变量间的相关关系

§2.3 变量间的相关关系学习目标 1.了解变量间的相关关系，会画散点图.2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系.3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程.知识点一 变量间的相关关系 相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系. 知识点二 散点图及正、负相关的概念思考 粮食产量与施肥量间(在一定范围内)的相关关系有什么特点？ 答案 在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高. 梳理 (1)散点图将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.点(x ，y )叫样本点中心. (2)正相关与负相关①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域. ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 知识点三 回归直线 回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.回归直线过样本点中心. (2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程. (3)最小二乘法：求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n (x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1n x 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中，b ^是线性回归方程的斜率，a ^是线性回归方程在y 轴上的截距.1.人的身高与年龄之间的关系是相关关系.( × )2.农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系.( √ )3.回归直线过样本点中心(x ，y ).( √)类型一 变量间相关关系的判断例1 下列两个变量之间是相关关系的是( ) A.圆的面积与半径之间的关系 B.球的体积与半径之间的关系 C.角度与它的正弦值之间的关系D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 考点 变量间的相关关系 题点 相关关系的判断 答案 D解析 由题意知A 表示圆的面积与半径之间的关系S ＝πr 2，B 表示球的体积与半径之间的关系V ＝4πr 33，C 表示角度与它的正弦值之间的关系y ＝sin α，都是确定的函数关系，只有D 是相关关系，故选D.反思与感悟 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系. 跟踪训练1 下列两个变量间的关系不是函数关系的是( ) A.正方体的棱长与体积B.角的度数与它的正切值C.单产为常数时，土地面积与粮食总产量D.日照时间与水稻的单位产量考点变量间的相关关系题点相关关系与函数关系的辨析答案 D解析函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系.因为A项V＝a3，B项y＝tan α，C项y＝ax(a＞0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系.D项是相关关系.类型二散点图的应用例25名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：判断它们是否具有线性相关关系.考点散点图题点利用散点图判断两个变量是否有相关关系解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示.由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系.反思与感悟(1)判断两个变量x和y间具有哪种相关关系，最简便的方法是绘制散点图.变量之间可能是线性的，也可能是非线性的(如二次函数)，还可能不相关.(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形偏大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.跟踪训练2下列图形中两个变量具有线性相关关系的是()考点 散点图题点 利用散点图判断两个变量是否有相关关系 答案 C解析 A 是一种函数关系；B 也是一种函数关系；C 中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关；D 中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的. 类型三 回归直线的求解与应用例3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：(1)画出散点图；(2)如果y 对x 有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；(3)在实际生产中，若它们的近似方程为y ＝5170x －67，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 解 (1)散点图如图所示：(2)近似直线如图所示：(3)由y ≤10得5170x －67≤10，解得x ≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内.引申探究1.本例中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？ 解 因为y ＝5170x －67，所以当x 增加一个单位时，y 大约增加5170.2.本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速. 解 因为y ＝5170x －67，所以当y ＝7时，7＝5170x －67，解得x ≈11.反思与感悟 求线性回归方程的一般步骤(1)收集样本数据，设为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )(数据一般由题目给出). (2)作出散点图，确定x ，y 具有线性相关关系. (3)把数据制成表格x i ，y i ，x 2i ，x i y i . (4)计算x ，y，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i . (5)代入公式计算b ^，a ^，公式为⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n x i y i－n x y∑i ＝1n x 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .(6)写出线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.跟踪训练3 某种产品的广告费支出x (单位：百万元)与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：考点 回归直线 题点 求回归直线方程 (1)画出散点图； (2)求回归方程. 解 (1)散点图如图所示.(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.于是可得，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y ∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回归方程是y ^＝6.5x ＋17.5.1.对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2,3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以断定( )A.x 与y 正相关，u 与v 正相关B.x 与y 正相关，u 与v 负相关C.x 与y 负相关，u 与v 正相关D.x 与y 负相关，u 与v 负相关 考点 散点图题点 利用散点图判断两个变量是否有相关关系 答案 C解析 由图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，故x 与y 负相关；由图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故u 与v 正相关.2.工人工资y (元)与劳动生产率x (千元)的相关关系的回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是( )A.劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元B.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元C.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元D.当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 B解析 因为回归直线的斜率为80，所以x 每增加1，y 平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元.3.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点中心(x ，y )C.若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 D解析 当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg.4.某地区近10年居民的年收入x 与年支出y 之间的关系大致符合y ^＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元. 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 12.1解析 将x ＝15代入y ^＝0.8x ＋0.1，得y ^＝12.1.5.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4,5)，则线性回归方程是________.答案 y ^＝1.23x ＋0.08解析 回归直线的斜率的估计值为1.23，即b ^＝1.23，又回归直线过定点(4,5)，∴a ^＝5－1.23×4＝0.08，∴y ^＝1.23x ＋0.08.1.判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图.根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关.2.求线性回归方程时应注意的问题(1)知道x 与y 成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的.(2)用公式计算a ^，b ^的值时，要先计算b ^，然后才能算出a ^.3.利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则在x ＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.一、选择题1.判断下图中的两个变量，具有较强相关关系的是( )考点 两个变量的线性相关的应用 题点 相关性强弱的判断 答案 B解析 A ，C 是函数关系，D 中的点的分布毫无规则，横轴、纵轴表示的两个变量之间相关性不强.2.某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其线性回归方程可能是( )A.y ^＝－10x ＋200B.y ^＝10x ＋200C.y ^＝－10x －200 D.y ^＝10x －200考点 正相关、负相关题点 利用数据或方程判断两个变量的正负相关 答案 A解析 x 的系数为负数，表示负相关，排除B ，D ，由实际意义可知x ＞0，y ＞0，C 中，散点图不经过第一象限，故选A. 3.已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程为y ^＝2.2x ＋0.7，则m 的值为( )A.1B.0.85C.0.7D.0.5考点 回归直线 题点 样本点中心的性质 答案 D解析 x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝m ＋3＋5.5＋74，将其代入y ^＝2.2x ＋0.7，可得m ＝0.5，故选D.4.设有一条回归直线的方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加1个单位时( ) A.y 平均增加1.5个单位 B.y 平均增加2个单位 C.y 平均减少1.5个单位 D.y 平均减少2个单位 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 C解析 ∵回归方程为y ^1＝2－1.5x ，① ∴y ^2＝2－1.5(x ＋1)，②∴②－①得y ^2－y ^1＝－1.5，即y 平均减少1.5个单位，故选C.5.根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^＞0，b ^＞0B.a ^＞0，b ^＜0C.a ^＜0，b ^＞0 D.a ^＜0，b ^＜0考点 散点图 题点 散点图的应用 答案 B解析 画出散点图，知a ^＞0，b ^＜0.6.已知x 与y 之间的一组数据：若y 与x 线性相关，则y 与x 的回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过( ) A.点(2,2) B.点(1.5,0) C.点(1,2) D.点(1.5,4)考点 回归直线 题点 样本点中心的性质 答案 D解析 ∵x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，∴回归直线必过点(1.5,4).故选D. 7.已知x ，y 的取值如表所示：如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ^＝b ^x ＋132，则b ^等于( )A.－12B.12C.－110D.110考点 回归直线 题点 求回归直线方程 答案 A解析 ∵x ＝2＋3＋43＝3，y ＝6＋4＋53＝5，∴回归直线过点(3,5)，∴5＝3b ^＋132，∴b ^＝－12，故选A.8.某产品的广告费用x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元D.72.0万元考点 两个变量线性相关的应用 题点 利用线性回归预报变量的值 答案 B解析 x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544＝42.因为回归直线过点(x ，y )，所以42＝9.4×3.5＋a ^.解得a ^＝9.1.故回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.所以当x ＝6时，y ^＝6×9.4＋9.1＝65.5.9.某公司过去五个月的广告费支出x (单元：万元)与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据：工作人员不慎将表格中y 的第一个数据丢失.已知y 对x 呈线性相关关系，且回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，有下列说法：①销售额y 与广告费支出x 正相关；②丢失的数据(表中▲处)为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；④若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元.其中，正确的说法有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 B解析 由回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5，可知b ^＝6.5，则销售额y 与广告费支出x 正相关，所以①正确；设丢失的数据为m ，由表中的数据可得x ＝5，y ＝220＋m 5，把点⎝⎛⎭⎫5，220＋m 5代入回归方程，可得220＋m5＝6.5×5＋17.5，解得m ＝30，所以②正确；该公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以③不正确；若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为y ＝6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，所以④不正确.故选B. 二、填空题10.在一次试验中测得(x ，y )的四组数据如下：根据上表可得线性回归方程y ^＝－5x ＋a ^，据此模型预报当x ＝20时，y 的值为________. 考点 两个变量的线性相关的应用 题点 利用线性回归预报变量的值 答案 26.5 解析x ＝16＋17＋18＋194＝17.5，y ＝50＋34＋41＋314＝39，∴回归直线过点(17.5,39)，∴39＝－5×17.5＋a ^，∴a ^＝126.5，∴当x ＝20时，y ＝－5×20＋126.5＝26.5.11.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：由表中数据得到的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中b ^＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元.考点 两个变量的线性相关的应用 题点 利用线性回归预报变量的值 答案 14.5解析 由表中数据得x ＝4，y ＝9，代入线性回归方程得a ^＝4.6，∴当x ＝9时，y ^＝1.1×9＋4.6＝14.5.12.期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差____________分. 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 答案 20解析 令两人的总成绩分别为x 1，x 2. 则对应的数学成绩估计为y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20.13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：h)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h 篮球的投篮命中率为________. 考点 两个变量的线性相关的应用 题点 利用线性回归预报变量的值 答案 0.5 0.53解析 y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝2.55＝0.5，x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3.由公式，得b ^＝0.01，从而a ^＝y －b ^x ＝0.5－0.01×3＝0.47.所以回归方程为y ^＝0.47＋0.01x .所以当x ＝6时，y ^＝0.47＋0.01×6＝0.53. 三、解答题14.2018年元旦前夕，某市统计局统计了该市2017年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(1)如果已知y 与x 是线性相关的，求线性回归方程； (2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出. (参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)考点 回归直线 题点 求回归直线方程解 依题意可计算得，x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36， x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ^＝∑i ＝110x i y i－10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.17，a ^＝y －b x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81.(2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)可估计大多数年收入9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元. 四、探究与拓展15．有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害．下表给出了不同类型的某种食品的数据．第一列表示此种食品所含热量的百分比，第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价.(1)根据上表数据，制成散点图，你能从散点图中发现食品所含热量的百分比与食品口味之间的近似关系吗？(2)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．解(1)画出散点图．从散点图上可以看出，食品所含热量的百分比与口味值之间总体趋势近似地成一条直线，也就是说它们之间是线性相关的．(2)如图，我们用一条直线近似地表示这种线性相关关系．16．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，试用线性回归分析的方法预测他孙子的身高．解根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：x ＝173，y ＝176，∴b ＝∑i ＝13(x i －x )(y i －y )∑i ＝13(x i －x )2＝3×6(－3)2＋32＝1，a ＝y －b x ＝176－173＝3， ∴线性回归方程为y ＝x ＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．。