6大题专项立体几何综合问题检测文天津市2018年高考数学二轮复习题型练含答案

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天津市2018高考数学(文)二轮复习：题型练9大题综合练

题型练9大题综合练(一)1.设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.2.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?3.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.4.已知{a n}是等差数列,其前n项和为S n,{b n}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)记T n=a1b1+a2b2+…+a n b n,n∈N*,证明T n-8=a n-1b n+1(n∈N*,n>2).5.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.6.已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)=x e x f'(x).(1)求k的值和F(x)的单调区间;(2)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞)使得g(x2)<F(x1),求实数a的取值范围.##题型练9大题综合练(一)1.解(1)由f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=2sin2x-(1-2sin x cos x)=(1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x-cos 2x+-1=2sin-1,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=2sin-1,把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin-1的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到y=2sin x+-1的图象,即g(x)=2sin x+-1.所以g=2sin-1=.2.解(1)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.所以y与x的函数解析式为y=(x∈N).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90+4 500×10)=4 050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.3.(1)证明由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因∠ABC=,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.(2)解设BC=x,则在Rt△ABC中,AB=,从而S△ABC=AB·BC=.由EF∥BC知,,得△AFE∽△ABC,故,即S△AFE=S△ABC.由AD=AE,S△AFD=S△AFE=S△ABC=S△ABC=,从而四边形DFBC的面积为S四边形DFBC=S△ABC-S△=.AFD由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE==2.体积V P-DFBC=·S四边形DFBC·PE=·2=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3.所以,BC=3或BC=3.4.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件,得方程组解得所以a n=3n-1,b n=2n,n∈N*.(2)证明由(1)得T n=2×2+5×22+8×23+…+(3n-1)×2n,①2T n=2×22+5×23+…+(3n-4)×2n+(3n-1)×2n+1.②由①-②,得-T n=2×2+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-1)×2n+1=-(3n-1)×2n+1-2=-(3n-4)×2n+1-8,即T n-8=(3n-4)×2n+1,而当n>2时,a n-1b n+1=(3n-4)×2n+1.所以,T n-8=a n-1b n+1,n∈N*,n>2.5.解(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①证明:由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<.因此,p的取值范围是.6.解(1)f'(x)=,f'(1)==0,∴k=1.∴F(x)=x e x f'(x)=1-x ln x-x,∴F'(x)=-ln x-2.由F'(x)=-ln x-2>0⇒0<x<,由F'(x)=-ln x-2<0⇒x>,∴F(x)的单调增区间为,单调减区间为.(2)∵对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),∴g(x)max<F(x)max.由(1)知,当x=时,F(x)取得最大值F=1+.对于g(x)=-x2+2ax,其对称轴为x=a.①当0<a≤1时,g(x)max=g(a)=a2,∴a2<1+,从而0<a≤1;②当a>1时,g(x)max=g(1)=2a-1,∴2a-1<1+.从而1<a<1+.综上可知:0<a<1+.。

天津专用2018版高考数学总复习专题09立体几何分项练习含解析理

专题09 立体几何一．基础题组1.【2005天津，理4】设α、β、为平面，为m 、、直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,m αγβγα⊥⊥⊥D 、,,n n m αβα⊥⊥⊥ 【答案】D本题答案选D2.【2005天津，理12】若图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于__________。

【答案】2【解析】将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小。

tan 2PDDBA DB∠==。

本题答案填写：23.【2006天津，理6】设m 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ． ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,, 【答案】B【解析】设m 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面。

下列命题中正确的命题是n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//，选B.4.【2006天津，理13】如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为 60，则点C到平面1ABC 的距离为______________．【答案】345.【2007天津，理6】设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 ( )A.若,a b 与α所成的角相等，则b a ∥B.若∥,b α∥β,α∥β，则b a ∥C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥【答案】D 【解析】对于A 当,a b 与α均成0︒时就不一定；对于B 只需找个αβ∥∥，且,a b γγ⊂⊂即可满足题设但,a b 不一定平行；对于C 可参考直三棱柱模型排除，故选D6.【2007天津，理12】一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积为__________. 【答案】14π 【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即222212314R =++=，由2414S R ππ==7.【2008天津，理4】设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a 【答案】C【解析】A 、B 、D 直线,a b 可能平行，选C ．8.【2008天津，理12】一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为π34，则该正方体的表面积为 . 【答案】249.【2009天津，理12】如图是一个几何体的三视图.若它的体积是33,则a ＝_________.【答案】3【解析】由三视图可知几何体是一个三棱柱,底面三角形的一边长为2,其边上的高为a,依题3333221=⇒=•••=a a V 三棱柱. 10.【2010天津，理12】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________．【答案】10311.【2011天津，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为__________3m .【答案】π+6【解析】该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体，ππ+=⨯⨯+⨯⨯=63131123V . 12.【2012天津，理10】一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m 3．【答案】18＋9π【解析】由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m,3 m,1 m 的长方体，底部为两个直径为3 m 的球． ∴该几何体的体积为：V ＝6×3×1＋2×343π()32⨯＝18＋9π(m3)． 13.【2014天津，理10】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ．244242俯视图侧视图正视图【答案】203．【解析】考点：1．立体几何三视图；2．几何体体积的计算．14.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．【答案】92π 【解析】设正方体的边长为，则26183a a =⇒=，其外接球直径为233R a ==，故这个球的体积34π3V R ==4279ππ382⨯=．【考点】球的体积【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．15. 【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D 中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,12,5ACAA AD CD ,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：//MN 平面ABCD ； (II)求二面角11D AC B 的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长【答案】(I)见解析； (II)31010； (III) 72-. N M C 1B 1A 1DABCD 1(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以二面角11D AC B --的正弦值为31010. (III)依题意，可设111A E A B λ=，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+，又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知得22211cos ,3(1)(2)1NE n NE n NE nλ⋅===⋅-+++，整理得2430λλ+-=，又因为[0,1]λ∈，解得72λ=-，所以线段1A E 的长为72-.【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.16. 【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.（第11题图）【答案】2 【解析】【考点】三视图、几何体的体积【名师点睛】①解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．②三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．二．能力题组1.【2005天津，理19】如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，侧面11B BCC 与底面ABC 所成的二面角为120，E 、F 分别是棱1CB 、1AA 的中点。

13空间几何体文天津市2018年高考数学二轮复习专题能力训练含答案

专题能力训练13 空间几何体一、能力突破训练1.(2017河北唐山模拟)在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为()A.4B.6+4C.4+4D.2,该几何体是底面为斜边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱,所以该几何体的表面积为2×2+2×2+2×××=6+4,故选B.2.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π,该几何体是球截去后所得几何体,则××R3=,解得R=2, 所以它的表面积为×4πR2+×πR2=14π+3π=17π.3.(2017北京,文6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.60B.30C.20D.105,3,4的长方体中的三棱锥A-BCD,如图所示.故该几何体的体积是V=××5×3×4=10.故选D.4.已知平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()A.πB.4πC.4πD.6πO的半径为R,则R==,故V球=πR3=4π.5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3B.S2=S1,且S2≠S3C.S3=S1,且S3≠S2D.S3=S2,且S3≠S1棱锥的各顶点在xOy坐标平面上的正投影分别为A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显然D1点为A1C1的中点,如图①,正投影为Rt△A1B1C1,其面积S1=×2×2=2.三棱锥的各顶点在yOz坐标平面上的正投影分别为A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,).显然B2,C2重合,如图②,正投影为△A2B2D2,其面积S2=×2×=.三棱锥的各顶点在zOx坐标平面上的正投影分别为A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,),由图③可知,正投影为△A3D3C3,其面积S3=×2×=.综上,S2=S3,S3≠S1.故选D.图①图②图③6.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.7.(2017天津,文11)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.a,外接球的半径为R,则2R=a.∵正方体的表面积为18,∴6a2=18.∴a=,R=.∴该球的体积为V=πR3=×=.8.(2017广东汕头模拟)一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是两个全等的三角形,俯视图是个圆,则该几何体的体积等于.三视图知该几何体为底面半径为3,高为4的个圆锥,故所求体积π×32×4=9π.9.如图,已知在多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为.方法一:分割法)几何体有两对相对面互相平行,如图,过点C作CH⊥DG于H,连接EH,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意,知V三棱柱DEH-ABC=S△DEH×AD=×2=2,V三棱柱BEF-CHG=S△BEF×DE=×2=2.故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=2+2=4.(方法二:补形法)因为几何体有两对相对面互相平行,如图,将多面体补成棱长为2的正方体,显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半.又正方体的体积V正方体ABHI-DEKG=23=8,故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=×8=4.10.下列三个图中,左面是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.右面两个是其正视图和侧视图.(1)请按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程);(2)求该多面体的体积(尺寸如图).作出俯视图如图所示.(2)依题意,该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱锥体积=··A1E=××1=,正方体体积=23=8,故所求多面体的体积V=8-=.11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.二、思维提升训练12.(2017广东阶段性测评)一块边长为6 cm的正方形铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图(2)放置.若其正视图为等腰直角三角形,则该容器的体积为()A.12 cm3B.4 cm3C.27 cm3D.9 cm3PMN为该四棱锥的正视图,由图(1)可知,PM+PN=6 cm,且PM=PN.由△PMN为等腰直角三角形,得MN=3 cm,PM=3 cm.设MN的中点为O,则PO⊥平面ABCD,PO=MN= cm,故V P-ABCD=×(3)2×=9(cm3).故选D.13.(2017湖南永州一模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为()A.1B.C.D.2,该几何体的直观图为三棱锥A-BCD,如图,其最大面的表面是边长为2的等边三角形,其面积为×(2)2=2.14.已知一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图,图中圆内有一个以圆心为中心,边长为1的正方形,则这个四面体的外接球的表面积是()A.πB.3πC.4πD.6π,该四面体是一个正方体的内接正四面体,所以此四面体的外接球的直径为正方体的对角线的长,为,。

2018年天津市河北区高三数学二模(文)试题(解析版)

河北区2017－2018学年度高三年级总复习质量检测（二）数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为R，集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出，再求即可得到结论．详解：∵，∴，∴．故选B．点睛：本题考查集合的补集和交集运算，属于容易题，主要考查学生的运算能力和运用数形结合解题的能力．2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先由三视图得到几何体，并分析出几何体的特征，然后再求出其体积．详解：由三视图可得该几何体为三棱柱，且底面为边长是2的等边三角形，高为1，故其体积为．故选A．点睛：（1）在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．（2）在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑． 3. 命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据含有量词的命题的否定求解即可．详解：由题意得，命题的否定为：．故选C ．点睛：全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．4. 从数字1，2，3，4，5中任取2个组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是（） A. B. C. D. 【答案】C【解析】可以构成的两位数的总数为20种,因为是“任取”两个数,所以每个数被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于40的两位数有以4开头的:41,42,43,45共4种;以5开头的:51,52,53,54共4种.所以所求概率为.本题选择B 选项.5. 己知点A(-1，0)、B(1，0)分别为双曲线的左、右顶点，点M 在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：由条件可得，不妨设点M 在双曲线的右支上，由题意可得等腰△ABM 中，且，由此可得点M 的坐标，然后根据点M 在双曲线上可得，故可得曲线方程．详解：由题意得，故双曲线的方程为．设点M在双曲线的右支上且在第一象限，则在等腰△ABM中，有且，∴点M的横坐标为，纵坐标为，∴点M的坐标为．又点在双曲线上，∴，解得，∴双曲线的方程为．故选D．点睛：对于圆锥曲线中的特殊几何图形的问题，解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理，如根据等腰三角形可得线段相等、底边上的高与底边垂直等．6. 若函数在上单调递减，则的取值不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵函数在上单调递减，．在上单调递减，求得，故选D．考点：正弦函数的单调性【名师点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性，属中档题．解题时利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得的减区间，结合条件可得，，由此求得的范围，从而得出结论．7. 若正数a，b满足，则的最小值为（）A. 1B. 6C. 9D. 16【答案】B【解析】分析：由得，由此可得，，将代入所求值的式子中，利用基本不等式可求得最小值．详解：∵正数满足，∴，解得．同理．∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为6．故选B．点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．8. 已知函数，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f (a)=f (b)=f (c)=f (d)=m.则以下三个结论：①m∈[l，2)；②a+b+c+d∈，其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f (x)=x+m恰有三个不相等的实数解。

高考精品,天津市十二校联考2018届高考二模数学(理)试题含答案

2018年天泽市十二重点中学高三毕业班联考（二）数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20A x x x =-≤，{}1B x x =<，则AB 为（）A ．[)0,1B ．()0,1C ．[]0,1 D ．(]1,0- 2.已知x ，y 满足不等式组10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数23z x y =-+的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．5 3.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <4.已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，()2:3220l m x my -+-，则“1m =”是“12//l l ”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（）A ．2π B ．38π C. 4π D ．58π 6.已知定义在R 上的函数()cos f x x x =+，则三个数31log 47a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，129log 517b f ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1c f =，则a ，b ，c 之间的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >> C.b c a >> D ．c b a >>7.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在双曲线上，且12//MN F F ，1212MN F F =，线段1F N 交双曲线C 于点Q ，1125F Q F N =，则该双曲线的离心率是（） AB ．52 C.2 D8.已知定义在[)1,+∞上的函数()4812,12,1,2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩则下列说法中正确的个数有（）①关于x 的方程()()102nf x n N -=∈有24n +个不同的零点； ②对于实数[)1,x ∈+∞，不等式()6xf x ≤恒成立； ③在[)1,6上，方程()60f x x -=有5个零点； ④当()1*2,2n n x n N -⎡⎤∈∈⎣⎦时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为4.A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.i 为虚数单位，设复数z 满足346ii z+=，则z 的虚部是． 10.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线23cos ,23sin ,x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）相交于两点A 、B ，则AB = ．11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12.若49nnx dx -=⎰（其中0n >），则()21nx -的展开式中3x 的系数为．13.已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为． 14.已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=，45ADC ∠=，2AD =，1BC =，P 是腰CD 上的动点，则3PA BP +的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s 2A B a b +=（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）已知sin 4sin a CA=，ABC ∆的面积为b 的值.16. 某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A ，B ，C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目.（Ⅰ）求3个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列与数学期望.17. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求二面角E AF B --的余弦值；（Ⅲ）若M 为线段DE 上的一点，且满足直线AM 与平面ABF，求线段DM 的长.18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()1n n n S a S a =-+，（a 为常数，0a ≠，1a ≠）. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a S =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，()()1111n n n n a c a a ++=++.若数列{}n c 的前n 项和为n T ，且对任意*n N ∈满足223n T λλ<+，求实数λ的取值范围. 19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()()2,00F c c >，过点2,0a E c ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与椭圆交于x 轴上方的A ，B 两点，且122F A F B =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）（ⅰ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线2F B 上有一点()(),0H m n m ≠在1AFC ∆的外接圆上，求nm的值. 20.已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()lng x b x x =-的最大值为1e .（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[](),1,m n ⊆+∞.使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()22?k m k n ++⎡⎤⎣⎦，若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ABDAD 6-8:CDB 二、填空题 9.12-10.2 11. 23π 12.28013.14.2三、解答题15. 解：（1）由已知得cos cos sin b A a B C +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin B A B A B C +=， ∴()sin sin 3A B B C +=，又在ABC ∆中， ()sin sin 0A B C +=≠，∴sin 2B =02B π<<∴3B π=.（２）由已知及正弦定理4c = 又S ΔABC =3B π=∴12sin ac B = 得6a =由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得 b =16. （1）令A 表示事件“3个人来自于两个不同专业”，1A 表示事件“3个人来自于同一个专业”，2A 表示事件“3个人来自于三个不同专业”，351103311()3120C C p A C +==23521011130()3120C C C p A C ==则由古典概型的概率公式有1207933331111)()(1)(10531053221=+--=--=C C C C C C C A P A p A p ；（2）随机变量X 的取值为：0，1，2，3则12035330)0(1073===C C C X p ， 12063321)1(1073===C C C X p ， 12021312)2(1073===C C C X p , 1201303)3(1073===C C C X p ,()0123120120120120120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17. 解析：（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点，∵FA FC =，∴AC FO ⊥, 又FOBD O =，BDEF FO BDEF BD 平面平面⊂⊂,∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒， ∴DBF ∆为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，ABCD AC ABCD BD 平面平面⊂⊂,∴FO ⊥平面ABCD .∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴2,BD AC ==∵DBF ∆为等边三角形，∴OF =∴)()()(,0,1,0,0,1,0,AB D F -，∴()()()1,0,3,0,3,3,1,0AF AB AD =-=-=-，)0,2,0(==DB EF设平面AEF 的法向量为),,(111z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+-=⋅02033222y z x n AF令1,121==z x 则，得)1,0,1(=m设平面ABF 的法向量为),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅030332222y x z x n AF ，令1,3,1222===z y x 则，得)1,3,1(=n 所以 510,m cos ==>=<n 又因为二面角B AF E --为钝角，所以二面角B AF E --的余弦值为510-（3）设),3,,0()3,1,0(λλλλλ-=-===)10(≤≤λ)3,1,3()3,,0()0,1,3(λλλλ---=-+--=+=DM AD AM 则所以 15302424532|,AM cos |2=++⋅==><λλn 化简得01482=-+λλ解得：)(431413舍或---=λ 所以213-=DM . 18. 解：（1）-1-1-1(1),2(1)n n n n n n S a S a n S a S a =-+∴≥=-+时，11),(n n n n n a a a S S a aa ----∴=+11,=nn n n a a a a a a --∴=且 0,1a a ≠≠ ∴数列{}n a 是以a 为首项，a 为公比的等比数列n n a a ∴=（2）由n n n b a S =+得，1=2b a22=2+b a a 323=2++b a a a因为数列{}n b 为等比数列，所以2213=b bb ，22322+=2(2++)a a a a a a （）解得1=2a . (3)由（2）知111122(21)(21)11(1)(1)22n n n n n n n n c c +++⎛⎫ ⎪⎝⎭=⇒=++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ +1112121n n n c =-++ 所以2231+1111111=+1+1+1+---2221+1222+1n n n T ++++11131-23+1<n =，所以21233λλ≤+，解得1-13λλ≥≤或.19. 解：(1)由12=2,F A F B 得2211EF F B 1EF FA 2==，从而22a 1a 2cc c c-=+整理，得223a c =，故离心率c e a ==(2) 解法一：(i)由（I ）得22222b a c c =-=，所以椭圆的方程可写222236x y c +=设直线AB 的方程为2a y k x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即(3)y k x c =-.由已知设1122(,),(,)A x y B x y ，则它们的坐标满足方程组222(3)236y k x c x y c=-⎧⎨+=⎩ 消去y 整理，得222222(23)182760k x k cx k c c +-+-=.依题意，2248(13)0c k k ∆=-><<，得而 21221823k cx x k+=+ ① 22212227623k c c x x k -=+ ②由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以1232x c x += ③联立①③解得2129223k c c x k -=+，2229223k c cx k +=+将12,x x代入②中，解得3k =-. 解法二：00(,),A x y 设利用中点坐标公式求出200,)22a x y c B +（，带入椭圆方程2022202220023622236a x y c c x y c⎧+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩（）（）消去20y，解得00=0x y ⎧⎪⎨=⎪⎩解出3k =- (依照解法一酌情给分)(ii)由(i)可知1230,2c x x ==当3k =-时，得)A，由已知得(0,)C . 线段1AF 的垂直平分线l的方程为222c y c x ⎫-=+⎪⎝⎭直线l 与x 轴的交点,02c ⎛⎫⎪⎝⎭是1AFC ∆外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x 22c c y c ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 直线2F B的方程为)y x c =-，于是点H （m ，n ）的坐标满足方程组222924)c c m n n m c ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩，由0,m ≠解得533m c n c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故n m= 20. (1) 由题意得()'ln 1g x x =--，令()'0g x =，解得1x e=，当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减. 所以当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值，所以111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =. （2）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-=-+== ①11a -=即2a =,则2'(1)()x f x x -=，故()f x 在(0,)+∞单调增 ②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增。

2018年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(理科)

2018年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1. 已知集合＝，＝，则为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】解不等式求得集合、，根据交集的定义写出．【解答】集合＝＝，＝＝，则＝＝．2. 已知，满足不等式组，则目标函数＝的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得最小值．【解答】由约束条件作出可行域如图，设可行域内一点，由图可知，直线＝经过点时取到最大值，经过点时取到最小值，联立，解得，∴的最小值为＝，3. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】负值＝，＝，＝，判断条件成立，执行＝＝，＝＝，＝；判断条件成立，执行＝＝，＝＝，；判断条件成立，执行＝＝，＝＝，；判断条件不成立，算法结束，输出．此时＝，不成立．故判断框中应填入的条件是．4. 已知为实数，直线＝，：＝，则“＝”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据直线平行的等价条件，求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当＝时，两直线方程分别为直线＝，＝满足，即充分性成立，当＝时，两直线方程分别为＝，和＝，不满足条件．当时，则，由得＝得＝或＝，由得，则＝，即“＝”是“”的充要条件，5. 已知函数＝的最小正周期为，将＝的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据函数的周期求，结合三角函数的图象平移关系，结合三角函数的奇偶性进行求解即可．【解答】∵函数＝的最小正周期为，∴，得＝，则＝，将＝的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则＝＝，∵图象关于轴对称，∴，则，，当＝时，，则或，即的一个值可能为，6. 已知定义在上的函数＝，则三个数＝，＝（），＝，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】求出的导数，得到函数在上为单调增函数，再求出、的范围，则答案可求．【解答】定义在上的函数＝是偶函数，时，＝，＝，∴在时递增，∵，，又＝，＝（），＝，∴，故选：．7. 双曲线的左、右焦点分别为，，点，在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】运用双曲线的对称性由条件可设的坐标，由向量共线定理可得的坐标，再由，在双曲线上，满足双曲线的方程，即可得到双曲线的离心率．【解答】由＝，可得＝，由，可设，设，∴，∵，∴，解得，，∵，在双曲线上，∴，消去整理可得，∴．8. 已知函数定义在上的函数，则下列说法中正确的个数有（）①关于的方程，有个不同的零点②对于实数，不等式恒成立③在上，方程＝有个零点④当，时，函数的图象与轴围成的面积为A. B. C. D.【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】根据函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合分别判断即可．【解答】作出函数的图象，如图：当＝时，方程等价为＝，∴对应方程根的个数为个，而＝个，∴ ①错误；由不等式等价为，在恒成立，作出函数的图象如图，则不等式恒成立，∴ ②正确；由函数表达式可知＝，＝，＝．由＝得，设，则＝，∴在上，方程＝有个零点，∴ ③错误；令＝得，＝，当时，函数的图象与轴围成的图形是一个三角形，其面积为：＝，∴ ④错误．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.________为虚数单位，设复数________满足________，则________的虚部是【答案】,,,,【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由，得．∴的虚部是．以直角坐标系的原点为极点，________轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线极坐标方程为，它与曲线，（为参数）相交于两点________、________，则________＝________．【答案】,,,,【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把直线极坐标方程、曲线参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得弦长．【解答】把直线极坐标方程化为普通方程是＝，曲线参数方程化为普通方程是＝，圆心为，半径为，圆心到直线＝的距离为，则弦长＝．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积________．【答案】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，球的半径为圆锥的底面半径均为，圆锥的高为，故四分之一球的体积为：，半圆锥的体积为：，故组合体的体积；若________________＝（其中________），则________________的展开式中________的系数为________．【答案】,,,,,,【考点】微积分基本定理定积分二项式定理及相关概念【解析】由微积分基本定理求得，代入，写出二项展开式的通项，由的指数为求得值，则答案可求．【解答】由＝，如图，得＝，即＝．∴＝，．由＝，得＝．∴的展开式中的系数为．已知________________，二次三项式________________+________对于一切实数________恒成立，又________，使________________＝成立，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】反证法与放缩法【解析】由条件求得，＝，由此把要求的式子化为，利用基本不等式即可求出答案．【解答】∵已知，二次三项式对于一切实数恒成立，∴，且＝，∴．再由，＝，可得＝，∴＝，即＝，∴，∵，当且仅当时取等号故的最小值为，已知直角梯形________中，________________，________＝，________＝，________＝，________＝，________是腰________上的动点，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】建立坐标系，设出的坐标，表示出，的坐标，结合二次函数的性质求出其最小值即可．【解答】分别以，为，轴，建立直角坐标系：如图示：，∵＝，＝，＝，是腰上的动点，∴，，，，则设，故，，故，故，而＝＝，故的最小值是，三、解答题：本大题6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．【答案】锐角中，，∴，由正弦定理得，∴，又＝，∴，又，∴；由，利用正弦定理得＝；又的面积为，∴，解得＝；由余弦定理＝＝，解得＝．【考点】三角形的面积公式【解析】（1）根据题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得的值，从而求得的值；（2）由题意，利用正弦定理与三角形的面积公式求得的值，再由余弦定理求得的值．【解答】锐角中，，∴，由正弦定理得，∴，又＝，∴，又，∴；由，利用正弦定理得＝；又的面积为，∴，解得＝；由余弦定理＝＝，解得＝．某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于、、三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目．（1）求个人来自两个不同专业的概率；（2）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望．【答案】令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，，，∴个人来自两个不同专业的概率：＝＝．随机变量有取值为，，，，＝，＝，＝，＝，∴的分布列为：．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，利用列举法能求出个人来自两个不同专业的概率．（2）随机变量有取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．【解答】令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，，，∴个人来自两个不同专业的概率：＝＝．随机变量有取值为，，，，＝，＝，＝，＝，∴的分布列为：．如图，四边形与均为菱形，＝，且＝＝．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】设与交于点，连结，∵四边形是菱形，∴，且为的中点，∵＝，∴，又＝，平面，平面，∴平面．连结，∵四边形是菱形，且＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∵、、两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图，设＝，∵四边形为菱形，＝，∴＝，＝，∵为等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，∴，∵二面角的余弦值为．设，则＝，∴，化简，得＝，解得或（舍），∴线段的长为．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）设与交于点，连结推导出，且为的中点，，由此能证明平面．（2）连结，由、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．（3）设，，则＝，利用向量法能求出线段的长．【解答】设与交于点，连结，∵四边形是菱形，∴，且为的中点，∵＝，∴，又＝，平面，平面，∴平面．连结，∵四边形是菱形，且＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∵、、两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图，设＝，∵四边形为菱形，＝，∴＝，＝，∵为等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，∴，∵二面角的余弦值为．设，则＝，∴，化简，得＝，解得或（舍），∴线段的长为．已知数列的前项和满足＝，为常数，，（1）求的通项公式；（2）设＝，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，，若数列的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围．【答案】时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．∴数列为等比数列，首项与公比为．则＝．＝，可得：＝，＝，＝，∵数列为等比数列，∴＝，可得：．由（2）可得：．，∴数列的前项和为，∵对任意的满足，∴，化为：，解得：或．∴实数的取值范围是：或．【考点】数列的求和【解析】（1）时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．利用等比数列的通项公式可得．（2）＝，可得：＝，＝，＝，利用等比数列的性质可得．（3）由（2）可得：．，利用裂项求和方法、数列的单调性、不等式的解法即可得出．【解答】时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．∴数列为等比数列，首项与公比为．则＝．＝，可得：＝，＝，＝，∵数列为等比数列，∴＝，可得：．由（2）可得：．，∴数列的前项和为，∵对任意的满足，∴，化为：，解得：或．∴实数的取值范围是：或．已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交于轴上方的，两点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线的斜率；设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值．【答案】由，可得，从而，整理可得＝，故，：由（1）得＝＝，所以椭圆的方程可写为＝设直线的方程为＝，即＝．由已知设，，则它们的坐标满足方程组消去整理，得＝．依题意，＝，而，①，②，由题设知，点为线段的中点，所以＝③联立①③解得，将，代入②中，解得．解法一：由可知＝，，当时，得，由已知得．线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得，故综上所述．解法二：由可知＝，，当时，得，由已知得．由椭圆的对称性可知，，三点共线，因为点在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形．由直线的方程为，知点的坐标为．因为＝，所以＝，解得＝（舍），或．则，所以．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）由，可得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．由题意知椭圆的方程可写为＝，设直线的方程为＝，设，，则它们的坐标满足方程组，整理，得＝．再由根的判别式和根与系数的关系求解．解法一：当时，得，线段的垂直平分线的方程为直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．由此可以推导出值．解法二：由椭圆的对称性可知，，三点共线，由已知条件能够导出四边形为等腰梯形．由此入手可以推导出值．【解答】由，可得，从而，整理可得＝，故，：由（1）得＝＝，所以椭圆的方程可写为＝设直线的方程为＝，即＝．由已知设，，则它们的坐标满足方程组消去整理，得＝．依题意，＝，而，①，②，由题设知，点为线段的中点，所以＝③联立①③解得，将，代入②中，解得．解法一：由可知＝，，当时，得，由已知得．线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得，故综上所述．解法二：由可知＝，，当时，得，由已知得．由椭圆的对称性可知，，三点共线，因为点在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形．由直线的方程为，知点的坐标为．因为＝，所以＝，解得＝（舍），或．则，所以．已知函数，＝的最大值为．（1）求实数的值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）当＝时，令＝，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】∵函数＝的最大值为，∴，＝，由＝＝，得，当时，，当时，，∴ x＝＝＝，解得＝．的定义域是，＝，①＝即＝时，，故在递增，②若，而，故，则当时，，，时，，故在递减，在，递增，③若，即时，同理在递减，在，递增；由（1）知＝，故＝，令＝＝，则＝对恒成立，故在区间内递增；故＝恒成立，故函数在区间递增，假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，令＝，则＝对恒成立，故函数在区间递增，故＝恒成立，故，在递增，故方程在区间内不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间，使得函数在区间上的值域为．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的方程，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（3）假设存在，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，根据函数的单调性判断即可．【解答】∵函数＝的最大值为，∴，＝，由＝＝，得，当时，，当时，，∴ x＝＝＝，解得＝．的定义域是，＝，①＝即＝时，，故在递增，②若，而，故，则当时，，，时，，故在递减，在，递增，③若，即时，同理在递减，在，递增；由（1）知＝，故＝，令＝＝，则＝对恒成立，故在区间内递增；故＝恒成立，故函数在区间递增，假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，令＝，则＝对恒成立，故函数在区间递增，故＝恒成立，故，在递增，故方程在区间内不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间，使得函数在区间上的值域为．试卷第21页，总21页。

7大题专项解析几何综合问题检测文天津市2018年高考数学二轮复习题型练含答案

题型练7 大题专项(五)解析几何综合问题1.已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE 与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.2.已知椭圆C:=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.3.(2017全国Ⅰ,文20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.4.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB 为直径的圆在y轴上截得的弦长为2.(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设=λ1=λ2,试问λ1+λ2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.5.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆C上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T,满足=t(O 为坐标原点),求实数t的取值范围.6.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且同向.①若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;②设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.##题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.解 (1)椭圆C的标准方程为+y2=1.所以a=,b=1,c=.所以椭圆C的离心率e=.(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,所以可设A(1,y1),B(1,-y1).直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).令x=3,得M(3,2-y1).所以直线BM的斜率k BM==1.(3)直线BM与直线DE平行.证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知k BM=1.又因为直线DE的斜率k DE==1,所以BM∥DE.当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1).设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=(x-2).令x=3,得点M.由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.所以x1+x2=,x1x2=,直线BM的斜率k BM=.因为k BM-1====0.所以k BM=1=k DE,所以BM∥DE.综上可知,直线BM与直线DE平行.2.解 (1)由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.又c=,所以离心率e=.(2)设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.又A(2,0),B(0,1),所以直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-,从而|BM|=1-y M=1+.直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得x N=-,从而|AN|=2-x N=2+.所以四边形ABNM的面积S=|AN|²|BM|====2.从而四边形ABNM的面积为定值.3.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.4.解 (1)由已知:直线m的方程为y=x-,代入y2=2px,得x2-3px+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p且线段AB的中点为,由已知()2+=(2p)2,解得p=2或p=-2(舍去),所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l:y=kx+2(k≠0),则D,联立得k2x2+4(k-1)x+4=0.由Δ>0得k<.设F(x3,y3),G(x4,y4),则x3+x4=,x3x4=.=λ1⇒(x3,y3-2)=λ1,=λ2⇒(x4,y4-2)=λ2,所以λ1==-,λ2=-.则λ1+λ2=-=-.将x3+x4=,x3x4=代入上式得λ1+λ2=-1.即λ1+λ2为定值-1.5.解 (1)由题意,以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x-c)2+y2=a2,∴圆心到直线x+y+1=0的距离d==a.(*)∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴b=c,a=b=c,代入(*)式得b=c=1,∴a=b=,故所求椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l方程为y=k(x-2),设P(x0,y0),将直线方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,∴Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)=-16k2+8>0,∴k2<.设S(x1,y1),T(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.由=t,当t=0时,直线l为x轴,点P在椭圆上适合题意;当t≠0时,得∴x0=,y0=.将上式代入椭圆方程,得=1,整理,得t2=.由k2<知,0<t2<4,∴t∈(-2,0)∪(0,2),综上可得t∈(-2,2).6.解 (1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以=1.②联立①②得a2=9,b2=8.故C2的方程为=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).①因同向,且|AC|=|BD|,所以,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤将④⑤代入③,得16(k2+1)=,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16³9,解得k=±,即直线l的斜率为±.②证明:由x2=4y得y'=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=.令y=0得x=,即M,所以.而=(x1,y1-1),于是-y1+1=+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.。

易错汇总2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷及参考答案(理科)

本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣103．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．55．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．26．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B ＝．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有种分配方案（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cosB＝bcos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣10【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，得．∴B（3，﹣3）．由图可知，使z＝2x+4y取得最小值的最优解为B（3，﹣3）．∴z＝2x+4y的最小值是2×3+4×（﹣3）＝﹣6．故选：C．3．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“x＞1且y＞2”则“x+y＞3”成立．当x＝5，y＝1时，满足x+y＞3，但x＞1且y＞2不成立，故x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要条件，故选：B．4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝100，k＝0满足条件S＞0，执行循环体，S＝99，k＝1满足条件S＞0，执行循环体，S＝96，k＝2满足条件S＞0，执行循环体，S＝87，k＝3满足条件S＞0，执行循环体，S＝60，k＝4满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣21，k＝5此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为5．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．2【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则p＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2故选：D．6．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由﹣＜0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（﹣）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）化简可得f（x）＝2sin（ωx+）∵x∈（0，π），，要使x0∈（0，π）有3个不同的x0，使得sin（ω）＝成立．需满足2π+＜+ωπ≤4π+，解得ω∈（，]，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【解答】解：函数f（x）＝，可得f（1﹣x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）＝kx﹣k+有三个不同的实根，作出y＝f（1﹣x）和y＝kx﹣k+的图象，当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x≤1）相切于原点时，即k＝时，两图象恰有三个交点；当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝2（m﹣2），且km﹣k+＝（m﹣2）2，解得m＝1+，k＝﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为78．【解答】解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480＝1290，解得x＝390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为＝78．故答案为：78．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（0，1]．【解答】解：A＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}；∴A∩B＝（0，1]．故答案为：（0，1]．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．【解答】解：圆ρ＝2cosθ+2sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，直线（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣4＝0，∵点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，圆心C（1，1）到直线的距离d＝＝2，圆半径r＝＝，∴|AB|的最小值为：d﹣r＝2．故答案为：．故答案为：．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为π．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中，底面ABCD为边长为4的正方形，侧面SAD⊥底面ABCD，S在底面ABCD的射影M为AD的中点，由侧视图可知SM＝2，设底面ABCD的中心为O，连结OM，OS，则OM＝2，∴OS＝2，又OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴O为四棱锥外接球的球心，∴V球＝（2）3＝．故答案为：．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为14．【解答】解：AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∴cos∠BAC＝；又△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝10，cos∠CAD＝，∴?＝?（﹣）＝?﹣?＝10×10×﹣10×6×＝14．故答案为：14．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有114种分配方案（用数字作答）．【解答】解：由于丙丁两人必须去同一所学校，把丙丁看做一元素，本题转化为5名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校把5个人分组（1，1，3）和（1，2，2），甲乙没有限制的种数为（C53+）A33＝150，甲乙去同一个学校的种数为2×C31A33＝36，故甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有150﹣36＝114，故答案为：114三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cosB＝bcos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：（2sinC﹣sinA）cosB﹣sinBsinA ＝0，∴2sinCcos B﹣（sinAcosB+cosAsinB）＝2sinCcosB﹣sin（A+B）＝2sinCcosB﹣sinC ＝0，∵sinC≠0，∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝；（2）∵由（1）可得：B＝，△ABC的面积为3，b＝，∴利用余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝13，①又∵S△ABC＝acsinB＝ac＝3，解得：ac＝12，②∴由①②，可得：a+c＝7．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．【解答】解：（I）用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）＝，P（B k）＝，k＝1，2，3，4，5P（A）＝P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）＝（）2+（）2+××（）2＝．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X＝2）＝P（A1A2）+P（B1B2）＝，P（X＝3）＝P（B1A2A3）+P（A1B2B3）＝，P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）＝，P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）＝，或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，故分布列为：X2345PE（X）＝2×+3×+4×+5×＝．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．【解答】证明：（1）如图所示：由于：CD∥EF，且CD＝FE，则：四边形CDEF为平行四边形，则：DF∥CE．由于DF?平面BCE，所以：DF∥平面BCE．解：（Ⅱ）在平面ABEF内，过点A作Az⊥AB，由于平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az?平面ABEF，Az⊥AB，所以：Az⊥平面ABCD．所以：AB⊥AD，AD⊥Az，Az⊥AB，则：建立空间直角坐标系：A﹣xyz，得到：A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，3，），F（0，1，），所以：，，设平面BCF的法向量为：，所以：，解得：平面ABF的法向量为，所以：＝＝，则：．解：（Ⅲ）线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设，其中λ∈（0，1），设G（x2，y2，z2），则：，所以：x2＝2﹣2λ，y2＝2+λ，，所以：，由于AG⊥平面BCF，所以：，所以：，方程无解，所以：线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，即为2（S5+a5）＝S3+a3+S4+a4，即有2S5+2a5＝S4+a3+S4，可得4a5＝a3，即有q2＝，解得q＝﹣，即有a n＝a1q n﹣1＝?（﹣）n﹣1，前n项和S n＝＝1﹣（﹣）n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n＝（﹣1）n n2+n?（）n，设{（﹣1）n n2}的前n项和为H n，{n?（）n}的前n项和为Q n，当n为偶数时，H n＝﹣1+4﹣9+16+…﹣（n﹣1）2+n2＝1+2+3+4+…+n＝n（n+1）．Q n＝1?（）+2?（）2+…+n?（）n，Q n＝1?（）2+2?（）3+…+n?（）n+1，两式相减可得Q n＝+（）2+（）3+…+（）n﹣n?（）n+1＝﹣n?（）n+1，化为Q n＝2﹣（n+2）?（）n，T n＝H n+Q n＝﹣（n+2）?（）n；当n为奇数时，H n＝（n﹣1）n﹣n2＝﹣n（n+1），Q n＝2﹣（n+2）?（）n，T n＝H n+Q n＝﹣﹣（n+2）?（）n；综上可得，T n＝．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，﹣1）．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx﹣1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用﹣代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝?×＝．则＝，因为，即＞，整理得4k4﹣k2﹣14＜0，解得﹣＜k2＜2所以0＜k2＜2，即﹣＜k＜0或0＜k＜．从而k的取值范围为（﹣，0）∪（0，）．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣，∵函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值，∴f′（1）＝0，∴a＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x﹣lnx，∴f（x）+2x＝x2+b∴x﹣lnx+2x＝x2+b，∴x2﹣3x+lnx+b＝0设g（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）＝，当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表x（0，）（，1）1（1，2）2g′（x）+0﹣0+g（x）↗极大值↘极小值↗b﹣2+ln2 ∴当x＝1时，g（x）最小值＝g（1）＝b﹣2，g（）＝b﹣﹣ln2，g（2）＝b﹣2+ln2∵方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根∴，∴，∴+ln2≤b＜2；（Ⅲ）证明：∵k﹣f（k）＝lnk，∴＞?+++…+＞，（n∈N，n≥2），设φ（x）＝lnx﹣（x2﹣1），则φ′（x）＝﹣＝，当x≥2时，φ′（x）＜0?函数y＝φ（x）在[2，+∞）上是减函数，∴φ（x）≤φ（2）＝ln2﹣＜0?lnx＜（x2﹣1），∴当x≥2时，＞＝2（﹣），∴++…+＞2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2（1+﹣﹣）＝，∴原不等式成立．免责声明：本文仅代表作者个人观点，作参考，并请自行核实相关内容.声明：本文部分内容来自网络，本司不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本司将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu第21页（共21页）。

2018年天津市部分区高考数学二模试卷(理科)

2018年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)已知集合A={1，2，3}，集合B={x∈N|x-1＞0}，则集合A∩B=（）A．{1，2}B．{1，3}C．{2，3}D．{1，2，3}2．(★)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A．1364B．340C．84D．603．(★)设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x-4y的最小值为（）A．B．-3C．-4D．-64．(★)要得到函数y= sin（x- ）的图象，只需将函数y= sin（2x- ）图象上所有点的横坐标（）A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度B．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度C．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度D．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度5．(★★)存在实数x，使|x-1|-|x-3|≤a成立的一个必要不充分条件是（）A．-2≤a≤2B．a≥2C．a≥-2D．a≥-66．(★★★)已知函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，且当x≤0时，f（x）=-x 3+ln （1-x）．记a=f（log 36），b=f（log 48），c=f（log 510），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c7．(★★)设F 1，F 2分别是双曲线- =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F 1作直线F 1P与圆x 2+y 2=a 2相切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足= （+ ），| |= ，则双曲线的方程为（）A．-=1B．-=1C．-=1D．-=18．(★★★)在平面直角坐标系内，如果两点P、Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称（P、Q）是函数y=f（x）的一对“奇点”（奇点（P、Q）与（Q、P）看作是同一奇点）．已知函数f（x）= ，恰有两对“奇点”，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，0）B．（-∞，1）C．（0，1）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．(★★)已知a∈R，i是虚数单位，若复数z= ∈R，则复数z= ．10．(★★★)曲线y=ae x+2的切线方程为2x-y+6=0，则实数a的值为．11．(★★)已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为 cm 3．12．(★★★)天津大学某学院欲安排4名毕业生到某外资企业的三个部门A、B、C实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A部门工作的方法有种（用数字作答）．13．(★★★)在直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，则直线l被曲线C截得的弦的长为．14．(★★★)在△ABC中，AB=6 ，AC=6，∠BAC= ，点D满足= ，点E在线段AD上运动，若=λ+μ，则3λ+ 取最小值时，向量的模为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．(★★★)已知函数f（x）=cos 2ωx+ sin2ωx- （ω＞0）的图象上相邻的最高点间的距离是π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A，B，C满足sinAsinC-sin 2C=sin 2A-sin 2B，求f（A）的取值范围．16．(★★★)某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队．往年的智慧队和理想队的构成数据如表所示，现要求被选出的4名大学生中两队中的大学生都要有．（Ⅰ）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；（Ⅱ）记选出的4名大学生中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．男（名）17．(★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PD=CD=1，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）证明：PB⊥平面DEF；（Ⅱ）若三棱锥A-BDP的体积为，求直线BD与平面DEF所成角的正弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角D-BP-C的余弦值．18．(★★★★★)已知抛物线x 2=4y的焦点与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C的上顶点为A，过A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于另一点B，线段AB 的中点为M，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于点N，△ABN的面积为k，求k的值．19．(★★★★)已知数列{a n}的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列{a n}的前n项和为S n，且a 6=2S 3，a 2+a 3=a 5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n= ，求数列{b n}的前n项和T n．20．(★★★★)已知函数f（x）=lnx-e x+2，h（x）=f（x）+e x-ax-2，若函数h（x）有两个零点x 1，x 2（x 1＞x 2），a∈R．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）＜0；（Ⅲ）求证：x 1x 2＞e 2．。

天津市2018年高考数学二轮复习题型练3大题专项三角函数、解三角形综合问题检测文

题型练3 大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.已知函数f(x)=sin x-2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最小值.2.在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.4.(2017北京,文16)已知函数f(x)=cos-2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.##题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解 (1)因为f(x)=sin x+cos x-=2sin,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤,所以≤x+≤π.当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间上的最小值为f=-.2.解 (1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B=.由正弦定理知,所以AB==5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos B cos+sin B sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-=-.因为0<A<π,所以sin A=.因此,cos=cos A cos+sin A sin=-.3.(1)证明根据正弦定理,可设=k(k>0).则a=k sin A,b=k sin B,c=k sin C.代入中,有,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin A sin B=sin C.(2)解由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=.所以sin A=.由(1),sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.4.(1)解f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin=-.所以当x∈时,f(x)≥-.5.解 (1)由已知可得f(x)=a=a sin,∵BC==4,∴T=8,∴ω=,由题中图象可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2.(2)由(1)知f(x0)=2sin,即sin.∵x0∈,∴x0+,∴cos,∴f(x0+1)=2sin=2sin=2=2.6.解 (1)∵m=,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=·(sin x,cos x)=sin x-cos x=sin=0.又x∈,∴x-.∴x-=0,即x=.∴tan x=tan=1.(2)由(1)和已知得cos==sin,又x-,∴x-,即x=.。

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题型练6 大题专项(四)立体几何综合问题
1.
如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(1)求证:PC⊥AB;
(2)求点C到平面APB的距离.
2.
如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明:G是AB的中点;
(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
3.
已知PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,BA⊥AD,CD=AD=AP=4,AB=2.
(1)求证:CD⊥平面ADP;
(2)若M为线段PC上的点,当BM⊥PC时,求三棱锥B-APM的体积.
4.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC,D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.
(1)求证:EF∥平面BDC1;
(2)求三棱锥D-BEC1的体积.
5.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
6.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AC,过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处).
(1)求证:平面PAB⊥平面PBC.
(2)若PC⊥平面AEFG,求的值.
(3)直线AE是否可能与平面PCD平行?证明你的结论.
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题型练6大题专项(四)
立体几何综合问题
1.(1)证明取AB的中点D,连接PD,CD.
∵AP=BP,
∴PD⊥AB.
∵AC=BC,∴CD⊥AB.
∵PD∩CD=D,
∴AB⊥平面PCD.
∵PC⊂平面PCD,∴PC⊥AB.
(2)解由(1)知AB⊥平面PCD,
∴平面APB⊥平面PCD.
过C作CH⊥PD,垂足为H.
∵平面APB∩平面PCD=PD,
∴CH⊥平面APB.
∴CH的长即为点C到平面APB的距离.
由(1)知PC⊥AB,又PC⊥AC,且AB∩AC=A,
∴PC⊥平面ABC.∵CD⊂平面ABC,∴PC⊥CD.
在Rt△PCD中,CD=AB=,PD=PB=,∴PC==2.
CH=,
∴点C到平面APB的距离为.
2.(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D,
所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.
所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.
又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.
(2)解在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.
理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,
又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.
连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.
由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,
故CD=CG.
由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,
所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.
在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.
所以四面体PDEF的体积V=×2×2×2=.。