直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系
直角三角形的角关系:任意两条边的长度之和大于第三条边，任意两条边的长度之差小于第三条边。斜边的平方等于两条直角边的平方和。直角三角形的判断:有一个直角的三角形是直角三角形；两个锐角互补的三角形是直角三角形；如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形的性质:1。角的性质:直角三角形的两个锐角是互补的。2.边的性质:直角三角形的三条边满足勾股定理，这是直角三角形最重要的性质。
3.斜边上的高度:直角三角形的斜边上的高度高于两个直角除以斜边的乘积，这是一种很常见的求高度线的方法。4.斜边上的中线:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常用于几何计算和证明。
5、一副直角三角形包含两个特殊的三角形，含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，在含有30°角的直角三角形中，30°角所对应的直角边是斜边的一半。6、HL定理，判断两个直角三角形全等的特殊定理，本质是全等三角形的SSS定理，注意本定理只能在直角三角形中才能运用。
第一章 直角三角形的边角关系
莱西市第四中学九年级数学导学案 第二章《直角三角形边角关系》 编号
主编：栾淑辉 审核：初四数学组 学生姓名 班级
1 第二章 直角三角形的边角关系
1.1 锐角三角函数——正切
学习目标:
1.探索直角三角形中边角关系.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
学习重点:1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
学习难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
导学过程：
一、自学提纲：
1、在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗?
在Rt△ABC中,∠C=90°,
⑴若 =1,∠B=60°，则= ,= , ∠A= .
(2) 若C=42,∠A=45°，则a= ,b=
, ∠B= .
二、合作交流：
1.如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
2.以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
3.Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
4.222111BACCBACC和有什么系？
莱西市第四中学九年级数学导学案 第二章《直角三角形边角关系》 编号
主编：栾淑辉 审核：初四数学组 学生姓名 班级
2 5.如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比
三角形的边角关系
三角形的边角关系
三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。边和角之间存在着一系列重要的关系，这些关系对于解决三角形相关问题和证明三角形性质非常重要。本文将深入探讨三角形的边角关系，包括角度和边长之间的关系以及三角形中的一些特殊边角关系。
一、角度和边长的关系
1. 三角形内角和角度和为180度
三角形的三个内角之和恒为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。这一特性是三角形的重要基本属性，可以通过三角形内角和定理来证明。
2. 同位角和对应角
当两条平行线被一条截线所穿过时，截线与平行线所夹的内、外角成对应角关系。同位角是指两条平行线被第三条截线所穿过后所得到的对应内角，它们的度数相等。对应角是指两条平行线被第三条截线所穿过后所得到的两个内角，它们的度数相等。
3. 三角形的外角和
三角形的一个外角等于其余两个内角的和。假设三角形的内角为∠A、∠B、∠C，其对应的外角为∠D、∠E、∠F，则有∠D = ∠A +
∠B，∠E = ∠B + ∠C，∠F = ∠C + ∠A。
二、三角形的特殊边角关系 1. 等边三角形
等边三角形的三条边长度相等，三个内角也相等，每个角都是60度。等边三角形具有对称性和稳定性，在建筑、设计和工程等领域有广泛应用。
2. 等腰三角形
等腰三角形的两条边长度相等，两个底角也相等。底角是等腰三角形两边的夹角，顶角是等腰三角形的顶点处的角，它恒为60度。等腰三角形也常见于建筑和工程设计中。
3. 直角三角形
直角三角形的一个内角为90度，称为直角，另外两个内角为锐角。直角三角形是解决三角函数问题的基础，它的边角关系可以通过勾股定理得到。
4. 三角形边长关系
在三角形中，两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边。这一关系称为三角形的两边之和大于第三边定理和两边之差小于第三边定理。
5. 等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它同时具有等腰和直角的性质。在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且每个锐角为45度。
第一章_直角三角形的边角关系_解直角三角形及其应用复习(讲义)
- 1 - 解直角三角形及其应用
1. 定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2. 直角三角形的边角关系：如图:
（3）边角之间的关系：
3. 解直角三角形的四种基本类型：如下图：
已知直角三角形的两个基本元素（至少有一个是边），利用以上关系就可以求出其余的未知元素，其中恰当地选用边角关系是关键。
应注意以下原则：
（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。
（2）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。
（3）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。
4. 几个常用概念：
（1）仰角：在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角。
（2）俯角：在测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角叫俯角。
（3）坡度：（坡比）如图:
坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比，叫做坡面的坡度。
（4）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
坡度越大，坡角越大，坡面越陡。
（5）方向角（如图）
OA：北偏东30°
OB：东南方（南偏东45°）
OC：南偏西70° OD：北偏西60°
东西与南北方向线互相垂直。
5. 运用解直角三角形的方法解决实际问题：
基本思路：要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。（即构建数学模型：直角三角形），才能运用解直角三角形的方法求解。
一般有以下几个步骤：
（1）审题：根据题意画出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知和未知。
（2）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。
（3）选择适当关系式解直角三角形。
典型例题
例1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：
（1）a＝8，b＝6
（2）c＝16，∠A＝32°
2. 如图某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，可以将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度（精确到1cm）。
直角三角形的三边关系
直角三角形的三边关系
30度直角三角形边长比为：1：√3：2。直角三角形是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。其符合勾股定理，具有一些特殊性质和判定方法。
普通直角三角形边角关系
直角三角形判定方法
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a²+b²+c²，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
5:若两条直线相交，其斜率的乘积为负倒数，则两条直线相互垂直。那么这个三角形就是直角三角形。
6:如果三角形一边的中线等于它边的一半，那么这个三角形是直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。
直角三角形边角关系
华罗庚数理化
基本功训练作业纸
直角三角形的边角关系
1
直角三角形的边角关系
引入：下列直角三角形中，∠C=∠D=∠I=90°，∠A
=∠D =∠G ，CJ、FK、IL分别为高，求证：
①∠A的对边：∠A的邻边为定值；
②∠A的对边：斜边为定值；
③∠A的邻边：斜边为定值。
证明：
思考：如果∠A变大，那么∠A的对边：∠A的邻边变化吗？如何变化？
定义：tanA=∠A的对边：∠A的邻边
sinA=∠A的对边：斜边
cosA=∠A的邻边：斜边
求正切
1、 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA=；tanB=。
2、 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA=；tanB=。
（一般地，如果∠A+∠B=90°，那么tan∠A〃tan∠B=1）
3、已知在Rt△ABC中，AC=10,CM是斜边上的高，CM=6，求tan A
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，若:3:2ac，求tanA
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，若2ba，求tanA
7、判断下列那个坡更陡：
华罗庚数理化 基本功训练作业纸 直角三角形的边角关系
2
8、正方形ABCD边长为4，MN关于对角线AC对称，DM=1，求tan∠ADN。
9、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=4，若把梯形沿CE折叠，则B和D重合，求tan∠BCE
10、在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，沿CE折叠矩形，点B恰好落在AD边上的点F，求tan∠AFE；
11、已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于（ ）
利用正切求边
1、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3，AC=6，则BC=
2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3，AC=10，则AB=
直角三角形的边角关系
）cosAcosB tanA; tanB;sinsinAB直角三角形的边角关系
一、知识点回顾
1、锐角A的三角函数 （1）、∠A的正弦：在Rt△ABC中，sinA=
（2）、∠A的余弦：在Rt△ABC中，cosA=
（3）、∠A的正切：在Rt△ABC中，tanA=
【注】①当0°<<90°时，0
②当0°<<45°时，01
2、锐角三角函数的性质
（1）1、1AcosAsin22 （2）、AAAcossintan
（3）、在Rt△ABC中，sinA=cosB，cosA=sinB
（4）、对于锐角A 的每一个确定的值，其三个三角函数值也是唯一确定的。
（5）、锐角∠A的正弦、正切值随∠A的增大而增大；∠A的余弦值随∠A的增大而减小。（如果B>A，那么
（6）、45°是sin和cos的值的分界点，①当0°<<45°，sin<cos；②当
45°<<90°，sin>cos；③当=45°时，sin=cos）
（7）、在Rt△ABC中，tanA>sinA（tanA=ba，sinA=ca，而b
3、直角三角形的边角关系
（1）角的关系：两锐角互余（90BA)
（2）边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理，222cba）
（3）边与角的关系：sinA=ca，cosA=cb，tanA=ba，
（4）直角三角形的相关性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(如图：AB21CD)
30°角所对的直角边等于斜边的一半（如图，∠A=30°，AB21BC)
4、特殊角的三角函数值
直角三角形的边角关系(初中锐角三角函数)
1 直角三角形的边角关系
（一）三角函数概念及性质
1.Rt△ABC中，∠C=90°，锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦，记作sinＡ，即sinA＝；锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦，记作cosＡ，即cosA＝；锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的正切，记作tanＡ，即tanA＝；锐角Ａ的正弦、余弦、正切都叫做∠Ａ的三角函数。
注：①正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；
②sinA不是sin与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“sinA”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；
③锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
2.一些特殊角的三角函数值
三角函数 0° 30° 45° 60°
sinα 0 21 22 23
cosα 1 23 22 21
tanα 0 33 1 3
3.各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
（2）0
（3）平方关系 1cossin22AA
（4）弦切关系
tanA=AAcossin
4.锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） acbcab2 （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
【练习】
练习1（求三角函数）
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是___
A、 B、 C、 D、
2、在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（ ）
A、512 B、125 C、513 D、1213
3、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.
第一章 直角三角形的边角关系 全章自学导读
靖边五中九年级数学自学导读
1 第一章 直角三角形的边角关系
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
学习方法:
引导—探索法.
学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
靖边五中九年级数学自学导读
2
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
⑵222111BACCBACC和有什么关系？
⑶如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?
⑷由此你得出什么结论?
三、例题：
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.
四、课后练习：
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.
2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.
3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.
5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.
6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD的周长.
数学课本_直角三角形的边角关系
高中数学(3)课本 1-1 直角三角形的边角关系 6
您可曾想过，如何利用地面两处所测量的仰角，来计算远方建筑物的高度？国中数学课程中，介绍了直角三角形的勾股定理及三角形的许多全等与相似性质。本章中我们介绍三角学，引入三角函数，将三角形的相似性质数量化，然后应用在实际的测量问题上。
1 三 角
1-1 直角三角形的边角关系
●直角三角形边的比例
●sinθ，cosθ，tanθ的性质
●锐角的三角函数
1-2 广义角与极坐标
●广义角
●广义角的三角函数
●广义角三角函数的性质
●极坐标
●弧度
1-3 正弦定理、余弦定理
●面积公式
●正弦定理
●余弦定理
●海龙公式
高中数学(3)课本 1-1 直角三角形的边角关系 7
1-4 和角公式与差角公式
●和角公式与差角公式
●倍角公式
●半角公式
1-5 三角测量
●三角函数值的求法
●平面测量与立体测量
1-1 直角三角形的边角关系
在国中的时候，我们知道：相似的三角形，其三边长的比例是固定的，不因三角形的大小不同而改变。在本节里，我们将探讨直角三角形的边角关系。
1 直角三角形边的比例
观察图 1 这几个大小不同的 30°－60°－90°直角三角形：
图 1
我们可以发现：这几个直角三角形彼此都相似，而且三边长的比都是 1：3：2。事实高中数学(3)课本 1-1 直角三角形的边角关系 8
上，所有 30°－60°－90°直角三角形都是如此。因此，在图 2 的 30°－60°－90°直角三角形中，不论三角形的大小为何，我们都可以得到
30的對邊長斜邊長＝12，
30的鄰邊長斜邊長＝32，
3030的對邊長的鄰邊長＝13=33。
图 2
随堂练习 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
直角三角形的边角关系(复习课)
第一章《直角三角形的边角关系 》
【授课类型】
复习课
【教学目标】
1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图；
2．利用检测，检验学生知识掌握与应用程度；
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用；能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。
4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题；
【教学重难点】
重点：归纳直角三角形的边、角之间的关系，利用这些关系式求解直角三角形的边和角，解决实际问题。
难点：直角三角形的边、角之间的关系解决实际问题
【教学方法】
本节课以学生活动为主，尽可能在回顾与思考的几个问题的自主研讨交流过程中逐渐引导、启发学生建立知识体系，归纳、总结本章学习中的收获以及困难及需要改进的地方。
【教学过程】
一、激趣导入，建构网络
以大海上漂泊的帆船结合李白行路难中的诗句：“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海”，激励学生努力学习，通过船帆的形状引入课题，对本章知识总结归纳，形成知识体系，建构结构网络，查缺补漏，以求厚积薄发。
1、直角三角形中的边角关系：
（1）三边关系：___________；
（2）两锐角关系：___________；
（3）边、角间的关系sinA=___cosA=_____;tanA=_____
2、同角三角函数关系：
平方关系：sin2 A+cos2A=_____；
3、互余两角的三角函数关系
sin（_______）=cosA cos（_______）=sinA
4、锐角三角函数的范围：___＜sinA＜___； ___＜cosA＜____； tanA＞____，
5、三角函数的大小比较
(1) 同名三角函数的大小比较 ①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．