苏教版数学高一必修四模块综合检测
苏教版数学高一必修四 作业 模块综合检测
模块综合检测(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．若角α的终边过点(sin 30°，－cos 30°)，则sin α等于________．解析：sin α＝－cos 30°sin 2 30°＋(－cos 30°)2＝－cos 30° ＝－32. 答案：－32 2．(cos 15°＋sin 15°)(cos 15°－sin 15°)＝________.解析：(cos 15°＋sin 15°)(cos 15°－sin 15°)＝cos 2 15°－sin 2 15°＝cos 30°＝32. 答案：32 3．设a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则实线λ的值等于__________．解析：由－(b －2a )＝2a －b 与a ＋λb 共线，故λ＝－12. 答案：－124．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为________． 解析：tan(α＋β)＝tan[(α－π6)＋(π6＋β)] ＝37＋251－37×25＝1. 答案：15．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________. 解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2cos (10°－60°)2sin 240°＝2cos 50°2sin 40°＝ 2.答案： 26．(2012·全国卷)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析：y ＝sin x －3cos x ＝2(12sin x －32cos x )＝2sin(x －π3)的最大值为2，又0≤x ＜2π，故当x －π3＝π2， 即x ＝5π6时，y 取得最大值． 答案：56π 7．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α等于________．解析：由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)， 可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，那么sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 答案：－258．设函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________.解析：因为图象的对称中心是与x 轴的交点，所以由3sin(2x 0＋π3)＝0， x 0∈[－π2，0]，得x 0＝－π6. 答案：－π69．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 2 13°，c ＝ 1－cos 50°2，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为a ＝12cos 6°－32sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， c ＝ 1－cos 50°2＝sin 25°，[]b ＝2tan 13°1＋tan 213°＝2sin 13°cos 13°sin 213°＋cos 213°＝sin 26°， 所以a <c <b .答案：a <c <b10．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2,1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为________．解析：由题意知，b －c ＝(－3,1－y )，a ＋c ＝(x ＋1，y －3)．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －3(1－y )＝0，x ＋1＋2(y －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.， ∴c ＝(1,2)，∴b ·c ＝0，∴b ⊥c .答案：90°11．若b ＝(1,1)，且a ·b ＝2，(a －b )2＝3，则|a |＝________.解析：由(a －b )2＝3，得a 2－2a ·b ＋b 2＝3，则a 2－2×2＋2＝3，故a 2＝5，|a |＝ 5. 答案： 512．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，则1cos 2α＋tan 2α的值为________． 解析：∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos ＝45， 则1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(sin α＋cos α)2(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝sin α＋cos αcos α－sin α＝35＋4545－35＝7. 答案：713．已知△ABC 的外心为O ，AO ·AB ＝8，则| AB |等于________．解析：因为AO ·AB ＝8＝|AO ||AB |cos ∠BAO ，则BO ·AB ＝|BO ||AB |cos(π－∠BAO )＝－8，那么AO ·AB ＝(AB ＋BO )·AB ＝8，所以AB 2＋BO ·AB ＝8，从而有AB 2＝16，所以|AB |＝4.答案：414．已知函数y ＝3sin ωx (ω>0)的最小正周期是π，将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝f (x )图象，则函数y ＝f (x )的单调增区间为________． 解析：由题意知ω＝2.f (x )＝3cos[2(x －π8)－π2]＝3cos(2x －3π4)． 由2k π－π≤2x －3π4≤2k π得k π－π8≤x ≤k π＋3π8. 所以y ＝f (x )的单调增区间为：[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z)． 答案：[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z) 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值． 解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1. (2)∵f (α2)＝2sin (α－π6)＋1＝2， 即sin (α－π6)＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 16．(本小题满分14分)设两个非零向量e 1和e 2不共线，若|e 1|＝2，|e 2|＝3，e 1与e 2的夹角为60°，是否存在实数m ，使得me 1＋e 2与e 1－e 2垂直？并说明理由．解：假设存在实数m ，使得me 1＋e 2与e 1－e 2垂直，则(me 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝0， 所以me 21＋(1－m )e 1·e 2－e 22＝0，又因为|e 1|＝2，|e 2|＝3，e 1与e 2的夹角为60°，所以e 21＝|e 1|2＝4，e 22＝|e 2|2＝9，e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝2×3×cos 60°＝3，所以4m ＋3(1－m )－9＝0，解得m ＝6，故存在实数m ＝6，使得me 1＋e 2与e 1－e 2垂直．17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象？写出变换过程．解：(1)由图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×(5π12－π6)＝π， 故ω＝2πT ＝2.将点(π6，2)代入f (x )的解析式得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)变换过程如下： y ＝2sin x −−−−−−−→π象向左平移6图个单位y ＝2sin(2x ＋π6)．−−−−−−−−−→12所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变y ＝2sin(2x ＋π6)． 18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(sin x,23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a ·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ)(0<θ<π2)为偶函数，求θ的值． 解：f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋23·1－cos 2x 2－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin(2x －π3)． (1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 解得函数y ＝f (x )的单调递减区间是[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z)． (2)f (x ＋θ)＝2sin(2x ＋2θ－π3)， 根据三角函数图象性质可知y ＝f (x ＋θ)(0<θ<π2)在x ＝0处取最值，从而由sin(2θ－π3)＝±1，得2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z. 又0<θ<π2，所以θ＝5π12. 19．(本小题满分16分)如图，三个同样大小的正 方形并排一行．(1)求OA 与OB 夹角的余弦值；(2)求∠BOD ＋∠COD 的值．解：(1)因为A (1,1)，B (2,1)，所以OA ＝(1,1)，OB ＝(2,1)． cos ∠AOB ＝OA ·OB |OA ||OB |＝1×2＋1×11＋1×4＋1＝31010. (2)因为C (3,1)，D (3,0)，所以tan ∠BOD ＝12，tan ∠COD ＝13. 所以tan(∠BOD ＋∠COD )＝tan ∠BOD ＋tan ∠COD 1－tan ∠BOD tan ∠COD ＝12＋131－12×13＝1. 又因为∠BOD 和∠COD 均为锐角，故∠BOD ＋∠COD ＝45°.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋2sin x cos x －3. (1)化简函数f (x )的解析式，并求f (x )的最小正周期；(2)若方程f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin x －t ＝0恒有实数解，求实数t 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝2cos 2(x ＋π12)＋2sin x cos x －3 ＝cos(2x ＋π6)＋sin 2x －2 ＝32cos 2x ＋12sin 2x －2 ＝sin(2x ＋π3)－2. 故其最小正周期为π.(2)方程f (x ＋π12)＋sin x －t ＝0恒有实数解，等价于求函数t ＝f (x ＋π12)＋sin x 的值域． 因为t ＝f (x ＋π12)＋sin x ＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＋sin x －2 ＝cos 2x ＋sin x －2＝－2sin 2x ＋sin x －1＝－2(sin x －14)2－78， 又－1≤sin x ≤1，所以t ∈[－4，－78]．。
苏教版数学高一必修4练习模块综合测评
模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．sin 330°＝________.【解析】 sin 330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－12. 【答案】 －122．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于________． 【解析】 据三角函数的定义，可知|OP |＝5，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.【答案】 －253．化简：cos 4－sin 22＋2＝________. 【解析】 原式＝2cos 22－1＋1＋cos 22 ＝3cos 22 ＝－3cos 2【答案】 －3cos 24.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝________. 【解析】 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 【答案】 325．已知a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则k ＝________. 【解析】 ∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k ) ∴b ＝(－1，k －1)又a ⊥b ，∴a·b ＝－2＋(k －1)＝0， ∴k ＝3.【答案】 36．过点A (－2,1)，且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为________． 【解析】 直线斜率为k ＝13，故直线方程为y －1＝13(x ＋2)，即x －3y ＋5＝0.【答案】 x －3y ＋5＝07．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π6的值域为________． 【解析】 ∵0≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋π3≤2π3 ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，18.如图1，在△ABC 中，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，D 是EF 的中点，设AC →＝a ，BC →＝b ，则AD →＝________.(用a ，b 表示)图1【解析】 ED →＝12EF →＝1212AB →＝14(CB →－CA →)＝14(－b ＋a )． AE →＝12AC →＝12a ，AD →＝AE →＋ED → ＝12a ＋14(－b ＋a )＝34a －14b . 【答案】 34a －14b9．若b ＝(1,1)，且a·b ＝2，(a －b )2＝3，则|a |＝________. 【解析】 由(a －b )2＝3，得a 2－2a·b ＋b 2＝3， 则a 2－2×2＋2＝3，故a 2＝5，|a |＝ 5. 【答案】510．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间是________．【解析】 由π2＋2k π＜2x －π6＜3π2＋2k π，k ∈Z 得 π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z11．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2,1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为________．【解析】 由题意知，b －c ＝(－3,1－y )， a ＋c ＝(x ＋1，y －3)．依题意，得⎩⎨⎧ －3x －3(1－y )＝0，x ＋1＋2(y －3)＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴c ＝(1,2)，∴b·c ＝0，∴b ⊥c . 【答案】 90°12．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.【解析】 依题f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴f (x )图象关于直线x ＝π6＋π32对称，即关于直线x ＝π4对称，且π3－π6＜T ＝2πω，∴π4·ω＋π3＝3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω＜12，∴ω＝143.【答案】 14313．如图2，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图2【解析】 分别延长OA ，OB 至OA ′，OB ′，连接CA ′，CB ′构成如图的平行四边形：注意到|OA →|＝|OB →|＝1，设|OA ′|＝λ， |OB ′|＝μ.则∠BOC ＝∠OCA ′＝90°，于是μ＝|OB ′|＝|A ′C |＝|OC |tan 30°＝2，λ＝|OA ′|＝|OC |cos 30°＝4，故λ＋μ＝6.【答案】 614．(2016·南通高一检测)已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________. 【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin 2θ，∴sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2θ＝θ＋π4， ∴θ＝π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝12.【答案】 12二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．【解】 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.16．(本小题满分14分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．【解】 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎨⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5.17．(本小题满分14分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.18．(本小题满分16分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α. (2)求f (x )的解析式．【解】 (1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [](α＋β)＋α＝3sin [](α＋β)－α，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2.19．(本小题满分16分)(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图3所示．图3(1)求f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝fx ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值．【解】 (1)由图得34T ＝116π－π3＝96π＝32π， ∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝0， ∴116π＋φ＝2k π，φ＝2k π－116π. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6. 又由f (0)＝2，得：A sin φ＝2，A ＝4， ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得：k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (3)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4－42cos x＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，512π，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。
苏教版高中数学必修4模块检测(含参考答案).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块检测（苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分150分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 ．2．化简：sin 13cos 17sin 17cos 13︒︒+︒︒= ．3.已知(,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，则x = .4.已知tan 2α=，则sin 2cos cos sin αααα+-= ．5.若1sin cos 3αα+=，则sin 2α= . 6.已知扇形的半径为8 cm ，圆心角为45°，则扇形的面积是 cm 2．7.已知4sin 5θ=，且cos(π)0θ->，则πcos 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = ． 8.要得到2πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，需要将函数y = sin 2x 的图象 .9．若ππ0,022αβ<<<<，且72cos 10α=，tan β=34，则αβ+= ． 10.函数sin y x =的定义域是 .11.已知,a b 满足：3,2,+4===a b a b ，则-a b = .12.设02πθ<≤，已知两个向量1(cos ,sin ),OP θθ=uuu r 2(2sin ,2cos )OP θθ=+-uuu r ，则向量12P P uuu r长度的最大值是 .13.已知四边形ABCD 为平行四边形，(1,2),(0,A B -0),(1,7)C ，则D 点坐标为 . 14.给出下列四个命题： ①函数π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是5π12x =； ②函数tan y x =的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12πx x k -=， 其中k ∈Z .以上正确的有 .（请把正确命题的序号填在横线上）二、解答题（共90分）15.（14分）（1）已知1cos 3α=，求cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫++ ⎪⎝⎭··的值；（2）已知tan 2α=，求2sin sin cos ααα+的值．16.（14分）已知53cos(),sin 135αββ+=-=，,αβ均为锐角.（1）求cos(2)αβ+的值；（2）求sin α的值．17.（14分）已知(1,2),(3,2)==-a b .（1）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 垂直？（2）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？18．（16分）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωαω⎛=+>>- ⎝π2α⎫<<⎪⎭的最小正周期是π，且当π6x =时()f x 取得最大值3．（1）求()f x 的解析式及单调增区间．（2）若0[02π)x ∈，，且03()2f x =，求0x ．（3）将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =是偶函数，求m 的最小值．19.（16分）已知(3sin ,cos ),(cos ,x m x x =+=a b cos )m x -+且()f x =g a b .（1）求函数()f x 的解析式；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是-4，求此时函数()f x 的最大值，并求出相应的x 的值．20.（16分）某港口的水深y (米)是时间t（024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是每天时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，()y f t =可近似的看成是函数y =sin A t b ω+.（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式.（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？模块检测（苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5． 6． 7. 8. 9． 10． 11. 12. 13． 14．三、解答题15.16.17.18.19.20.模块检测（苏教版必修4）答案一、填空题1.πv 解析：∵ 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴ 2ω=，∴ 2π π2T ==．2.12 解析：1sin 13cos 17cos 13sin 17sin 302+==. 3.-1 解析：∵ (,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，∴ 330x =+=g a b .解得1x =-.4.-4 解析：由tan 2α=，得sin 2cos tan 2224cos sin 1tan 12αααααα+++===----．5.89- 解析：由1sin cos 3αα+=，得112sin cos 9αα+=，∴ 82sin cos 9αα=-，∴ 8sin 29α=-.6.8π 解析：∵ 在扇形中，半径8 cm r =，圆心角α=45°=π4，∴ 弧长π82π(cm)4l =⨯=，∴ 扇形的面积2112π88π(cm )22S lr ==⨯⨯=．7.34310-- 解析：∵ 4sin 5θ=，且cos(π)cos 0θθ-=>-，∴ 3cos 5θ=-．∴ πππ3143343cos cos cos sin sin 333525210θθθ--⎛⎫+==-⨯-⨯= ⎪⎝⎭-.8.向右平移π3个单位 解析：将函数sin 2y x =的图象向右平移π3个单位，可得到πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 9.π4 解析：由条件可得22sin 1cos 10αα=-=，∴ 1tan 7α=．∴ tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-·.由0παβ<+<，得π4αβ+=. 10.[2π,2ππ],k k k +∈Z 解析：由题意得sin 0x ≥，∴ 2π2ππ,k x k k +∈Z ≤≤，故函数的定义域为[2π,k2ππ],k k +∈Z .11.10 解析：∵ 3,2==a b ，∴ 229,4==a b .又+4=a b ，∴ 22216++=g a b a b ，∴ 23=g a b ， ∴ 222210+-==-g a b a b a b ，∴ 10-=a b .12.32 解析：由向量的减法知1221(2sin cos 2cos sin )PP OP OP θθθθ=-=+---，uuu r uuu r uuu r， ∴ 2212(2sin cos )(2cos sin )PP θθθθ=+-+--uuu r2244(sin cos )(sin cos )44(sin cos )(sin cos )θθθθθθθθ=+-+-+-+++108cos θ=-.∵ 02πθ<≤，∴ 1cos 1θ-≤≤，则当cos 1θ=-时，向量12P P uuu r的长度有最大值是32.13.（0,9） 解析：设(,)D x y ，则BA CD =uu r uu u r .又(1,2),(1,7)BA CD x y =-=--uu r uu u r ，∴ 11,7 2.x y -=-⎧⎨-=⎩解得0,9.x y =⎧⎨=⎩∴ (0,9)D . 14.①② 解析：把5π12x =代入函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2y =，为最大值，故①正确．结合函数tan y x =的图象可得点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故②正确． ③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如39060>，都是第一象限角，但sin 390sin 60< ．若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有12ππ22π244x k x -=+-，或12ππ22ππ244x k x ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，k ∈Z ， ∴ 12πx x k -=或123ππ+4x x k +=，k ∈Z ，故④不正确．二、解答题15.解：（1）cos(2π)sin(π)cos sin πcos tan sin tan(3π)2αααααααα-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭g g g g =cos α=13． （2）因为tan 2α=， 所以2sin sin cos ααα+ =222sin sin cos sin cos ααααα++=22tan tan tan 1ααα++=222221++ =65. 16.解：（1）由题意知124sin(),cos 135αββ+==，∴ 5412356cos(2)cos[()]cos()cos sin()sin 13513565αβαββαββαββ+=++=++=-⨯-⨯=--． （2）1245363sin sin[()]sin()cos cos()sin =13513565ααββαββαββ⎛⎫=+=+-+=⨯--⨯ ⎪⎝⎭-．17.解：(1,2)+(3,2)(3,22)k k k k +==-+-a b ，3(1,2)3(3,2)(10,4)---=-a b =. （1）由()(3)k +⊥-a b a b ，得()(3)10(3)4(22)2380,k k k k +-=-+=-=-g a b a b 解得19k =.（2）由()(3)k +-a b a b ∥，得4(3)10(22)k k --=+,解得13k =-.此时1041,(10,4)333k ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭a b ，所以它们方向相反．18.解：（1）由题意知2π3,πA ω==.∴ 2ω=.∴ ππ3sin 2366f α⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴ ππ22π62k α⨯+=+()k ∈Z . 又ππ22α-<<，∴ π6α=.∴ π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π262k x k -++≤≤()k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤()k ∈Z ，∴()f x 的单调增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ 00π3()3sin 262f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即0π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ 0ππ22π66x k +=+或0π5π22π()66x k k +=+∈Z .∴ 0πx k =或0ππ()3x k k =+∈Z .又0[02πx ∈，），∴ 0π4π0,π,,33x =. （3）由条件可得ππ()3sin 2()3sin 2266g x x m x m ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又()g x 是偶函数，∴ ()g x 的图象关于y 轴对称，∴ 当0x =时，()g x 取最大值或最小值，即π3sin 2+36m ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，∴ ππππ2π(),()6226k m k k m k -+=+∈=--∈Z Z . 又0m >，∴ m 的最小值是π3.19.解：（1）()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x x m x x m x ==+-+g g a b ，即22()3sin cos cos f x x x x m =+-． （2）∵ 223sin 21cos 2π1()sin 22262x x f x m x m +⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴ ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴ π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴ 211422m -+-=-， ∴ 24m =，∴ max 15()1422f x =+-=-，此时ππ262x +=，π6x =．20.解：（1）由题意知13713710,322b A +-====，周期为12，因此2ππ12,6T ωω===，故π()3sin 10(024)6f t t t =+≤≤.（2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即π3sin 1011.56t +≥，∴ π1sin 62t ≥，故ππ5π2π2π,666k t k k ++∈Z ≤≤.解得121512,k t k k ++∈Z ≤≤. 又024t ≤≤，当0k =时，15t ≤≤； 当1k =时，13t ≤≤17，故船舶安全进出港的时间段为（1：00∼5：00），（13：00∼17：00）．。
高一数学综合检测试卷 必修4 苏教版
高一数学综合检测试卷一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知98απ=，则角α的终边所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．cos75o ·cos15o 的值是（ ）A ．12 B ．14C 3．与向量a =（12，5）平行的单位向量为（ ） A ．125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 4．下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A ．sin2xy = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．cos 2y x =-5．若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，－2），则c =（ ） A ．1322a b -- B ．1322a b -+ C ．3122a b - D ．3122a b -+ 6．已知a =8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为6π时，a 有e 方向上的投影长度为 （ ） A ．43 B ．4 C ．42 D ．8+23 7. △ABC 中三个内角为A 、B 、C ，若关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B --=有一根为1，则△ABC 一定是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形 8．已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．2316D ．－23169．设OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，OC =u u u rc ，当(),λμλμ=+∈R c a b ，且1λμ+=时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去A 点D ．直线AB 上，但除去B 点10．函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是 （ ） A ．[k π＋8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π]C ．[2k π＋8π，2k π＋85π] D．[2k π－83π，2k π＋8π]（以上k ∈Z ）11．把函数y =sin2x 的图象按向量a 平移后得到函数sin 236y x π=++⎛⎫⎪⎝⎭的图象，则向量a 可以是（ ）A ．,36π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,312π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,312π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12.已知偶函数y =f (x )在[－1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，则（ ）A.)(cos )(sin βαf f >B.)(cos )(sin βαf f <C.)(sin )(sin βαf f >D.)(cos )(cos βαf f >二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上. 13．若)30(sin ,3cos )(cos οf x x f 则==_______________.14. 已知33cos ,,tan 524πθπθπθ⎛⎫=-<<- ⎪⎝⎭且则= . 15．在△ABC 中，已知15,3,5,4AB CA AB AC BAC ⋅===∠u u r u u r u u r u u u r则= . 16. 已知向量a ＝（2，－1）与向量b 共线，且满足a ·b ＝－10，则向量b ＝_______________ 17. 如下图，一个人在地面上某处用测量仪测得一铁塔顶的仰角为θ，由此处向铁塔的方向前进30m ，测得铁塔顶的仰角为2θ，再向铁塔的方向前进，又测得铁塔顶的仰角为4θ．如果测量仪的高为1．5m ，则铁塔的高为 m ．18. 给出下列四个命题：①存在实数α，使sin α·cos α=1；②)227cos(2)(x x f --=π是奇函数； ③83π-=x 是函数)432sin(3π-=x y 的图象的一条对称轴；④函数)cos(sin x y =的值域为]1cos ,0[.其中正确命题的序号是 .三、解答题, 本大题共5小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.19.(本题满分12分)（1）已知2tan -=α，且α是第二象限的角,求αsin 和αcos ; （2）已知044513<<-⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x ππ,sin ,求cos cos 24xx π+⎛⎝ ⎫⎭⎪的值.20. (本题满分12分)已知向量a =(cos ,sin αα)，b =(cos ,sin ββ)． (1)求(2)+g a a b 的取值范围；(2)若3παβ-=，求2a b +．已知tan ,tan αβ是方程2430x px --=( p 为常数)的两个根． (1)求tan(αβ+)；(2)求()22cos 2cos 22sin αβαβ+-．(可利用的结论：2222tan 1tan sin 2,cos 21tan 1tan θθθθθθ-==++)22. (本题满分14分)已知△ABC 的顶点坐标为A (1，0)，B (5，8)，C (7， —4)，在边AB 上有一点P ，其横坐标为4．(1)设AB AP λ=u u u r u u u r，求实数λ；(2)在边AC 上求一点Q ，使线段PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分．设函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭，给出下列三个论断： ①()f x 的图象关于直线6x π=-对称；②()f x 的周期为π； ③()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称． 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．[参考答案]二、填空题13. －1 14. 17 15. 23π16. (－4，2) 17. 16.5 18. ②③三、解答题19．(1)sin cos αα== (2)241320．(1)[－．(1)p (2)221p + 22．(1)43 (2)Q 85,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 23．⎫⇒⎬⎭①③②或⎫⇒⎬⎭①②③，证明略.。
苏教版高中数学必修4模块综合检测(b).docx
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知sin α＝35，则cos 2α的值为________． 2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a ·b ＝________.4．设cos(α＋π)＝32(π<α<3π2)，那么sin(2π－α)的值为________． 5．已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan 2α＝________. 6．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为________．7．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝________. 8．若向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )互相垂直，其中x ∈R ，则|a －b |＝________.9．把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的图象向右平移π3个单位可以得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4＝________.10．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[－π2，π2]，则|a ＋b |的取值范围是________． 11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．12．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上单调递增，则ω的取值范围是________． 13．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________． 14.如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①AC →＋AF →＝2BC →；②AD →＝2AB →＋2AF →；③AC →·AD →＝AD →·AB →；④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知0<x <π2，化简：lg(cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2)＋lg[2cos(x －π4)]－lg(1＋sin 2x )．16．(14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．17．(14分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 点的坐标为(－35，45)． (1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值； (2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．18．(16分)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．19．(16分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α.20．(16分)已知a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(2cos ωx ＋sin ωx ，cos ωx )，x ∈R ，ω>0，记f (x )＝a ·b ，且该函数的最小正周期是π4. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．模块综合检测(B)1.725解析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725. 2．0解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,2)＝(3－k ，－1)，(a －c )⊥b ，b ＝(1,3)，∴(3－k )×1－3＝0，∴k ＝0.3．－10解析 ∵a ∥b ，∴1×(－4)－2x ＝0，x ＝－2.∴a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，∴a ·b ＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.4.12解析 ∵cos(α＋π)＝－cos α＝32， ∴cos α＝－32， ∵π<α<3π2，∴α＝7π6， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝－sin 76π＝12. 5．－247解析 由于α为第二象限的角，且sin α＝35， ∴cos α＝－45. ∴tan α＝－34， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2 ＝－321－916＝－247. 6．－47解析 tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47. 7．－7210解析 ∵cos α＝－45，α是第三象限角． ∴sin α＝－35， ∴sin(α＋π4)＝22(sin α＋cos α)＝－7210. 8．2或10解析 ∵a ·b ＝2x ＋3－x 2＝0.∴x 1＝－1或x 2＝3.a －b ＝(－2x －2,2x )．当x ＝－1时，a －b ＝(0，－2)，|a －b |＝2；当x ＝3时，a －b ＝(－8,6)，则|a －b |＝10.9．1解析 f (x )＝sin(－2x ＋π3)向右平移π3个单位后，图象对应函数解析式为f (x －π3)＝sin[－2(x －π3)＋π3] ＝sin(－2x ＋π)＝sin 2x .∴g (x )＝sin 2x ，g (π4)＝sin π2＝1. 10．[2，2]解析 |a ＋b |＝(1＋cos θ)2＋(sin θ)2＝2＋2cos θ.∵θ∈[－π2，π2]，∴cos θ∈[0,1]． ∴|a ＋b |∈[2，2]．11.⎣⎡⎦⎤π3，π解析 Δ＝|a |2－4a·b ＝|a |2－4|a||b |cos 〈a ，b 〉＝4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉≥0.∴cos 〈a ，b 〉≤12，〈a ，b 〉∈[0，π]．∴π3≤〈a ，b 〉≤π. 12.⎝⎛⎦⎤0，32 解析 令－π2≤ωx ≤π2，－π2ω≤x ≤π2ω， 则⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω是函数关于原点对称的递增区间中范围最大的，即⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω，则 ⎩⎨⎧π4≤π2ω－π3－π2ω⇒0<ω≥32. 13.1118解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 2 2θ＝1－12(1－cos 2 2θ)＝1118. 14．①②④解析 在正六边形ABCDEF 中，AC →＋AF →＝AC →＋CD →＝AD →＝2BC →，①正确；设正六边形的中心为O ，则2AB →＋2AF →＝2(AB →＋AF →)＝2AO →＝AD →，②正确；易知向量AC →和AB →在AD →上的投影不相等，即AC →·AD →|AD →|≠AB →·AD →|AD →|.∴AC →·AD →≠AD →·AB →，③不正确；∵AD →＝－2EF →，∴(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)⇔(AD →·AF →)EF →＝－2EF →(AF →·EF →)⇔AD →·AF →＝－2AF →·EF →⇔AF →·(AD →＋2EF →)＝0.∵AD →＋2EF →＝AD →－AD →＝0，∴AF →·(AD →＋2EF →)＝0成立．从而④正确．15．解 0<x <π2， ∴原式＝lg(cos x ·sin x cos x＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x ) －lg(1＋sin 2x )＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x )＝lg(sin x ＋cos x )2－lg(1＋sin 2x )＝lg(1＋sin 2x )－lg(1＋sin 2x )＝0.16．解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14. (2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4. 17．解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45， ∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2·(－35)2＝1825. (2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2， ∴β＝α－π2， ∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35， cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45. ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 18．解 (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期为π.令sin(2x －π3)＝0，得2x －π3＝k π， ∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z . 故所求对称中心的坐标为(k π2＋π6，0)，(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32≤sin(2x －π3)≤1， 即f (x )的值域为[－32，1]． 19．解 (1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3， 即f (x )的最小正周期为2π3. (2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4. ∴4＝4sin ⎝⎛⎭⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫23α＋π12＋π4 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝4cos 2α. 由f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝125，得4cos 2α＝125，∴cos 2α＝35， ∴sin 2α＝12(1－cos 2α)＝15， ∴sin α＝±55. 20．解 (1)f (x )＝a ·b＝cos ωx ·(2cos ωx ＋sin ωx )＋sin ωx ·cos ωx＝2cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＝2·1＋cos 2ωx 2＋sin 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＝2sin(2ωx ＋π4)＋1.∴f (x )＝2sin(2ωx ＋π4)＋1，其中x ∈R ，ω>0. ∵函数f (x )的最小正周期是π4，可得2π2ω＝π4， ∴ω＝4.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(8x ＋π4)＋1. 当8x ＋π4＝π2＋2k π， 即x ＝π32＋k π4(k ∈Z )时， sin(8x ＋π4)取得最大值1， ∴函数f (x )的最大值是1＋2，此时x 的集合为{x |x ＝π32＋k π4，k ∈Z }．。
高一数学综合检测试卷 必修4 苏教版
高一数学综合检测试卷 必修4 苏教版一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知98απ=，则角α的终边所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．cos75·cos15的值是（ ）A ．12 B ．14C 3．与向量a =（12，5）平行的单位向量为（ ） A ．125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 4．下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A ．sin2xy = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．cos 2y x =-5．若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，－2），则c =（ ） A ．1322a b -- B ．1322a b -+ C ．3122a b - D ．3122a b -+ 6．已知a =8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为6π时，a 有e 方向上的投影长度为 （ ） A ．43 B ．4 C ．42 D ．8+23 7. △ABC 中三个内角为A 、B 、C ，若关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B --=有一根为1，则△ABC 一定是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形 8．已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．2316D ．－23169．设OA =a ，OB =b ，OC =c ，当(),λμλμ=+∈R c a b ，且1λμ+=时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去A 点D ．直线AB 上，但除去B 点10．函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是 （ ） A ．[k π＋8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π]C ．[2k π＋8π，2k π＋85π] D．[2k π－83π，2k π＋8π]（以上k ∈Z ）11．把函数y =sin2x 的图象按向量a 平移后得到函数sin 236y x π=++⎛⎫⎪⎝⎭的图象，则向量a 可以是（ ）A ．,36π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．,312π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．,312π⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知偶函数y =f (x )在[－1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，则（ ）A.)(cos )(sin βαf f >B.)(cos )(sin βαf f <C.)(sin )(sin βαf f >D.)(cos )(cos βαf f >二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上. 13．若)30(sin ,3cos )(cos f x x f 则==_______________.14. 已知33cos ,,tan 524πθπθπθ⎛⎫=-<<- ⎪⎝⎭且则= . 15．在△ABC 中，已知15,3,5,4AB CA AB AC BAC ⋅===∠则= . 16. 已知向量a ＝（2，－1）与向量b 共线，且满足a ·b ＝－10，则向量b ＝_______________ 17. 如下图，一个人在地面上某处用测量仪测得一铁塔顶的仰角为θ，由此处向铁塔的方向前进30m ，测得铁塔顶的仰角为2θ，再向铁塔的方向前进，又测得铁塔顶的仰角为4θ．如果测量仪的高为1．5m ，则铁塔的高为 m ．18. 给出下列四个命题：①存在实数α，使sin α·cos α=1；②)227cos(2)(x x f --=π是奇函数； ③83π-=x 是函数)432sin(3π-=x y 的图象的一条对称轴；④函数)cos(sin x y =的值域为]1cos ,0[.其中正确命题的序号是 .三、解答题, 本大题共5小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.19.(本题满分12分)（1）已知2tan -=α，且α是第二象限的角,求αsin 和αcos ; （2）已知044513<<-⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x ππ,sin ,求cos cos 24xx π+⎛⎝ ⎫⎭⎪的值.20. (本题满分12分)已知向量a =(cos ,sin αα)，b =(cos ,sin ββ)． (1)求(2)+a a b 的取值范围；(2)若3παβ-=，求2a b +．已知tan ,tan αβ是方程2430x px --=( p 为常数)的两个根． (1)求tan(αβ+)；(2)求()22cos 2cos 22sin αβαβ+-．(可利用的结论：2222tan 1tan sin 2,cos 21tan 1tan θθθθθθ-==++)22. (本题满分14分)已知△ABC 的顶点坐标为A (1，0)，B (5，8)，C (7， —4)，在边AB 上有一点P ，其横坐标为4．(1)设AB AP λ=，求实数λ；(2)在边AC 上求一点Q ，使线段PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分．设函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭，给出下列三个论断： ①()f x 的图象关于直线6x π=-对称；②()f x 的周期为π； ③()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称． 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．[参考答案]二、填空题13. －1 14. 1715. 23π16. (－4，2) 17. 16.5 18. ②③三、解答题19．(1)sin cos αα== (2)241320．(1)[－．(1)p (2)221p + 22．(1)43 (2)Q 85,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 23．⎫⇒⎬⎭①③②或⎫⇒⎬⎭①②③，证明略.。
苏教版高中数学必修4高一年级综合检测试题
学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ ……………………………………密…………………………………………………封……………………………………………………线………………… 东海县第二中学高一年级必修4综合检测试题 时间：120分钟 满分：160分 一、 填空（每题5分，共计70分） 1．已知向量a ，b 满足|a |=1，(2,1)b =，且0a b λ+=（λ∈R ），则||λ= . 2. 在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y =，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 3. 设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，若b a //， 则=θtan _______. 4. 在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是 A.)2,1(),0,0(21==e e B.)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e 5. 设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则,,a b c 按从大到小的顺序是 6. 平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m ∈R ），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = 7. 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为________. 8.若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b = 9. 若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 10. 设函数()(f x x ∈R )满足()()s i n f x f x x π+=+，当π<≤x 0时，0)(=x f ．则=)623(πf 11. 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= . 12. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则的)122sin(πα+值为 ．。
高中数学 模块综合检测卷 苏教版必修4
模块综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当|a |＝|b |≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( ) A ．平行 B ．相等 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：根据向量的几何意义，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则在▱CAOB 中，OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，因为|a |＝|b |，即OA ＝OB ，所以▱CAOB 是菱形． 所以AB ⊥OC ，即BA →⊥OC →.所以(a ＋b )⊥(a －b )． 答案：D2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35 B.45 C.25 D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5.所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45.所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．要得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝3sin 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8，所以由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度可得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象． 答案：C5．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x解析：A 为奇函数，B 、C 为偶函数，D 中，y ＝x 2＋sin x 是非奇非偶函数． 答案：D6．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是( ) A ．π B ．2π C.π2D ．2解析：f (x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝12－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T＝2π2＝π. 答案：A7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 解析：由题意得y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .显然A ，B ，C 均错误，只有D 正确． 答案：D8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32C ．±32D ．±12解析：由sin θ－cos θ＝22， 得1－2sin θcos θ＝12，则sin 2θ＝12.即1－2sin θcos θ＝12，所以sin 2θ＝12.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ >cos θ，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32. 答案：B9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π·14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．先令函数y ＝cos x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再把图象沿x轴向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4解析：第一步变换后所得函数表达式是y ＝cos 2x ，第二步变换后所得函数表达式是y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 答案：B11．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)解析：由题可得y ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z ， 所以原函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)．答案：C12．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( )A ．φ B.π2－φ C.π2＋φ D.3π2－φ 解析：|a |＝ （2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2， |b |＝1，a ·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，则cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425.答案：242514．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以sin 2θ·1－cos 2θ＝0.所以2sin θcos θ－cos 2θ＝0.因为0<θ<π2，所以cos θ >0.所以2sin θ＝cos θ.所以tan θ＝12.答案：1215．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．解析：取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712BA →＋BC →＝712|BA →|2－2518BA →·BC →＋23|BC →|2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918.答案：291816．(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称， 所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z. 又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°， 所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0. 所以cos θ＝22. 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3. 解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α－cos α)＝7210，所以sin α－cos α＝75.①因为cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝－75(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝－15.②由①②得：sin α＝35，cos α＝－45.所以tan α＝－34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝3－341＋334＝48－25311. 所以sin α＝35，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝48－25311. 19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos(β－α)的值；(2)已知点C 是单位圆上的一点，且OC →＝OA →＋OB →，求OA →和OB →的夹角θ. 解：(1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，45，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1213，则x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1，又x 1>0，所以x 1＝35，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45. x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝1，又x 2<0，所以x 2＝－513.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213. 所以sin α＝45，cos α＝35，sin β＝1213，cos β＝－513，所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365.(2)根据题意知|OA →|＝1，|OB →|＝1，|OC →|＝1， 又OC →＝OA →＋OB →，所以四边形CAOB 是平行四边形． 又|OA →|＝|OB →|，所以▱CAOB 是菱形．又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以△AOC 是等边三角形． 所以∠AOC ＝60°.所以∠AOB ＝120°. 即OA →与OB →的夹角θ为120°.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ·cos x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；(3)说明f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解：f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cosx ⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3·sin 2x ＋s in x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π3≤2x ＋π3≤4π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：x－π6π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 02－2图象如图所示．(3)法一：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍． 法二：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍． 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4. 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知f (x )＝2cos 2ωx2＋3sin ωx ＋a 的图象上相邻两对称轴的距离为π2.(1)若x ∈R，求f (x )的递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．解：由f (x )＝2cos 2ωx2＋3sin ωx ＋a ＝3sin ωx ＋cos ωx ＋a ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＋1.因为f (x )的图象上相邻对称轴的距离为π2，故T 2＝π2⇒T ＝π⇒ω＝2πT＝2， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)．(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.所以f (x )max ＝2＋a ＋1＝4. 所以a ＝1.。
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(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．cos ⎝⎛⎭
⎫－17π
3＝__________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫－17π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝cos π3＝12. 答案：12
2．已知⎝⎛⎭⎫12sin 2θ
＜1，则θ所在的象限为__________．
解析：∵⎝⎛⎭⎫12sin 2θ
＜1＝⎝⎛⎭⎫120， ∴sin 2θ＞0，
∴2k π＜2θ＜2k π＋π(k ∈Z )，
∴θ表示第一或第三象限的角．
答案：第一或第三象限
3．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么a ·b 的值为__________．
解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×4×cos120°＝16×(－1
2
)＝－8.
答案：－8
4．已知sin α＋cos α＝－52，则tan α＋1
tan α的值为__________．
解析：∵sin α＋cos α＝－52，∴1＋2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝18.∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos α
sin α
＝
1
sin αcos α
＝8.
答案：8
5．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________.
解析：|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－1
2＝49，∴|5a －b |＝7.
答案：7
6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2
)的图象如图所示，则y 的表达式为
__________．
解析：由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π
6
.
答案：y ＝2sin(2x ＋π
6
)
7．若a ⊥b ，c 与a 及c 与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝__________.
解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，由题意，得a ·c ＝|a ||c |cos60°＝1×3×12＝3
2
，b ·c ＝|b ||c |cos60°
＝2×3×1
2
＝3，所以(a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4a ·b －
4b ·c －2a ·c ＝1＋16＋9－4×3－2×3
2
＝11.
答案：11
8．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π
6＋x (x ∈R )的单调递增区间是__________． 解析：因为(π3－x )＋(π6＋x )＝π2，所以y ＝2sin(π3－x )－sin(π3－x )＝sin(π3－x )＝－sin(x －π
3
)．由
2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z )，得2k π＋56π≤x ≤2k π＋116π(k ∈Z )，故原函数的单调递增区间是
[2k π＋56π，2k π＋11
6
π](k ∈Z )．
答案：[2k π＋56π，2k π＋11
6π](k ∈Z )
9．若A ＋B ＝π3，tan A ＋tan B ＝23
3
，则cos A cos B ＝________.
解析：由sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin π3cos A cos B ＝233，可求得cos A cos B ＝3
4.
答案：34
10．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝__________.
答案：－8
11．已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 的夹角为π4
，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →
＝p －3q ，
D 为BC 的中点，则|AD →
|为__________．
解析：∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝1
2
(5p ＋2q ＋p －3q )
＝1
2
(6p －q )， ∴|AD →
|＝ |AD ―→|2＝12
(6p －q )2
＝ 1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝12 36×(22)2－12×22×3×cos π4＋32 ＝152
. 答案：152
12．关于平面向量a ，b ，c ，下列是真命题的是__________． ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；。