2.7 二次根式(第3课时)
北师大版数学八年级上册课件2.7 二次根式第3课时19张ppt
原式＝(2＋
3)(2－
3)＋（2＋
1 3）（2－
3）＋2
＝4－3＋4－1 3＋2＝4.
方法二：∵x＝2＋ 3，y＝2－ 3，
∴1x＝2＋1
3＝（2＋
2－ 3 3）（2－
3）
＝2－ 3，1y＝2－1 3
＝（2－
2＋ 3 3）（2＋
3）＝2＋
3，
∴原式＝(2＋ 3＋2＋ 3)(2－ 3＋2－ 3)
＝(4＋2 3)(4－2 3)＝16－12＝4
2－3×
6 3
＝7
6－32
2 22－
6
＝7 3－42－32＋3 3
＝10 3－827．
(2)原式＝(9 2＋ 2－2 2)÷4 2
＝8 2÷4 2
＝2．
1 2 ÷ 32；
思考：已知 x＝2＋ 3，y＝2－ 3，试求(x＋1y)(y＋1x)的值．
解：方法一：(x＋1y)(y＋1x) ＝xy＋1＋1＋x1y＝xy＋x1y＋2. 当 x＝2＋ 3，y＝2－ 3时，
2.7 二次根式第3课时
例6 计算： （1） 3 2 （2）18 8 1
23
8
解：（1） 3 2 23
32 23 1 6 1 6 22 33 2 3
1 6
6
（2）18 8 1 9 2 4 2 2 3 2 2 2 1 2 5 2
8
16
44
不能写成带分数， 只能写成假分数
22
2
2
练习
3
（3） 12 6 （4） 5 3 5 - 3 8
解：（1）7 3 -
1 3
7
3-
3 20 3 3 3
（2） 12 3
27
北师大版八年级数学上册《2.7 二次根式(第3课时)》课件
2
（3）( 24 1 ) 3
6
24
3
1 6
3
24 3
1 6
3
42
6
2
6
2
2
1 6
2
11 6
2
8
1 63
（4） 25
2
99 18
25 2 22
911
92
5 2
2 3 11 3 2
1 2 3 11 2
巩固练习
变式训练
化简：
（1） 2 1 ； （2）12 3 1； （3）( 18 1 ) 8 .
化简
1 a
b
ab ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
解法二：
哪种简便？
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
1 3
2
32
1 32 232 3
2 2 3.
先代入后化简
原式= 1 a b b a b
a bb a
把a=3，b=2代入代数式中， 原式 2 2 3.
先化简后代入
基础巩固题
1.下列计算中正确的是（ B ）
A. 3( 3 1 ) 3 3
C. 32 1 2 2 2
2.计算：（ 2+ 3）2 24
B.( 12- 27) 3 1
D. 3( 2 3) 6 2 3
5.
3.设 a 1 ，b 10 3则, a = b
10 3
(填“>”“ < ”或“= ”）.
提示：分母形如 m a n b的式子，分子、分母同乘以 m a n b的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
巩固练习
变式训练
八年级数学上册第二章实数：二次根式第3课时二次根式的混合运算教案新版北师大版
八年级数学上册教案新版北师大版：2.7二次根式3课时二次根式的混合运算教学目标熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点)教学过程一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三角形的面积和周长．二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算计算：(1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥0)；(2)(232－12)×(128＋23)；(3)(32＋48)×(18－43)．解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b＋ab2－ab ab；(2)原式＝(6－22)(2＋63)＝6×2＋6×63－22×2－22×63＝23＋2－1－33＝1＋533；(3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30.方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算．探究点二：二次根式的化简求值已知a＝15－2，b＝15＋2，求a2＋b2＋2的值．解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解．解：∵a＝15－2＝5＋2（5－2）（5＋2）＝5＋2，b＝15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－2，∴a＋b＝25，ab＝1.∴a2＋b2＋2＝（a＋b）2－2ab＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5.方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．解：贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧综合运算化简求值实际应用教学反思经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题．学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法．。
2.7二次根式第3课时(教案)
c.对于混合运算，如√3 + √2，解释这类表达式无法直接化简，但可以通过有理化分母的方法将其转化为同一根式，如(√3 × √3 + √2 × √3) ÷ √3 = (√9 + √6) ÷ √3 = 3√3 + √6 ÷ √3；
b.学会分解质因数法和公式法化简二次根式；
c.熟练运用二次根式的加减乘除法则进行混合运算；
d.能够将实际问题转化为二次根式的数学模型，解决实际问题。
举例：讲解乘除法则时，强调√a × √a = a（a ≥ 0），引导学生理解二次根式的乘法性质；在混合运算中，以具体例子说明√6 ÷ √3 = √(6 ÷ 3) = √2，强化重点知识的掌握。
此外，实践活动和小组讨论环节，学生们的表现让我感到欣慰。他们能够积极参与，提出自己的观点，并在讨论中解决问题。这说明学生们具备一定的合作能力和解决问题的能力。在以后的教学中，我会继续加大这两个环节的比重，让学生在实践中学习和成长。
然而，我也注意到在总结回顾环节，部分学生对于二次根式的应用还不是很明确。为了解决这个问题，我计划在下一节课的开始阶段，让学生分享他们在生活中遇到的二次根式问题，以加深他们对二次根式应用的理解。
2.7二次根式第3课时（教案）
一、教学内容
本节课为《数学》八年级下册第2章“根与系数”中的2.7节“二次根式”第3课时。教学内容主要包括：
1.二次根式的性质：掌握二次根式的定义，了解其性质，如乘除法则、平方运算等。
-乘除法则：√a × √b = √(a × b)；
-平方运算：(√a)^2 = a（a ≥ 0）。
d.在解决实际问题时，指导学生从问题中提取关键信息，如长度、面积等，将其转化为二次根式进行计算。
新北师大版数学八年级上《2.7二次根式》精品教案
第二章 实数2.7．二次根式（第1课时）一、学生起点分析七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．二、教材任务分析本节分为三个课时。
第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．为此，确定本节课教学目标是：1.认识二次根式和最简二次根式的概念.2.探索二次根式的性质．3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念问题1 ：5，，，A BC D EF ，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
介绍二次根式的概念。
一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。
a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．问题2：二次根式怎样进行运算呢？答：这是我们本节课要解决的新问题．意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．第二环节：探究性质（一）内容：通过探究得出b a b a •=⋅，ba b a =． 具体过程如下：（1）94⨯＝ ，94⨯＝ ； 2516⨯＝ ，＝ ；＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ． （2）用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？意图：最终归纳出b a b a •=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0， b ＞0）． 说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．第三环节：知识巩固例1 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95。
八年级上册数学2-7《二次根式》(3)(教案)
2.7二次根式（3）教学目标知识与技能1.式子b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；ba b a = (a ≥0,b ＞0)的运用. 2.进一步理解二次根式的概念,进一步熟练二次根式的化简.过程与方法让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算.情感态度与价值观能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值.重点难点重点：1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题.难点：灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.教学过程【新课导入】请大家先回忆一下算术平方根的定义.（若一个正数x 的平方等于a ，则x 叫a 的算术平方根.）下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关系.问：设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b .请同学们互相讨论后得出结果.（由正方形面积公式得a 2=8,b 2=2.所以大正方形边长a =8，小正方形边长b =2.） 问：那么a 与b 之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线.（大正方形的面积为小正方形面积的4倍，大正方形的边长是小正方形边长的2倍.所以8=22.）那么8根据什么法则就能化成22呢？这就是本节课的任务.【新知构建】一、共同探究请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？ （b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a b a = (a ≥0,b ＞0) ） 请大家根据上面法则化简下列式子. (1)33⨯； (2)42⨯；(3)273；(4)12253⨯. 解：(1)3333332==⨯=⨯；(2)84242=⨯=⨯；(3)3191273273===；(4)254251225312253==⨯=⨯. 请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立？即从右往左推（因为从左到右是等式的推导，而从右向左也是等式的推导，只不过是反过来推也应成立.）确实成立.下面再分析这些式子：.1225312253)4(;273273)3(;224242)2(;3333)1(⨯=⨯==⨯=⨯⨯=⨯ 并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答.大家能否用式子表示出来？ 小结：b a b a ⋅=⋅（ a ≥0,b ≥0）b a ba = （a ≥0,b ＞0.） 化简：(1)27； (2)45；(2)128；(4)54；(5)932；(6)16125. 大家能不能总结一下刚才化简的这些式子有何规律呢？这说明根号里面的数有一部分移到了根号外面，那么什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？（是平方数.如(1)中根号内的9移到外面变成了3；(2)、(4)中也是，(3)中有64移到外面成了8.(5)中16移到外面变成4，(6)中分母16，分子25移到外面变成4，5.）也就是说被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简.那么像下面的式子22424221===叫不叫化简呢？（化简） 能否说一下它的特征呢？如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.这也叫化简.根据刚才我们的讨论，对于两种情形可通过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪两种情形呢？（如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化简.）上节课和本节课我们做的工作都是化简，并且用的是相同的两个公式，那么究竟什么情况下用法则、什么情况下又用法则的逆运算呢？一般地，当被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数时，用法则的逆运算；当两个含有根号的数相乘或相除，它们的被开方数单独开不出来，但是通过相乘或相除能出现开得尽的因数时用法则.二、例题讲解例6计算： (1)3223-； (2)81818+-； (3)3)6124(÷-；(4)1899225-+； 解：6616316212223222332231=-=⨯⨯-⨯⨯=-）（； (2) 245241222316222238181822=+-=+⨯-⨯=+-。
7 二次根式第3课时 二次根式混合运算 省优获奖课件
所捂二次三项式的值为____6_____.
三、解答题 9. 计算：
(1) 48÷ 3－
21× 12＋ 24；
解：原式＝4＋ 6
(2)
（ 8＋
2－2 1）2－(
5＋1)(
5－1)； 解：原式＝
2－52
10.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上像
5 3
，
2 3＋1
这样的式
子，其实我们还可以将其进一步化简：
A)
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
2 ，n＝1－
2 ，则代数式
二、填空题
6.
计算：
72－ 8
24·(3＋
3)＝____6_____.
7. 设a＝ 7－1，则代数式a2＋2a－10的值为___－__4____.
8. (深圳二模)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂
住了一个二次三项式，形式如下： －3x＝x2－5x＋1，若x＝ 6 ＋1，则
【变式训练】
1. 化简 54× 12＋ 12的结果是( D ) A．5 2 B．6 3 C. 3 D．5 3 2. 计算 8－ 2( 2＋2)的结果是( D ) A．2 3＋2 B．2 3－2 C．2 D．－2
北师大版数学八年级上册2.7二次根式第三课时教学设计
作业要求：
1.学生需认真审题，确保理解题目要求。
2.在解题过程中，注重步骤的规范性和逻辑性，尽量使用简洁明了的语言描述解题思路。
3.完成作业后，认真检查，确保解答正确无误。
4.对于选做题，鼓励学生积极尝试，培养他们挑战困难的勇气和信心。
3.学生通过二次根式的学习，感受数学的简洁与优美，体会数学的规律性，培养对数学的热爱和敬畏之心。
4.学生在小组合作交流中，学会尊重他人，倾听他人意见，培养团队协作精神，提高人际沟通能力。
总而言之，本节课的教学设计旨在让学生在掌握二次根式知识与技能的基础上，培养他们的数学思维能力，提高解决问题的能力，同时形成积极的情感态度和正确的价值观。
（1）通过数形结合的方法，帮助学生形象地理解无理数，如借助正方形和圆的面积计算，让学生直观地感受无理数。
（2）在二次根式化简方面，采用逐步引导、范例演示、合作交流等方式，让学生逐步掌握化简方法，克服难点。
（3）在应用二次根式解决实际问题时，引导学生分析问题的本质，找到问题与数学知识之间的联系，提高问题解决能力。
从认知角度来看，学生对二次根式的理解可能存在一定难度。他们可能对无理数的概念感到抽象，对二次根式的化简和运算规则感到困惑。此外，将二次根式应用于解决实际问题时，学生可能难以找到问题与数学知识之间的联系。
因此，在教学过程中，教师应关注学生的认知发展，充分调动他们的学习积极性，引导他们通过观察、归纳、合作交流等方法，逐步掌握二次根式的相关知识。同时，教师还需关注学生的情感态度，鼓励他们勇于面对挑战，增强学习信心，使他们在解决问题的过程中感受到数学学习的乐趣和价值。
4.能够运用二次根式解决一些简单的无理数问题，理解无理数的概念及其在数学中的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11 2.
6
4
二、新课讲解
在上面第(4)题中，很容易看出， 99化成最简二次根式后 与 25，18化简后的被开方数不可 能相同，因此，结果中
2 可以保留 99，不必将它化简成最简 二次根式.
5
二、新课讲解
化简
1 a
b
ab，其中a 3，b 2.你是怎么做的？与同伴 进行交流.
1 a
b
ab
9
五、布置作业 习题2.11
10
本课结束
11
8
四、强化训练
计算：
解：1 2 1 10 10 2 10 10 10 ；
5 10 5 10
10
10 10
2 12 3 1 2 3 3 3 2 1 1 3 4 3；
3
3
3
3
3 18
1 2
8
3
2
2 2
85 2 2
8 10；
42 75 8 27 25 3 2 2 3 3 25 3 3 2 2 7 3 2 2.
4乘法结合律： a b c a b c ； 5分配律：a b c a b a c.
其中a、b、c都是大于或等于 0的实数
2
二、新课讲解
例 计算： 解：
3
二、新课讲解
第（3）题的另解：
24
1 6
3
2
6
6 6
3
2 1 6 3 6
11 2 6
故梯形ABCD被分割为直角三角形ABE、 E O 直角三角形BOC和直角梯形DEOC.
S梯形ABCD SABE SBOC S梯形DEOC
1 5 5 1 2 4 1 21
2
2
2
25 4 3 22
18.
7
三、归纳小结
1．二次根式可以进行加法、减法、乘法和除法的 运算. 2．二次根式满足加法交换律、加法结合律、乘法 交换律、乘法结合律和分配律.
1 ab b ab a
b ab 2 .
因为b 2 0，所以原式 b b a .
将a 3，b 2代入原式，得原式 2 2 3.
6
二、新课讲解
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形
ABCD的面积垂直AD 于点E，再过点C作CO垂直BE于点O.
八年级数学北师大版·上册
第二章 实数
2.7 二次根式（第3课时）
一、新课引入
实数的运算法则、运算 律在二次根式中也适用 . 即二次根式可以进行加 法、减法、乘法和除法 的运算，
且满足：1加法交换律： a b b a；
2加法结合律： a b c a b c ；
3乘法交换律： a b b a；