1作业：第2章2.1 圆锥曲线-教育文档
[基础达标]1.已知点A(－1，0)，B(1，0)，动点P满足PA＋PB＝3，则动点P的轨迹是________．解析：由PA＋PB＝3>AB结合椭圆的定义有：动点P的轨迹是以A(－1，0)，B(1，0)为焦点的椭圆．答案：以A(－1，0)，B(1，0)为焦点的椭圆2.已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA－MB|＝4，则动点M的轨迹为________．解析：动点M满足|MA－MB|＝4＝AB，结合图形思考判断动点M的轨迹为直线AB(不包括线段AB内部的点)上的两条射线．答案：直线AB(不包括线段AB内部的点)上的两条射线3.到两定点F1(0，－10)，F2(0，10)的距离之和为20的动点M的轨迹是________．解析：MF1＋MF2＝20＝F1F2，故动点M为线段F1F2上任意一点，即动点M的轨迹是线段F1F2.答案：线段F1F24.到定点(2，1)和定直线x＋2y－4＝0的距离相等的点的轨迹是________．解析：点(2，1)在直线x＋2y－4＝0上，不符合抛物线定义．答案：过点(2，1)且和直线x＋2y－4＝0垂直的直线5.已知动点P(x，y)满足（x＋2）2＋y2－（x－2）2＋y2＝2，则动点P的轨迹是________．解析：（x＋2）2＋y2－（x－2）2＋y2＝2，即动点P(x，y)到两定点(－2，0)，(2，0)的距离之差等于2，由双曲线定义知动点P的轨迹是双曲线的一支．答案：双曲线的一支6.已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是________．解析：由于两点间的距离为10，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应是一条射线．答案：一条射线7.动点P到定点A(0，－2)的距离比到定直线l：y＝10的距离小8，则动点P的轨迹为________．解析：将直线l：y＝10沿y轴向下平移8个单位，得到直线l′：y＝2，则动点P到A(0，－2)的距离等于到定直线l′：y＝2的距离，故点P的轨迹为抛物线．答案：抛物线8.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q使得PQ＝PF2，则动点Q的轨迹是________．解析：由P是椭圆上的一点，根据椭圆的定义，则PF1＋PF2＝定值，而PQ＝PF2，则QF1＝PF1＋PQ＝PF1＋PF2＝定值，所以点Q的轨迹是以F1为圆心的圆．答案：以F1为圆心的圆9.设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，试求动点P的轨迹．解：当a＝6时，PF1＋PF2＝a＝F1F2，所以点P的轨迹为线段F1F2.当a>6时，PF1＋PF2＝a>F1F2，所以点P的轨迹为椭圆．当0<a<6时，PF1＋PF2＝a<F1F2，所以点P的轨迹不存在．10.△ABC中，BC＝6.已知△ABC的周长为16，求动点A的轨迹．解：∵AB＋AC＝16－6＝10>6＝BC，∴动点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去A、B、C三点共线的两个点)．[能力提升]1.方程5·（x－2）2＋（y－2）2＝|3x－4y－6|表示的曲线为________．解析：方程5·（x－2）2＋（y－2）2＝|3x－4y－6|，即为（x－2）2＋（y－2）2＝|3x－4y－6|，即动点(x，y)到定点(2，2)的距离等于动点(x，y)到定直线3x－4y－6＝0的32＋（－4）2距离，由抛物线的定义知表示的曲线为抛物线．答案：抛物线2.若点M到定点F和到定直线l的距离相等，则下列说法正确的是________．①点M的轨迹是抛物线；②点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线；③点M的轨迹是抛物线或一条直线．解析：当点F不在直线l上时，点M的轨迹是以F为焦点、l为准线的抛物线；而当点F在直线l上时，点M的轨迹是一条过点F，且与l垂直的直线．答案：③3.求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹．(1)与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2，0)；(2)与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切；(3)与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切．解：设动圆M的半径为r.(1)∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴MC＝r－ 2.∵MA＝r，∴MA－MC＝2，且2<4.∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的一支．(2)∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，∴MC1＝r＋1，MC2＝r＋2.∴MC2－MC1＝1，且1<2.∴点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的一支．(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切，∴MC1＝r＋3，MC2＝r－1.∵MC1－MC2＝4，且4<6，∴点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的一支．4.(创新题)已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N为l 上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证：点P的轨迹为抛物线．证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结PA，PN，NB.由题意知PB垂直平分AN，且点B关于AN的对称点为P，∴AN也垂直平分PB.∴四边形PABN为菱形，∴PA＝PN.∵AB⊥l，∴PN⊥l.故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线．。
苏教版数学选修2-1：第2章圆锥曲线与方程242课时作业(含答案)
2.4.2 抛物线的几何性质 课时目标1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为______________．(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e 表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离 为p 2，焦点到顶点的距离为________． 2．抛物线的焦点弦设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．(1)以AB 为直径的圆与准线________．(2)AB ＝__________(焦点弦长与中点坐标的关系)．(3)AB ＝x 1＋x 2＋______.(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝________，y 1y 2＝________.一、填空题1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线标准方程是______________________．2．抛物线y 2＝2px (p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点和准线之间的距离是________．3．若过抛物线x 2＝－2py (p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长为6，则其焦点坐标是__________．4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 5．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积为________．6．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为______．7.设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为______________．8．已知点Q(4,0)，P 为y 2＝x ＋1上任意一点，则PQ 的最小值为________．二、解答题9．设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．10.已知抛物线y 2＝2px (p>0)的一条过焦点F 的弦AB 被焦点F 分成长度为m ，n 的两部分．求证：1m ＋1n为定值． 能力提升11．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么PF ＝________.12．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若AF ＝4，求点A 的坐标；(2)求线段AB 的长的最小值．1．研究抛物线的性质要结合定义，理解参数p 的几何意义，注意抛物线的开口方向．2．解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦，焦半径公式的应用．解题时注意整体代入的思想，可以使运算、化简简便．3．与抛物线有关的最值问题具备定义背景的最值问题，可以转化为几何问题；一般方法是建立目标函数，求函数的最值．2．4.2 抛物线的几何性质知识梳理1．(1)x ≥0右增大 (2)x 轴抛物线的轴(3)顶点坐标原点 (4)离心率1 (5)p p 2 2．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p 24－p 2 作业设计1．y 2＝±36x 解析易求得A ，B 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，±12或⎝⎛⎭⎫－32，±12，又由题意可设抛物线标准方程为y 2＝±2px (p >0)，将A ，B 的坐标代入即可求得．2．2解析由抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，故4＋p 2＝5，p ＝2，此抛物线焦点和准线之间的距离为p ＝2.3.⎝⎛⎭⎫0，－32 解析易知弦的两端点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－p ，－p 2，⎝⎛⎭⎫p ，－p 2，则有2p ＝6，p ＝3.故焦点坐标为⎝⎛⎫0，－32. 4．4解析椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，即p 2＝2，得p ＝4. 5．2解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x .将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)，B (4,4)．∴AB ＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2. 6.255解析由已知得抛物线方程为y 2＝4x ，直线方程为2x ＋y －4＝0，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是F (1,0)，到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋0－4|22＋1＝255. 7．(1,2)或(1，－2)解析 设A （x 0,y 0）,F(1,0),OA →＝(x 0，y 0)，AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →∙AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4.∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0，x 0＝1或x 0＝－4(舍)．∴x 0＝1，y 0＝±2.8.192解析设点P (x ，y )．∵y 2＝x ＋1，∴x ≥－1.∴PQ ＝(x －4)2＋y 2＝(x －4)2＋x ＋1 ＝x 2－7x ＋17＝⎝⎛⎭⎫x －722＋194. ∴当x ＝72时，PQ min ＝192. 9．解由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ， 其准线方程为y ＝－14m . 由题意知－14m ＝－2或－14m＝4， 解得m ＝18或m ＝－116. 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .10．证明若AB ⊥x 轴，直线AB 的方程为x ＝p 2， 则A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，∴m ＝n ＝p ， ∴1m ＋1n ＝2p， 若AB 不与x 轴垂直，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则m ＝AF ＝x 1＋p 2，n ＝BF ＝x 2＋p 2. 将AB 方程代入抛物线方程，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0. ∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24， ∴1m ＋1n ＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝2p . 故1m ＋1n为定值． 11.8解析如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6，∴PF ＝x 0＋2＝8.12．解由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，AF ＝x 1＋p 2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为 (3,23)或(3，－23)．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ， 消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k 2. 由抛物线的定义可知，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 2>4. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时AB ＝4，所以，AB ≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1
§2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标 1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点双曲线的标准方程思考双曲线标准方程中的a，b，c的关系如何？与椭圆标准方程中的a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理(1)两种形式的标准方程(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b 2＝c 2－a 2与椭圆中的b 2＝a 2－c 2相区别．1．方程x 2m －y 2n ＝1(m ·n ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)2．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .(×)3．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)中，焦距为2c ，则a 2＝b 2＋c 2.(×)类型一 求双曲线的标准方程例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)方法一 椭圆y 225＋x 216＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程y 225＋x 216＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．∵双曲线过点(－2，10)，∴1025－λ－4λ－16＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)； ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1 (1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.类型二 曲线方程的讨论例2 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m 2－2m －3＞0，解得m ＞5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．反思与感悟 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn ＜0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．跟踪训练2 (1)“3＜m ＜5”是“方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的_________条件．答案 充分不必要解析 (m －5)(m 2－m －6)＝(m －5)(m －3)(m ＋2)．①方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线⇒(m －5)(m 2－m －6)＜0，即(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0 ⇒3＜m ＜5或m ＜－2 ⇏3＜m ＜5，∴3＜m ＜5不是“x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的必要条件．②3＜m ＜5⇒(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0， 即(m －5)(m 2－m －6)＜0⇒x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线． ∴3＜m ＜5是x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1的充分条件．(2)讨论x 225－k ＋y 29－k＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．解 由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k ＜9,9＜k ＜25，k ＞25，分别进行讨论． ①当k ＜9时，25－k ＞0,9－k ＞0，所给方程表示椭圆，此时a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．②当9＜k ＜25时，25－k ＞0,9－k ＜0，所给方程表示双曲线，此时a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)． ③当k ＞25时，所给方程没有轨迹． 类型三 双曲线的定义及标准方程的应用例3 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°， 所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2， 所以PF 1·PF 2＝64，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2 ＝12×64×32＝16 3. 引申探究本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积． 解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ＝6，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，① 在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c )2＝100，②将②代入①得PF 1·PF 2＝32， 所以12F PF S＝12PF 1·PF 2＝16. 反思与感悟 求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF 1－PF 2|＝2a ；②利用余弦定理表示出PF 1，PF 2，F 1F 2之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体思想求出PF 1·PF 2的值； ④利用公式12PF F S ＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2求得面积． (2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12F 1F 2×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．同理可求得双曲线y 2a 2－x 2b2＝1中焦点三角形的面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF 1－PF 2|＝2a的变形使用，特别是与PF 21＋PF 22，PF 1·PF 2间的关系． 跟踪训练3 如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积．解 在△MF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝MF 21＋MF 22－2MF 1·MF 2·cos θ.①∵F 1F 22＝4c 2，MF 21＋MF 22＝(MF 1－MF 2)2＋2MF 1·MF 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2， ∴①式化为4c 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2(1－cos θ)， ∴MF 1·MF 2＝2b 21－cos θ，∴12MF F S ＝12MF 1·MF 2·sin θ＝b 2sin θ1－cos θ＝b 2·2sin θ2·cosθ21－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝b 2tan θ2.1．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (－1,1)解析 依题意得(1＋k )(1－k )>0，即(k ＋1)(k －1)<0，解得－1<k <1. 2．双曲线x 2k 2＋8－y 28－k 2＝1的焦距为________．答案 8解析 依题意得焦距为2k 2＋8＋8－k 2＝8.3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点． 令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4， 则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上， ∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.4．已知双曲线2x 2－y 2＝k (k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________． 答案 ±6解析 由题意知，k ≠0.当k >0时，方程化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝3k2，∴2×3k2＝6，解得k ＝6. 当k <0时，方程化为y 2－k －x 2－k2＝1，∴c 2＝－32k ，∴2×－3k2＝6，解得k ＝－6. 综上，k ＝－6或k ＝6.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，设M (x M ，y M )，将x M ＝5代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343.求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn <0.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋k －y 2b 2－k ＝1(－a 2＜k ＜b 2)．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ，可设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)．一、填空题1．满足条件：a ＝2，且一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________________． 答案 x 24－y 212＝1解析 由一个焦点(4,0)知双曲线焦点在x 轴上，且c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，a ＝2，可得b 2＝12，故双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.2．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a ＝________.答案 1解析 由题意知焦点在x 轴上，因此4－a ＝a ＋2， 所以a ＝1.经检验，a ＝1满足题意．故a ＝1.3．双曲线的焦点是(0，±6)，且过点A (－2，－5)，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 220－x 216＝1解析 由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝6. 设F 1(0，－6)，F 2(0,6)分别为双曲线的焦点， AF 1＝(－2)2＋(－5＋6)2＝5， AF 2＝(－2)2＋(－5－6)2＝55，根据双曲线的定义，2a ＝|AF 1－AF 2|＝45， 所以a ＝25，b 2＝c 2－a 2＝16， 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.4．若双曲线的两个焦点坐标分别是F 1(0，－5)，F 2(0,5)，双曲线上任意一点P 满足到两个焦点的距离之差的绝对值是6，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 29－x 216＝1解析 由题意得，焦点位于y 轴上，且c ＝5,2a ＝6，所以a ＝3，b 2＝c 2－a 2＝16，因此所求双曲线的标准方程是y 29－x 216＝1.5．已知双曲线x 24－y 2m ＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m ＝________.答案 5 解析 因为c ＝4＋m ＝3，所以解得m ＝5.6．已知方程x 29－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (9，＋∞)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－k <0，k －3>0，解得k >9.7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 13解析 设PF 1＝d 1，PF 2＝d 2，则d 1＋d 2＝26，① |d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18.①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c22d 1d 2＝18－166＝13.8．与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线方程为________________．答案 x 23－y 23＝1解析 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上，∴设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又∵两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.① 又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，a b 由①②得，a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1. 9．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其左，右焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，PF 1＝2＋x ，PF 2＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以PF 2＋PF 1＝3－1＋3＋1＝2 3.10．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．答案 x 216－y 29＝1 解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 11．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．答案 1或5解析 由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3,0)，2若P 在双曲线的左支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF －2a )＝12×(6－2×2)＝1； 若P 在双曲线的右支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF ＋2a )＝12(6＋2×2)＝5. 综上，|OQ →|＝1或5.二、解答题12．设F 1，F 2是双曲线x 24a －y 2a＝1(a >0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，求双曲线的方程．解 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝20a .①又||PF 1→|－|PF 2→||＝4a .②①－②2，得2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a .∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，∴a ＝1.∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左，右焦点为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设MF 1＝m ，MF 2＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴S △MF 1F 2＝12mn ＝4＝12F 1F 2·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 三、探究与拓展14．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m 的值为________． 答案 7或－2解析 (1)当焦点在x 轴上时，有m >5，则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上时，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2.综上，m ＝7或m ＝－2.15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左，右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上， 且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，故解得MF 1＝43，MF 2＝23， 又F 1F 2＝25，所以在△MF 1F 2中，MF 1边最长，cos ∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212MF 2·F 1F 2<0， 又因为∠MF 2F 1∈(0°，180°)， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程
阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________________________．2．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．3．方程x 2(a －1)2＋y 2a 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是_____________．4．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．5．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．6．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是____________________________．7．已知双曲C 1＝x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________________________．8．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝8，则P 1P 2的值为________．9．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝33x 的距离是________．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________________________．12．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于__________________________． 13．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x 23＋y 22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线的方程是x ＝－18；④双曲线y 249－x 225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x .其中所有不正确命题的序号是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)求与椭圆x 2144＋y 2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．16．(本小题满分14分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．17.(本小题满分14分) 如图，F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．18．(浙江高考)(本小题满分16分)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．9．(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．20．(湖南高考)(本小题满分16分)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM ·FN <2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．答 案1．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x2．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.答案：323．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)2>a 2，a ≠1，a ≠0，解之得a <12，且a ≠0，即a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，0)∪(0，12 4．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －P A ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：445．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝3PF 2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α， 在△PF 1O 中，PF 21＝OF 21＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①，在△OPF 2中，PF 22＝OF 22＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②， 由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ， ①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝3a a ＝ 3.答案： 36．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即(x ＋2)2＋y 2＝2－x . ∴y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x7．解析：∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴ca＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为 3 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2.∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．解析：由题意知p ＝4，由抛物线的定义得P 1P 2＝P 1F ＋P 2F ＝⎝⎛⎭⎫y 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋p2＝(y 1＋y 2)＋p ＝8＋4＝12.答案：129．解析：∵椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为(1,0)，∴右焦点到直线3x －3y ＝0的距离d ＝33＋9＝12. 答案：1210．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.答案：5711．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3.所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：x 218＋y 29＝112．解析：令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y 2＝12x ，得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴AB ＝(1＋22)(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15. 答案：1513．解析：如图，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦半径为c .由题意知∠F 1AF 2＝90°， ∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ， AF 1＝2c ·sin 60°＝3c . ∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.答案：3－114．解析：①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝33； ④渐近线的方程为y ＝±75x .答案：①②④15．解：椭圆x 2144＋y 2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是y 24－x 221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .16．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2， ∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k 2＋4k 2＋2＝8.解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)， 即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.17．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.18．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1， 所以AB ＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2，y 0＝84＋k 2－1. 所以PD ＝8k 2＋14＋k2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12AB ·PD ＝84k 2＋34＋k2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 19．解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2(x －1)2＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0， 故k 2>32.由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，① x 1x 2＝243＋4k2.② 又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得 x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32， 解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.②又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以直线m 的斜率为－32或32.20．解：(1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2， 直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实数根． 从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM ＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN ＝(pk 2，pk 22)． 于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 所以0<k 1k 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222＝1. 故FM ·FN <p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得F A ＝y 1＋p 2，FB ＝y 2＋p 2， 所以AB ＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝⎛⎭⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2， 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0. 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫k 1＋142＋785. 故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85. 由题设，7p 85＝755，解得p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .。
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 疑难规律方法
1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值例1 线段AB ＝4，P A ＋PB ＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是________．解析 由于P A ＋PB ＝6>4＝AB ，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A ，B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5.答案52．求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________．解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知 PF 1＋PF 2＝2a ＝10， 所以PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝⎛⎭⎫1022＝25， 当且仅当PF 1＝PF 2时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝PF 2，解得PF 1＝PF 2＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(±3,0)． 答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“PF 1＋PF 2＝10”，即两个正数PF 1，PF 2的和为定值，结合基本不等式可求PF 1，PF 2乘积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标．3．求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 由已知，得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝1，F 1F 2＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2·cos120°， 即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1，①由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② 将②代入①，得PF 1＝65.所以S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是335.点评 在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于PF 1，PF 2的方程组，消去PF 2可求PF 1.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．2 如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析 如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ，AF 1＝2c ·sin60°＝3c . ∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.答案3－1点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，则椭圆的离心率e ＝________. 解析 如图所示，直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.∵点F 1(－c,0)到直线AB 的距离为b 7，∴b 7＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2，∴7|a －c |＝a 2＋b 2，即7a 2－14ac ＋7c 2＝a 2＋b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，整理，得5a 2－14ac ＋8c 2＝0. 两边同除以a 2并由e ＝ca 知，8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54(舍去)．答案 123．利用数形结合求离心率例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O 的半径为a ，过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e ＝________. 解析 如图所示，切线P A ，PB 互相垂直，P A ＝PB .又OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，OA ＝OB ， 则四边形OAPB 是正方形， 故OP ＝2OA ， 即a 2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝22. 答案224．综合类例4 设M 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF 1F 2＝75°，∠MF 2F 1＝15°，求椭圆的离心率． 解 由正弦定理得2c sin90°＝MF 1sin15°＝MF 2sin75°＝MF 1＋MF 2sin15°＋sin75°＝2asin15°＋sin75°，∴e ＝c a ＝1sin15°＋cos15°＝12sin60°＝63.点评 此题可推广为若∠MF 1F 2＝α，∠MF 2F 1＝β，则椭圆的离心率e ＝cosα＋β2cosα－β2.3 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明． 1．求动点轨迹例1 动圆C 与两定圆C 1：x 2＋(y －5)2＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋5)2＝16都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解 设动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ， 因为动圆C 与两定圆相外切，所以⎩⎪⎨⎪⎧CC 1＝r ＋1，CC 2＝r ＋4，即CC 2－CC 1＝3<C 1C 2＝10，所以点C 的轨迹是以C 1(0,5)，C 2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a ＝32，c ＝5，所以b 2＝914.故动圆圆心C 的轨迹方程为4y 29－4x 291＝1⎝⎛⎭⎫y ≥32.点评 依据动圆与两定圆外切建立关系式，可得到CC 2－CC 1＝3<C 1C 2，从而判断出C 的轨迹是双曲线的一支，最后求出a ，b 即可写出轨迹方程，这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支． 2．求焦点三角形的周长例2 过双曲线x 216－y 29＝1左焦点F 1的直线与左支交于A ，B 两点，且弦AB 长为6，则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是________．解析 由双曲线的定义知AF 2－AF 1＝8，BF 2－BF 1＝8， 两式相加得AF 2＋BF 2－(AF 1＋BF 1)＝AF 2＋BF 2－AB ＝16， 从而有AF 2＋BF 2＝16＋6＝22，所以△ABF 2的周长为AF 2＋BF 2＋AB ＝22＋6＝28. 答案 28点评 与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧．3．最值问题例3 已知F 是双曲线x 23－y 2＝1的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点M (4,2)，求PM＋PF 的最小值．解 设双曲线的左焦点为F ′， 则F ′(－2,0)， 由双曲线的定义知： PF ′－PF ＝2a ＝23， 所以PF ＝PF ′－23，所以PM ＋PF ＝PM ＋PF ′－23，要使PM ＋PF 取得最小值，只需PM ＋PF ′取得最小值，由图可知，当P 、F ′、M 三点共线时，PM ＋PF ′有最小值MF ′＝210， 故PM ＋PF 的最小值为210－2 3.点评 本题利用双曲线的定义对F 的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值．另外同学们不妨思考一下：(1)若将M 坐标改为M (1,1)，其他条件不变，如何求解呢？(2)若P 是双曲线左支上一动点，如何求解呢？ 4．求离心率范围例4 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，试求该双曲线离心率的取值范围． 解 因为PF 1＝4PF 2，点P 在双曲线的右支上， 所以设PF 2＝m ，则PF 1＝4m ，由双曲线的定义，得PF 1－PF 2＝4m －m ＝2a ，所以m ＝23a .又PF 1＋PF 2≥F 1F 2， 即4m ＋m ≥2c ，所以m ≥25c ，即23a ≥25c ，所以e ＝c a ≤53.又e >1，所以双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53. 点评 本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a ，c 的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解．4 抛物线的焦点弦例1 如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，AB 的中点M (x 0，y 0)，过A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，M 1，B 1，则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)AB ＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋p2(焦点弦长与中点坐标的关系)； (3)AB ＝x A ＋x B ＋p ；(4)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x A x B ＝p 24，y A y B ＝－p 2；(5)A 1F ⊥B 1F ；(6)A ，O ，B 1三点共线； (7)1F A ＋1FB ＝2p. 以下以第(7)条结论为例证明： 证明 当直线AB 的斜率不存在， 即与x 轴垂直时，F A ＝FB ＝p ，∴1F A ＋1FB ＝1p ＋1p ＝2p. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，并代入y 2＝2px ， ∴⎝⎛⎭⎫kx －kp22＝2px ， 即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋k 2p 24＝0.由A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝p (k 2＋2)k 2，x A x B ＝p 24.∵F A ＝x A ＋p 2，FB ＝x B ＋p2，∴F A ＋FB ＝x A ＋x B ＋p ， F A ·FB ＝⎝⎛⎭⎫x A ＋p 2⎝⎛⎭⎫x B ＋p 2 ＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p2(x A ＋x B ＋p )．∴F A ＋FB ＝F A ·FB ·2p ，即1F A ＋1FB ＝2p.点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况．例2 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.答案 65 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究． 1．定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法． 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线E .(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围．解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线， ∴NA ＝NM .∴NC ＋NA ＝NC ＋NM ＝CM ＝2a >2＝AC ，∴N 的轨迹是以C ，A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆． 当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由(1)知a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )，∴直线l 的方程为x －1＋yb ＝1，即bx －y ＋b ＝0.设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧yx －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y 2＋b ＝0，消去x 得y ＝4bb 2＋1.∵离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，∴14≤e 2≤34，即14≤1a 2≤34，∴43≤a 2≤4. ∴43≤b 2＋1≤4，即33≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1b≤2，当且仅当b ＝1时取等号． 又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33时，y ＝ 3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]．2．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、证明”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M 的轨迹方程． 解 如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2， ∴d 22－d 21＝25，即⎝⎛⎭⎪⎫|3x －2y ＋3|132－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2x －3y ＋2|132＝25， 化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65.点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可． 3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的方程．解 椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点， 所以OF ＝c ，AF ＝OA 2＋OF 2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.4．相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．分析 设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可．解 设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)， ∵点P 是线段QN 的中点， ∴N 点的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2， 即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.① 又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)．又∵点Q 在双曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1. 化简，得⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. ∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12.点评 本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P ，Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解． 5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法．例5 已知点P 在直线x ＝2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A (1,0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程． 解 如图，设OP 的斜率为k ，则P (2,2k )．当k ≠0时， 直线l 的方程：y ＝－1kx ，①直线m 的方程：y ＝2k (x －1)．②联立①②消去k 得2x 2＋y 2－2x ＝0 (x ≠1)．当k ＝0时，点Q 的坐标(0,0)也满足上式，故点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠1)．6 解析几何中的定值与最值问题1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线．设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB → (λ，μ∈R )，求证：λ2＋μ2为定值．证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合， 则OM →＝OA →，此时λ＝1，μ＝0，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y22b 2＝1，②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－b 2x 0a 2y 0，又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 0＝－b 2a 2x 0.∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝⎛⎭⎫1，－b 2a 2， ∵ON →∥a ，∴13＝b 2a2.∵a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2， 又直线方程为y ＝x －c .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2，得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0.∴x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2.又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得 λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. 又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2 ＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点． 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3.∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝my 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1， 由题意知mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点． 2．最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．例3 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则PF ＋P A的最小值为________．解析 设右焦点为F ′，由题意可知F ′坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，PF －PF ′＝4，∴PF ＋P A ＝4＋PF ′＋P A ，∴要使PF ＋P A 最小，只需PF ′＋P A 最小即可，PF ′＋P A 最小需P ，F ′，A 三点共线，最小值即4＋F ′A ＝4＋9＋16＝4＋5＝9.答案 9点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．例4 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值． 解 设动点P 的坐标为(x ，y )， 由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．如图，由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k .设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.7 圆锥曲线中存在探索型问题存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由．分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论． 解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2， 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2，④把④代入③，得(2－a )·2a3－a 2＝2，解得a ＝32，经检验知满足Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＞0，∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ，椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在． 解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上， 设圆心的坐标是(－p ，p )(p >0)， 则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8， 由于O (0,0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4,0)．假设存在异于原点的点Q (m ，n )使QF ＝OF ，则有⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16且m 2＋n 2≠0， 解得⎩⎨⎧m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125.3．直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23＋y 2＝1交于两个不同的点M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解．解 设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x P ，y P )，则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P＋m ＝m 1＋3k 2， ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk.∵AP ⊥MN ，∴3k 2－m ＋13mk ＝－1k (k ≠0)，故m ＝－3k 2＋12.由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0. 故当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l .8 圆锥曲线中的易错点剖析1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误例1 长为a 的线段AB ，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB 中点P 的轨迹方程． 错解 如图所示，设A (0，y )，B (x,0)．由中点坐标公式可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，连结OP ，由直角三角形斜边上的中线性质有OP ＝12AB ＝12a .故⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y 22＝⎝⎛⎭⎫a 22，即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.正解 设中点P (x ，y )，A (0，m )，B (n,0)， 则m 2＋n 2＝a 2，x ＝n 2，y ＝m 2，于是所求轨迹方程为x 2＋y 2＝14a 2.2．忽视定义中的条件而致误例2 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为________． 错解 根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故填椭圆．正解 因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为F 1F 2，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2.答案线段3．忽视标准方程的特征而致误例3 设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程． 错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m4.又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4. 故－m 4＝－2或－m4＝4.∴m ＝8或m ＝－16.∴抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.正解 由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1m y ，其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116. 则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .4．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例4 抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且AF ＝5，求抛物线的标准方程．错解一 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)． 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12. 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .错解二 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为 y 2＝2px (p >0)．2所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12. 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x . 当m <0时，点A 在第三象限， 抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝－2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎨⎧p ＝5＋34，m ＝5－342或⎩⎨⎧p ＝5－34，m ＝5＋342(舍去)．所以抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 错因分析 当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论. 正解 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12，所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线的方程可设为y 2＝－2px (p >0)，2所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝－2pm ，p 2－m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝－12.所以抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x 或y 2＝2x 或y 2＝18x .9 圆锥曲线中的数学思想方法1．方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．例1 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若AB ＝25，求椭圆的方程．解 由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y2b 2＝1消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0，Δ＝16－4(8－2b 2)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵AB ＝25，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25，∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25， 即52·16－4(8－2b 2)＝25， 解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16.∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.2．函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法． 例2 若点(x ，y )在x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上运动，求x 2＋2y 的最大值．解 ∵x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，∴x 2＝4⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2≥0，即－b ≤y ≤b .∴x 2＋2y ＝4⎝⎛⎭⎫1－y2b 2＋2y ＝－4y 2b 2＋2y ＋4＝－4b 2⎝⎛⎭⎫y －b 242＋4＋b 24.当b 24≤b ，即0<b ≤4时，若y ＝b 24，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为4＋b 24；当b 24>b ，即b >4时，若y ＝b ，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为2b . 综上所述，x 2＋2y 的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 24，0<b ≤4，2b ，b >4.3．转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．例3 如图所示，已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x ＝12，P 是l 上任意一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在线段OP 上，且满足OQ ·OP ＝OR 2，当点P 在l 上运动时，求点Q 的轨迹方程．解 设P (12，y P )，R (x R ，y R )，Q (x ，y )，∠POx ＝α. ∵OR 2＝OQ ·OP ，∴⎝⎛⎭⎫OR cos α2＝OQ cos α·OP cos α. 由题意知x R >0，x >0，∴x 2R ＝x ·12.① 又∵O ，Q ，R 三点共线，∴k OQ ＝k OR ，即y x ＝y Rx R .②由①②得y 2R ＝12y 2x.③∵点R (x R ，y R )在椭圆x 224＋y 216＝1上，∴x 2R 24＋y 2R16＝1.④由①③④得2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)， ∴点Q 的轨迹方程是2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)． 4．分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以必须要注意分类讨论．例4 求与双曲线x 24－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程．分析 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．解 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，即x 24λ－y 2λ＝1(λ≠0)． 当λ>0时，c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1.当λ<0时，c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5， ∴所求双曲线的方程为y 25－x 220＝1.综上所述，所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.5．数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．例5 在△ABC 中，BC 边固定，顶点A 在移动，设BC ＝m ，当三个角满足条件|sin C －sin B |＝12|sin A |时，求顶点A 的轨迹方程． 解 以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m2，0. 设点A 坐标为(x ，y )，由题设， 得|sin C －sin B |＝12|sin A |.根据正弦定理，得|AB －AC |＝m2<m ＝BC .可知点A 在以B ，C 为焦点的双曲线上． 2a ＝m 2，∴a ＝m 4.又c ＝m 2，∴b 2＝c 2－a 2＝m 24－m 216＝316m 2.故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(y ≠0)．。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 滚动训练(二) Word版含答案
滚动训练(二)一、填空题1．已知命题p ：∃x ∈R ,x 2＋ax ＋a <0,若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 ∵p 是假命题,∴∀x ∈R ,x 2＋ax ＋a ≥0恒成立,∴Δ＝a 2－4a ≤0,∴0≤a ≤4.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是________．考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 椭圆解析 设椭圆的右焦点为F 2,由题意,知PO ＝12MF 2,PF 1＝12MF 1, 又MF 1＋MF 2＝2a ,所以PO ＋PF 1＝a >F 1O ＝c ,故由椭圆的定义,知P 点的轨迹是椭圆．3．命题“∀x ∈R ,∃n ∈N *,使得n ≥x 2”的否定形式是________．答案 ∃x ∈R ,∀n ∈N *,使得n ＜x 2解析 原命题是全称命题,条件为∀x ∈R ,结论为∃n ∈N *,使得n ≥x 2,其否定形式为存在性命题,条件中改量词,并否定结论．4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是________．答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ,则MF ＋ME ＝10,∴ME ＝8,又ON 为△MEF 的中位线,∴ON ＝12ME ＝4.5．直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，13 解析 将直线y ＝x ＋1代入椭圆x 2＋2y 2＝4中,得x 2＋2(x ＋1)2＝4,∴3x 2＋4x －2＝0,∴弦的中点的横坐标是x ＝12×⎝⎛⎭⎫－43＝－23, 代入直线方程y ＝x ＋1中,得y ＝13, ∴弦的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－23，13. 6．设函数f (x )＝|log 2x |,则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________． 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图所示,可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1， 故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件．7．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，22 解析 设M (x ,y ),∵MF 1→·MF 2→＝0,∴点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝c 2,点M 的轨迹是以原点为圆心的圆,其中F 1F 2为圆的直径． 由题意知,椭圆上的点P 总在圆外,所以OP >c 恒成立,由椭圆性质知OP ≥b ,∴b >c ,∴a 2>2c 2,∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12,∴0<e <22.8．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32,则m ＝________. 答案 14或4 解析 方程化为x 2＋y 21m ＝1,则有m >0且m ≠1. 当1m<1,即m >1时,依题意有1－1m 1＝32, 解得m ＝4,满足m >1；当1m>1,即0<m <1时,依题意有1m －11m ＝32, 解得m ＝14,满足0<m <1. 综上,m ＝14或4. 9．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中,F 1,F 2分别为其左、右焦点,M 为椭圆上一点且MF 2⊥x 轴,设P 是椭圆上任意一点,若△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍(O 为坐标原点),则该椭圆的离心率e ＝________.考点 椭圆的离心率问题题点 求a ,b ,c 得离心率答案 53解析 由题意,可得M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a 或M ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍,∴12×2c ×b ＝3×12×c ×b 2a, ∴b ＝23a ,∴c ＝a 2－b 2＝53a , ∴e ＝c a ＝53. 10．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1.与椭圆相交于A ,B 两点,则弦AB 的长为________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 553解析 由题意知,椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0),直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1， 消去y ,整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝53,x 1x 2＝0. 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)及点B (0,a ),过B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ,F 为椭圆的右焦点,则∠ABF ＝________.考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 90°解析 由题意知,切线的斜率存在,设切线方程为y ＝kx ＋a (k ＞0), 与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y , 整理得b 2x 2＋a 2(kx ＋a )2－a 2b 2＝0,即(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 4－a 2b 2＝0,由Δ＝4a 6k 2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0,得k ＝c a, 从而y ＝c ax ＋a ,交x 轴于A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0, 又F (c,0),所以BA →＝⎝⎛⎭⎫－a 2c ，－a ,BF →＝(c ,－a ),则BA →·BF →＝0,故∠ABF ＝90°.二、解答题12．已知方程x 25－2m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆,求实数m 的取值范围． 考点 椭圆的标准方程题点 已知椭圆的焦点位置、焦距求参数解 (1)当方程表示焦点在x 轴上的椭圆时,则有5－2m >m ＋1>0,解得－1<m <43； (2)当方程表示焦点在y 轴上的椭圆时,则有m ＋1>5－2m >0,解得43<m <52. 综上,m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，43∪⎝⎛⎭⎫43，52. 13．在平面直角坐标系xOy 中,点A (－2,0),B (2,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是－34. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)直线l ：y ＝x －1与曲线C 相交于P 1,P 2两点,Q 是x 轴上一点,若△P 1P 2Q 的面积为62,求Q 点的坐标．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积解 (1)设M (x ,y ),则y x ＋2×y x －2＝－34, 化简整理得,点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x －1，消去y ,得7x 2－8x －8＝0. 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝87,x 1x 2＝－87, ∴P 1P 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝247. 设Q (m,0),则Q 到直线l 的距离d ＝|m －1|2, 依题意,得12×P 1P 2×d ＝62, 化简得|m －1|＝7,解得m ＝8或m ＝－6,故所求点为Q (8,0)或Q (－6,0)． 三、探究与拓展14．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,若△F 1PF 2为直角三角形,则这样的点P 有______个．答案 6解析 当∠PF 1F 2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时,这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时,∠F 1PF 2最大,且为直角,此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．15．已知圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B ,过圆外一点(m,0)(m ＞a )且倾斜角为3π4的直线l 交椭圆于C ,D 两点． (1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部,求m 的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中定点、定值、取值范围问题解 (1)∵圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过点F ,B ,∴F (1,0),B (0,3),∴c ＝1,b ＝3,∴a 2＝4,故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )(m ＞2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝－(x －m )，消去y , 得7x 2－8mx ＋(4m 2－12)＝0.设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝8m 7,x 1x 2＝4m 2－127, ∴y 1y 2＝[－(x 1－m )]·[－(x 2－m )] ＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2.∵FC →＝(x 1－1,y 1),FD →＝(x 2－1,y 2), ∴FC →·FD →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝2x 1x 2－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋1＋m 2 ＝7m 2－8m －177. ∵点F 在圆E 的内部,∴FC →·FD →＜0,即7m 2－8m －177＜0, 解得4－3157＜m ＜4＋3157. 由Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0, 解得－7＜m ＜7.又m ＞2,∴2＜m ＜4＋3157.。
苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.1含答案
§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹 是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________． 答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什 么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解 因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支． 引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解 动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟 紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解 因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三 圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了 圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析 由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹 是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆． 答案 ③解析 椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意 椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12， 故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线． 故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________． 答案 直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案 椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。
2018-2019学年高二数学精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.6.1
§2.6 曲线与方程2.6.1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点 曲线与方程的概念思考 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案 y ＝±x .在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M 的坐标(x 0，y 0)满足y 0＝x 0或y 0＝－x 0，即(x 0，y 0)是方程y ＝±x 的解；反之，如果(x 0，y 0)是方程y ＝x 或y ＝－x 的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理 如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上(条件②，即完备性)，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C 的点集和方程f (x ，y )＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x ，y )建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝3.(√)2．到y 轴距离为2的点的直线方程x ＝－2.(×)3．方程＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线．(×)xy －2类型一 曲线与方程的概念例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号)①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．答案 ②解析 不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，给出下列命题：①坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0；③坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.其中判断正确的是________．(填序号)答案 ④解析 “坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错．类型二 点与曲线的位置关系例2 方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0表示的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，C，D (8,0)中的________个．(53，－74)答案 2解析 由对数的真数大于0，得x ＋2y ＞0，∴A (0，－3)，C 不符合要求；(53，－74)将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．跟踪训练2 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－2，2)是否在这个圆上．5解 (1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以＝5，也x 20＋y 20就是x ＋y ＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．2020(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x ＋y ＝25，两边开方取算术平方根，得2020＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点．x 20＋y 20由(1)，(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－2，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，5(－2，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．5类型三 曲线与方程关系的应用例3 判断下列结论的正误，并说明理由．(1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解 (1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误．(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－22＋.(a ＋12)12∴k ≤，12∴k 的取值范围是.(－∞，12]1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0；②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上；③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0.答案 ③2．已知方程＋＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)9(x －1)2y 24①(－2,0) ②(1,2) ③(4,0) ④(3,1)答案 ①③解析 将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________.(m2，－m )答案 －或2185解析 依题意得2＋(－m －1)2＝10，(m2)解得m ＝2或m ＝－.185所以m 的值为2或－.1854．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案 4个点解析 由题意，得Error!∴Error!或Error!或Error!或Error!∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________．(填序号)①一条直线②一条射线③一条线段④不能确定答案 ②解析 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是________．(填序号)① (0,0) ②(7,15) ③(2,3) ④(4,4)答案 ③解析 由y＝2x－1(1<x<5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________．答案 2解析 由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)x23x3①y＝a log a x；②y＝；③y＝log a a x；④y＝.答案 ③④3x3解析 由y＝log a a x＝x，y＝＝x，得③④表示同一条曲线．y－25．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________．答案 点(1,2)y－2y－2解析 由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0，且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是点(1,2)．y－26．若点M到两坐标轴的距离的积为2016，则点M的轨迹方程是________．答案 xy＝±2016解析 设M(x，y)，则由题意得|x|·|y|＝2016，所以xy＝±2016.7．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由(kx＋1)2＝4x，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0，则当k ≠0时，Δ＝[2(k －2)]2－4k 2＝16(1－k )>0，得k <1且k ≠0，故“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件．8．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆＋＝1有一个公共点，则k 的值为________．x 216y 24答案 ±54解析 联立方程组Error!消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)＝0，即k ＝±时，直线与椭圆有一个公共点．549．如果曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，有以下说法：①曲线C 的方程是F (x ，y )＝0；②方程F (x ，y )＝0的曲线是C ；③坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线C 上；④坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．其中正确的是________．(填序号)答案 ④10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所围的面积为________．答案 4π解析 设P (x ，y )，∵PA ＝2PB ，∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.11．下列命题正确的是________．(填序号)①△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0；②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.答案 ③解析 对照曲线和方程的概念，①中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有③是正确的．二、解答题12．已知曲线C 的方程为x ＝，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围4－y 2成的图形的面积．解 由x ＝，得x 2＋y 2＝4.4－y 2又x ≥0，∴方程x ＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C4－y 2与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝π·4＝2π.12所以所求图形的面积为2π.13．已知两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的一个交点为P (x 0，y 0)．求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．证明 因为P (x 0，y 0)是两曲线的交点，所以点P 的坐标既满足方程f (x ，y )＝0，又满足方程g (x ，y )＝0，即f (x 0，y 0)＝0且g (x 0，y 0)＝0，故f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0，所以P (x 0，y 0)的坐标是方程f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的解，故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．三、探究与拓展14．已知方程①x －y ＝0；②－＝0；③x 2－y 2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的x y xy 第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．答案 ①解析 ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不x y 正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程＝1.xy 15．方程(2x ＋3y －5)(－1)＝0表示的曲线是什么？x －3解 因为(2x ＋3y －5)(－1)＝0，x －3所以可得Error!或者－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为x －3一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.。
苏教版数学选修2-1：第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 课时作业(含答案)
2.6.2 求曲线的方程课时目标 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．1．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的____________；(2)设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y)； (3)列出符合条件p(M)的方程f(x ，y)＝0； (4)化方程f(x ，y)＝0为____________；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．2．求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法．一、填空题1．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是______________． 2．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是______________． 3．与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是____________________．4．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的方程为____________．5.设过点P （x,y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交与A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是________________________．6．到直线x －y ＝0与2x ＋y ＝0距离相等的动点轨迹方程是________________． 7．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是____________________________．8.直角坐标平面xOy 中，若定点A （1,2）与动点P （x,y ）满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是__________________________． 二、解答题9．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．10．已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A(0,0)，B(6，0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．能力提升11.如图，已知点F （1,0），直线l ：x=-1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →. 求动点P 的轨迹C 的方程．12.如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN(M 、N)为切点，使得PM ＝2PN.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．1．求轨迹方程的五个步骤：建系、设点、列式、化简、证明． 2．明确求轨迹和求轨迹方程的不同．3．求出轨迹方程时，易忽视对变量的限制条件，在化简变形的过程中若出现了非等价变形，在最后应把遗漏的点补上，把多余的点删去．2．6.2 求曲线的方程知识梳理1．(1)坐标系 (4)最简形式 作业设计1．x ＝0(0≤y ≤3)解析 直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线． 2．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)解析 设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1，所以k P A ·k PB ＝y x ＋1·yx －1＝－1.整理得x 2＋y 2＝1，又k P A 、k PB 存在，所以x ≠±1. 故所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1 (x ≠±1)．3．y 2＝8x (x >0)和y ＝0 (x <0)解析 设动圆圆心为M (x ，y )，动圆半径为r ，则定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝2. 由题设得MC ＝2＋r ，又r ＝|x |.∴MC ＝2＋|x |，故(x －2)2＋y 2＝2＋|x |， 化简得y 2＝4x ＋4|x |，当x >0时，y 2＝8x ； 当x <0时，y ＝0，当x ＝0时，不符合题意． ∴所求轨迹方程为y 2＝8x (x >0)和y ＝0 (x <0)． 4．y 2＝12x 或y 2＝－12x解析 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a |＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x . 5.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)解析 如图所示，若P (x ，y )，设A (x 1,0)，B (0，y 2)，因为B P →＝2P A →， 所以(x ，y －y 2) ＝2(x 1－x ，－y )， 即 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1－2x ；y －y 2＝－2y .∴x 1＝32x ，y 2＝3y .因此有A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B (0,3y )，AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ， OQ ＝(－x ，y )，OQ AB ∙＝1，∴32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 的轨迹方程．6．x 2＋6xy －y 2＝0解析 设该动点坐标为(x ，y )， 则|x －y |2＝|2x ＋y |5，化简得x 2＋6xy －y 2＝0.7．射线x ＋y －1＝0(x ≥1)与直线x ＝1 解析 由(x ＋y －1)x －1＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0，或⎩⎨⎧x －1≥0，x －1＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥1)，或x ＝1.所以，方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1. 8．x ＋2y －4＝0解析 由OP OA ∙＝4知，x ＋2y ＝4， 即x ＋2y －4＝0，∴点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0. 9．解 方法一 直接法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .设OC 中点为M (12，0)，则MP ＝12OC ＝12，由两点间距离公式得方程 (x －12)2＋y 2＝12，考虑轨迹的范围知0<x ≤1.所以弦的中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法二 定义法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ ，即∠OPC ＝90°，设OC 中点为M (12，0)，所以PM ＝12OC ＝12，所以动点P 在以M (12，0)为圆心，OC 为直径的圆上，圆的方程为(x －12)2＋y 2＝14.因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法三 代入法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，设Q (x 1，y 1)，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，又因为点Q (x 1，y 1)在⊙C 上， 所以(x 1－1)2＋y 21＝1. 将⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，代入上式得(2x －1)2＋(2y )2＝1， 即(x －12)2＋y 2＝14，又因为OQ 为过O 的一条弦， 所以0<x 1≤2，所以0<x ≤1，因此所求轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法四 参数法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，动弦OQ 所在直线的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1， 即(1＋k 2)x 2－2x ＝0.设方程(1＋k 2)x 2－2x ＝0的两根为x 1，x 2，所以x ＝x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝kx ＝k1＋k 2.消去参数k 得：x 2－x ＋y 2＝0，所以，所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)． 10．解 设G (x ，y )为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y . ∵顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上，∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1， 故所求的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 11．解 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ →得 (x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .12.解 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O 1 (－2,0)，O 2(2,0)． 由已知PM ＝2PN ，∴PM2＝2PN2.又∵两圆的半径均为1，∴PO21－1＝2(PO22－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33 (或x2＋y2－12x＋3＝0)．。
苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程本章练测.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第2章 圆锥曲线与方程（苏教版选修2-1）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟160分一、填空题(每小题5分，共70分)1.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是32，则曲线22221x y a b -=的离心率是 ． 2.方程213x y =-表示的曲线是 ．①双曲线； ②椭圆；③双曲线的一部分； ④椭圆的一部分.3.已知对k ∈R ，直线y =kx +1与椭圆恒有公共点，则实数m 的取值范围是 ．4.以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是 ．5. 直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于不同的两点P 、Q ，若线段PQ 中点的横坐标为2，则PQ ＝ ．6.已知点A （3，2），B （－4，0），P 是椭圆 上一点，则P A +PB 的最大值为 ．7. 直线y ＝2k 与曲线（k ∈R 且k ≠0)的公共点的个数是 ．8.以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点，椭圆的左焦点为，且直线与此圆相切，则椭圆的离心率为 ．9.若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 10.已知方程22ax by ab +=和0ax by c ++=，其中0,,0ab a b c 构>,它们所表示的曲线可能是下列图象中的 ．① ②③ ④11.已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 ．12.椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是 ．13.已知椭圆221x y m n+=与双曲线2x p －2y q 有共同的焦点，是椭圆和双曲线的一个交点，则 ．14.双曲线的一条准线是，则的值为 ． 二、解答题（共90分）15.(14分)已知抛物线方程为y px p 22(0)=>，直线l x y m +=：过抛物线的焦点且被抛物线截得的弦长为3，求的值16.(14分)已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率63e =，过点和的直线与原点的距离为32． （1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线 与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过点?请说明理由．17.(14分)设双曲线22221x ya b-=的离心率为，若右准线与两条渐近线相交于两点，为右焦点，△为等边三角形．（1）求双曲线的离心率的值；（2）若双曲线被直线截得的弦长为22b ea，求双曲线的方程18．（16分）已知椭圆的离心率，短轴长为2.设是椭圆上的两点，向量m＝，n= ，且m·n=0，O为坐标原点.（1）求椭圆的方程.（2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.19．（16分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆C的方程.（2）点P（2，3），Q（2，－3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.(ⅰ)若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；(ⅱ)当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？并说明理由.20.(16分)设分别为椭圆：22221x ya b+=(0)a b>>的左、右两个焦点.（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线22221x ya b-=写出类似的性质，并加以证明一、填空题1.52 解析：由椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，得.设,则,.又双曲线中，.2.④ 解析：方程可化为．3.m 1且m ≠5 解析：∵直线y =kx +1过定点(0，1)，则∴ m ≥1且m ≠5.4. 解析：由椭圆的方程知，，∴，∴ 抛物线的焦点为（－2，0），∴ 抛物线的标准方程是．5. 215 解析：将y ＝kx －2代入y 2＝8x 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0,(*)易知k ≠0，Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(k ＋1)＞0，∴ k ＞－1，且k ≠0. 由根与系数的关系，得22(2)k k +＝2，∴ k 2－k －2＝0，即(k －2)(k ＋1)＝0，∴ k ＝2或k ＝－1(舍)．此时方程(*)化为x 2－4x ＋1＝0，∴ x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1，∴ PQ ＝21k +∙|x 1－x 2|＝2212121()4k x x x x +∙+-＝5·16－4＝215.6. 10+ 解析：易知B 为椭圆的左焦点，因为 ＜1，所以点A 在椭圆内. 设椭圆的右焦点为E (4，0)，根据椭圆的定义可得，PB +PE ＝2a =10， 故有PA +PB ＝PA +10-PE ＝10+(PA -PE ). 当P 、A 、E 三点不共线时，有PA -PE ＜AE ；当P 位于射线AE 与椭圆的交点处时，有PA -PE ＝AE ； 当P 位于射线EA 与椭圆的交点处时，有PA -PE ＝-AE ； 故有-AE ≤PA -PE ≤AE . 而AE ＝ = ，所以PA +PB ＝10+(PA -PE )∈［10- ，10+ ］. 7. 4 解析：由题意得 k ∈R 且 k ≠0， 消去y 得解得｜x ｜=1± ＞0，故有4个解. 8.3－１ 解析：由题意得，，. 在直角三角形中,,即,整理得.等式两边同除以，得,即，解得或（舍去）. 故9.6 解析：由题意，得F (-1，0)， 设点，，则有 =1，解得. 因为＝，，=，， 所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线=-2， 因为-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值 +2+3＝6. 10.② 解析：方程化成，可化成.对于①：由双曲线图象可知：，，∴，即直线的斜率应大于0，故错； 对于②：由双曲线图象可知：，，∴ ，即直线的斜率应大于0， 又，即直线在轴上的截距为正，故②正确；对于③④：由椭圆图象可知：，，∴，即直线的斜率应小于0，故③④错. 11. 解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为. 又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.12. ⎣⎡⎦⎤12，22 解析：设，，，则，，.又可看做点到原点的距离的平方，所以，所以＝. 由题意知，即，则.13. 解析：因为椭圆221x y m n+=与双曲线221x y p q -=有共同的焦点， 所以其焦点位于轴上，由其对称性可设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为, 由椭圆以及双曲线的定义可得， ， 由①②得，．所以．14. 解析：由题意可知双曲线的焦点在轴上，所以.双曲线方程可化为， 因此，，.因为准线是直线，所以，即， 解得. 二、解答题15. 解：由直线l 过抛物线的焦点，得直线l 的方程为由消去，得2220y py p +-=.由题意得22(2)40p p D =+> ，212122,y y p y y p +=-=-.设直线与抛物线交于A x y B x y ，1122(,),(,)则AB 3=. ，解得.16.解：（1）直线的方程为．依题意得解得所以椭圆方程为2213x y +=．（2）假若存在这样的值，由得22(13)1290k x kx +++=,所以22(12)36(13)0k k D =-+>． ① 设11()C x y ，、22()D x y ，，则 ②而212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++×．当且仅当时，以为直径的圆过点，则1212111y y x x =-++×， 即1212(1)(1)0y y x x +++=，所以21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=． ③将②式代入③式整理解得76k =．经验证，76k =使①成立． 综上可知，存在76k =，使得以为直径的圆过点．17.解：（1）双曲线的右准线的方程为2a c ，两条渐近线方程为by x a=?．所以两交点坐标为2a ab P c c 骣÷ç÷ç÷ç÷ç桫，、2a ab Q c c 骣÷ç÷ç-÷ç÷ç桫，． 设直线与轴的交点为,因为△为等边三角形，则有MF PQ 32=, 所以232a ab ab c c c c 骣÷ç÷-=+ç÷ç÷桫×，即223c a abc c-=, 解得3b a =，．所以2ce a==． （2）由（1）得双曲线的方程为222213x y a a -=．把3y ax a =+代入得2222(3)2360a x a x a -++=．设直线与双曲线的交点坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）, 依题意所以26a <，且23a ¹． 所以双曲线被直线截得的弦长为x x y y a x x a x x x x 2222221212121212()()(1)()(1)[()4]=-+-=+-=++-d4222221224(3)(1)(3)a a a a a --=+-g . 因为b e a a 2212==d ，所以2422227212144(1)(3)a a a a a -=+-×, 整理得4213771020a a -+=, 所以22a =或25113a =． 所以双曲线的方程为22126x y -=或221313151153x y -=． 18.解：(1)由题意知解得 ∴椭圆的方程为=1. (2)∵≠，设AB 所在直线的方程为y =kx +b .由即=0， ∴∴∵，.∵ m ·n =0，∴=0， ∴)=0，代入整理得=4， ∴ S ＝ =1.∴△AOB 的面积为定值1.19. 解：(1)设椭圆C 的方程为=1(a ＞b ＞0)， 由椭圆的一个顶点为抛物线=8 y 的焦点，则b =2 . 由 = ，，得a =4，∴椭圆C 的方程为 =1. (2)(ⅰ)设，，，，直线AB 的方程为y = x +t ，代入 ＝1，得 由解得-4＜t ＜4.由根与系数的关系得=-t ，.四边形APBQ 的面积S = ×6×||=3 ， ∴当t =0时，=12 .(ⅱ)若∠APQ =∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为-k ，PA 的直线方程为y -3=k (x -2)， 由将代入②整理得，同理PB 的直线方程为y -3=-k (x -2)，可得==， ∴，， = = = ，∴直线 AB 的斜率为定值 .20.解：（1）椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即.又点312A 骣÷ç÷ç÷ç÷桫，在椭圆上，因此22232112b 骣÷ç÷ç÷ç÷桫+=，得，于是. 所以椭圆的方程为22143x y +=，焦点，. （2）设椭圆上的动点，线段的中点为，则其满足111,22x y x y -+==，即，，因此=22(21)(2)143x y ++，即2214123y x 骣÷ç÷++=ç÷ç÷桫为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若是双曲线22221x y a b -=上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值. 证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中22221m n a b -=.又设点的坐标为，由,PM PN y n y n k k x m x m -+==-+，得2222y n y ny n x m x mx m-+-?-+-.将22222222,b b y x b n a a =-=代入得22b a .。
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章末复习学习目标 1.梳理本章知识，整合知识网络.2.巩固圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质.3.能综合应用本章知识解决相关问题．1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质2．待定系数法求圆锥曲线标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A ≠B )，其中当1A >1B 时，焦点在x 轴上，当1A <1B 时，焦点在y 轴上；双曲线方程可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，当1A <0时，焦点在y 轴上，当1B <0时，焦点在x 轴上．(2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p 的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)，然后建立方程求出参数p 的值． 3．圆锥曲线的统一定义(1)定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离比等于常数e 的点的轨迹．当0＜e ＜1时，表示椭圆；当e ＞1时，表示双曲线；当e ＝1时，表示抛物线． 其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线． (2)对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)对应的准线方程分别为x ＝－a 2c ，x ＝a 2c.1．设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，P A －PB ＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线．(×) 2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．(×)3．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根x 1，x 2(x 1＜x 2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．(√) 4．已知方程mx 2＋ny 2＝1，则当m ＞n 时，该方程表示焦点在x 轴上的椭圆．(×) 5．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，116a .(√)类型一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________________． 考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的几何特征求方程 答案 x 216＋y 28＝1解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为AB ＋BF 2＋AF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)＝4a ＝16，故a ＝4，∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 反思与感悟 1.涉及椭圆，双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决． 2．涉及焦点，准线，离心率，圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题． 3．求轨迹问题，最值问题，曲线方程也常常结合定义求解．跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若AF ，BF ，CF 成等差数列，则下列说法正确的是________．(填序号) ①x 1，x 2，x 3成等差数列； ②y 1，y 2，y 3成等差数列； ③x 1，x 3，x 2成等差数列； ④y 1，y 3，y 2成等差数列． 答案 ①解析 如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知：AF ＝AA ′，BF ＝BB ′，CF ＝CC ′. ∵2BF ＝AF ＋CF ， ∴2BB ′＝AA ′＋CC ′.又∵AA ′＝x 1＋p 2，BB ′＝x 2＋p 2，CC ′＝x 3＋p 2，∴2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2，∴2x 2＝x 1＋x 3， ∴x 1，x 2，x 3成等差数列．类型二 圆锥曲线性质的应用例2 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________． 答案 (1,3] 解析 如图所示，由PF 1＝2PF 2知P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ， 又PF 1＝2PF 2， ∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos ∠F 1PF 2<1，∴－1≤54－e 24<1，由e >1，解得1<e ≤3.反思与感悟 圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去．跟踪训练2 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是________．答案2解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意b a ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，故b 2a 2＝1，所以c 2－a 2a 2＝1， 即e 2＝2，因为e ＞1，所以双曲线的离心率e ＝ 2. 类型三 直线与圆锥曲线的位置关系问题例3 已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①当直线AB 与x 轴不垂直时，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入椭圆方程x 2＋3y 2＝5，消去y 整理，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1·x 2＝3k 2－53k 2＋1.所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2. 将上式整理，得MA →·MB →＝(6m －1)k 2－53k 2＋1＋m 2＝⎝⎛⎭⎫2m －13(3k 2＋1)－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋143(3k 2＋1).注意到MA →·MB →是与k 无关的常数， 从而有6m ＋14＝0，解得m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.②当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－1，233，⎝⎛⎭⎫－1，－233，当m ＝－73时，亦有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M ⎝⎛⎭⎫－73，0，使MA →·MB →为常数． 反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法 (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练3 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 在C 上且其横坐标为1，以F 为圆心、FP 为半径的圆与C 的准线l 相切． (1)求p 的值；(2)设l 与x 轴交点为E ，过点E 作一条直线与抛物线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的垂直平分线在x 轴上的截距的取值范围．解 (1)因为以F 为圆心、FP 为半径的圆与C 的准线l 相切， 所以圆的半径为p ，即FP ＝p ， 所以FP ⊥x 轴，又点P 的横坐标为1， 所以焦点F 的坐标为(1,0)，从而p ＝2. (2)由(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为D (x 0，0)，则由DA ＝DB ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 得(x 1－x 0)2＋y 21＝(x 2－x 0)2＋y 22，化简得x 0＝x 1＋x 22＋2，①设直线AB 的方程为x ＝my －1，代入抛物线C 的方程， 得y 2－4my ＋4＝0，由Δ>0得m 2>1， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝4m ， 所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝4m 2－2， 代入①得x 0＝2m 2＋1>3，故线段AB 的垂直平分线在x 轴上的截距的取值范围是(3，＋∞).1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．答案 2解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较系数，得a ＝2.2．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是________． 答案 x 281＋y 272＝1解析 ∵两焦点恰好将长轴三等分，2a ＝18， ∴2c ＝13×2a ＝6，∴c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝72，故椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.3．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．答案 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析 点P 的轨迹是以MN 为直径的圆，又P 为直角三角形的顶点，∴点P 不能与M ，N 两点重合，故x ≠±2.4.如图，已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 为椭圆的左顶点，B ，C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆的离心率等于________．答案223解析 由BC ，OA 平行且相等及椭圆的对称性，可得点C 的横坐标为a2.由∠COx ＝∠OAB ＝30°，得C ⎝⎛⎭⎫a 2，3a 6，代入椭圆的方程得14＋a 212b 2＝1，即a 2＝9b 2，则c 2＝a 2－b 2＝8b 2，故椭圆的离心率e ＝ca＝c 2a 2＝8b 29b 2＝223.5．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________． 答案 2x －y －15＝0解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为线段AB 的中点为P (8,1)， 所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2. 所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2.所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)， 代入x 2－4y 2＝4满足Δ>0. 即直线方程为2x －y －15＝0.1．离心率的几种求法：(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是在y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法．(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系．2．在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略： (1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理．(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解．如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用基本不等式等求解．一、填空题1．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆心C 的轨迹为________． 答案 抛物线解析 由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，且点(0,3)不在直线y ＝－1上，根据抛物线的定义可知，圆心C 的轨迹为抛物线．2．椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为4，经过点(0,2)，则该椭圆的方程为________． 答案 x 28＋y 24＝1解析 椭圆的焦距为4，所以2c ＝4，c ＝2.椭圆经过点(0,2)，根据椭圆的几何性质可知b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝8，则由椭圆的焦点在x 轴上，可得椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.3．下列曲线中离心率为62的是________．(填序号) ①x 22－y 24＝1；②x 24－y 22＝1；③y 24－x 22＝1；④x 24－k ＋y 22－k ＝1(2<k <4)． 答案 ②③解析 显然②③符合题意，①④不符合题意．4．过定点P (0,2)作直线l ，使l 与曲线y 2＝4x 有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有________条． 答案 3解析 直线l 斜率不存在的时候有一条．斜率存在时，一条交线，一条切线，共3条． 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－25，0)，右焦点F 2(25，0)，离心率e＝52.若点P 为双曲线C 右支上一点，则PF 1－PF 2＝________. 答案 8解析 由题意得c ＝25，e ＝c a ＝52，∴a ＝4，PF 1－PF 2＝2a ＝8.6．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________． 答案 43解析 设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0，y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－43＋842＋32＝43.7．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是________． 答案 4 3解析 由题意可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， F (2,0)，那么直线l 的方程为x ＝2，把x ＝2代入渐近线方程可得y ＝±23， 故所求的三角形的面积为S ＝12×43×2＝4 3.8．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若AF ＝3，则BF ＝________. 答案 32解析 设∠AFx ＝θ(0<θ<π)及BF ＝m ， 因为点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3， 所以3＝2＋3cos θ⇒cos θ＝13.又m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，所以BF ＝32.9．已知A 为椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2＝1的一条直径，则AM →·AN →的最大值为________． 答案 15解析 由题意得圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)， 那么AM →·AN →＝(CM →－CA →)·(CN →－CA →)＝CM →·CN →－CA →·(CM →＋CN →)＋CA →2＝－1＋CA →2， 显然A 取(－3,0)时CA →2取得最大值16， 此时AM →·AN →的最大值为－1＋16＝15.10．已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA ＋MF 取最小值时，点M 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，－2 解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知MF ＝ME . 当点M 在抛物线上移动时，MF ＋MA 的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时， A ，M ，E 共线，此时ME ＋MA 最小， 把y ＝－2代入y 2＝8x ，得x ＝12，∴M ⎝⎛⎭⎫12，－2. 11．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为________． 答案 4解析 由已知可得AB ＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点； 当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点． 因此满足条件的C 点有4个． 二、解答题12．已知直线AB 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，过O 作OD ⊥AB 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求抛物线的方程． 解 由题意得k OD ＝12，∵AB ⊥OD ，∴k AB ＝－2，又直线AB 过点D (2,1)，∴直线AB 的方程为y ＝－2x ＋5， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵以AB 为直径的圆过点O ，∴OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋5，y 2＝2px得4x 2－(2p ＋20)x ＋25＝0， ∴x 1＋x 2＝p ＋102，x 1x 2＝254，∴y 1y 2＝(－2x 1＋5)(－2x 2＋5)＝4x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋25＝25－5p －50＋25＝－5p ， ∴254＋(－5p )＝0，∴p ＝54， ∴抛物线的方程为y 2＝52x .13.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，左顶点A 与上顶点B的距离为 6.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过原点O 的动直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，问以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＋b 2＝6，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，且x 204＋y 22＝1，即x 20＋2y 20＝4，∵A (－2,0)，∴直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2，同理直线QA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x ＋2)，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2. 以MN 为直径的圆为(x －0)(x －0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0－2＝0，即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 20x 20－4＝0，∵x 20－4＝－2y 20，∴x 2＋y 2＋2x 0y 0y －2＝0， 令y ＝0，得x 2－2＝0，解得x ＝±2， ∴以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)． 三、探究与拓展14．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 求离心率的取值范围 答案 ⎝⎛⎦⎤0，32解析 如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴4＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝2. 取M (0，b )，∵点M 到直线l 的距离不小于45，∴|4b |32＋42≥45，解得b ≥1.∴e ＝c a＝1－b 2a2≤1－122＝32. 又∵0＜e ＜1，∴椭圆E 的离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.15.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)因为AB ＋AF 2＋BF 2＝8， 即AF 1＋F 1B ＋AF 2＋BF 2＝8， 而AF 1＋AF 2＝F 1B ＋BF 2＝2a ， 所以4a ＝8，解得a ＝2.又e ＝c a ＝12，所以c ＝12a ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， 所以m ≠0，Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 即4k 2－m 2＋3＝0.①此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝3m ，故P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x ＝4，得Q (4,4k ＋m )． 假设在坐标平面内存在定点M 满足条件，由图形的对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则MP →·MQ →＝0对满足①式的m ，k 恒成立． 因为MP →＝⎝⎛⎭⎫－4k m －x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )， 所以由MP →·MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0， 即(4x 1－4)k m ＋x 21－4x 1＋3＝0.②由②式对满足①式的m ，k 恒成立，所以有⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .。