苏教版高中数学必修4—第一学期期末文科测试
苏教版高中数学必修4第一学期期末考试 (2).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作江苏省盐城中学2013—2014学年度第一学期期末考试高一年级数学试题命题人：胥容华 朱丽丽 审题人：张万森一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1.0600cos 的值是 ．2.化简=--+CD AC BD AB .3.函数()21log 3y x x=++的定义域是 ． 4.函数tan()23y x ππ=-的最小正周期是 . 5.若02<<-απ，则点)cos ,(tan αα位于第 象限. 6.函数()1cos (),f x x x R =-∈取最大值时x 的值是 .7.若函数-=3)(x x f 2)21(-x 的零点),)(1,(0Z n n n x ∈+∈则=n _________. 8.函数(5)||y x x =--的递增区间是 .9.为了得到函数-=x y 2sin(3π)的图象，只需把函数sin 2y x =的图象向右平移个___长度单位. 10.若1,2a b ==，且()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为 ． 11.已知扇形的周长为8cm ，则该扇形的面积S 的最大值为 ．12.设,0>ϖ若函数x x f ϖsin 2)(=在]4,3[ππ-上单调递增，则ϖ的取值范围是________. 13.如图，在△ABC 中，,1,2,==⊥AD BD BC AB AD 则=⋅AD AC ________.A14.在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）.函数4sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧<⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计80分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．A 、B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限.记AOB θ∠=且4sin 5θ=. （1）求B 点坐标； （2）求sin()2sin()22cos()ππθθπθ++--的值.16.平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=．（1）若()()2a kc b a +⊥-，求实数k ；（2）若向量d 满足//d c ，且34d =，求向量d ．17．已知函数2()2sin 1f x x x θ=+⋅-（θ为常数），31[,]22x ∈-． （1）若()f x 在31[,]22x ∈-上是单调增函数，求θ的取值范围； （2）当θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值．18. 已知OAB ∆的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且OP P B λ=，点Q 是边AB 上一点,且0OQ AP ⋅=.（1）求实数λ的值与点P 的坐标；（2）求点Q 的坐标；（3）若R 为线段OQ （含端点）上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围.19.已知函数()sin()f x A x h ωϕ=++(0,0,)A ωϕπ>><.在一个周期内，当12x π=时，y 取得最大…………… 值6，当712x π=时，y 取得最小值0. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()1y mf x =-的图像与x 轴有交点，求实数m 的取值范围．20. 定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0≥M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的一个上界.已知函数x x a x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41211)(，11log )(21--=x ax x g . （1）若函数)(x g 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成的集合；（3）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.江苏省盐城中学2013—2014学年度第一学期期终考试数学答题纸一、填空题(14*5分) 1、12- 2、03、(3,0)(0,)-⋃+∞4、25、二6、2,k k Z ππ+∈7、18、5(0,)29、6π 10、4π 11、4 12、（0 ，1.5]_13、2 14、1二、解答题15、（12分）解：（1）34(,)55B - (2)53- 16、（12分） 解：（1）1118k =- （2）(42,2)d =或(42,2)--17、（12分） 解：（1）22,2,33k k k Z ππθππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦； (2)min 213sin ,,432()sin 1,0,3f x ππθθπθθ⎧⎡⎤--∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎫⎪--∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩.18、（14分） 解：(1)设(14,)P y ，则(14,),(8,3)OP y PB y ==---，由OP PB λ=，得(14,)(8,3)y y λ=---，解得7,74y λ=-=-，所以点(14,7)P -。
苏教版高中数学必修4期末模拟试卷高一综合检测题一.docx
江苏省灌南高级中学高一数学期末考试模拟必修4综合检测题（一）一.填空题:1. sin15︒sin75︒= ;2．已知函数)0)(6cos()(>-=ωπωx x f 的最小正周期为,5π则=ω .3.若向量a 、b 为两个非零向量,且|a |=|b |=|a +b |,则向量a 与a +b 的夹角为 ;4.已知P 是△ABC 所在平面内一点,若CB PA PB λ=+,其中λ∈R,则点P 一定在直线 上；5.若θ为锐角,且sin2θ=a ,则sinθ+cosθ等于6.已知sinα=35,α是第二象限的角,且tan(α+β)=1,则tanβ= 7.设f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)+4(a ,b,α,β为常数),且f (2004)=5,则f (2005)= ；8.已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |=5,若(a +b )·c =52,则a 与c 的夹角为 ； 9.在平行四边形 ABCD 中,AC =a ,BD =b ,则BC = _____________(用a ,b 表示). 10.已知A(1,2),B(3,4),C(5,8),且()12OD OA OC =+,则向量BD 的坐标为_______.11.化简:2tan()cos 242cos ()4πααπα+=- ______________.12.cossin1sin 22ααα-=-,且α是第二象限角,则α2是第 象限角.13.已知|a |=2,|b |=2,a 与b 的夹角为45︒,要使(λb -a )⊥a ,则λ= .14.在△ABC 中,下列三角表达式:①sin(A+B)+sinC ,②cos(B+C)+cosA ,③tan A+B 2tan C2,④cos A+B2cosC2,其中恒为定值的有__________(请将你认为正确的式子的序号都填上).三.解答题:15.设向量a=(1,2),|b|=52,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.16.已知0<β<π4<α<π2,cos(2α-β)=-1114,sin(α-2β)=437,求sinα+β2的值.17.设OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3),在直线OC上是否存在点M,使MBMA⊥,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.18.已知偶函数f(x)=cosθsin x-sin(x-θ)+(tanθ-2)sin x-sinθ的最小值是0;(1)求函数f(x)的解析式;(2)求f(x)的最大值及此时x的集合.19.已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(2cos x 2,-2sin x 2),且x ∈2(,]99ππ-,求:(1)a ·b 和|a -b |的取值范围; (2)函数f (x )=a ·b -|a -b |的最小值.20．(本小题满分14分) 已知函数R x x x x x f ∈+-+-=),4sin()4sin(2)32cos()(πππ(I)求函数)(x f 的单调递增区间与对称轴方程； (II)当]2,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的值域参考答案:一、填空题:1.41.sin15︒sin75︒=sin15︒cos15︒=12sin30︒=14. 2.. 10 3.3π.由向量加法的平行四边形法则知,向量a ,b 的夹角为120︒,a 与a +b 的夹角为60︒. 4.AC.由条件知,CB PB -=λPA ,即CP =λPA ,∴P 在直线AC 上.. 5. 1+a ∵θ为锐角,∴sinθ+cosθ=1+sin2θ=1+a .6.7.由条件知tanα=-34,∴tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα=1+341-34=7.7.3.∵f (2004)=5,∴a sinα+b cosβ+4=5,即a sinα+b cosβ=1, ∴f (2005)=a sin(π+α)b cos(π+β)+4=-(a sinα+b cosβ)+4=3.8.π32.由条件可得a +b =(-1,-2)=-a ,∴a ·c =-52,∴cos<a ,c >=a ·c |a ||c |=-12,故a 与c 夹角为120︒. 9.12(a +b ). 10.(0,1).11.1.原式=sin(π4+α)cos2α2cos(π4+α)sin 2(π4+α)=cos2αsin(π2+2α)=1.12.三.13.2.由(λb -a )·a =0,得λ=a 2a ·b =42⨯2⨯cos45︒=2.14.②③.∵A+B+C=π,∴cos(B+C)+cosA=0,tan A+B 2tan C2=1. 一. 解答题:15.解:∵a +2b 与2a -b 垂直,∴(a +2b )·(2a -b )=0,即2a 2+3a ·b -2b 2=0,∴2|a |2+3a ·b -2|b |2=0.∵|a |2=5,|b |2=(52)2=54,代入上式,得2⨯5+3a ·b -2⨯54=0,∴a ·b =-52.∴cos θ=a ·b|a |·|b |=-525·52=-1,∵θ∈[0,π],∴θ=π.16.解: ∵0<β<π4<α<π2,∴π2<2α<π,-π4<-β<0,∴π4<2α-β<π.∵cos(2α-β)=-1114,∴sin(2α-β)=1-(-1114)2=5314.同理可得: -π4<α-2β<π2.又∵sin(α-2β)=437,∴cos(α-2β)=1-(437)2=17.∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=(-1114)⨯17+5314⨯437=60-117⨯14=12.∵π4<α+β<3π4,∴α+β=π3,∴sin α+β2=12. 17.解:设存在点M 满足条件.∵点M 在直线OC 上,∴存在实数λ,使得OM OC λ=,即OM =(6λ,3λ). ∴MA =(2-6λ,5-3λ),MB =(3-6λ,1-3λ),∵MA ⊥MB ,∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0.即 45λ2-48λ+11=0,解得λ=13或λ=1115,∴OM =(2,1)或OM =(225,115),∴存在M(2,1)或M(225,115)满足题意.18.解:(1)f (x )=cosθsin x -sin(x -θ)+(tanθ-2)sin x -sinθ=cosθsin x -(sin x cosθ-cos x sinθ)+(tanθ-2)sin x -sinθ =sinθcos x +(tanθ-2)sin x -sinθ, ∵f (x )是偶函数,∴f (-x )=f (x )恒成立,即 sinθcos (-x )+(tanθ-2)sin(-x )-sinθ=sinθcos x +(tanθ-2)sin x -sinθ, 整理得 tanθ=2.∴sinθ=±255,此时f (x )= ±255(cos x -1).又∵f (x )的最小值为0,∴f (x )= -255(cos x -1).(2)当cos x =-1时时,f (x )取得最大值为455,此时自变量x 的取值集合为{x |x =2k π+π,k ∈Z}.19.解:(1)∵a =(cos x ,sin x ),b =(2cos x 2,-2sin x2),∴a ·b =cos x ·2cos x 2+sin x ·(-2sin x 2)=2(cos x ·cos x 2-sin x ·sin x 2)=2cos 3x2,又∵x ∈2(,]99ππ-,∴3x 2∈(,]63ππ-,∴cos 3x 2∈[12,1],∴a ·b 的取值范围是[1,2]. 而|a -b |=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=1-4cos 3x 2+4=5-4cos 3x2, ∴|a -b |∈[1,3].(2)由(1)知函数f (x )=a ·b -|a -b |=2cos 3x 2-5-4cos 3x2.设5-4cos 3x 2=t ,则t 2=5-4cos 3x 2,2cos 3x2=5-t 22,∴f (x )= 5-t 22-t =-12t 2-t +52=-12(t +1)2+3,t ∈[1,3],故当t =3时,函数f (x )取得最小值1- 3.20.（1）)4sin()4sin(2)32cos()(πππ+-+-=x x x x f ).cos )(sin cos (sin 2sin 232sin 21x x x x x x +-++=x x x x 22cos sin .2sin 232cos 21-++=)62sin(2cos 2sin 232cos 21π-=-+=x x x x由,,226222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ得Z k k x k ∈+≤≤-,322232ππππ Z k k x k ∈+≤≤-,36ππππ,∴单调递增区间为：Z k k k ∈+-],3,6[ππππ由,,262Z k k x ∈+=-πππ得：,,32Z k k x ∈+=ππ 对称轴方程为,,32Z k k x ∈+=ππ（2）],65,3[62],2,12[πππππ-∈-∴-∈x x 因为)62sin()(π-=x x f在区间]3,12[ππ-上单调递增．在区间]2,3[ππ单调递减，所以当)(,3x f x π=取最大值l ．又,21)2(23)12(=<-=-ππf f 当12π-=x 时,)(x f 取最小值23-所以函数)(x f 在区间上的值域为]1,23[-.。
苏教版高中数学必修4高一期末.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作湖南师大附中 高一 年级 数学4 模块结业考试试题卷命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组本试题包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟。
满分100分附加20分。
一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1、8π弧度等于（ ） A 、15° B 、22.5° C 、25° D 、10° 2、已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin α的值等于（ ）A 、35- B 、35 C 、45 D 、45- 3、已知54cos -=α，53sin =α，那么α的终边所在的象限为（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限4、设a 3(,sin )2α=，b 1cos ,3α⎛⎫= ⎪⎝⎭, 且a ∥b ，则锐角α为（ ） A 、30︒ B 、60︒ C 、45︒ D 、75︒ 5、已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A 、150︒ B 、30︒ C 、60︒ D 、120︒ 6、下列函数是奇函数的是（ ）A 、sin y x =B 、cos y x =C 、sin y x =D 、cos y x = 7、下列各式中值等于12的是（ ） A 、2tan 22.51tan 22.5οο- B 、sin15cos15οο C 、22cos sin 1212ππ- D 、1cos32π+8、下列命题正确的个数是（ ）： 姓名： 学号： 考场号： 座位号：①0AB BA +=； ②00AB ⋅=； ③AB AC BC -=； ④00AB ⋅= A 、1 B 、2 C 、3 D 、49、把函数sin()3y x π=-的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ）A 、sin y x =B 、cos y x =C 、 2sin()3y x π=-D 、2cos()3y x π=-10、已知1cos 3α=，2παπ<<，则sin α的值是（ ）A 、23-B 、23C 、223D 、223-二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分。
苏教版高中数学必修4第一学期期末考试试题.doc
宿州市十三校重点中学2007—2008学年度第一学期期末考试试题高一数学(必修4)（时间：120分钟， 满分：150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1、 若角θ为第四象限角，则θπ+2是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角 2、角α的终边上一点P （7，24），则αsin 1＝（ ） A 、247 B 、724 C 、725 D 、24253、要得到函数)42cos(π-=x y 的图像，只需将函数x y 2cos =的图像向（ ）平移（ ）单位。
则前两个括号内应分别填（ ）A 、左，8π B 、右，8π C 、左，4π D 、右，4π4、函数)32cos(ππ+=x y 的最小正周期为（ ）A 、1B 、2C 、πD 、π25、已知向量)2,3(=→a ，)4,(xb =→且→a ∥→b ，则x 的值是（ ）A 、-6B 、6C 、38 D 、38-6、已知θ为钝角，且sin θ=32，则tan 2θ= （ ） A 、33-B 、33C 、3-D 、3 7、定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021。
已知πβα=+，2πβα=-，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin A 、00⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 、10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、11⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、设单位向量1e 、2e 夹角是060， 12a e e =+，12b e te =+若a 、b 夹角为锐角，则t 的取值范围是A 、t>-1 且t ≠1B 、t>-1C 、t<1 且t ≠-1D 、t<1二、填空题（每小题6分，共48分）9、角075的弧度数为____________10、二倍角的余弦公式为=-=-=1cos 2sin cos 2cos 222θθθθ____________ 11、已知→→⊥b a ,且5=→a ，12=→b ，则=-→→b a ___________ 12、已知31tan =θ, 则=θ2cos __________ 13、已知点A(1，1)，B(-2，2)，则向量→OA 与→BO 的夹角为___________(其中O 为坐标原点)14、由4110sin 20sin 320sin 10sin 000202=++， 00020225sin 5sin 325sin 5sin ++ 41=，4140sin )10sin(340sin )10(sin 000202=-++-，……，请你归纳出=++βαβαsin sin 3sin sin 22_________（其中)300=+βα15、锐角θ，则θcos 与θπ-2的大小关系为θcos _________θπ-2( >，<，=)16、如图在正方形ABCD 中有一点P ，满足3:2:1::=→→→PC PB PA ,则向量→PA 与PDA向量→PB 的夹角为__________三、解答题（本大题共5小题，共62分，解答应写出文字、证明过程或演算步骤）17、（12分）函数)2sin(2ϕ+=x y （)20πϕ<<的一条对称轴为直线12π=x（1）求ϕ （2）在图上画出函数)2sin(2ϕ+=x y 在]65,6[ππ-上的简图。
苏教版高中数学必修4第一学期期末考试
高中数学学习资料金戈铁骑整理制作江苏省苏州中学2005－2006 学年度第一学期期末考试高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ 卷（非选择题）两卷，满分100 分，考试时间90 分钟。
第Ⅰ 卷将正确的选项涂在答题卡的相应地点上，第Ⅱ卷直接做在答案专页上。
第Ⅰ卷（选择题，共30 分）一、选择题（每题 3 分，合计30 分） (以下每个问题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的)1、 sin 1205°等于（）A 、 sin 35°B 、cos 35°22 C、 D 、2212、函数y的定义域为（）tan xA 、x x k , kB 、x x k, k22 C、 D 、 R3、函数y 2sin6x的最小正周期是（）2A 、 4πB 、2πC、2D 、44、已知 180°＜α＜ 360°，则化简1cos1cos（）1cos1cos2B 、2C、2cos2cosA 、 D 、sin sin sin sin5、函数 y sin x3 cos x ， x0,的值域为（）2A 、 [－2, 2]B 、[1,3 ]C 、 [1, 2]D 、[ 3,2]uuur6、以下各式不可以化简为AB 的是（）uuuruuuruuur uuur uuurA 、 CBCA B 、 BD AC DCuuuruuur uuur （uuur uuur uuur uuurC 、 ADBCCDAC DP )(CP BD )D 、 7、设 a ， b ， c 是随意的非零向量，且互相不共线，有以下命题：(1) (a · b)c － (c · a)b ＝ 0； (2) |a|－ |b|＜ |a － b|；(3) (b · c)a － (a · c)b 与 c 垂直；(4) (3a ＋ 4b)· (3b － 4a)＝ 9|a|2－ 16|b|2.此中，是真命题的有（）A 、 (1) (2)B 、(2) (3)C 、 (3) (4)D 、(2) (4)8、设 e 、e 是两不共线的向量，以下四组向量中，不可以作为平面向量的一组基底的是（）12A 、 e 1＋ e 2 和 e 1－ e 2B 、 e 1＋ 2e 2 和 e 2＋ 2e 1C 、 3e － 2e 和 4e － 6eD 、 e 和 e ＋ e12212 1 29、在△ ABC 中，已知 cosA ＝4，sinB ＝12，则 cosC ＝（）16516 1316或5616或56A 、B 、C 、D 、65656565656510、要获得函数y2 cos 2x2 的图象，需将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象（）A 、向右平移个单位B 、向左平移个单位88C 、向右平移个单位D 、向左平移个单位1616第 Ⅱ卷（非选择题，共70 分）二、填空题（每题 4 分，合计 24 分。
苏教版高中数学必修4高一期末
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）湖南师大附中 高一 年级 数学4 模块结业考试试题卷命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组本试题包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟。
满分100分附加20分。
一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1、8π弧度等于（ ） A 、15° B 、22.5° C 、25° D 、10° 2、已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin α的值等于（ ）A 、35- B 、35 C 、45 D 、45- 3、已知54cos -=α，53sin =α，那么α的终边所在的象限为（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限4、设a 3(,sin )2α=，b 1cos ,3α⎛⎫= ⎪⎝⎭, 且a ∥b ，则锐角α为（ ） A 、30︒ B 、60︒ C 、45︒ D 、75︒ 5、已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A 、150︒ B 、30︒ C 、60︒ D 、120︒ 6、下列函数是奇函数的是（ ）A 、sin y x =B 、cos y x =C 、sin y x =D 、cos y x = 7、下列各式中值等于12的是（ ） A 、2tan 22.51tan 22.5οο- B 、sin15cos15οο C 、22cos sin 1212ππ- D 、1cos32π+8、下列命题正确的个数是（ ）班级： 姓名： 学号： 考场号： 座位号：①0AB BA +=； ②00AB ⋅=； ③AB AC BC -=； ④00AB ⋅= A 、1 B 、2 C 、3 D 、49、把函数sin()3y x π=-的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ）A 、sin y x =B 、cos y x =C 、 2sin()3y x π=-D 、2cos()3y x π=-10、已知1cos 3α=，2παπ<<，则sin α的值是（ ）A 、23-B 、23C 、223D 、223-二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分。
【苏科版】高中数学必修四期末模拟试卷带答案
一、选择题1．在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 2b A B b =-，则A =（ ）A ．3πB ．4π C ．6π D ．23π3．已知cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13 B ．3C ．13D ．13-4．设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++（ω＞0，||ϕ＜2π）的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x （ ）A ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 5．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ）A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．(1,)⎛⋃+∞ ⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．(1,)+∞6．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ）A ．1B ．2C ．5D ．37．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．08．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．239．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π310．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．811．函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（ ） A ．2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B ．2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈） C ．3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D ．37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈） 12．已知函数1,01()11sin ,14242x x f x x x π+≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，若不等式2()()20f x af x -+<在[]0,4x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a >B 23a <<C ．22a >D ．92a >二、填空题13．在ABC 中，三个内角A 、B 、C 满足2A+C =B ，且4cos 5A =，则cos C ________．14．有下列5个关于三角函数的命题： ①0x R ∃∈，003sin cos 3x x +=；②函数22sin cos y x x =-的图像关于y 轴对称； ③x R ∀∈，1sin 2sin x x+≥； ④[]π,2πx ∀∈，1cos cos 22x x+=-； ⑤当()2sin cos f x x x =+取最大值时，5cos 5x =. 其中是真命题的是______.15．如图，以Ox 为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点P （x 1，y 1），将角α的终边顺时针旋转3π得到角β．角β的终边与单位圆相交于点Q （x 2，y 2），则x 2﹣x 1的取值范围为_____．16．O 为坐标原点，已知向量()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+，则OD 的最小值为_______________17．已知向量a 、b 满足1a b +=，2a b -=，则a b +的取值范围为___________. 18．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC =，则AF ·BE =_____.19．关于1()sin sin f x x x=-，有如下四个结论：①()f x 是奇函数. ②()f x 图像关于y 轴对称. ③2x π=是()f x 的一条对称轴.④()f x 有最大值和最小值. 其中说法正确的序号是________．20．若函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为________. 三、解答题21．已知51,0,,sin ,cos()273παβααβ⎛⎫∈=+=- ⎪⎝⎭. （1）求tan2α的值； （2）求cos(2)αβ+的值. 22．已知钝角α满足tan 2α.（1）求()cos 60α+的值；（2）求22sin sin cos 2cos αααα+-的值？23．已知函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象与y 轴交点为()0,1.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间； （3）对于任意的0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()240f x mf x -+≥恒成立，求实数m 用的取值范围. 24．已知()()cos ,sin ,2sin ,2cos OP OQ θθθθ==+-，其中[)0,2θ∈π，求PQ 的最大值，并指出PQ 取得最大值时OP 与OQ 夹角的大小． 25．已知椭圆22:24C x y += （1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 26．已知sin(3)(),cos x f x x R xπ-=∈（1）若α为第三象限角，且3sin 5α=-，求()f α的值．（2）若,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且21()2()1cos g x f x x =++，求函数()g x 的最小值，并求出此时对应的x 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选A. 2．C解析：C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)A π∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A 的值. 【详解】解：∵ bsin cos 2A B b -=，∴由正弦定理可得：sin sin cos 2sin B A A B B C =，∴sin sin cos 2sin B A A B B C =2sin cos cos sin )B A B A B =-+，∴sin sin 2sin sin B A B A B =，又∵sin 0B ≠，∴sin 2A A +=， ∴2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得232A k πππ+=+，Z k ∈， 又(0,)A π∈，∴6A π=.故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.3．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系式求出tan α，再代入两角和的正切公式求tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin 5α∴==-，sin tan 2cos ααα==-， 1tan 121tan 41tan 123πααα+-⎛⎫+===- ⎪-+⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式，重点考查计算能力，属于基础题型.4．A解析：A 【分析】由题意结合三角恒等变换得()+4f x x πωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由三角函数的性质可得ω、ϕ，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】由题意()sin()cos()+4f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为π，且()f x -=()f x ， 所以2ππω=，且+4πϕ=,2k k Z ππ+∈，解得ω=2，ϕ=,4k k Z ππ+∈，又||ϕ<2π，所以ϕ=4π，所以()f x =2+2x π⎛⎫⎪⎝⎭2x ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，故()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 正确，C 错误； 当3,44x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 、D 错误.故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，牢记三角函数图象的特征是解题关键，属于中档题.5．B解析：B 【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，找出a 所满足的条件，最后求得结果. 【详解】 由题意得24,(0,0),(,1),(3,1)2T a O A a B a aππ==-，因为OAB 为钝角三角形，所以0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，即2310a -<，或2220a -+<，从而0a <或1a >． 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.6．B解析：B 【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.7．B解析：B 【分析】建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解． 【详解】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+， 06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．8．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π4b =，min π4a =，相减即可. 【详解】 解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减， 所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=. 故选：C. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.10．D解析：D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--， 令()0f x =，则12cos 1x x π=-， 则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标， 可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称， 画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点， 即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.11．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得由函数cos(2)5y x π=+，再根据余弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案.【详解】由函数3cos 2cos2sin cos cos cos 2cos sin 2sin cos(2)510555y x x x x x x πππππ=-=-=+， 令222,5k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，整理得3,510k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 所以函数的单调递增区间为3[,],510k k k Z ππππ-+-+∈，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．D解析：D 【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元()t f x = ，可知新元的范围，然后分离参数，转为求函数的最大值问题，进而计算可得结果. 【详解】由题可知当[]0,1x ∈时，有[]()11,2f x x =+∈，当4](1,x ∈时，0sin14xπ≤≤，即111()sin,12422x f x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦所以当[]0,4x ∈时，1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而问题转化为不等式220t at -+<在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即222t a t t t+>=+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2y t t =+，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设1212t t <<<()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=->， 所以2y t t =+在12t ⎡∈⎢⎣是单调递减函数，122t t <<<，()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=-<， 所以2y t t=+在2t ⎤∈⎦是单调递增函数，在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上先减后增，而2t t +在12t =时有最大值为92，所以92a >.【点睛】本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值， 同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.二、填空题13．【分析】利用及易得由同角三角函数的关系易得的值然后由代值计算即可得解【详解】因为又所以因为所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用公式并结合两角和的余弦公式展开进行计算解析：410【分析】利用2A+C =B 及A B C π++=易得3B π=，由同角三角函数的关系易得sinA 的值，然后由()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+代值计算即可得解. 【详解】因为2A+C =B ，又A B C π++=， 所以3B π=，因为4cos 5A =，所以3sin 5A ===，()4134cos cos cos cos sin sin 525210C A B A B A B =-+=-+=-⨯+⨯=.. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用公式()cos cos C A B =-+并结合两角和的余弦公式展开进行计算.14．②④⑤【分析】本题可通过判断出①错误然后通过判断出②正确再然后通过可以为负值判断出③错误通过以及判断出④正确最后通过将函数转化为根据当时取最大值判断出⑤正确【详解】①：则①错误；②：关于轴对称②正确解析：②④⑤ 【分析】000cos 2sin 6x x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭+判断出①错误，然后通过22sin cos cos 2x x x -=-判断出②正确，再然后通过sin x 可以为负值判断出③错误，=cos 02x 判断出④正确，最后通过将函数转化为()()f x x p =+，根据当()22x p k k Z ππ=-++∈时取最大值判断出⑤正确.【详解】①000001cos 2cos 2sin 262x x x x x π+⎫⎛⎫+=+=≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，00cos 3x x +≠，①错误；②：()2222sin cos cos sin cos 2y x x x x x =-=--=-，关于y 轴对称，②正确；③：因为sin x 可以为负值，所以1sin 2sin x x+≥错误，③错误； ④：因为[]π,2πx ∈，所以π,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 02x ，cos2x ===-，④正确； ⑤：()2sin cos f x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭()x p =+，（注：5sin p，25cos p ）， 当函数()f x 取最大值时，22x p k ππ+=+，即()22x p k k Z ππ=-++∈，此时cos cos n 52si 2=p k x p ππ-++⎛⎫==⎪⎝⎭，故⑤正确， 故答案为：②④⑤. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角恒等变换以及三角函数性质判断命题是否正确，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.15．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义两角和差的三角公式求得再利用正弦函数的定义域和值域求出的取值范围【详解】由已知得∴∵∴∴∴的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义两角解析：1,12⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得21sin 6x x πα⎛⎫- ⎪⎝-⎭=再利用正弦函数的定义域和值域，求出21x x -的取值范围. 【详解】由已知得1233x cos x cos cos ππβααβα⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭，，，∴2113226x x cos cos cos cos cos sin sin ππβαααααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵2παπ<<，∴5366πππα<-<，∴1162sin πα⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，， ∴21x x -的取值范围为112⎛⎤⎥⎝⎦，， 故答案为：112⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.16．【分析】根据题意得表示的区域为及内部的点进而得当时取得最小值再计算即可得答案【详解】又为非负实数且所以表示的区域为及内部的点当时取得最小值因为所在的直线方程为即则取得最小值为故答案为：【点睛】本题考解析：【分析】根据题意得D 表示的区域为ABC 及内部的点，进而得当⊥OD AB 时，OD 取得最小值，再计算即可得答案. 【详解】()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，又,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+， 所以D 表示的区域为ABC 及内部的点， 当⊥OD AB 时，OD 取得最小值， 因为AB 所在的直线方程为()()5251114y x x --=-=---，即60x y +-=，则OD 取得最小值为322=. 故答案为：32.【点睛】本题考查向量的模的求解与线性规划，解题的关键是根据题意明确D 表示的区域，是中档题.17．【分析】易得结合可得又可得即可求解【详解】则则又故答案为：【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算考查了向量模的三角不等式的应用考查计算能力属于中等题解析：5⎡⎣【分析】 易得()2225a b+=，结合()()22225a ba b+≤+=，可得5a b +≤.又a b a b +≥±，可得2a b ±≥，即可求解.【详解】1a b +=，2a b -=，2221a a b b ∴+⋅+=，2224a a b b -⋅+=，()2225a b∴+=，则()()22225a ba b+≤+=，则5a b +≤.又a b a b +≥±，2a b ∴+≥，25a b ∴≤+≤.故答案为：5⎡⎣.【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算，考查了向量模的三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】通过建立直角坐标系利用向量的坐标运算转化求解即可【详解】以为坐标原点建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD 中AB ∥CDAB ⊥ADAB=AD=4CD=8若所以所以则故答案为：【点睛】本题考查 解析：11-【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算转化求解即可． 【详解】以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC =所以(0,0)A ，(4,0)B ，(1,4)E ，(5,1)F ， 所以(5,1)AF =，(3,4)BE =-， 则15411AF BE ⋅=-+=-． 故答案为：11-【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．19．①③【分析】借助于的性质对照四个选项一一验证【详解】的定义域对于①：定义域关于原点对称即是奇函数故①正确；是奇函数图像关于原点对称故②错误；对于③：而所以故③正确；对于④：令则无最小值无最大值故④错解析：①③ 【分析】借助于sin y x =的性质，对照四个选项，一一验证. 【详解】1()sin sin f x x x=-的定义域{}|,x x k k Z π≠∈ 对于①：定义域关于原点对称，()()11()sin sin ()sin sin f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪-⎝⎭，即()f x 是奇函数，故①正确；()f x 是奇函数，图像关于原点对称，故②错误；对于③：11()sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫-=--=-⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭而11()sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫+=+-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭， 所以()()22f x f x ππ-=+，故③正确；对于④：令[)(]sin ,1,00,1t x t =∈-，则1y t t=-(),∈-∞+∞， 无最小值，无最大值，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】这是另一种形式的多项选择，多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．20．【分析】根据函数f （x ）的图象与性质求出Tω和φ的值写出f （x ）的解析式再求出的值即可【详解】函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）图象相邻两条对称轴间的距离为∴从而得ω=又f(x)=2sin(2x+φ【分析】根据函数f （x ）的图象与性质求出T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，再求出4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值即可． 【详解】函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）图象相邻两条对称轴间的距离为2π，∴22T π=，从而得ω=222T πππ==， 又f (x )=2sin (2x +φ)的图象经过点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2sin 26πϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=2，即3π+φ＝2π+2k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π，所以φ=6π， 故f (x )=2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴2sin 2446f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．三、解答题21．（1）-2）21-.【分析】先判断角的范围，利用22sin cos 1αα+=求出 cos α，再利用和差角公式求出tan2α，cos(2)αβ+的值【详解】解：（1）因为50,sin 27παα<<=，所以sin cos tan 7cos 12αααα===，22tan 6tan 2251tan 124ααα===--- （2）因为1,0,,cos()23παβαβ⎛⎫∈+=- ⎪⎝⎭，所以sin()3αβ+=. cos(2)cos[()]cos cos()sin sin()αβααβααβααβ+=++=+-+15373⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如(),2()βαβααβαβα=+-+=++等． 22．（1）10-；（2）0. 【分析】（1）利用同角公式求出sin α和cos α，再根据两角和的余弦公式计算可得结果； （2）弦化切可得结果. 【详解】（1）因为tan 2α，且α为钝角，所以sin 2cos αα=-，所以22(2cos )cos 1αα-+=，所以21cos 5α=，所以cos α=（正值已舍），∴sin 5α=， ∵()cos 60cos cos60sin sin 60ααα+=-12⎛=⨯= ⎝⎭（2）∵tan 2α，cos 0α≠，所以222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos αααααααααα+-+-=+22tan tan 24220tan 141ααα+---===++.【点睛】关键点点睛：第（2）问弦化切求解是解题关键.23．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3；（3）4m ≤. 【分析】（1）先由最值，求出2A =，再由函数过点()0,1，求出6π=ϕ，即可得出函数解析式； （2）根据正弦函数的单调性，即可求出函数在区间[]0,π上的增区间； （3）先由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到()[]1,2f x ∈，令()t f x =，将问题化为240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立，进而可求出结果.【详解】（1）因为最大值为2，所以2A =．因为()f x 过点()0,1，所以2sin 1=ϕ，又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ． 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈．当0k =时，36x ππ-≤≤；当1k =时，2736x ππ≤≤． 又因为[]0,x π∈，所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3． （3）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以()[]1,2f x ∈．令()t f x =，则240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立， 即4m t t≤+在[]1,2t ∈时恒成立，令()4g t t t=+，[]1,2t ∈， 任取1212t t ≤<≤，则120t t -<，124t t <，所以()()()121212121244410g t g t t t t t t t t t ⎛⎫-=+--=--> ⎪⎝⎭，即()()12g t g t >， 所以()4g t t t=+在[]1,2t ∈上单调递减，则()()min 42242g t g ==+=，所以只需4m ≤，即实数m 用的取值范围是4m ≤. 【点睛】 思路点睛：求解含三角函数的二次型不等式恒成立的问题时，一般需要先根据三角函数的性质，确定所含三角函数的值域，再由换元法，将问题转化为一元二次不等式的形式，进行求解. 24．π- 【分析】利用向量模的坐标表示求出2PQ ，由余弦函数的单调性知当θπ=时2PQ 取最大值18即PQ取最大值OP 、OQ 的坐标，由cos ,OP OQ OP OQ OP OQ⋅<>=⋅即可求得两向量的夹角. 【详解】222(2sin cos )(2cos sin )PQ θθθθ=+-+--22228sin cos 4sin 4cos 2sin cos sin cos 4cos 4sin 2sin cos θθθθθθθθθθθθ=+++--++--+108cos θ=-又[)0,2θπ∈，所以当θπ=时，cos θ取得最小值1-，2PQ 取最大值18， 即当θπ=时，PQ 取最大值此时(1,0)OP =-，(23)OQ =，，cos ,1OP OQ OP OQ OP OQ⋅<>===⨯⋅， 所以PQ 取得最大值时OP 与OQ 夹角为π-. 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量夹角的计算，属于中档题.25．（1）22142x y +=，2e =；（2）存在，7x 0或7x ﹣【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a ，b ，c ，由离心率公式可得所求值；（2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程，消去x 可得y 的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．【详解】（1）由22142x y +=，得2,a b ==c ==2c e a ==； （2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =， 可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+m 2）y 2﹣6m 2y +9m 2﹣4＝0，△＝36m 4﹣4（2+m 2）（9m 2﹣4）＞0，即m 2＜47， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝2262m m +，y 1y 2＝22942m m-+，① 由2PB PA =，可得（x 2，y 2﹣3）＝2（x 1，y 1﹣3），即y 2﹣3＝2（y 1﹣3），即y 2＝2y 1﹣3，②将②代入①可得3y 1﹣3＝2262m m +，y 1（2y 1﹣3）＝22942m m -+，消去y 1，可得22232m m ++•22322m m -+＝22942m m -+，解得m 2＝2747<，所以7m =±，故存在这样的直线l ，且方程为7x y 0或7x y ﹣0．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．26．(1) 34-(2) 函数()g x 的最小值为1，此时4x π= 【分析】(1)先化简函数解析式得()tan f x x =-，则由条件可得3tan 4α=，得出答案.(2)由条件可得()2tan 2tan 2g x x x =-+，则由,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设tan t x ⎡⎤=∈⎣⎦，根据二次函数()222211y t t t =-+=-+即可得出答案.【详解】由已知有sin(3)sin(3)sin ()tan cos cos cos x x x f x x x x xππ---===-=- （1）若α为第三象限角，且3sin 5α=-，则4cos 5α=-，则3tan 4α= ()3tan 4f αα=-=- （2）()()2222cos sin 21tan 2tan 2cos x xg x f x x x x+=++=-+,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设tan t x ⎡⎤=∈⎣⎦ 即()222211y t t t =-+=-+，当1t =，即4x π=时，有最小值1 所以当4x π=时，函数()g x 有最小值1.【点睛】关键点睛：本题考查根据三角函数求值和将函数化为tan α的二次式求最值，解答本题的关键是由()()2222cos sin 21tan 2tan 2cos x x g x f x x x x+=++=-+将函数化为二次式，根据tan α⎡⎤⎣⎦∈求最小值，属于中档题.。
苏教版高中数学必修4—第一学期期末文科测试.docx
开始输入x f(x)>g(x)h(x)=f(x)h(x)=g(x)输出h(x)结束是否第4题图高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2014—2015学年第一学期期末文科数学测试参考公式：回归直线的方程是：a bx y+=ˆ， 其中1221ˆ,;nii i i i n ii xy nx yb a y bx yx xnx==-==--∑∑其中是与对应的回归估计值. 一、选择题1. 集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（ ） A ．3或1- B ．3 C ．3或3- D ．1-2．若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定 3．若函数()y f x =的反函数是2xy =，则(2)f =( ) A.4 B.2 C.1 D.04. 如图所示的算法流程图中, 若2()2,()xf xg x x ==则(3)h 的值等于（ ） A .8B .9C .1-D .15．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的左焦点重合，则p的值为（ ）A .－2B .2C .－4D .46. 在ABC 中，已知2cos c a B =，()()a b c b c a +++- 3bc =，则ABC 是( ) A.等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 无法判断7. 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表商店名称 A B C D E 销售额x (千万元) 3 5 6 7 9 利润额y (百万元)23345根据此表可得回归直线方程为A. 0.50.4y x =+B. 0.41y x =+C. 28.6y x =-D. 8.655y x =-+ 8．若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．),31(+∞B ．]31,(-∞C ．),31[+∞D ．)31,(-∞9. 函数2()2f x x x =--在[]55x ∈-，内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是( ).A ．110B ．23C ．310D ．4510．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为21()2202C x x x =++(万元),一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件 二、填空题11. 设单位向量12,e e 的夹角为120°，向量1222,a e e b e =+=-，则a b =_______ 12. 下列命题不是真命题的是_________________ ①平行六面体一定是直棱柱；②一个边长为2的等边三角形的直观图的面积为64； ③空间三点确定一个平面； ④若//,,l l m αβαβ⊂=，则//l m ；⑤若,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥. 13. 已知0,0x y >>，若22832y x m m x y+>+-恒成立，则实数m 的取值范围是 ；14．某空间几何体的三视图及尺寸如图1所示，则该几何体的全面积为__________； 三、解答题ED1C1B1A1BDCA15． 已知()4cos sin()6f x x x a π=++的最大值为2，（1）求a 的值及()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在5[,)1212ππ-上的单调增区间及值域。
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开始输入x f(x)>g(x)
h(x)=f(x)h(x)=g(x)
输出h(x)结束
是否
第4题图
2014—2015学年第一学期期末文科数学测试
参考公式：回归直线的方程是：a bx y
+=ˆ， 其中1
2
2
1
ˆ,;n
i
i
i i i n
i
i x y nx y
b a y bx y
x x
nx
==-=
=--∑∑g g 其中是与对应的回归估计值. 一、选择题
1.集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（） A ．3或1-B ．3C ．3或3-D ．1-
2．若直线1ax by +=与圆2
2
1x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是() A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定
3．若函数()y f x =的反函数是2x
y =，则(2)f =() A.4B.2C.1D.0
4.如图所示的算法流程图中,若2
()2,()x
f x
g x x ==则(3)
h 的值
等于（）
A.8
B.9
C.1-
D.1
5．若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的左焦点重合，则p
的值为（）
A.－2
B.2
C.－4
D.4
6.在ABC V 中，已知2cos c a B =，()()a b c b c a +++-3bc =，则ABC V 是() A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.无法判断
商店名称 A B C D E 销售额x (千万元) 3 5 6 7 9 利润额y (百万元)
2
3
3
4
5
根据此表可得回归直线方程为
A.0.50.4y x =+
B.0.41y x =+
C.28.6y x =-
D.8.655y x =-+
8．若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（） A ．),31
(+∞B ．]31,(-∞C ．),31[+∞D ．)3
1,(-∞
9.函数2
()2f x x x =--在[]55x ∈-，内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是().
A ．
110
B ．
23
C ．
310
D ．
45
10．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生
产成本为2
1()2202
C x x x =++(万元),一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业
一个月应生产该商品数量为()
A ．36万件
B ．18万件
C ．22万件
D ．9万件 二、填空题
11.设单位向量12,e e u r u u r 的夹角为120°，向量1222,a e e b e =+=-r u r u u r r u u r
，则a b =r r g
_______ 12.下列命题不是真命题的是_________________
①平行六面体一定是直棱柱；
②一个边长为2的等边三角形的直观图的面积为64
； ③空间三点确定一个平面；
④若//,,l l m αβαβ⊂=I ，则//l m ； ⑤若,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥. 13.已知0,0x y >>，若
22832y x m m x y
+>+-恒成立，则实数m 的取值范围是 ；
E
D1C1
B1
A1
D
C
A
14．某空间几何体的三视图及尺寸如图1所示，则该几何体的全面积为__________； 三、解答题
15．已知()4cos sin()6
f x x x a π
=+
+g 的最大值为2，
（1）求a 的值及()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在5[,)1212
ππ
-
上的单调增区间及值域。
16．从甲、乙两名学生的若干次数学成绩中随机抽取6次，分别获得成绩数据的茎叶图如图所示.
(1) 根据茎叶图，求甲、乙两名学生的数学成绩的方差； (2) 现从甲学生这6次数学成绩中随机抽取2次成绩，
求这2次成绩至少有一个高于90分的概率.
17.数列{}n a 各项为正的等差数列，25,a a 是方程2
12270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n
项和为n S ，且*1
1()2
n n S b n N =-
∈ （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若n n n f a b =g
，求数列{}n f 的前n 项和n R
18．如图，在正方体1111ABCD A B C D —中，E 为棱1DD 的中点，求证： (1)1//BD EAC 平面；(2)1EAC AB C ⊥平面平面 (3)若4AB =，求三棱锥1B AEC -的体积。
19．(已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切. (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；
(2)是否存在直线l ，使l 过点()0,1，并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u r uuu r
？若
存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
20.已知函数32
()1,f x x ax x a R =+++∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设函数()f x 在21(,)33
--上单调递减，求a 的取值范围。
高二数学（文科）答案
二、填空题：
11.___0___12.__①③⑤___13.__52m -<<__14.__8+15.解：
(1)1
()2sin(2)6
a f x x T π
π
=-=+=的最小正周期
5(2)()2sin(2)[,)[,),[61212312
f x x πππππ
=+---在的单调增区间为值域为
16.解：
22294264
(1)85,85;=58.8=52.855x x s s ===
=乙乙甲甲，
93(2)()=155
P A =
17.解：
{}252525123999
272,21
21
331
=2()3n n n
n a a a a a a d a n b b +=⎧⇒==⎨=⎩∴==-∴Q g g （1）或（舍去），则数列是以首项，以公比的等比数列
1
2()(21)
3
1
2[1()]
3
n n n n f n R =-∴=-g （2）
18．证明:（1）（2）证明略。
111111
=16
3
B E AB
C AB C OE AB C OE AC OB V V OE S ⊥===∴==V g —AEC ?（3）平面，
19.解：
(Ⅰ)Q 动圆的圆心轨迹C 的方程为:2
4y x =………………4分 (Ⅱ)不存在
设直线:1l y kx =+，联立抛物线2
4y x =
222
121212
22221122121221
(24)1044214
,,=(24)401
(,),(,),00141
=0=-(1,)4
y kx k x k x y x
k x x x x y y k k k
k k k OP x y OQ x y OP OQ x x y y k k k =+⎧⇒+-+=⎨=⎩-∴+===∆-->⇒>===∴+=+∉+∞u u u r u u u r u u u r u u u r Q g 有且即
，解得 20.解：
'22'2''(1)()3214120()0
4120()0()033f x x ax a a f x a a a f x x x a a f x x =++∆=-≥≤≤≥∆=-<<>>⇒<>+-+<⇒<<Q 即即--
'2''(2)()321
21
()(,)33
2()0321()03f x x ax f x f a f =++--↓⎧-≤⎪⎪∴⇒≥⎨⎪-≤⎪⎩
Q 在上。