直角三角形边角关系专题复习
《直角三角形的边角关系》复习课件
(1)2 3 2 0 2sin 30 3
2
题型2 解直角三角形
1∠.如AD图E4=，a，在且矩c形osAαB=CD3 中，DE⊥A B ）
A．3
B．16
3
C. 20 3
D.16 5
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标
如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中
间的小正方形拼成的一个大正方形． 若大正方形
的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形 的较长直角边为a，较短直角边为b，
则a+b的值为（ B ）
A．35 B．43 C．89 D．97
题型3 解斜三角形
1.如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8， 求△ABC的面积（结果可保留根 号）．
AC=12，则cosA等于（ D ）
A. 2 , B. 5 , C.12 , D.12 12 13 5 13
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°， CD⊥AB于点D，已知AC= 5 ，
BC=2，那么sin∠ABC=（ A ）
A． 5
B. 2
C. 2 5
D. 5
3
3
5
2
5．计算：
．
|- 2 |+（cos60°-tan30°）+ 8
3.已知∠A，b. 解直角三角形
4. 已知∠A，c. 解直角三角形
【热点试题归类】
题型1 三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4， 则sinA的值为_______． 2. 在Rt△ABC中，∠C =90°，BC=4，AC=3， 则cosA的值为______． 3. 如图，在△ABC中，∠C =90°，BC=5，
初中数学：直角三角形的边角关系(复习)
42 3
B
当堂达标
A
C
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，b= 2 3 ，c=4。
2
60°
30°
则a=_____，∠B=_____，∠A=______。
2.如果
cos A
1
3 tan B 3 0
2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
2.在△ABC中，若|sin A－ 3 |＋( 2 －cosB)2＝0，∠A，∠B都是锐角
75°
，则∠C＝_______．
3.若锐角 满足 cos
A.30 45
0
0
2
2
2
B
且 tan 3，则 的范围是（）。
2
B.45 60
0
0
C.60 0 90 0
D.30 0 60 0
角∠ACE=39°．已知山高180m．求BC的长．
（参考数据：tan31
3
1
9
7
，sin31 ，tan39
，sin39
）
5
2
11
11
180
39°
？
D
当堂达标
5.如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得
仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，
则山高为______
500（ 3 1_m
）
C
(四)解直角三角形的应用
仰角与俯角
与实际问题有关的几类角
方位角
坡角与坡度
以观测者O为中心，
OA表示北偏东 30°，OB表示南偏东
直角三角形的边角关系复习
北
C
120
D
60°
AD=160 3 120 B 160 3 120 4 3 3 3.（小时） 9 40
A
5要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶 端，梯子与地面所成的角一般满足50º≤ ≤75º．如图，现有一个6m长的梯子，梯子底 端与墙角的距离围3m． (1)求梯子顶端B距墙角C的距离(精确到0.1m)； (2)计算此时梯子与地面所成的角，并判断人 能否安全使用这个梯子． (参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732) B
3. 如图, 在上海黄埔江东岸,矗立着亚洲第一的 电视塔“东方明珠”,某校学生在黄埔江西岸B处,测 得塔尖D的仰角为45°,后退340m到A点测得塔尖 D的仰角为30°,设塔底C与A、B在同一直线上, 试求该塔的高度.（精确到0.01m）
该塔的高度约464.45m.
4.如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必 须立即卸货.此时,接到气象部门通知,一台风正以40海 里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中心 200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. (1)问:B处是否受到台风的 影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响, 该船应在多少小时内卸完货物?
答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.
检测2.（约16分钟）
1、植树节，某班同学决定去坡度为1︰2的山坡上种 树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，斜 3 5 坡上相邻两树间的坡面距离为 m.
A
A
i=1︰2
B
C
B
D
C
2、如图为了测量小河的宽度，在河的岸边选择B、C 两点，在对岸选择一个目标点A，测得∠BAC=75°, ∠ACB=45°，BC=48m, 求河宽 (72 24 3 ) 米
中考数学专题复习：直角三角形的边角关系
中考数学专题复习：直角三角形的边角关系一．选择题（共13小题）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．2．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（）A．B．C．+1 D．﹣14．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能5．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD 的值是（）A．B．2 C．D．6．如图是某一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）A．30sinα米B．米C．30cosα米D．米7．如图所示为该地区某滑雪场的一段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE．已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B，D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离约为（参考数据sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）（）A．15.9米B．16.0米C．16.4米D．24.5米8．小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对某亭的高度进行测量．他们在临时搭建的一个坡度为12：5的钢板斜坡上的F点测得亭顶A点的仰角为13°，F点到地面的垂直高度FG＝1.8米，从钢板斜坡底的E点向前走16.2米到D点，测得亭前阶梯CD的长度为2.5米，坡度为3：4．C点到亭中心O点的距离为1米．根据测量结果，该亭的高度AO大约为（）米．（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，A，B，C，D，E，F，G各点均在同一平面内）A．4.9 B．4.6 C．6.4 D．6.19．如图，某栋教学楼AB顶部竖有一块宣传牌BC，某同学从建筑物底端A点出发，沿水平方向向右走12米到达D点，在D处测得宣传牌底部B点的仰角是54°，再经过一段坡比为1：2.4，坡长为6.5米的斜坡DE到达E点（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E 处测得宣传牌的顶部C点的仰角是45°，则宣传牌BC的高度为（）（参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，结果精确到0.1米）A．1.4米B．3.9米C．4.0米D．16.6米10．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（）A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°11．如图，测量人员计划测量山坡上一信号塔的高度，测量人员在山脚点C处，测得塔顶A 的仰角为45°，测量人员沿着坡度i＝1：的山坡BC向上行走100米到达点E处，再测得塔顶A的仰角为53°，则山坡的高度BD约为（）（精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，≈1.73，≈1.41）A．100.5米B．110.5米C．113.5米D．116.5米12．如图，为了测量某建筑物BC的高度，某数学兴趣小组采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，先沿斜坡AD行走390米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行一定距离后至点E处，在E点处测得该建筑物顶端C的仰角为68°，建筑物底端B的俯角为57°，其中A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4，根据数学兴趣小组的测量数据，计算得出建筑物BC的高度约为（）（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，tan68°≈2.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）A．241.6米B．391.6米C．422.9米D．572.9米13．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝25米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．10.4米B．12.4米C．27.4米D．22.4米二．填空题（共7小题）14．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为________．15．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是________．16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，线段AE与线段CD相交于点F，且AE＝AB，连接DE，∠E＝∠C，若AD＝3DE，则cos E的值为________．17．某型号的机翼形状如图所示，根据图中的数据，可求AB的长度为________m．（≈1.732，结果保留两位小数）18．如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为________米（结果保留根号）．19．如图，从飞机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，飞机A与楼的水平距离为240m，这栋楼的高度BC是________m（≈1.732，结果取整数）．20．如图，测高仪CD距建筑物AB底部5m，DC⊥BC，AB⊥BC，在测高仪D处观测建筑物顶端的仰角为50°，测高仪高度为1.5m，则建筑物AB的高度为________m．（精确到0.1m，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）三．解答题（共4小题）21．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．（1）若AE＝1，求△ABD的周长；（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．22．如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C 的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）23．如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B 处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）24．如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．13°28°32°锐角A三角函数sin A0.22 0.47 0.53cos A0.97 0.88 0.850.62tan A0.23 0.53参考答案1．解：在△ABC中，因为∠C＝90°，所以tan∠B＝，因为∠B＝42°，BC＝8，所以AC＝BC•tan B＝8×tan42°．故选：D．2．解：作P A⊥x轴于A，如右图．∵P（3，4），∴OA＝3，AP＝4，∴OP＝＝5，∴sinα＝．故选：D．3．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝45°，∵CD＝AC，∴∠D＝22.5°，设AB＝BC＝x，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝x，∴AC＝CD＝x，∴BD＝BC+CD＝（+1）x，∴tan D＝tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：D．4．解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE 即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，故选：A．5．解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．故选：A．6．解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，∴sinα＝＝，∴BC＝30sinα米．故选：A．7．解：作BF⊥AP于F，DG⊥AP于G，DH⊥PE于H，在Rt△AFB中，sinα＝，AB＝12米，∴AF＝AB•sinα≈12×0.28＝3.36，设DH＝x米，∵DE的坡度为i＝1：2.4，∴HE＝2.4x，由勾股定理得，（2.4x）2+x2＝19.52，解得，x＝7.5，∴一人从A出发到E处下降的垂直距离＝3.36+5.5+7.5≈16.4（米），故选：C．8．解：由题意可知，∠AFM＝13°，CD＝2.5．CD的坡比是3：4，EF的坡比是12：5，FG ＝1.8，DE＝16.2，MF∥NG，ON⊥NG，CH⊥NG，FG⊥NG，OC＝NH＝1（米），∴四边形MNGF是矩形，∴FM＝NG，在Rt△CDH中，设CH＝3x，DH＝4x，∴CD＝2.5，∴（3x）2+（4x）2＝2.52，∴x＝0.5，∴DH＝2（米），CH＝1.5（米），在Rt△EFG中，，FG＝1.8，∴，∴EG＝0.75（米），∴FM＝GN＝EG+DE+DH+NH＝19.95（米），在Rt△AMF中，tan∠AFM＝＝tan13°，∴AM≈19.95×0.23＝4.5885（米），∴AO＝AM+MO＝AM+（FG﹣CH）≈4.9（米），故选：A．9．解：（1）过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，作EG⊥AB于G．∴则四边形EF AG是矩形，∴AG＝EF，AF＝EG，Rt△DEF中，i＝tan∠EDF＝1：2.4，∵DE＝6.5米，∴EF＝2.5米，DF＝6米，∵AD＝12米，∴AF＝EG＝AD+DF＝18米，在Rt△CEG中，∠CEG＝45°，∴CG＝EG＝18米，Rt△ABD中，∠ADB＝54°，AD＝12米，∴AB＝AD•tan54°≈12×1.38＝16.56（米），∴BC＝CG+GA﹣AB＝18+2.5﹣16.56＝3.94（米）≈3.9米，即宣传牌BC的高度为3.9米．故选：B．10．解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∴DE＝EF，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，∵sin∠CED＝，∴CD＝DE sin∠CED＝15sin64°，故选：C．11．解：如图作EF⊥AD于F，EH⊥CD于H．在Rt△ADC中，∠ACD＝45°，∴AD＝CD，在Rt△CEH中，EC＝100米，EH：CH＝1：，∴EH＝50米，CH＝50米，∵四边形EFDH是矩形，∴EF＝DH，EH＝DF＝50米，设BF＝x，则EF＝x，∴CD＝AD＝50+x，BD＝x+50，AF＝50+x﹣50，在Rt△AEF中，tan53°＝，∴≈，∴x＝150﹣50≈63.5（米），∴BD＝BF+DF＝63.5+50≈113.5（米）．故选：C．12．解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．在Rt△ADH中，AD＝390米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝150（米），∵四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH＝150米，在Rt△EFB中，tan57°＝，∴EF＝，在Rt△EFC中，FC＝EF•tan68°，∴CF≈×2.48≈241.6（米），∴BC＝BF+CF＝391.6米．故选：B．13．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，∵i＝＝＝，∴设CQ＝4x、BQ＝3x，由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝252，解得：x＝5或x＝﹣5（舍），则CQ＝PE＝20（米），BQ＝15（米），∴DP＝DE+PE＝23（米），在Rt△ADP中，∵AP＝＝≈27.4（米），∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝27.4﹣15﹣2＝10.4（米）故选：C．14．解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，∵BC＝，BD＝，∴sin∠ACB＝，故答案为．15．解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点A的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．16．解：在AD上取一点G，使AG＝DE，连接BG，如图所示：∵AD＝3DE，∴DG＝2AG，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，∴∠C＝∠BAG，∵∠C＝∠E，∴∠BAG＝∠E，在△ABG和△EAD中，，∴△ABG≌△EAD（SAS），∴BG＝AD＝3DE＝3AG，∴BD＝，∴AB＝＝AG，∴cos E＝cos∠BAD＝；故答案为：．17．解：如图，延长BA交过点C的水平线于点E，作DF⊥BE于点F，在Rt△CEA中，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝5（m），在Rt△BDF中，∠BDF＝30°，∵cos∠BDF＝，∴DB＝＝10（m），∴BF＝BD＝5（m），∵AB+AE＝EF+BF，∴AB＝5.40+5﹣5≈1.74（m）．故答案为：1.74．18．解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，∴BD＝AB＝10（m），∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，故答案为：（30﹣10）．19．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意有∠DAC＝60°，∠BAD＝30°，AD＝240m，在Rt△ADC中，∵∠DAC＝60°，AD＝240m，∴DC＝tan60°•AD＝240（m），在Rt△ADB中，∵∠DAB＝30°，AD＝240m，∴DB＝tan30°•AD＝80（m），∴BC＝240+80＝320≈554（m），故答案为：554．20．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，∵∠DCB＝∠CBE＝∠DEB＝90°，∴四边形BEDC是矩形，∴DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝DE•tan∠ADE＝5tan50°≈5×1.19＝5.95（m），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），答：建筑物AB的高度约为7.5m，21．解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC，∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，故△ABD的周长为1．（2）设AD＝x，∴BD＝3x，又∵BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝4x，在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．∴tan∠ABC＝＝＝．22．解：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50米，设BM＝x米，则MC＝BM＝x米∵BH＝BM﹣HM∴BH＝（x﹣50）米，∴在Rt△ABH中，∵HC＝HM+MC∴HC＝（50+x）米，在Rt△AHC中，，∴，解得x＝110，即BM＝110米，答：点B到水面距离BM的高度约为110米．23．解：如图，作AD⊥BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，∴BD＝，∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），∴AD＝30（+1）≈82（m），答：此段河面的宽度约82m．24．解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，∴AF＝AD•cos∠DAF＝100×cos28°＝100×0.88＝88（cm），在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，∴AE＝＝＝≈91（cm）；（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，如图所示：∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠DAC＝100×sin28°＝100×0.47＝47（cm），在Rt△DFG中，tan∠DGA＝，∴tan32°＝，∴FG＝＝≈75.8（cm），∴AG＝AF+FG＝88+75.8＝163.8（cm），在Rt△AGN中，AN＝AG•sin∠DGA＝163.8×sin32°＝163.8×0.53≈86.8（cm），∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝AN≈1.41×86.8≈122.4（cm），∴EM＝AM﹣AE≈122.4﹣91≈31（cm），当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为31cm．。
直角三角形的边角关系复习
直 角 三 角 形 边 角 关 系 锐角三角函 数的意义
锐角三角 函数计算 利用三角函数 解决实际 问题
30°、45°、60° 角的三角函数值
一般锐角的 三角函数值 利用三角函 数求锐角
知识点一：锐角三角函数的定义及相关知识
1、锐角三角函数的定义
锐 角 三 角 函 数
a sin A c b cos A c a tan A b
2、三角函数有关计算
D是AB上一点，连接 DC，若∠BDC=60°，
已知一个锐角的三角函数值，可知 直角三角形的两边关系，进而可知
该三角形的三边关系，这是一种很
常见的解题技巧.
在△ ABC中，若斜坡AB的 坡度为1:2，则三边之比为：
知识点三：锐角三角函数的应用
1、相关概念
北 B
30°
（1）倾斜角 （2）坡角 （3）仰、俯角
2、锐角三角函数值的求解
如图，在正方形网格中，∠B的正切值 是 ，∠A的正切值是 .
E
如图，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上
的高，AB=4，AC=3，tan ∠CAD＝ .
4
3
如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE 折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处， 若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（ ）
4
5
总结反思: 1、要选准恰当的直角三角形； 2、注意问题的本质；
3、转化的思想.
知识点二：锐角三角函数的有关计算
1、特殊角的三角函数值
需牢记的知识
1 2
3 2
3 3
2 2
2 2
3 2
1 2
1
3
5 cos A ， 如图，在△ABC中， ∠B=90°， 7
直角三角形的边角关系知识点整理复习(无答案)
DSL 金牌数学初三下系列（一） 直角三角形的边角关系知识点精析精讲考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A 余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A 正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A考点二、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）商的关系：tanA=AAcos sin考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________；考点五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：______________________（勾股定理） （2）锐角之间的关系：______________________（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=______________ (4) 面积公式：c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高） 考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
《直角三角形的边角关系》复习专题3 直角三角形边角关系的应用
专题三 直角三角形边角关系的应用本专题主要是根据直角三角形边角的关系，确定边长、角的度数以及三角函数值等，此类问题是锐角三角函数解决实际问题中的一个过渡，通过本专题的复习，应到达以下目标：能根据直角三角形中的边角关系，求边长、角的度数以及锐角三角函数值等．例1 如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，∠C =120°，AB =8，那么CD 的长为〔 〕．A ．863B ．46C ．323D ．42 分析：求CD 的长可构造直角三角形利用三角函数求解：如图1，作AF ⊥BC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ，那么根据条件可求出DE =AF =AB ·sin B ，再根据三角函数求出CD 的长．解：作AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 并交BC 的延长线于E ．在Rt △ABF 中，因为AB =8，∠B =45°，所以2422845sin =⨯=︒•=AB AF ， 所以42DE AF ==．在Rt △CDE 中，因为18012060DCE ∠=-=，所以4286sin 60332DE CD ===，应选A ． 说明：在利用锐角三角函数求边长时，假设所求的边不在直角三角形内，那么需将它转化到直角三角形中去，转化的途径比拟多，如构造直角三角形或用的直角三角形的边或角来代替．例2 如图2，AD 为等腰三角形ABC 底边上的高，且4tan 3B =，AC 上有一点E ，满足AE ∶EC =2∶3．那么， tan ∠ADE 是〔 〕．A．35B．23C ．12D ．13分析：要求tan∠ADE值，需要构造包含∠ADE的直角三角形，为此需要过点E作EF⊥AD，再求出EFFD即可．解：因为AD⊥BC，垂足为D，AB=AC，所以∠BAD=∠CAD．因为4tan3B=，∠B+∠CAD=90°，所以3 tan4CAD∠=．作EF⊥AD交AD于F，那么tan∠CAD34 EFAF==．所以34EF AF=．因为AD⊥BC，EF⊥AD，所以EF∥CB．又AE∶EC=2∶3，所以AF∶FD=2∶3．所以32FD AF=．所以314tan=322AFEFADEFD AF∠==．应选C．说明：当要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找等角．此题采用了构造直角三角形的方法．专题训练：1．如图3，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，那么cos∠BCD=_____．2．如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，5tan∠DAC=55，那么AB=〔〕．A．5B．5C．25 D．553．如图5，在△ABC中，∠B=60°，BC=2，中线CD⊥BC，求AB，tan A的值．参考答案：1．452．A3．因为∠B=60°，CD⊥BC，所以∠CDB=30°．因为CB=2，所以DB=4，CD=所以AD=4，AB=8．作CE⊥BD，那么CE，DE=3．所以AE=7．所以tan A。
直角三角形的边角关系复习课件
┃善于总结是学习的前提条件┃
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。注 意把实际问题转化为数学问题，建立数学模型。
D
┃走进中考┃
（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度 沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏 东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯 塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）
A、20海里 B、40海里
C、
海里
D、
海里
┃练一练┃
1．（2015•铜仁市）如图，一艘轮船航行到B处时， 测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海 里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试 问轮船有无触礁的危险？（ ≈1.732）
B
α=30° 120 A β=60°
D
B
C
C
A
┃走进中考┃
（2012•泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点 测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到 达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度 为（ ）
┃练一练┃
1、（2014山东青岛20，8分） 如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测 得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索 道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°． （1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）； （2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）． 1 （参考数据：tan31° ≈ 3 ，sin31° ≈ ， tan39° ≈ ， 9 5 7 2 sin39 ° ≈ ） 11 11
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
页 1第1讲 解直角三角形专题复习【知识点梳理】 （一） 三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)如图，在ABC Rt ∆中，（1）的邻边的对边A A A ∠∠=tan ＝ a b（2）斜边的对边A A ∠=sin ＝ a c（3）斜边的邻边A A ∠=cos ＝ b c（二）特殊角的三角函数值（三）三角函数之间的关系1、余角关系：在∠A+∠B=90°时ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边页 2B A cos sin = B A sin cos = 1tan tan =⋅B A2、同角关系sin 2A+cos 2A=1. .cos sin tan AAA = （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i 表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i ＝_tan α如图所示， l hi ==αtan ，即坡度是坡角的正切值．（3）方向角：平面上，通过观察点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O 点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．（五）解三角形及其应用利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤：① 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；② 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；③ 寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．考点一：锐角三角函数例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A．B．C．D．例2、已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°例3、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=，tan∠APD的值=．例4、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．考点二：坡度、坡角实际问题例1、如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（）米．A．1.2B．1.1C．0.8D．2.2页3页 4例2、如图，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度为i=1：2，顶部A 处的高AC 为4m ，B 、C 在同一水平地面上．（1）求斜坡AB 的水平宽度BC ；（2）矩形DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m ，EF=2m ，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D 离地面的高．（结果保留根号）考点三：解三角形例1、如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=3，cosB=，则AC 的长为（ ）A ．3B ．3.5C ．4.8D ．5例2、如图，△ABC 中AB=AC=4，∠C=72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE ⊥AB ，则cosA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．例3、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E ．（1）求线段CD 的长；（2）求cos ∠ABE 的值．页 5考点四：三角函数综合应用例1、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m 的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是（ ）A ．3000mB ．3000（）mC ．3000（）mD ．1500m例2、如图，小山岗的斜坡AC 的坡角α=45°，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，小山岗的高AB 约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（ ）A ．164mB ．178mC ．200mD ．1618m例3、如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B 处，此时观测到灯塔M 在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是（ ）A ．10分钟B ．15分钟C ．20分钟D ．25分钟页 6例4、如图，在坡度i=1：的斜坡AB 上立有一电线杆EF ，工程师在点A 处测得E 的仰角为60°，沿斜坡前进20米到达B ，此时测得点E 的仰角为15°，现要在斜坡AB 上找一点P ，在P 处安装一根拉绳PE 来固定电线杆，以使EF 保持竖直，为使拉绳PE 最短，则FP 的长度约为（ ）（参考数据：≈1.414，≈1.732）A ．3.7米B ．3.9米C ．4.2米D ．5.7米【课堂闯关】1、如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tanA 的值是（ ）A ．B ．C ．2D ． 3、α是锐角，且，则（ ）A ．0°＜α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．60°＜α＜90°4、如图，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且sinB=．点E 在AC 上且AE ：EC=2：3．则tan ∠ADE 等于（ ）A ．B ．C ．D ．5、如图，斜面AC 的坡度（CD 与AD 的比）为1：2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC 的高为（ ）A ．（3+）米 B ．8米 C ．6米 D ．5米页 76、如图，热气球从C 地垂直上升2km 到达A 处，观察员在A 处观察B 地的俯角为30°，则B 、C 两地之间的距离为（ ）A ．km B ．C ．2kmD ．27、小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．（1）求出大厦的高度BD ； （2）求出小敏家的高度AE ．8、2016年10月强台风“海马”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为 ∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m ． （1）求∠DAC 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）页 8【直击中考】1、一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）A ．米2B ．米2C ．（4+）米2 D ．（4+4tan θ）米22、如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）A ．B ．C ．D ．3、一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）=sin α•cos β+cos α•sin β；sin （α﹣β）=sin α•cos β﹣cos α•sin β．例如sin90°=sin （60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是．4、某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A 处水平飞行至B 处需8秒，在地面C 处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°，B 处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）【课后练习】1、如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．B．C．D．2、如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．3D．3、若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（）A．sinα随α的增大而增大B．cosα随α的增大而减小C．tanα随α的增大而增大D．sinα、cosα、tanα的值都随α的增大而增大4、如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD 为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．米5、某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为（）A．3米B．3米C．米D．2米6、如图，某天小明发现阳光下电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量的CD=8米，BC=20米，斜坡CD的坡度比为1：，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）A．（14+2）米B．28米C．（7+）米D．9米页97、如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B 处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（）A．20B．20﹣8C．20﹣28D．20﹣208、如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为20（1+）海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，则船R到岛P的距离为（）A．40海里B．40海里C．40海里D．40海里9、计算：（1）+tan60°（2）2cos45°•sin45°﹣2sin30°•tan45°+•tan60°．10、观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图1），则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有：，，所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图2，△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A=；AC=；页10（2）如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图3），求此时货轮距灯塔A的距离AB．页11。