2.7 第3课时 二次根式的混合运算
北师大版初中数学八年级上册2.7 第3课时 二次根式的混合运算1
北师大初中数学八年级重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！第3课时 二次根式的混合运算1．熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点) 一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－)cm 、(3＋)cm ，求这个三22角形的面积和周长． 二、合作探究 探究点一：二次根式的混合运算计算： (1)(＋－ab)(a≥0，b ≥aba 3b ab 30)；(2)(2－)×(＋)； 321212823(3)(3＋)×(－4)． 248183解：(1)原式＝(a ＋b －ab)ab ab ab ＝a ×＋b ×－ab ＝a 2b ＋abab ab ab ab ab 2－ab ； ab (2)原式＝(－)(＋)＝×62226362＋×－×－×＝2＋2－1－66322222633＝1＋； 33533(3)原式＝(3＋4)(3－4)＝(32323)2－(4)2＝18－48＝－30. 23方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算． 探究点二：二次根式的化简求值已知a ＝，b ＝，求15－215＋2的值．a 2＋b 2＋2解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ，最后代入求解． 解：∵a＝＝15－2＝＋2，b ＝＝5＋2（5－2）（5＋2）515＋2＝－2，∴a ＋b ＝25－2（5＋2）（5－2）5，ab ＝ 1.∴＝5a 2＋b 2＋2＝＝（a ＋b ）2－2ab ＋2（25）2－2＋2＝2. 205方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题 教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(≈1.414) 2解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论． 解：贺卡的周长为4×(＋)288338＝4×(12＋13)＝4×25≈141.4(厘222米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用． 方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式． 三、板书设计二次根式 {综合运算化简求值实际应用) 经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题．学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法．相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
二次根式(第三课时)课件
随堂练习
2.化简求值：(
1 ab
a ). b
ab，其中a=3，b=2，
解：( 1 a ) . ab ab b
1 . ab a . ab
ab
b
1 a
当a 3,b 2 时，
原式 1 3 2
中考链接
1.（2023·河北·统考中考真题）若
A．2
B．4 C．
，则 D．
63
66
66
还有其它 方法吗？
（4）( 24 1 ) 3 ( 46 16 ) 1 (2 6 6 ) 1 11 6 1 11 2
6
66 3
6 36
36
易错：6 3 2
探究新知
方法总结
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二 次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.
探究新知 探究活动二：
2
2
2
45 1 4 18. 22
E S2
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
；
间接法--割补--割
解：如图，作CE // DA交AB于点E.
S梯形ABCD S平行四边形AECD SEBC
E
61 1 6 4 18
2
探究新知
先化 简再 求值
探究新知
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先 化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
探究新知
探究活动三：
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中
梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
2.7 第3课时 二次根式的混合运算 教案
一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三角形的面积和周长．二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算计算：(1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥0)；(2)(232－12)×(128＋23)；(3)(32＋48)×(18－43)．解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b＋ab2－ab ab；(2)原式＝(6－22)(2＋63)＝6×2＋6×63－22×2－22×63＝23＋2－1－33＝1＋533；(3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30.方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算．探究点二：二次根式的化简求值已知a＝15－2，b＝15＋2，求a2＋b2＋2的值．解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解．解：∵a＝15－2＝5＋2（5－2）（5＋2）＝5＋2，b＝15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－2，∴a＋b＝25，ab＝1.∴a2＋b2＋2＝（a＋b）2－2ab＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5.方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．解：贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．三、板书设计1.（1）若x ＝10－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值.（2）若x ＝3＋1，求代数式x 2－2x －3的值.2.下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ） A 、3B 、6C 、2﹣1D 、3+33.设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+++，则S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．4.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += .5..先化简再求值。
2.7第3课时二次根式的混合运算(教案)2021-2022学年八年级数学上册北师大版(安徽)
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式混合运算的基本概念。二次根式混合运算是……（指涉及二次根式的加、减、乘、除四则运算）。它在解决实际问题，特别是在几何和物理领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何计算一个长方体的对角线长度，以及如何将二次根式混合运算应用于实际问题的解决中。
在总结回顾环节，我发现学生们对于二次根式混合运算的掌握程度参差不齐。有些学生已经能够熟练地运用所学的知识解决问题，而另一些学生则仍然存在一定的困难。这让我认识到，在今后的教学中，需要针对不同水平的学生进行分层教学，因材施教，以便让每个学生都能在课堂上获得最大的收获。
最后，我深感教学反思的重要性。通过本次教学，我认识到了自己的不足之处，也明白了如何调整教学方法来提高教学效果。在今后的教学过程中，我将不断总结经验，积极探索，努力提高自己在二次根式混合运算这一章节的教学水平。同时，我也会更加关注学生的反馈，及时调整教学策略，使学生们能够在轻松愉快的氛围中掌握这一知识点。总之，教学反思让我在教学道路上不断成长，我会继续努力，为学生们提供更优质的教学体验。
-熟悉二次根式与有理数的混合运算：能够将二次根式与有理数进行四则运算，并正确化简结果。
-举例：计算2√3 + 3，5 - √6/2。
-应用二次根式混合运算解决实际问题：将二次根式混合运算应用于实际情境，构建数学模型，解决问题。
-举例：计算一个正方形的对角线长度，如果已知边长为√5。
2.教学难点
-理解并运用二次根式的乘法与除法法则中的“分母有理化”方法：学生需要掌握将分母有理化，以便进行二次根式的除法运算。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的乘法与除法法则以及加法与减法法则这两个重点。对于难点部分，如分母有理化、合并同类二次根式等，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
2.7.3 二次根式的混合运算2024-2025学年八年级数学上册同步教学课件(北师大版)
(4) 解法四：原式 = = = = =
例2 计算(1)：
解(1)：原式 = == =
二次根式的混合运算要确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
解：(2) 原式
(2) 原式 = = =
解法一：把 a = 3，b = 2 代入代数式中，原式 = = =
问题：计算 ，其中 a = 3，b = 2. 你是怎么做的？
解法二：原式 = =把 a = 3，b = 2 代入代数式中，原式 =
解：(1) 原式 = = =
解：(2) 原式 = = =
例1 计算：(3) (4)
(3) 原式 = = = 3 + 5 = 8
例3 当 a > 0，b > 0 时，化简下列各式：(1) (2)
二次根式的化简求值
解：(1) 原式 = = =
你还有其他解法吗？
例1 计算：(4)
(4) 解法三：原式 = = = = =
(4) 解法二：原式 = = = =
如果算式当中有个别二次根式化为最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，那么结果中可直接保留，不必再化.
2.7.3 二次根式的混合运算
目 录
1. 进一步加强二次根式的运算.2. 能够对根号内含有字母的简单二次根式进行化简求值.3. 利用二次根式解决简单的数学问题.
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么?
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么?
解：(3) 原式 = = = =
解：(4) 原式 = = = = =
(3) 原式
有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
二次根式第3课时 二次根式的混合运算PPT课件(北师大版)
9．已知直角三角形的两直角边 a＝ 6－ 2，b＝ 6＋ 2，
求这个直角三角形的周长和面积． 解：设斜边长为 c，则 c2＝( 6－ 2)2＋( 6＋ 2)2＝16，
∴c＝4，∴周长为 a＋b＋c＝4＋2 6，面积为12( 6－ 2)( 6＋ 2)＝2
10．计算
9÷ 12
5142×
63的值是(B )
解：原式＝(x＋y)2＋xy， 而(x＋y)2＝( 5＋ 3＋ 5－ 3)2＝20， x·y＝( 5＋ 3)( 5－ 3)＝2，∴原式＝22
15．已知 a，b，c 满足|a－2 2|＋ b－5＋(c－3 2)2＝0. (1)求 a，b，c 的值； (2)试问以 a，b，c 为边能否构成三角形？如果能构成三角形， 请求出三角形的周长；如果不能构成三角形，请说明理由．
2n＋1－ 2n－1
(2)原式＝ 3－1＋ 5－ 3＋ 7－ 5＋…＋ 101－ 99＝ 101－1
练习 2：化简： 3－ 3(1－ 3)的结果是( A )
A．3
B．－3
C. 3
D．－ 3
1．下列各式计算正确的是( D ) A. 2＋ 3＝ 5 B．2＋ 2＝2 2 C．3 2－ 2＝3 D．3 2－ 2＝2 2
2．下列计算正确的个数是( A ) ① 19－ 9＝ 10；②6＋ 7＝6 7； ③3 4＋4 3＝7 7；④5 7－3 2＝2 5. A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3．(2017·天津模拟)计算 27－ 8· 32的结果是( C ) A. 3 B.43 3 C.533 D．2 3
4．( 2－1)2( 2＋1)的值是( A )
A. 2－1 B．3( 2＋1)
C．1
D．－1
5．(2016·潍坊)计算 3( 3＋ 27)＝_1_2__． 6．计算( 50－ 8)÷ 2的结果是__3__． 7．一个长方形的长和宽分别为 75和 12，这个长方形的周长是 14 3 ．
北师大版-数学-八年级上册-2.7《二次根式(3)》教学设计
2.7《二次根式（3）》教学设计教学目标：1．学会二次根式的混合运算，熟练地进行二次根式的运算。
2．借助与已经学过的有关二次根式的化简、计算等知识，继续探索二次根式混合运算。
3．通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性和创新能力。
教学重点：混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用。
教学难点：灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便。
教学过程：一、导入新课活动过程：复习巩固二次根式的化简，为下面学习混合运算做准备。
活动成果：熟练掌握二次根式的化简，将所给二次根式化为最简。
【设计意图】：通过复习巩固，设置二、探究新知活动一：活动过程：类比着实数的运算，对带有字母的二次根式进行化简活动成果：对带有字母的二次根式进行化简，体会数学的讨论思想。
【设计意图】：由数字过渡到字母，提升学生的解题能力。
活动二：活动过程：借助于实数的运算，解决面积问题活动成果：用不同的分割方法，解决实际问题。
【设计意图】：借助于实数的计算方法，在方格纸中求解图形面积，增强学生解体能力。
三、例题精讲讲解过程：运用实数的运算法则及最简根式的要求，对所给题目进行化简。
解题思路：运用实数的运算法则，对所给题目进行化简。
解题方法：演绎法答案：参见教材第46页四、课堂练习课本随堂练习五、课堂总结课时小结本节课继续二次根式的加减乘除运算，但运算的难度有提高，需要大家关注解决问题法方法的多样性，灵活运用法则解决问题。
你还有什么新的收获吗？六、课后作业课本课后习题习题2.11 1、2七、板书设计课题：2.7二次根式（3）1.二次根式运算法则：2.例题讲解：八、教学反思本节课，引导学生运用恰当的方法，使学生学会学习，在探索实数范围内的运算律、运算法则的过程中，使学生经历了类比、猜想、验证、归纳、总结以及由具体到抽象、由特殊到一般的过程，体会到研究问题、解决问题的方法。
个别学生计算时精确程度不够，需要强化训练。
2.7 第3课时 二次根式的混合运算
贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一
张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现 在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用. 解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长， 进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论. 解：贺卡的周长为
3. 3 5
能不能再进行计算?为什么?
答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数 不相同，所以不能合并.
归纳总结
二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式
化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并.
要点提醒
1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二 次根式才能进行合并.
§2.7 二次根式
宿州市鲲鹏学校 李 斌
学习目标
1. 理解二次根式的加减法算理；（重
点）
2、熟练掌握二次根式的综合运算. （难点）
导入 新课 如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm, 高为
6
4 3
cm，
cm，那么它的面积是多少？
二次根式的加减运算
同样，二次根式也可以进行加减运算，这
时，以前学习的实数的运算法则、运算律
4 (3) 3 6. 3
解：(1)原式= 16 3 3 16 3 3 4 3 3 5 3;
5 5 4 5 5 ; (2)原式= 5 25 5 5
(3)原式=
4 6 3 6 8 18 2 2 3 2 5 2. 3
变式训练： 已知 10 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.
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1 (2 7) 5 1 11 1 4 2
2
2
2
45 1 4 18. 22
E S2
方法3：直接法
过点D作AB边的高DE，
如图所示.
S梯形ABCD 1 (CD AB) DE
2
E
1 ( 2 5 2)3 2 2
16 23 2 2
18.
归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．
先代入后化简
原式= 1 a b b a b
a bb a
把a=3，b=2代入代数式中， 原式 2 2 3.
先化简后代入
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻 烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可 求得．
三 二次根式的应用 思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中 梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
解：贺卡的周长为
4 ( 288 338) 4 (12 2 13 2) 4 25 2 141.4(厘米) 150＞141.4
答：李欣的彩带够用.
方法总结
本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的 问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．
当堂练习
1.下列计算中正确的是（ B ）
A. 3( 3 1 ) 3 3
3.计算.
（1） 2 5
1 10
；（2）
12
3
1 3
；（3）(
18
1 ) 2
8.
解：（1） 2
1
25
110 1 10 1
10
5 10 5 5 1010 5
10
1 10 ; 10
（2） 12
3
1
43
3
1 3
3
33
2
3
31 3
3 4 3
3;
解：（3）( 18 1 ) 8 2
18 8 1 8 188 1 8
2
2
144 4 12 2 ＝10 .
课堂小结
乘除法则
二次根式 的运算
加减法则
乘除公式
3 22 21 2 5 2 ; 44
解法一：（3） ( 24 1 ) 3 24 3 1 3
6
6
24 3
1 3 6
8
1
63
42
2 66
2 2 1 2 11 2 .
6
6
你还有其他解 法吗？
(3)( 24 1 ) 3. 6
解法二： 原式= 4 6
1 6
6 6
第二章 实数
2.7 二次根式
第3课时 二次根式的混合运算
导入新课
问题引入
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm, 4 3 cm， 高为 6 cm，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
B.( 12- 27) 3 1
C. 32 1 2 2 2
D. 3( 2 3) 6 2 3
2.已知 x 3 1, y 3 1, 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把 x 3 1, y 3 1, 代入上式得
原式= （ 3+1）+（ 3 1）2
（2 3）2 12.
讲授新课
一 二次根式的混合运算
例1：计算：
(1) 3 2 ; (2) 18 8 1 ; (3)( 24 1 ) 3.
23
8
6
解：（1）
3 2
2
3
32 22
23 1 33 2
61 3
6பைடு நூலகம்
(1 1) 6 1 6 ;
23
6
（2） 18 8 1 32 2 22 2 2
8
16
方法1：分割法
可把梯形ABCD分割成 两个三角形和一个梯 形，如图所示.
S1
S3
S2
S梯形ABCD=S1+S2+S3
1 31 1 3 2 1 (3 6) 3
2
2
2
3 3 27 18.
2
2
方法2：补图法
F
通过补图，可把梯形
S1
ABCD变成一个大梯
形，如图所示.
S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2
1 3
2
6
6 6
3 3
11 6 3 63
11 6 3 63
11 3 2 11 2 .
63
6
(4) 25 99 18; 2
解： (4)原式= 25 2 99 9 2 22
5 2 99 3 2 2
1 2 99. 2
思考：还可以 继续化简吗？
为什么？
提醒 如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其 它最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式.
要点归纳
二次根式的混合运算，一般先将二 次根式转化为最简二次根式，再灵活运 用乘法公式等知识来简化计算.
二 二次根式的化简求值
问题：化简
1 a
b
ab ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
哪种简便？ 解法二：
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
1 3
2
32
1 32 232 3
2 2 3.