规范答题示范课——函数与导数解答题

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【典例示范 】 (12 分)(2019·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ln x－xx＋ －11. (1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； (2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex 的切线. 切入点：利用导数判定函数单调性，找区间零点. 关键点：利用f(x)的零点x0，确定切点坐标，求切线方程.
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故 f(x)在(0，1)有唯一零点x11. 综上，f(x)有且仅有两个零点.6 分
(2)证明 因为x10＝e－ln x0，
所以点
B－lnx0，x10在曲线来自y＝ex上.7
分
由题设知 f(x0)＝0，即 ln x0＝xx00＋ －11，
故直线 AB 的斜率 k＝－x10l－n xl0n－x0x0＝－x10xx－00－＋xx0011＋－－11x0＝x10.9 分
❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导 f′(x)准确，
否则全盘皆输，判定 f(x1)＝－fx11＝0.第(2)问中，正确计算 kAB 等，否则不得分.
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[满分体验] 1.已知函数 f(x)＝－ax2＋ex－1(0≤a≤2e).
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为e，求a的值； (2)求证：当x>0时，f(x)>0. (1)解 由函数f(x)＝－ax2＋ex－1， 可得f′(x)＝ex－2ax， ∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为e， ∴f′(1)＝e－2a＝e，∴a＝0.
故h(x)在(0，1)上单调递增，h(x)<h(1)＝0， 所以x1x2<1.
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本节内容结束
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规范答题示范课——函数与导数解答题
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[破题之道] 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的 一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨 论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高 考试题的命题热点.对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基 本函数，再根据题意处理.
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∴f′(x)min＝f′(ln(2a))＝eln(2a)－2aln(2a)＝2a(1－ln(2a))， ∵12<a≤2e，∴1－ln(2a)≥0，∴f′(x)min≥0， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故f(x)>f(0)＝0，满足题意， 综上，当x>0时，f(x)>0.
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[规范解答] (1)解 f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞). 因为 f′(x)＝1x＋（x－21）2>0， 所以 f(x)在(0，1)，(1，＋∞)单调递增.2 分 因为 f(e)＝1－ee＋－11<0，f(e2)＝2－ee22－＋11＝ee22－ －31>0，所以 f(x)在(1，＋∞)有唯一零点 x1(e<x1<e2)，即 f(x1)＝0.4 分 又 0<x11<1，fx11＝－ln x1＋xx11＋ －11＝－f(x1)＝0，
判断单调性，利用零点存在定理确定零点个数；第(2)问中，由 f(x0)＝0 定切点 B， 求切线的斜率.
❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出
f(x)的定义域，f′(x)在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问中，找关系 ln x0＝xx00－＋11， 判定两曲线在点 B 处切线的斜率相等.
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(2)证明 由(1)知f′(x)＝ex－2ax， 令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝ex－2a(x>0)， ①当 0≤a≤12时，h′(x)>0，h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，f′(x)>f′(0)＝1，f(x)在(0， ＋∞)上单调递增，f(x)>f(0)＝0，满足题意. ②当12<a≤2e时，令 h′(x)＝ex－2a＝0，解得 x＝ln(2a)， 当 x∈(0，ln(2a))时，h′(x)<0，f′(x)＝h(x)在(0，ln(2a))上单调递减； 当 x∈(ln(2a)，＋∞)时，h′(x)>0，f′(x)＝h(x)在(ln(2a)，＋∞)上单调递增.
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2.(2020·武汉检测)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x＋m(m∈R). (1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围； (2)已知x1，x2是函数F(x)＝f(x)－g(x)的两个零点，且x1<x2，求证：x1x2<1. (1)解 令 F(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－x－m(x>0)，则 F′(x)＝1x－1＝1－x x(x>0)， 当x>1时，F′(x)<0，当0<x<1时，F′(x)>0， 所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增. F(x)在x＝1处取得最大值－1－m，若f(x)≤g(x)恒成立，则－1－m≤0，即m≥－1. 故m的取值范围为[－1，＋∞).
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又曲线
y＝ex 在点
B－ln
x0，x10处切线的斜率是x10，曲线
y＝ln
x
在点
A(x0，ln
x0)处
切线的斜率也是x10，
所以曲线 y＝ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 y＝ex 的切线.12 分
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[高考状元满分心得]
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❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，
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(2)证明 由(1)可知，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，则m<－1，0<x1<1<x2， 要证 x1x2<1，只需证 x2<x11， 由于 F(x)在(1，＋∞)上单调递减，从而只需证 F(x2)>Fx11， 由 F(x1)＝F(x2)＝0，m＝ln x1－x1， 即证 ln x11－x11－m＝ln x11－x11＋x1－ln x1<0， 令 h(x)＝－1x＋x－2ln x(0<x<1)，则 h′(x)＝x12＋1－2x＝x2－x22x＋1>0，