直角三角形的边角关系复习
直角三角形的边角关系复习(一)优秀课件
C
D
60
o
课堂教学 （二）利用解直角三角形解决实际问题
挑战自我：重庆是一座美丽的山城，某中学依山而建，
校门A处，有一斜坡AB，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的
角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的
仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，
FD=5米．求DC的长． （参考数据：tan53°≈
5
则BC=
cosB= .
前置学习展示
1、（类型一：考察定义）
在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝8 ， sin B 4，
5
则BC=
cosB= .
前置学习展示
1、（类型一：考察定义）
在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝8 ， sin B 4，
5
则BC=
cosB= .
构造直角三角形，直接运用三角函数的定义求值 借助边的数量关系求值 根据三角函数关系求值．
cos∠BCD
。
课堂教学 （一）利用三角形来解一般三角形
问题1：如图△ABC中，∠B=45 ° ，∠C=30°， AB= ，求AC长。
课堂教学 （一）利用三角形来解一般三角形
问题2：如图在△ABC中，∠B=135°，∠C=30°，
BC=
,求AC长。
B
旋转
D
C
64o60650606060600 45 60
类型四（考察三角函数的增减性）
4、若锐角a满足cosa< ，tana< ，则a的取值范围是
前置学习展示
（类型五：转化思想）
5、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC= ，BC=2，则
cos∠BCD
中考数学复习指导：《直角三角形的边角关系》专题专练及答案
《直角三角形的边角关系》专题专练专题一：锐角三角函数考点分析：在理解三角函数定义的基础上，理解并掌握三角函数有关的概念及性质； 典例剖析例1． 如图1，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．分析：先用勾股定理求出第三边，再利用三角函数的定义求解 解：根据点P 的坐标利用勾股定理可以求得OP=2243+=5. 所以sin α=54=斜边的对边α. 点评：过已知点向坐标轴引垂线构造直角三角形，利用这点的坐标求出对应线段的长度，便可计算要求的锐角的三角函数值.例2．在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．分析：由于正切与两条直角边有关，故直接利用三角函数的定义求解 解：因为tan A =122a ab a == 点评：本题重点考查学生对正切定义的理解和运用情况，只要记住定义，就可以把边的比转化为正切了专练一：1、在△ABC 中,∠C=90°,则cosB 的值为( ) A.1D.122、若且α为锐角,则cos α等于( ) A.12B.23、在△ABC 中,若21sin tan 02A B ⎫-+-=⎪⎪⎝⎭,则∠C 的度数为( ) A.30° B.60° C.90° D.120°图14、把Rt △ABC 的三边都扩大十倍，关于锐角A 的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是A.甲B.乙C.丙D.都不正确5、（1）已知tan α则锐角α的度数为_____; （2）若cos 0α,则锐角α的度数为_____. 6、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。
（1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。
直角三角形的边角关系-三角函数的应用(复习课)
A
C 30° 50
45°
E
3 50 50 3.
3
3
AB AE BE
在RtCEB中, CEB 90, ECB 45,CE 50,
50 3 50 3
B
B 45 ECB
79.
BE CE 50.
答：古塔的高度约为79米.
例3.直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞
3 0°
1 2
3 2 3 3
45 °
2 2 2 2
1
角度 逐渐 增大
6 0°
3 2
1 2
逐渐 增大
逐渐 减小
3 逐渐 增大
3.概念反馈
在利用三角函数解应用题时，经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
视线
（2）坡度 tan α ＝
α为坡角
h α
l
h
铅
仰角
lБайду номын сангаас
垂
线
俯角
水平线
视线
（3）方位角
北
A
30°
西
O
东
北师大版九年级（下）第一章
知识梳理1. 注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中.
B
定
sinA
∠A的对边
义
斜边
斜边
∠A的对边
A ∠A的邻边 C
cosA tanA
∠A的邻边 斜边
∠A的对边 ∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数
2、特殊角的三角函数值表
角度
三角函数
sinα cosα tanα
DF
中考链接
3.如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测 得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E 处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条 幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处 20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：
初中数学：直角三角形的边角关系(复习)
42 3
B
当堂达标
A
C
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，b= 2 3 ，c=4。
2
60°
30°
则a=_____，∠B=_____，∠A=______。
2.如果
cos A
1
3 tan B 3 0
2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
2.在△ABC中，若|sin A－ 3 |＋( 2 －cosB)2＝0，∠A，∠B都是锐角
75°
，则∠C＝_______．
3.若锐角 满足 cos
A.30 45
0
0
2
2
2
B
且 tan 3，则 的范围是（）。
2
B.45 60
0
0
C.60 0 90 0
D.30 0 60 0
角∠ACE=39°．已知山高180m．求BC的长．
（参考数据：tan31
3
1
9
7
，sin31 ，tan39
，sin39
）
5
2
11
11
180
39°
？
D
当堂达标
5.如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得
仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，
则山高为______
500（ 3 1_m
）
C
(四)解直角三角形的应用
仰角与俯角
与实际问题有关的几类角
方位角
坡角与坡度
以观测者O为中心，
OA表示北偏东 30°，OB表示南偏东
九年级数学下册 直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
C
A
D
B
【典例2】△ABC中，AB=AC，2AB=3BC， 求∠B的三个三角函数值。 A
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
┌
C
四．三角函数的概念及锐角三角函数的关系
1. 用函数的观点看： tan α 、sin α、 cos α 都是角α的函数。即：y= tan α、 y= sin α、 y= cos α 分别是锐角α的正切、正弦、余弦 函数。自变量取值范围：0＜ α＜90° 对于任意锐角α，各三角函数之间的关系
直角三角形边角关系复习
第一章《直角三角形的边角关系》复习指导二、基础知识1．锐角三角函数的定义：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =c ，BC =a ，AC =c ，则sin A =＿＿，cos A =＿＿，tan A =＿＿，cot A =＿＿，它们统称为＿＿．α)= ＿＿，tan(90°－α)= ＿＿，cot(90°－α)= ＿＿．4．同角三角函数的关系： sin 2α+ cos 2α=＿＿，tanα·cotα=＿＿．5．直角三角形中的边角关系：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，三边a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则∠A +∠B =＿＿°，a 2+b 2=＿＿，sin A =＿＿B ＝＿＿，cos A =＿＿B =＿＿，tan A =＿＿B =＿＿，cot A =＿＿B =＿＿．6．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的＿＿，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的＿＿．7．仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离、水位、方位角：(1)仰角与俯角：AB图1它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线上方的叫做＿＿＿，在水平线下方的叫做＿＿． 如图2，∠AOC 就叫做＿＿，∠BOC 就叫做＿＿． (2)坡度与坡角：如图3通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做＿＿，用字母i 表示，即i =＿＿，坡度一般写成＿＿＿的形式．坡面与水平面的夹角叫做＿＿，记作α，则有i =＿＿=＿＿． （3）方位角：如图4，A 点位于O 点的＿＿30°方向，而B 点位于O 点的＿＿60°方向．8．直角三角形的边角关系及其应用：在直角三角形中，除直角外，还有＿＿个基本元素，由直角三角形中的已知元素，即可求出＿＿元素．利用直角三角形的边角关系求其余未知元素通常有下列四种类型：(1)已知斜边和一直角边；(2) 已知两条直角边；(3) 已知一锐角和一直角边；(4) 已知斜边和一锐角．由此，利用直角三角形的边角关系求解时已知的两个元素中，至少要有一条是＿＿．9．处理简单的斜三角形：对于斜三角形通常是利用作＿＿使之构造出直角，从而将简单的斜三角形转化为＿＿三角形．10．利用直角三角形的边角关系的依据是：(1)三边关系：＿＿；(2)两锐角之间的关系：两锐角＿＿；(3)边角关系：四个锐角＿＿的定义及斜边上的中线等于斜边的＿＿和 30°所对的直角边等于斜边的＿＿．三、典题赏析例1 （南通）计算： tan60°·sin60°－cot30°·tan45°． 分析 由特殊角的三角函数值可得： tan60°·sin60°－cot30°·tan45°3122-=-．说明 熟记特殊角的三角函数值是处理此类题目的关键．例2 (兰州)如果sin 2α＋sin 230°＝１，那么锐角α的度数是（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 分析 对照等式sin 2α+cos 2α=1，可以将sin 2α＋sin 230°＝１利用sin （90°－α）＝cosα变形为sin 2α＋cos 2（90°－30°）＝１，所以α＝60°，故应选D ．说明 等式sin 2α+cos 2α=1及互余角的性质在处理直角三角形的问题中有着十分广泛应用，应注意领会．图2 水平线图3西直角三角形的边角关系练习题一、选择题1. 若α是锐角，且1cos(90)2α-=，且α等于（）Ａ．30 Ｂ．45 Ｃ．60Ｄ．902. R t A B C △中，C D 为斜边A B 上的高，则:C D B C 的值为（）Ａ．sin AＢ．cos AＣ．tan AＤ．cot A3. 已知R t A B C △中，90C ∠= ，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，1cos 3B =，则b 的长为（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．4. 在△ABC 中，AB =AC =4，BC =2，则4cos B 等于 A.1B.2C.15D.4155. △ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A =21，cos B =23，则△ABC 的形状是A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定二、填空题6. 在A B C △中，若22cos (tan 1)0B C -+-=，则A ∠=．7. 已知tan α·tan30°＝1，且α为锐角，则α＝______．8. △ABC 中，三个内角之比为1∶2∶3，则对应的三边之比为__________。
直角三角形的边角关系(复习)
B
D
B
C
D
学习了《测量物 体的高度》，数学兴 趣小组的同学们对本 城区的古塔进行了调 查，并收集到相关的 数据，你能根据提供 的数据，计算出古塔 的大致高度吗？(结 果保留整数）
50 50 3
3
79
A
B
C
D
1 即AD sin B AB 16 8. 2 BD AB2 AD2 162 82 8 3.
BC BD DC 8 3 6.
在RtADC中， DC AC 2 DC 2 102 82 6.
变式一.在△ABC中, AB=16 , ∠B=30°, A ∠C=45°, 求BC的长.
A
D
BC BD DC 8 3 6.
在RtADC中， DC AC 2 DC 2 102 82 6.
变式二.在△ABC中, AB=16, AC=10, ∠B=30°,求BC的长.
解：当ACB为钝角时， 延长BC，过A作AD BC于D.
过A做AD BC于D. 在RtABD中，AB 16，B 30O , sin B AD , AB
北师大版九年级（下）第一章
A
b
C
c
a
B
如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的 花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：身高 对边分别为 a、b、c,这其中的边和角之间具有怎样 2.29 米的姚明，乘电梯会有碰头的危险吗？（参考数值： 的关系呢？ sin27 °=0.45，cos27°=0.89，tan27b °=0.51） c a
初中数学专题复习直角三角形的边角关系
第一章直角三角形的边角关系一、中考要求：1．掌握锐角三角函数(sinA,cosA,tanA）的定义，知道30°、45°、60°、0°、90°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．2．掌握运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题的方法。
二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：(二)中考热点：新课标对解直角三角形的要求略有减弱，从2004、2005年各课改实验区的中考命题来看，运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关联的应用题是中考的热点．三、中考命题趋势及复习对策解直角三角形在实际生活中的应用题，是中考的重点内容，其次是特殊角的三角函数值，锐角三角函数包含三部分内容，一是解直角三角形及特殊锐角函数值的考查，以填空，选择题的形式出现；二是解决实际问题，以解答题的形式出现；三是渗透在中高档解答证明题中，一般占10分左右．在复习时，要正确了解三角函数概念把握其本质，才能正确理解解直角三角形中边角之间关系，才能利用这些关系解题，另外还要注意数形结合，解题时通过画图来找出函数关系，帮助解题．(Ⅰ)考点突破考点1：锐角三角函数的概念一、考点讲解：1．锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图1－1－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b，c．∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值． 二、经典考题剖析：1.（2004、南山，4分）计算：()012sin 60-︒+-+（结果保留根号．．．．．．）解：原式=112-2.（2004____.解：13.（2004、北碚，5160|2|2-+-+.解：原式1242+=. 三、针对性训练：(45 分钟)1．已知cos α＜0.5，那么锐角α的取值范围是（）A ．60°＜a ＜90°;B ．0°＜a ＜60°;C ．30°＜a ＜90°;D ．0°＜a ＜30° 2．2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ）A 、 3 .BC ．0 3．等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ）A 、12BC ．l4．在Rt △ABC 中，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=90°，则a 3 cosA+b 3cosB 等于（ ）A ．abcB ．（a+b ）c 3C ．c 3D ().abc a b c +5．点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M ′的坐标是（ ）A.1()2B. 1)2C.1)2-D. 1()2-6．在△ABC 中，∠C ＝90 °，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c 2－4ac+4a 2= 0，则sinA+cosA 的值为（ ）B C D7．在△ABC 中，∠A 为锐角，已知 cos(90°－A ）sin(90°－B ）ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形;B ．直角三角形;C ．钝角三角形 ;D ．等腰三角形 8．sin35°·cos55°十cos35°·sin55°＝_______; 9．在锐角△ABC 中，如果2sinC=sin90°，则∠C=______;10 已知0°＜a ＜45;11在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，斜边上的高是 3 ，则a=____, b=______，c ＝______．12 已知：如图 l －1－2，在△ABC 中，BC ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝45°，求BC 边上的高AD.13 如图1－l －3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，点D 在AC 上，∠BDC=60°，AD=l ，求BD 、DC 的长．14 如图1－1－4所示，四边形ABCD 中，BC=CD=BD ，∠ADB=90°，cos ∠ABD=45 ，求S ΔABD ：S ΔBCD .15 计算：sin 30(1tan 45sin 60-;16 如图1－1－5，在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),则cos ∠OAB 等于__________.17 如图1－l －6，在四边形ABCD 中．∠B ＝∠D ＝90°，∠A=60°，AB=4，AD=5，求 BCCD 的值。
直角三角形的边角关系(复习)
我学会了……
我应该注意……
知识梳理
锐角三角函数
A
特殊角的三角函数
c
b C a
B
解直角三角形
简单实际问题
1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角形的基本图形：
2、作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形 .
3、解直角三角形应用的解题思路：
构建
简单实际问题
数学模型
作垂线
解直角三角形
A
B
D
如图，在△ABC中,AB=16,AC=10, AD⊥BC于点D ， AD=8,求tanB, BC的值.
A 变式一.在△ABC中, AB=16 , ∠B=30°, ∠C=45°, 求BC的长. B 变式二.在△ABC中, AB=16, AC=10, ∠B=30°,求BC的长. A D
A
B
D
B
C
B c A
┌
4 5
方法一：根据互为余角两个锐角的正余弦 4 的关系
cos B sin A
a 方法二：定义法
5
b
C
a 4 sin A ， 设a 4k , c 5k (k 0) c 5 a 4k 4 cos B c 5k 5
2.（济南）在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都 是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan∠ACB的值为（ A ） A． 1 B． 1 C． 2 D．3 2 2 3
【考点】锐角三角函数的定义． 【专题】网格型． 【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
2 1 【解答】解：由图形知：tan∠ACB= 6 3 ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题， 关键是掌握锐角三角函数的定义．
直角三角形的边角关系复习北师大版数学课件
【解析】设小正方形的边长为1，
则tan∠BAC=
3 答案： 2
DE 3 . AE 2
7.(2010·中山中考)如图，已知Rt△ABC中，斜边AB上的高 CD=4，cosB=
4 ，则AC=___________. 5 4 ， 5
【解析】由题意可知，∠B=∠ACD， 所以,cos∠ACD=cosB=
【解析】由作法可知OA=OB=AB,
所以∠AOB=60°，所以cos∠AOB= .
1 答案： 2 1 2
8.(2010·江西中考)计算：sin30°·cos30°-tan30°
=_______(结果保留根号).
【解析】原式=
1 2 3 3 3 3 3 . 2 3 4 3 12
3
【解析】选C.由三角函数的定义知cos30°= 3 .
2
6.(2011·枣庄中考)将一副三角尺如图 所示叠放在一起，若AB＝14 cm,则阴影
部分的面积是______cm2.
【解析】在Rt△ABC中，AC=ABsin30°=14× 1 =7(cm).
2
因为∠ACB=∠AED=90°,所以CB∥ED,
比例，涉及的知识点不多，是解决与直角三角形有关的实际 问题的基础. 复习的重点是锐角三角函数的概念，30°、45°、60° 角的三角函数值，用计算器求锐角三角函数值，注意三角函 数值与角的度数之间的相互转化，难点是灵活运用三角函数 的概念解决问题.
易混点：直角三角形中，三角函数是哪两条边的比值， 容易混淆.30°、45°、60°角的三角函数值记忆不准确，常 有混淆.
sin32 0.5
∵∠FAD=90°-∠BAE,∠α=90°-∠BAE, ∴∠FAD=∠α=32°. 在Rt△AFD中，cosFAD AF ,