苏教版必修4高中数学第2章《平面向量》本章知识整合
高中数学 第2章 平面向量章末知识整合 苏教版必修4
【金版学案】2016-2017学年高中数学 第2章 平面向量章末知识整合 苏教版必修4专题一 平面向量的线性运算[例1] e 1，e 2是不共线的向量，已知向量AB →＝2e 1＋ke 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．分析：因为A ，B ，D 三点共线，所以存在λ∈R，使AB →＝λBD →，可由已知条件表示出BD →，由向量相等得到关于λ，k 的方程组，求得k 值．解：BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2.因为A ，B ，D 三点共线，故存在λ∈R，使AB →＝λBD →. 所以2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)．解得k ＝－8. 规律方法向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，运用它们的运算法则、运算律，可以解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键．[变式训练] 以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作平行四边形OADB ，C 为AB 与OD 的交点，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.若MN →＝λa ＋μb ，求λ＋μ的值． 解：如图所示，CD →＝12OD →＝12(a ＋b )，CN →＝13CD →＝13×12(a ＋b )＝16(a ＋b )，BC →＝12BA →＝12(a －b )，MC →＝23BC →＝13(a －b )，MN →＝MC →＋CN →＝13(a －b )＋16(a ＋b )＝12a －16b .又MN →＝λa ＋μb ，由平面向量的基本定理，λ＝12，μ＝－16.因此λ＋μ＝12－16＝13.专题二 向量的坐标运算[例2] 已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →. (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 分析：(1)将OP →的坐标用t 表示出来，然后讨论OP →的横、纵坐标．(2)若能成为平行四边形，则有OA →＝PB →，解出t 的值；若t 无解，则不能构成平行四边形．解：(1)因为OA →＝(1，2)，AB →＝(3，3)， 所以OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.解得－23＜t ＜－13.(2)因为OA →＝(1，2)，PB →＝PO →＋OB →＝(3－3t ，3－3t )， 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.又⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2 无解， 故四边形OABP 不能成为平行四边形． 规律方法向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一．运用向量的坐标运算主要可以解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题．[变式训练] 已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|. 当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →.所以(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.当点P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →. 所以(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8.综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0或(－5，8)．专题三 平面向量的数量积[例3] 设0＜|a |≤2，且函数f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.分析：要求|a ＋b |需知道|a |，|b |，故可利用函数的最值确立|a |，|b |的值． 解：f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b |＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋|a |22＋|a |24－|b |＋1. 因为0＜|a |≤2，所以当sin x ＝－|a |2时，14|a |2－|b |＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧14|a |2－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.所以|a ＋b |2＝8＋42， 即|a ＋b |＝22＋ 2. 规律方法平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等．对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键．[变式训练] (2015·重庆卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4 B.π2 C.3π4D ．π 解析：因为(a －b )⊥(3a ＋2b )，所以(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0. 因为|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，则3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， 所以83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.所以cos θ＝22. 又因为0≤θ ≤π，所以θ＝π4.答案：A专题四 平面向量的应用[例4] 如图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点，求证：AM ⊥EF .分析：要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0.将AM →用AB →，AC →表示，EF →用AE →，AF →表示，然后通过向量运算证明．证明：因为M 是BC 的中点， 所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →.所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →)＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →)＝12(0＋AC →·AF→－AB →·AE →－0)＝12(AC →·AF →－AB →·AE →)＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC )]＝0，所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF . 规律方法平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行、数乘向量和相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．解决问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质．二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．解题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型．[变式训练] 如图所示，在平面斜坐标xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的：若OP →＝xe 1＋ye 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到点O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．解：(1)因点P 的坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|＝2，即|OP |＝2. (2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )，则OM →＝xe 1＋ye 2，又|OM →|＝1，所以(xe 1＋ye 2)2＝1. 所以x 2＋y 2＋2xye 1·e 2＝1， 即x 2＋y 2＋xy ＝1.故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.。
高中数学必修(4)第二章平面向量(知识点汇总)
必修4第二章 平面向量1、向量的有关概念：(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）。
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的。
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量。
与a 同向且长度为1的向量，叫做a 的单位向量，记作0a ，||0a a a =。
(4)平行向量：方向相同或相反的两非零向量叫做平行向量。
任一组平行向量经过平移都可以移到同一条直线上，平行向量又叫做共线向量。
规定：0 与任一向量平行。
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2、向量的表示法：（1）字母表示法：如a ，AB 等；（2）几何表示法：用一条有向线段表示向量；（3）代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点O 在坐标原点，终点坐标为（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记为OA =（x ，y ）；3、向量的线性运算法则：（1）平行四边形法则（2）三角形法则4、向量的线性运算性质： a b b a +=+(交换律))()(c b a c b a ++=++（结合律）a a a =+=+0000 =a 00=⋅a 00 =λ||||||a a λλ=a a)()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(⇔+=)(21OB OA OM M 是线段AB 的中点非零向量a 的单位向量为||a a ± 5、共线向量定理：如果b a λ=，则b a //；反之，如果b a //，且0 ≠b ，则一定存在唯一一个实数λ使b a λ=。
6、两个向量平行的充要条件：若a 与b 不共线且b a μλ=，则0==μλ；若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数μλ、，使0 =+b a μλ。
7、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21a a 、，使得2211e a e a a += ，我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底。
(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修 4 知识点总结平面向量知点一 .向量的基本看法与基本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b, c ⋯⋯来表示，或用有向段的起点与uuur uuurxi yj ( x, y)点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a；坐表示法 a向uuur量的大小即向量的模（度），作 | AB | 即向量的大小，作｜a｜向量不可以比大小，但向量的模能够比大小．②零向量：度 0 的向量，0，其方向是随意的，0与随意愿量平行零向量 a ＝0｜r ra ｜＝0因为0的方向是随意的，且定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共）的中必看清楚能否有“非零向量” 个条件．（注意与 0 的区）③ 位向量：模 1 个位度的向量向量 a0位向量｜ a0｜＝1④平行向量（共向量）：方向同样或相反的非零向量随意一平行向量都能够移到同一直上方向同样或相反的向量，称平行向量作a∥ b因为向量能够行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量能够平移到同向来上，故平行向量也称共向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个因素，起点能够随意取，在必划分清楚共向量中的“共” 与几何中的“共”、的含，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一的．⑤相等向量：度相等且方向同样的向量相等向量平移后能够重合， a b 大x1x2小相等，方向同样(x1, y1 )(x2 , y2 )y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuurAB a, BC b ，a+ b = AB BC =AC（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法足交律与合律；向量加法有“三角形法”与“平行四形法”：（1）用平行四形法，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法的特色是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法例；当两向量是首尾连结时，用三角形法例．向量加法的三角形法例可推行至多个向量相加：uuur AB uuurBCuuurCD LuuurPQuuurQRuuurAR ，但这时一定“首尾相连”．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做记作 a ,零向量的相反向量还是零向量a 的相反向量对于相反向量有：（ i）( a)= a；(ii) a +( a )=( a )+ a =0；(iii) 若a、b是互为相反向量，则 a = b , b= a , a +b= 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与 b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与 a 的方向同样；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是随意的②数乘向量知足互换律、联合律与分派律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：假如e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数 1 , 2 使：a1e1 2 e2 ，此中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底7特别注意 :（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有差别，向量平行是向量相等的必需条件（3）向量平行与直线平行有差别，直线平行不包含共线（即重合），而向量平行则包含共线（重合）的状况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细地点没关，只与其相对地点有关学习本章主要建立数形转变和联合的看法，以数代形，以形观数，用代数的运算办理几何问题，特别是办理向量的有关地点关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量能否垂直等 因为向量是一新的工具，它常常会与三角函数、数列、不等式、解几等联合起来进行综合考察，是知识的交汇点例 1 给出以下命题：① 若 | r r r ra | ＝ |b | ，则 a = b ；② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则uuur uuur AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；r rr rr r ③ 若 a = b ， b = c ，则 a = c ，rrrrr r④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ；r r r r r r⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a //c，此中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不必定同样．uuur uuur uuur uuur uuur uuur ② 正确．∵AB DC ，∴ | AB| |DC |且 AB// DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCDuuuruuur uuur uuur 为平行四边形，则，AB//DC 且|AB| |DC |，uuur uuur所以， AB DC ．③ 正确．∵r r r ra =b ，∴ a ， b 的长度相等且方向同样；r r r r 又 b ＝ c ，∴ b ， c 的长度相等且方向同样，r r r r ∴ a ， c 的长度相等且方向同样，故 a ＝ c ．r rr r r r r r ④ 不正确．当 a // b 且方向相反时，即便 | a |=| b | ，也不可以获得 a =b ，故 | a |=| b | r r r r 且 a // b 不是 a =b 的充要条件，而是必需不充足条件．r r⑤ 不正确．考虑 b = 0 这类特别状况．综上所述，正确命题的序号是②③．评论：本例主要复习向量的基本看法．向量的基本看法许多，因此简单忘记．为此，复习一方面要建立优秀的知识构造， 另一方面要擅长与物理中、 生活中的模型进行类比和联想．例 2 设 A 、B 、 C 、 D 、 O 是平面上的随意五点，试化简：uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ① AB BC CD ，② DB AC BD ③OAOCOBCO解：①原式 = uuur uuur uuur uuur uuur uuur( AB BC ) CD AC CD AD ②原式 = uuur uuur uuur r uuur uuur ( DBBD) AC 0 AC AC③原式=uuur (OBuuurOA)uuur ( OC uuurCO)uuurAB uuur(OCuuurCO) uuurAB ruuurAB例 3 设非零向量rrrrrrrrrra 、b 不共线，c =k a + b ，d = a +k b(k R)，若 c ∥ d ，试求 kr r解：∵ c ∥ d∴由向量共线的充要条件得：r r (λ R) c =λ d r r r rr r r 即 k a +b =λ( a +k b ) ∴ (k λ ) a + (1 λ k) b = 0r r又∵ a 、 b 不共线∴由平面向量的基本定理k 0 k11 k二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示： r r在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、y 轴方向同样的两个单位向量 i , j作为基底 由平面向量的基本定理知， 该平面内的任一直量 r r r rr a 可表示成 a xi yj ，因为 a 与r rr 数对 (x,y)是一一对应的，所以把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，此中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标同样，坐标同样的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细地点没关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算：(1) rx 1, y 1 rr rx 1 x 2 , y 1 y 2若 a ,bx 2 , y 2 ，则 a b uuur(2) 若 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 ，则 ABx 2 x 1 , y 2 y 1 (3) r r x, y)若 a =(x,y)，则 a =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0若 a,b，则 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r r x 1 x 2 y 1 y 2若 a,b，则 a br r y 1 y 2 0若 a b ，则 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算 类型向 1 平行四边形法例 r rx,y 21 y)2a bb a量 2 三角形法例a b (x 1的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向 三角形法例r ra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur减ABBA法uuur uuur uuurOB OA AB 向a 是一个向量 ,a( x, y)(a)() a量 知足 :的>0 时, a 与 a 同向 ;()aaa 乘<0 时, a 与 a 异向 ;法=0 时,a = 0( a b ) a ba ∥ bab向 a ? b 是一个数r rx 1x 2 y 1y 2a ?b b ? a量a?b的a0 或 b 0时 ,( a) ba ( b)(a b)数???量 a?b =0(ab) ?ca ?cb ?c积a 0且b 0 时 ,a 2 | a |2 , |a | x 2 y 2a?b |a||b|cos a,b| a ? b | | a || b | r r r r r r r r r r例 1 已知向量 a (1,2), b (x,1), u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，务实数 x 的值r r r r r r r r解：因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b ， v 2a br 2( x,1) (2 x 1,4) r 2(1,2) ( x,1) (2 x,3)所以 u (1,2) ， vr r又因为 u // v所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0 ，即 10x 5解得 x12AC 和 OB （ O 为坐标原点）交例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线点 P 的坐标uuur uuur(x 4, y)解：设 P(x, y) ，则 OP ( x, y), AP因为 P 是 AC 与OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上，也在直线 OB 上uuur uuur uuur uuur即得 OP // OB, AP // ACuuur uuur由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) 得， AC ( 2,6), OB (4, 4)6( x 4) 2 y 0得方程组4x 4 y 0x 3解之得y 3故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 三．平面向量的数目积1 两个向量的数目积：r rrrr r 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a ·b =︱ a ︱ ·︱ b ︱ cosr r r r叫做 a 与 b 的数目积（或内积） 规定 0 a 0r r rr r2 = a b向量的投影： ︱ b ︱ cos r ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射| a |影3 数目积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系： r r r 2 r 2 a aa | a |5 乘法公式建立：r r r r r 2 r 2 r a b a b a bar r 2 r 2r r r 2 r a ba2a b b a2 r 2b ；2 r rr 22a bb6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： rrr r a b b a②对实数的联合律建立： r r r r r r Ra ba b a b③分派律建立：r r r r r r r rr r a bc a cb cca b特别注意 ：（ 1）联合律不建立： r r rr r r；a b ca b cr r r rr r（2）消去律不建立 a ba c不可以获得 b crr不可以获得r r r r （3） a b =0a = 0 或b =07 两个向量的数目积的坐标运算：rrrr已知两个向量a ( x 1 , y 1),b ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b = x 1x 2 y 1 y 2rr uuur ruuur r8 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB=（ 000）叫做向量r r180 a 与b的夹角r rr rx1 x2y1 y2cos= cosa ?b=a, b r r2222? ba x1y1x2y2当且仅当两个非零向量r r r r r a 与b同方向时，θ=00，当且仅当 a 与b反方向时θ=1800，同时0与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r900r r r r9 垂直：假如a与b的夹角为则称 a 与b垂直，记作 a ⊥b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20平面向量数目积的性质例 1判断以下各命题正确与否：r r r0 ；（1）0 a0 ；（2）0 ar r r r r r r（3）若a0, a b a c ，则 b c ；r r r r r r r r⑷若 a b a c ，则 b c当且仅当 a0 时建立；r r r r r r r r r（5）( a b )c a(b c ) 对随意 a,b , c 向量都建立；（6）对随意愿量r r2r2 a，有 a a解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸ 错；⑹对例 2 已知两单位向量r r120，若r r r r r r r r a 与b的夹角为c2a b, d3b a ，试求c 与d的夹角解：由题意，r r r r0，a b 1 ，且a与 b 的夹角为 120r r r r01，所以， a b a b cos1202r r r r r r r r2r r r 227 ，Q c c c(2 a b) (2 a b)4a4a b b r7 ，cr13同理可得dr r r r r r r r r 2r217，而 c d(2a b ) (3b a)7a b3b2a2 rr设为 c 与d的夹角，则 cos2 171317 91 arccos17917 182182评论：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例 3r4,3 r1,2 rr r r r r的已知 a， b， mab , n2a b ，按以下条件务实数值r r r r r r（ 1） m n ；（ 2） m // n ； (3) m nr r r4,32 r r r 7,8解： m a b, n 2a br r 47 3 28 052（ 1） m n；r r9483 27 01 ；（ 2） m// n2r r 423 227 28 25 2488 0(3) mn2 2 115评论：此例展现了向量在座标形式下的基本运算。
高一数学必修四第二章 平面向量章末总结
高一数学必修四第二章平面向量章末总结平面向量是高中数学必修四中的一章内容，主要介绍了平面向量的定义、平面向量的加法、减法、数乘、数量积、向量积等基本运算，以及平面向量的共线、垂直、平行、四边形法则、平面向量的投影等相关概念和定理。
在学习这一章节的过程中，我深刻体会到平面向量的重要性和应用，对于解决实际问题有着很大的帮助。
下面我将对这一章内容进行总结。
第一节平面向量的定义平面向量是一个有大小和方向的量。
平面向量的表示可以用有向线段表示，其中线段代表向量的大小，箭头代表了向量的方向。
平面向量的起点和终点分别叫做向量的始点和终点。
平面向量常用大写字母表示，例如：AB、AC。
平面向量也可以用坐标表示，例如：向量AB的坐标为(3,4)，表示向量的起点在原点，终点在坐标点(3,4)处。
平面向量的大小叫做向量的模，用|AB|表示。
第二节平面向量的加法平面向量的加法满足三个定律：1. 交换律：AB + BC = BC + AB.2. 结合律：(AB + BC) + CD = AB + (BC + CD).3. 加法逆元：对于任意的向量AB, 存在向量BA, 使得AB +BA = 0, BA + AB = 0.第三节平面向量的数乘平面向量的数乘即将向量与一个实数进行乘法运算。
加法和数乘的运算统称为线性运算。
数乘满足两个定律：1. 结合律：a(bAB) = (ab)AB.2. 分配律：(a+b)AB = aAB + bAB.第四节平面向量的减法平面向量的减法可以转化为加法和数乘的运算：AB - AC = AB + (-1)AC第五节平面向量的数量积数量积又称为点积，记为AB·CD, 定义为AB·CD = |AB| |CD| cosθ, 其中θ为两个向量的夹角。
第六节平面向量的向量积向量积的结果是一个向量，记为AB×CD，用它来表示与它们夹角θ所在平面的法向量，其大小等于两个向量的模的乘积与夹角θ的正弦值，方向遵循右手螺旋法则。
高二必修4数学第二章平面向量复习要点梳理
高二必修4数学第二章平面向量复习要点梳理数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编准备了高二必修4数学第二章平面向量复习要点，希望你喜欢。
1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：字母表示(注：印刷体是粗体字母，书写体是字母上面加个) 坐标表示法a=xi+yj=(x，y)注：i、j是单位向量。
(3)向量的长度：即向量的大小，记作|a|.(4)特殊的向量：零向量a=0|a|=0.单位向量aO为单位向量|aO|=1.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(x1，y1)=(x2，y2)(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a//b.平行向量也称为共线向量.(8)两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则AOB=(0≦≦)叫a与b的夹角说明：①当=0时，a与b同向;②当时，a与b反向;③当/2时，a与b垂直，记a规定零向量和任意向量都垂直。
④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q(9)向量的投影：定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量;观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理温故知新 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第2章平面向量2.3.1 平面向量基本定理温故知新苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.3.1 平面向量基本定理温故知新苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.3.1 平面向量基本定理温故知新新知预习1。
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使___________不共线,向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的___________,记为｛e1,e2}，___________叫做向量a关于基底｛e1，e2}的分解式.2.A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于l上任一点P，存在实数t，使=___________。
3。
A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，M是线段AB的中点,则OM=___________。
知识回顾1.用向量知识解证立体几何问题，有时比用几何法简便,其优点在于：向量可以使立体几何问题代数化，简单的代数运算取代了复杂的几何证明，解题的方向明确，可避免作辅助线及运用繁重的定理、公理等进行推理的思维过程,在立体几何中求空间面,空间距离及处理垂直面关系显得尤为方便。
2。
我们知道这样一个问题,直角坐标系中的任一个点都可用它的横、纵坐标来确定，同样，平面内的任一向量也可用一对不共线的向量来表示。
高中数学必修4知识点总结：第二章-平面向量
高中数学必修4知识点总结第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r rr r r ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r ．⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++rr ．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--rr ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r ．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr． ①a a λλ=r r；②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r；③()a b a b λλλ+=+r r r r ．⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r．20、向量共线定理：向量()0a a ≠rr r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、()0b b ≠r r r共线．21、平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基b ra rCBAa b C C -=A -AB =B u u ur u u u r u u u r r r底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP u u u r u u u r时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
高中数学必修四 第二章平面向量章末整合
应用 在平面几何中的应用:判断平行与垂直,求线段长度等 在物理中的应用:力、速度的分解与合成等
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
专题一 向量的综合运算
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的 有两种方法:定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时, 由于转化为实数的运算,因此比利用定义运算方便、简捷.
专题二 模与距离
向量的模,即向量的大小,也就是用来表示向量的有向线段的长 度.向量的模不仅是研究向量的一个重要的量,而且是利用向量方法 解决几何问题的一个“交汇”点.因此,我们必须熟练掌握求向量的模 的基本方法.一般地,求向量的模主要是利用公式|a|2=a2 将它转化为 向量的数量积问题,利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并, 使问题得以解决.或利用公式|a|= ������2 + ������2将它转化为实数问题, 使问题得以解决.
+
1 16
������������ 2
−
1 4
������������
·������������
1
1
1
1 13
= 4 × 22 + 16 × 32 − 4 × 2 × 3 × 2 = 16,
∴|������������| = 413.
答案:
13 4
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
专题三 向量的夹角
形.
专题一 专题二
解析:
专题三
专题四
专题五
如图,作������������ =a, ������������ =b,再作������������ = 4a, ������������ = 3b,则|������������| =
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【金版学案】2017-2018学年高中数学 第2章 平面向量本章知识整合 苏教版必修4网络构建平面向量的线性运算e 1，e 2是不共线的向量，已知向量AB →＝2e 1＋ke 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．分析：因为A 、B 、D 三点共线，所以存在λ∈R，使AB →＝λBD →，可由已知条件表示出BD →，由向量相等得到关于λ、k 的方程组，求得k 值．解析：BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2.∵A 、B 、D 三点共线，故存在λ∈R，使AB →＝λBD →. ∴2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)．解得k ＝－8.◎规律总结：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题，利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键．变式训练1．设两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2(e 1＋4e 2)，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．分析：要证明A ，B ，D 三点共线，只需证AB →∥AD →.证明：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋e 2)＋2(e 1＋4e 2)＋3(e 1－e 2)＝6(e 1＋e 2)＝6AB →， ∴AB →，AD →为共线向量．又AB →，AD →有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．2．如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线所围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________________，当x ＝－12时，y的取值范围是________．解析：∵OP →＝xOA →＋yOB →，据平面向量基本定理，取OA →的相反向量OA ′→， ∵y 可以变化，∴x 可以取任意负实数，故x ∈(－∞，0)． 当x ＝－12时，OA ′→＝－12OA →.过点A ′作OB →的平行线交OM →于点M ，过M 作OA ′的平行线交OB →于点E ，则OE →＝12OB →.同理，过A ′作OB →的平行线交AB →的延长线于点F .再过F 作OA →的平行线交OB →的延长线于点H ，则OH →＝32OB →，因不包括边界，故y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32向量的坐标运算已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →. (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．分析：(1)将OP →的坐标用t 表示出来，然后讨论OP →的横、纵坐标．(2)若能成为平行四边形，则有OA →＝PB →，解出t 的值；若t 无解，则不能构成平行四边形．解析：(1)∵OA →＝(1，2)，AB →＝(3，3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.解得－23＜t ＜－13.(2)∵OA →＝(1，2)，PB →＝PO →＋OB →＝(3－3t ，3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.又⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形．◎规律总结：向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题．变式训练3．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求向量MN →的坐标．分析：要求MN →的坐标只要求出M 、N 点的坐标即可．为此须设出M 、N 的坐标，然后用已知条件求出．解析：设M 点坐标为(x ，y )，依题意有 CA →＝(1，8)，CB →＝(6，3)，CM →＝(x ＋3，y ＋4)．∵CM →＝3CA →，∴(x ＋3，y ＋4)＝3(1，8)． 解得x ＝0，y ＝20，即M 的坐标为(0，20)， 同理可得N 的坐标为(9，2)，∴MN →＝(9，－18)．4．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明EF ⊥CD .证明：建立如图所示的平面直角坐标系．设A (0，b )，B (－a ，0)，C (a ，0)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，b 2，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2， 易知△ABC 的外心F 在y 轴上．可设F (0，y )，由|AF →|＝|CF →|，可得(y －b )2＝a 2＋y 2，所以y ＝b 2－a 22b ，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2－a 22b . 又由重心坐标公式得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，b 2，则EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，－a 22b ，所以CD →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＋b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22b ＝0.所以CD →⊥EF →，即EF ⊥CD .平面向量的数量积设0＜|a |≤2，且函数f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.分析：要求|a ＋b |需知道|a |、|b |，故可利用函数的最值确立|a |、|b |的值． 解析：f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b |＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋|a |22＋|a |24－|b |＋1.∵0＜|a |≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，14|a |2－|b |＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧14|a |2－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝8＋42， 即|a ＋b |＝22＋ 2.◎规律总结：平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等．对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键．变式训练5．如右图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中：①P 1P 2→·P 1P 3→；②P 1P 2→·P 1P 4→； ③P 1P 2→·P 1P 5→；④P 1P 2→·P 1P 6→，向量的数量积最大的是________(填序号)．解析：设正六边形边长为a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝a ·3a ·cos 30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝a ·2a ·cos60°＝a 2，P 1P 2→·P 1P 5→＝a ·3a ·cos 90°＝0，P 1P 2→·P 1P 6→＝a ·a ·cos 120°＝－12a 2，∴数量积最大的是P 1P 2→·P 1P 3→.故填①.答案：①6．如图，在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝1，l 为BC 的垂直平分线且交BC 于点D ，E 为l 上异于点D 的任意一点，F 为线段AD 上的任意一点．(1)求AD →·(AB →－AC →)的值；(2)判断AE →·(AB →－AC →)的值是否为一常数，并说明理由； (3)若AC ⊥BC ，求AF →·(FB →＋FC →)的最大值．解析：(1)AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝4.(2)AE →·(AB →－AC →)的值为一常数． AE →·(AB →－AC →)＝(AD →＋DE →)·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＋DE →·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＝4.(3)当AC ⊥BC 时，BC ＝22，AD ＝3，AF →·(FB →＋FC →)＝AF →·2FD →＝2(AF →·FD →)＝2|AF →||FD →|cos 0°＝2|AF →||FD →|.设|AF →|＝x ，则|FD →|＝3－x ， 所以AF →·(FB →＋FC →) ＝2x (3－x ) ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋32.所以当x ＝32时，AF →·(FB →＋FC →)的最大值为32.平面向量的应用如下图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点，求证：AM ⊥EF .分析：要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0，将AM →用AB →、AC →表示，EF →用AE →、AF →表示，然后通过向量运算证明．证明：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →) ＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0) ＝12(AC →·AF →－AB →·AE →) ＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC )] ＝0，所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF .◎规律总结：平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行、数乘向量和相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．解决问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质．二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．解题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型．变式训练7．如右图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内的一点，满足OE →＝OA →＋OB →＋OC →，求证：AE →⊥BC →.证明：∵BC →＝OC →－OB →，AE →＝OE →－OA →＝(OA →＋OB →＋OC →)－OA →＝OB →＋OC →， ∴AE →·BC →＝(OC →＋OB →)·(OC →－OB →) ＝|OC →|2－|OB →|2.∵O 为外心，∴|OC →|＝|OB →|.即AE →·BC →＝0，∴AE →⊥BC →.8．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．解析：如题图所示，5|x |＝tan 30°， ∴|x |＝53≈8.66 (km/h)． 5|y |＝sin 30°，∴|y |＝10 km/h. 即水速约为8.66 km/h ，船实际速度为10 km/h.向量与其他知识的综合在直角坐标平面中，已知点P 1(1，2)，P 2(2，22)，P 3(3，23)，…，P n (n ，2n)，其中n 是正整数，对平面上任意一点A 0，记A 1为A 0关于点P 1的对称点，A 2为A 1关于点P 2的对称点……A n 为A n －1关于点P n 的对称点．(1)求向量A 0A 2→的坐标；(2)当点A 0在曲线C 上移动时，点A 2的轨迹是函数y ＝f (x )的图象，其中f (x )是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0，3]时，f (x )＝lg x ，求以曲线C 为图象的函数在(1，4]上的解析式．分析：(1)求一点关于另一点的对称点，利用中点坐标公式求之； (2)由图象的平移和周期求出函数的解析式． 解析：(1)设点A 0(x ，y )，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为A 1(2－x ，4－y )， A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为A 2(2＋x ，4＋y )，所以A 0A 2→＝(2，4)．(2)方法一 ∵A 0A 2→＝(2，4)，∴f (x )的图象由曲线C 向右平移2个单位长度，再向上平称4个单位长度得到．因此，曲线C 是函数y ＝g (x )的图象，其中g (x )是以3为周期的周期函数，且当x ∈(－2，1]时，g (x )＝lg(x ＋2)－4.于是，当x ∈(1，4]时，g (x )＝lg(x －1)－4. 方法二 设A 0(x ，y )，A 2(x 2，y 2)，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＝2，y 2－y ＝4.若3＜x 2≤6，则0＜x 2－3≤3， 于是f (x 2)＝f (x 2－3)＝lg(x 2－3)．当1＜x ≤4时，则3＜x 2≤6，y ＋4＝lg(x －1)． ∴当x ∈(1，4]时，g (x )＝lg(x －1)－4.◎规律总结：向量作为一种基本工具，在数学解题中有着重要的地位与作用，它的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得了广泛的应用．利用向量知识和向量方法可以非常简捷、规范地处理代数中的数列、函数、方程、不等式等有关问题．变式训练9．已知点A (2，2)，B (4，1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP →·BP →取最小值时，求向量PA →与PB →的夹角的余弦值．解析：设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)， ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取最小值1，此时PA →＝(2，2)－(3，0)＝(－1，2)，PB →＝(4，1)－(3，0)＝(1，1)．∴|PA →|＝5，|PB →|＝ 2. ∴cos ∠APB ＝PA →·PB →|PA →||PB →|＝1010.10．如图，在平面斜坐标xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的：若OP →＝xe 1＋ye 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到点O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．解析：(1)因点P 的坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|＝2，即|OP |＝2. (2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )， 则OM →＝xe 1＋ye 2，又|OM →|＝1，∴(xe 1＋ye 2)2＝1. ∴x 2＋y 2＋2xye 1·e 2＝1， 即x 2＋y 2＋xy ＝1.故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.。