四色定理
学校活动课四色定理
网络路由优化
总结词
网络路由优化是四色定理在网络领域的 应用，通过合理规划路由器的颜色配置 ，可以提高网络的性能和稳定性。
VS
详细描述
在网络路由优化中，四色定理的应用可以 帮助设计人员合理规划路由器的颜色配置 ，以确保网络的性能和稳定性。通过将路 由器分为四种颜色，可以有效地减少路由 器的配置复杂性和网络拥堵情况，提高网 络的传输效率和可靠性。这一应用在网络 工程和通信领域具有广泛的应用价值。
介绍四色定理在其他领域的应用，引 导学生探索更多的数学奥秘。
反思与改进
引导学生对实践活动进行反思，提出 改进意见和建议，以便于进一步提高 活动效果。
07 结论与展望
四色定理的重要性和影响
A
简化地图绘制
四色定理证明了给定任何平面地图，只需四种 颜色就可以确保相邻地区不会发生颜色冲突， 从而简化了地图绘制过程。
缩图法的关键在于如何有效地将地图分割成小块，并确保每 块都能用尽量少的颜色完成染色。这需要学生不断尝试和优 化，以找到最佳的分割方案。
反证法
反证法是一种通过假设四色定理不成立，然后推导出矛盾 ，从而证明四色定理的方法。这种方法有助于培养学生的 逆向思维和逻辑推理能力。
反证法的关键在于如何找到合适的矛盾点，并逐步推导出 与假设相矛盾的结论。这需要学生深入理解四色定理的本 质，并能够灵活运用所学知识进行推理。
05 四色定理的应用实例
地图染色问题
总结词
地图染色问题是四色定理最常见的应用实例，通过使用四色定理，可以确保给定地图只需要四种颜色 即可完成染色，避免了颜色过多导致混淆的情况。
详细描述
地图染色问题是一个经典的几何问题，它涉及到如何使用最少的颜色对地图进行染色，使得任意两个 相邻的区域都不同色。四色定理证明了一个平面地图可以使用四种颜色进行染色，无论地图的复杂性 如何。这一理论广泛应用于地图制作、地理信息系统等领域。
四色定理算法
四色定理算法四色定理（four color map theorem）是一个著名的数学定理[1]，即对任意的（平面上的）地图染色，要求相邻的国家颜色不同，四种颜色即可完成着色。
南非数学家法兰西斯·古德里在1852年提出“四色问题”或“四色猜想”。
证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但是四色定理证明持续了很长时间。
四色定理不是地图学的定理，四色定理是第一个由计算机证明的数学定理。
1976年，哈肯及其学生在伊利诺伊大学（即现在UIUC）的IBM360电脑上编程，经过电脑1200小时的验证，他们终于在6月证明四色定理。
1976年6月22日，哈肯和阿佩尔在于多伦多大学召开的美国数学学会（A.M.S.）夏季会议公布他们的结果。
不久，伊利诺伊大学数学系的邮戳上加上了“四种颜色就够了”（FOUR COLORS SUFFICE）的一句话，以庆祝四色猜想得到解决。
1977年，哈肯和阿佩尔将结果写成名为《任何平面地图都能用四种颜色染色》（Every planar map is four colorable）的论文，分成上下两部分，发表在《伊利诺伊数学杂志》（Illinois Journal of Mathematics）上[2][3].这是现在伊利诺伊大学大学厄巴纳香槟分校数学系主楼（离我们CyberGIS办公楼大约2分钟步行距离）。
我和同事曾在午饭后参观过UIUC数学楼，学术氛围非常浓厚。
四色定理被证明后，经历了十几年争议、修正和改进的过程。
1986年，哈肯和阿佩尔应《数学情报》杂志的邀请，发表了1篇清晰易懂的证明总结文章，1989年的最终的定稿超过400页（貌似图论中的经典定理证明都比较长）。
四色定理不是地图学定理，但它是地图学的经典问题。
地图设计的专著中对四色定理描述很少。
四色定理在地图中的应用其实没有想象的那么广，其实原因比较多，第一个是地图着色中可能会有飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家（例如美国的阿拉斯加州），而地图着色时仍需要这两个区域涂上同样颜色。
四色定理
四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样。另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。“是否只用四种颜色就能为所有地图染色”的问题最早是由一位英国制图员在1852年提出的，被称为“四色问题”或“四色猜想”。1976年，数学家凯尼斯·阿佩尔和沃夫冈·哈肯借助电子计算机首次得到了一个完全的证明，四色问题也终于成为了四色定理。这是首个主要借助计算机证明的定理。这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能接受，但仍有数学家希望能够找到更简洁或不借助计算机的证明。
四色定理的理论证明
个顶点看作一个顶点，得到与<b-ii>中讨论相
同的情形，因而这种情况下 G 是 4－可着色的。
因此我们剩下的问题是着相同颜色的二顶点
不挨着的情况。
不妨假设，按逆时针方向绕着 v 的顶点是
(图二)
v1 v2 v3 v4 v5，其中 v1 v3 着相同颜色 c1 ，v2 着 色 c2， v4 着色 c3，v5 着色 c4。（图二）
(3) 由图<4>知：v 1∈extC2，v 4∈intC2，圈 C2 由颜色 c2 c4 着其顶点（v 无 色除外）。因为 v1 v4 着色 c1 c 3，用 c1 c 3 着色的顶点产生子图 H9，所以 v1 v4 必然属于 H9 的不同分支。同样，v3∈intC2，v1 v3 属于 H9 的不同分支。 在 v1 所在的分支上交换颜色 c1 c3，而不影响 G－v 的正常着色。使 v1 着 色 c3。同样，v3∈extC1，v5∈intC1。用 c1 c4 着色的顶点产生子图 H10，H10 包含 v3 v5，因为圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外），所以 v3 v5 属于 H10 的不同分支，在 v3 所在的分支上交换色 c1 c4，而不影响 G－v 的正常 着色，使 v3 着色 c4。这样，我们使 v1 v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3 v5 着色 c4， 余下的色 c1 给 v 着色。这样，对于情形<4>我们再次得到 G 的一个 4－着 色法。
着色，我们来证明存在 4－着色法，使得 G 可 4-着色。
a). 如果和 v 邻接的顶点上所使用的颜色少于 4 种，那么只要用余下的任一
种颜色给 v 着色，便可以得到 G 的一个 4-可着色法。
b). 与 v 邻接的顶点着满 4 种颜色，因为有 deg(v) ≤5，所以存在与 v 邻接
中科院谈论四色定理
中科院谈论四色定理中科院谈论四色定理1. 引言：四色定理是一条著名的图论定理，它给出了一个惊人的结论，即任意平面图都可以用四种颜色给图中的所有国家着色，使得任意相邻的国家颜色不同。
这个定理在数学界引起了广泛的关注和研究。
在本文中，我们将从深度和广度两个角度来探讨中科院在谈论四色定理时所提出的观点和理解。
2. 深度探讨：2.1 背景介绍：四色定理最早由英国数学家弗朗西斯·格斯伊在1852年提出，并在正式发表于1977年之前一直是一个猜想。
这个定理经过了长时间的推导和证明，才最终被证明是成立的。
2.2 中科院的观点：中科院认为四色定理在图论领域具有重要的理论和实际意义。
通过研究四色定理，人们能够更好地理解和应用图论的相关概念和方法，同时也为一些实际问题的解决提供了启示。
在地图着色问题中，四色定理的应用可以帮助我们有效地解决颜色分配的困难。
2.3 个人观点：我认为四色定理的证明过程非常复杂和深奥，需要借助大量的数学工具和推导过程。
通过深入研究四色定理，我意识到数学的广度和深度远远超出了我们的想象。
作为一名写手，我深深体会到了数学的美妙之处，也进一步认识到数学在现实生活中的重要性。
3. 广度探讨：3.1 相关概念解析：在讨论四色定理时，我们需要了解一些相关概念，如平面图、着色、相邻等。
平面图是指可以画在平面上，并且不同的边不会相交的图形。
着色是指给图中的每个国家或区域分配一种颜色的过程。
相邻是指在图中两个共享边或顶点的国家之间的关系。
3.2 解决方法：中科院指出，四色定理的证明过程需要借助大量的数学推理和证据，其中最重要的是运用了红蓝可授、细分、降维等方法。
这些方法的运用使得人们能够更好地理解和证明四色定理的正确性。
3.3 总结回顾：通过对四色定理的深入研究，我认识到解决问题的方法和途径远远超出了我们的想象。
在数学领域，我们需要运用多种方法和策略来解决复杂的问题，而这些方法也可以在其他领域或生活中得到应用。
四色问题
四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界三大数学猜想之一。
四色定理是一个著名的数学定理，通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
1976年借助电子计算机证明了四色问题，问题也终于成为定理，这是第一个借助计算机证明的定理。
【问题的提出】1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
从此，这个问题在一些人中间传来传去，当时，三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。
【肯普的研究】1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。
大家都认为四色猜想从此也就解决了，但其实肯普并没有证明四色问题。
11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。
他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。
不久泰勒的证明也被人们否定了。
人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。
就是说对地图着色，用五种颜色就够了。
不过，让数学家感到欣慰的是，希伍德没有彻底否定肯普论文的价值，运用肯普发明的方法，希伍德证明了较弱的五色定理。
四色定理
谢谢观看
不过，郝伍德没有彻底否定肯普论文的价值，运用肯普发明的方法，郝伍德证明了较弱的五色定理。一方面， 五种颜色已足够，另一方面，确实有例子表明三种颜色不够。
肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地 图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的， 这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问 题”，但是后来人们发现他错了。四色Βιβλιοθήκη 理世界近代三大数学难题之一
01 简史
目录
02 影响
四色定理（世界近代三大数学难题之一），又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在 不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记 而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只 相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
人们发现四色问题出人意料地异常困难，曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。 后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实 是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形 可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
数学中的图的着色问题与四色定理
数学中的图的着色问题与四色定理数学中的图论是一门研究图及其性质的学科，其中一个重要的问题就是图的着色问题。
图的着色问题是指如何用有限种颜色给图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边不具有相同的颜色。
这个问题在实际应用中有着广泛的应用，比如地图着色、时间表的安排等。
在图的着色问题中，最著名的就是四色定理。
四色定理是指任何平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域不具有相同的颜色。
这个定理在1852年被英国数学家弗朗西斯·格思·韦尔斯顿和威廉·哈姆顿·伯奇证明，被认为是图论中的一个里程碑。
证明四色定理的过程非常复杂，需要运用大量的数学知识和技巧。
其中一个重要的思想就是通过对图进行适当的分割，将大问题转化为小问题，然后逐步解决。
这种分割的方法被称为“规约法”，即将一个复杂的问题规约为一系列简单的子问题。
通过这种方法，韦尔斯顿和伯奇最终证明了四色定理的正确性。
四色定理的证明引起了广泛的关注和讨论。
人们对于这个问题的兴趣不仅在于它的应用价值，更在于它背后的数学原理和思维方式。
四色定理的证明过程中，涉及到了众多的数学概念和定理，如图的平面性、图的连通性、图的染色等。
这些概念和定理的研究不仅推动了图论的发展，也对其他领域的数学研究产生了重要影响。
除了四色定理，图的着色问题还有其他一些重要的结果。
比如，五色定理指出任何平面图都可以用五种颜色进行着色，六色定理指出任何平面图都可以用六种颜色进行着色。
这些定理的证明过程和四色定理类似，都需要运用复杂的数学技巧和方法。
图的着色问题不仅在理论上有着重要的意义，也在实际应用中发挥着重要的作用。
比如，在地图着色中，我们可以用不同的颜色表示不同的国家或地区，以便更好地区分它们。
在时间表的安排中，我们可以用不同的颜色表示不同的活动或任务，以便更好地组织和管理。
这些应用都离不开图的着色问题的研究和应用。
总之，图的着色问题是数学中一个重要且有趣的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解决历程
1.猜想的诞生 2.问题的提出
3.问题的证明
猜想的诞生
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来 的。德· 摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四 色定理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜想是世界近代三大数学难题之一。 四色猜想的提出来自英国。1852年毕业于伦敦大学的弗南西斯· 格思里来到一家科研单位搞地图 着色工作时，发现了一种有趣的现象“看来每幅地图都可以用四种颜色着色使得有共同边界的 国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟 弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作 没有进展。 1852年10月23日他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德· 摩尔根。摩尔根 也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教。汉 密尔顿接到摩尔根的信后对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止问题也没有能 够解决。
如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立只要
证明不存在一张正规五色地图就足够了。
问题的证明
肯普是用归谬法来证明的。大意是如果有一张正规的五色地图就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”。 如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个。就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的。这样一 来就不会有极小五色地图的国数也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是
缓慢的进展
当时由大数学家黎曼，康托尔，庞加莱等创立的拓扑学之发展可谓一日千里后来竟然盖过大数学家 高斯宠爱的数论成为雍荣华贵的数学女王。四色问题就是属于拓扑学范畴的一个大问题。拓扑学不 仅引进了全新的研究方式，对数学家来说他也是一场革命。回顾拓扑学的的历史就可以说明为什么 四色问题对于20世纪数学来说是重要的。通俗的说连续变换就是你可以捏，拉一个东西但不能将其 扯破也不能把原先不在一起的两个点黏在一起。比如26个大写英文字母一些拓扑学家就认为可将其 分为3类。
尴尬的一堂课
19世纪末德国有位天才的数学教授叫闵可夫斯基他曾是爱因斯坦的老师。爱因斯坦因为经常不去听课便被他骂作 “懒虫”。万万没想到就是这个“懒虫”后来创立了著名的狭义相对论和广义相对论。闵可夫斯基受到很大震动，他 把相对论中的时间和空间统一成“四维时空”。这是近代物理发展史上的关键一步。
请 在 此 输 入 您 的 标 题
证明的困难
1878年凯莱正式向伦敦数学会提出了这个问题。凯莱可是英国响当当的数学家，他看中的问题必定不同凡响。消 息传到了律师肯普的耳朵里，引起了他的极大兴趣。不到一年肯普就提交了一篇论文声称证明了四色问题。人们 以为事情到此就已经完结了。谁知到1890年希伍德在肯普的文章中找到一处不可饶恕的错误。 不过让数学家感到欣慰的是，希伍德没有彻底否定肯普论文的价值，运用肯普发明的方法希伍德证明了较弱的五 色定理。这等于打了肯普一记闷棍又将其表扬一番。总的来说是贬大于褒。真不知可怜的肯普律师是什么心情。 追根究底是数学家的本性。一方面五种颜色已足够，另一方面确实有例子表明三种颜色不够。那么四种颜色到底 够不够呢？这就像一个淘金者明明知道某处有许多金矿，结果却只挖出一块银子，你说他愿意就这样回去吗？
目录
1 2 3 4
基本介绍
发展历史 解决历程 计算机证明 局限性
5
一：基本介绍
四色问题又称四色猜想，四色定理是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。德· 摩尔根（Augustus De Morgan）（1806-1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最 原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来数学家们为证 明这条定理绞尽脑汁所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学 家阿佩尔K.Appel与哈肯W.Haken宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证 明数学定理开拓了前景。
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来 的。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜 色。”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四 个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一 整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的颜色 给它们着色不会引起混淆。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边 界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就 行。 四色定理如果在平面或者球面上不能成立，必然可以构造五个区域或者五个以上区域两两相连。 就是说，如果一个平面需要5种颜色染色才能够用，就是等价于可以构造有五个区域两两相连。 所以四色不够用。 请在此输入您的文本。请在此输入您的文本。请在此输入您的文本。 明白这个意思了吗？如果四色定理不能成立，必然存在一种方法构造五个两两相连区域。
此绞尽脑汁但一无所获。于是人们开始认识到这个貌似容易的题目其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进
入20世纪以来科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年美国著名数学家、哈佛大学 的伯克霍夫利用肯普的想法结合自己新的设想证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于 1939年证 明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年有人从22国推进到35国。1960年有人又证明了39国以下的地图 可以只用四种颜色着色随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。
游戏：
随着四色定理的破解，一个极有价值的逻辑思维开发游戏也即将问世。 死对抗的，也可以纯粹是求知的。先谈两个人的对抗游戏：甲乙两人每 人一支笔，一张足够大的纸。一：甲在白纸上画出一个国家封闭的国界， 紧接着乙在该国界内填上一种颜色，或代表某种颜色的数字，例如用1， 2,3,4分别代表红蓝绿黄四种颜色；二：甲在白纸上画出第二个国家封闭 的国界，可与第一个国家相邻，也可以不相邻。乙又接着在第二个国家 的国界内填上一种颜色或代表颜色的数字；三：如此不断地继续，知道 乙不小心，或不得已让同一种颜色或数字填在两个相邻的国甲内算输， 或者在规定的时间内，甲未能使乙犯错，甲输。四：双方互换角色，重 复上述步骤。五：重复上述步骤多次，看谁的得分比较高。
了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。大家都认为四色猜想从此也就解决了。肯普的
证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家或没有三个以上的国家相遇于一点这 种地图，就说是“正规的”左图。如为正规地图否则为非正规地图右图。一张地图往往是由正 规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色。
在闵可夫斯基的一生中把爱因斯坦骂作“懒虫”恐怕还算不上是最尴尬的事…… 一天闵可夫斯基刚走进教室，一名 学生就递给他一张纸条，上面写着“如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要四种颜色就足够了。 您能解释其中的道理吗”
闵可夫斯基微微一笑对学生们说“这个问题叫四色问题是一个著名的数学难题。其实它之所以一直没有得到解决，仅 仅是由于没有第一流的数学家来解决它。” 为证明纸条上写的不是一道大餐只是小菜一碟，闵可夫斯基决定当堂掌 勺问题就会变成定理…… 下课铃响了可“菜”还是生的。一连好几天他都挂了黑板。后来有一天闵可夫斯基走进教室时忽然雷声大作他借此自 嘲道“哎！上帝在责备我狂妄自大呢！我解决不了这个问题。”
计算机证明
高速数字计算机的发明促使更多数学家对“四色问题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免 组来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为 “对偶”形着手。 他把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来。除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外擦掉其他所有的线剩 下的称为原图的对偶图。到了六十年代后期海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成 熟的形式出现的“放电法”。这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。 电子计算机问世以后由于演算速度迅速提高加之人机对话的出现大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过 程”后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976年6月他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上用了1200个小时作了100亿判断终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。 这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事。当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了 “四色定理”的特制邮戳以庆祝这一难题获得解决。 “四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色问题”的研究过程中不少新的数学理论 随之产生也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表 设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。 不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就。他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁 的证明方法。
二：发展历史
启示来源
证明困难
尴尬的一课
缓慢的进展
启示来源
相传四色问题是一名英国绘图员提出来的，此人叫格思里。1852年他在绘制英国地图的发现如果给相 邻地区涂上不同颜色，那么只要四种颜色就足够了。需要注意的是任何两个国家之间如果有边界，那 么其边界不能只是一个点，否则四种颜色就可能不够。 格思里把这个猜想告诉了正在念大学的弟弟。弟弟认真思考了这个问题结果，既不能证明也没有找到 反例，于是向自己的老师、著名数学家德· 摩根请教。德· 摩根解释不清。当天就写信告诉自己的同行、 天才的哈密顿。可是直到哈密顿1865年逝世为止也没有解决这个问题。从此这个问题在一些人中间传 来传去。当时三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来 了。