四色定理
科技馆 四色定理
科技馆四色定理一、四色定理的背景与意义四色定理，又称四色猜想，是图论中一个著名的未解决的问题。
它表述的是：对于平面上的任何一个封闭图形，只需用四种颜色进行着色，就可以保证任意两个相邻的区域都有不同的颜色。
这个问题源于19世纪，引起了无数数学家的兴趣，最终在20世纪70年代由Kenneth Appel和Wolfgang Haken证明。
四色定理的证明不仅解决了图论中的一个重要问题，也推动了数学的发展。
同时，它在计算机科学、工程学、电子工程和其他领域都有着广泛的应用。
二、四色定理的起源与发展四色定理的起源可以追溯到19世纪。
当时，英国的一位年轻地图绘制员Francis Guthrie提出，为什么地图上从未出现过五个或更多颜色的地图。
这引发了他对四色定理的思考。
然而，这个问题在接下来的几十年里一直未能得到解决。
尽管有数学家尝试证明或反驳这个定理，但都没有成功。
直到20世纪70年代，Kenneth Appel 和Wolfgang Haken利用计算机和复杂的数学工具，完成了四色定理的证明。
三、四色定理的证明方法Kenneth Appel和Wolfgang Haken采用了计算机辅助证明的方法，利用了大量的组合数学和图论知识。
他们通过构造一个庞大的表格，记录了所有可能的情况，然后利用计算机对这些情况进行检查，最终证明了四色定理。
四、四色定理在地图绘制中的应用四色定理在地图绘制中有着广泛的应用。
它保证了可以用四种颜色对任意一个封闭的地图进行着色，从而避免了因颜色重复而产生的混淆。
这大大简化了地图绘制的过程，使得地图更加准确和易于理解。
五、四色定理在计算机图形学中的应用在计算机图形学中，四色定理也被广泛应用。
例如，在绘制复杂的图形或模拟自然现象（如气候模型）时，可以利用四色定理进行着色。
此外，在计算机图形学中，四色定理也常被用于检测和纠正几何形状的错误。
六、四色定理在电路板设计中的应用在电路板设计中，四色定理也有着重要的应用。
学校活动课四色定理
网络路由优化
总结词
网络路由优化是四色定理在网络领域的 应用，通过合理规划路由器的颜色配置 ，可以提高网络的性能和稳定性。
VS
详细描述
在网络路由优化中，四色定理的应用可以 帮助设计人员合理规划路由器的颜色配置 ，以确保网络的性能和稳定性。通过将路 由器分为四种颜色，可以有效地减少路由 器的配置复杂性和网络拥堵情况，提高网 络的传输效率和可靠性。这一应用在网络 工程和通信领域具有广泛的应用价值。
介绍四色定理在其他领域的应用，引 导学生探索更多的数学奥秘。
反思与改进
引导学生对实践活动进行反思，提出 改进意见和建议，以便于进一步提高 活动效果。
07 结论与展望
四色定理的重要性和影响
A
简化地图绘制
四色定理证明了给定任何平面地图，只需四种 颜色就可以确保相邻地区不会发生颜色冲突， 从而简化了地图绘制过程。
缩图法的关键在于如何有效地将地图分割成小块，并确保每 块都能用尽量少的颜色完成染色。这需要学生不断尝试和优 化，以找到最佳的分割方案。
反证法
反证法是一种通过假设四色定理不成立，然后推导出矛盾 ，从而证明四色定理的方法。这种方法有助于培养学生的 逆向思维和逻辑推理能力。
反证法的关键在于如何找到合适的矛盾点，并逐步推导出 与假设相矛盾的结论。这需要学生深入理解四色定理的本 质，并能够灵活运用所学知识进行推理。
05 四色定理的应用实例
地图染色问题
总结词
地图染色问题是四色定理最常见的应用实例，通过使用四色定理，可以确保给定地图只需要四种颜色 即可完成染色，避免了颜色过多导致混淆的情况。
详细描述
地图染色问题是一个经典的几何问题，它涉及到如何使用最少的颜色对地图进行染色，使得任意两个 相邻的区域都不同色。四色定理证明了一个平面地图可以使用四种颜色进行染色，无论地图的复杂性 如何。这一理论广泛应用于地图制作、地理信息系统等领域。
820 四色定理
四色定理Four Color Theorem“四色定理”——“一张各国地域连通，并且相邻国家有一段公共边界的平面地图上，可以用四种颜色为地图着色，使得相邻国家着有不同的颜色”它在图论发展史上起到过巨大的推动作用A1852年，佛朗西斯·古思里（Francis Guthrie）在绘制英格兰分郡地图时，发现许多地图都只需用四种颜色染色，就能保证有相邻边界的分区颜色不同他将这个发现告诉了他的弟弟弗雷德里克·古思里弗雷德里克将他哥哥的发现作为一个猜想向老师德·摩根提出德·摩根对此很感兴趣，当天就和爱尔兰数学家哈密尔顿通信，将这个问题向他提出而哈密尔顿则与之相反，对它丝毫不感兴趣，他在三天后的回信中告诉德·摩根，他不会尝试解决这个问题1879年，肯普（Alfred Kempe）宣布证明了四色定理在1890年，希伍德（Heawood）指出了肯普的证明存在漏洞，而且他使用肯普的方法证明了“五色定理”。
直到1976年四色猜想才最终由数学家阿佩尔（Kenneth Appel）和哈肯（Wolfgang Haken）在科克（J. Koch）的帮助下证明他将地图上的无限种可能情况归纳为1936种状态再由电脑逐个检查过程共用了一千多个小时四色定理是第一个主要由电脑证明的理论，但这一证明并不被所有的数学家接受，因为采用的方法不能由人工直接验证在证明四色猜想过程中，研究者还发现了平面哈密尔顿图和面着色之间的一个有趣联系：哈密尔顿回路将平面分成若干个回路内部面和若干个回路外部面使用颜色A和B交替将内部面着色使用颜色C和D交替将外部面着色得到了一个使用4种颜色的面着色一般地讲，每个平面哈密尔顿图都可以使用4种颜色进行面着色E nd。
四色定理算法
四色定理算法四色定理（four color map theorem）是一个著名的数学定理[1]，即对任意的（平面上的）地图染色，要求相邻的国家颜色不同，四种颜色即可完成着色。
南非数学家法兰西斯·古德里在1852年提出“四色问题”或“四色猜想”。
证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但是四色定理证明持续了很长时间。
四色定理不是地图学的定理，四色定理是第一个由计算机证明的数学定理。
1976年，哈肯及其学生在伊利诺伊大学（即现在UIUC）的IBM360电脑上编程，经过电脑1200小时的验证，他们终于在6月证明四色定理。
1976年6月22日，哈肯和阿佩尔在于多伦多大学召开的美国数学学会（A.M.S.）夏季会议公布他们的结果。
不久，伊利诺伊大学数学系的邮戳上加上了“四种颜色就够了”（FOUR COLORS SUFFICE）的一句话，以庆祝四色猜想得到解决。
1977年，哈肯和阿佩尔将结果写成名为《任何平面地图都能用四种颜色染色》（Every planar map is four colorable）的论文，分成上下两部分，发表在《伊利诺伊数学杂志》（Illinois Journal of Mathematics）上[2][3].这是现在伊利诺伊大学大学厄巴纳香槟分校数学系主楼（离我们CyberGIS办公楼大约2分钟步行距离）。
我和同事曾在午饭后参观过UIUC数学楼，学术氛围非常浓厚。
四色定理被证明后，经历了十几年争议、修正和改进的过程。
1986年，哈肯和阿佩尔应《数学情报》杂志的邀请，发表了1篇清晰易懂的证明总结文章，1989年的最终的定稿超过400页（貌似图论中的经典定理证明都比较长）。
四色定理不是地图学定理，但它是地图学的经典问题。
地图设计的专著中对四色定理描述很少。
四色定理在地图中的应用其实没有想象的那么广，其实原因比较多，第一个是地图着色中可能会有飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家（例如美国的阿拉斯加州），而地图着色时仍需要这两个区域涂上同样颜色。
四色定理
四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样。另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。“是否只用四种颜色就能为所有地图染色”的问题最早是由一位英国制图员在1852年提出的，被称为“四色问题”或“四色猜想”。1976年，数学家凯尼斯·阿佩尔和沃夫冈·哈肯借助电子计算机首次得到了一个完全的证明，四色问题也终于成为了四色定理。这是首个主要借助计算机证明的定理。这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能接受，但仍有数学家希望能够找到更简洁或不借助计算机的证明。
四色猜想四色猜想四色定理
四色猜想-四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。
数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。
对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。
从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。
这时计算机才刚刚发明。
两人的思想可谓十分超前。
1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。
到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。
于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。
在当地的信封上盖“Four colorssutfice”四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。
人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。
赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。
后来也的确有人指出其错误。
1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。
1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。
无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。
问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
四色定理的理论证明
个顶点看作一个顶点，得到与<b-ii>中讨论相
同的情形，因而这种情况下 G 是 4－可着色的。
因此我们剩下的问题是着相同颜色的二顶点
不挨着的情况。
不妨假设，按逆时针方向绕着 v 的顶点是
(图二)
v1 v2 v3 v4 v5，其中 v1 v3 着相同颜色 c1 ，v2 着 色 c2， v4 着色 c3，v5 着色 c4。（图二）
(3) 由图<4>知：v 1∈extC2，v 4∈intC2，圈 C2 由颜色 c2 c4 着其顶点（v 无 色除外）。因为 v1 v4 着色 c1 c 3，用 c1 c 3 着色的顶点产生子图 H9，所以 v1 v4 必然属于 H9 的不同分支。同样，v3∈intC2，v1 v3 属于 H9 的不同分支。 在 v1 所在的分支上交换颜色 c1 c3，而不影响 G－v 的正常着色。使 v1 着 色 c3。同样，v3∈extC1，v5∈intC1。用 c1 c4 着色的顶点产生子图 H10，H10 包含 v3 v5，因为圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外），所以 v3 v5 属于 H10 的不同分支，在 v3 所在的分支上交换色 c1 c4，而不影响 G－v 的正常 着色，使 v3 着色 c4。这样，我们使 v1 v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3 v5 着色 c4， 余下的色 c1 给 v 着色。这样，对于情形<4>我们再次得到 G 的一个 4－着 色法。
着色，我们来证明存在 4－着色法，使得 G 可 4-着色。
a). 如果和 v 邻接的顶点上所使用的颜色少于 4 种，那么只要用余下的任一
种颜色给 v 着色，便可以得到 G 的一个 4-可着色法。
b). 与 v 邻接的顶点着满 4 种颜色，因为有 deg(v) ≤5，所以存在与 v 邻接
四色定理
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不过，郝伍德没有彻底否定肯普论文的价值，运用肯普发明的方法，郝伍德证明了较弱的五色定理。一方面， 五种颜色已足够，另一方面，确实有例子表明三种颜色不够。
肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地 图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的， 这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问 题”，但是后来人们发现他错了。四色Βιβλιοθήκη 理世界近代三大数学难题之一
01 简史
目录
02 影响
四色定理（世界近代三大数学难题之一），又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在 不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记 而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只 相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
人们发现四色问题出人意料地异常困难，曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。 后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实 是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形 可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
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四色定理的发现：
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大 学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作 时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用 四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜 色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在 大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一 问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进 展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了 他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到 解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学 家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四 色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题 也没有能够解决。
‘
在平面图中的无数点中，任取相邻三点 构成各点相邻的△ABC（见图2），则需 3种颜色A B C,在平面图中再任取一点 D 与 A B C 三点相邻,同时D又与A B C三点相连后形成三角形。任取一 点E与 A、B、C、D四色相连，E必与四色之一色相同即E点在 △ABD中与C色相同、在△ACD中与B色相同、在△BCD中与A色相 同、在△ABC外与D色相同，E与另外三色相连形成新的三角形。 在三角形的三点之外任取一点只有在三角形的内部和外部 两种情况且这两种情况的点不会相邻，该点最多与三角形的三 点相连且又形成新的三角形。 继续选取一点进行着色，该点同样最多与三角形的三点相 连且又形成新的三角形，该点至少为四色中的一色。逐点（第 n点）着色至将所有点（第n+1点）着色只须A、B、C、D四色其 中一色。
时势造英雄
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对 话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学 哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个 很好的程序。就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台 不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。 “四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题， 而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色问题”的研究 过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技 巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不 仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算 机的编码程序上都起到了推动作用。 不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应 该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍由不少数学家 和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
一番风风雨雨下来，四色问题更加受到瞩目了。由於 的 「五色定理」的证明并不难，因此就有许多人也小看了「四色 问题」的难度。最有趣的是以下这个例子。 1902年秋天，閔可夫斯基教授( ，1864 -1909，爱因斯 坦的数学导师)在上拓朴学的课堂上就当着学生面前说：「四 色问题之所以尚未被解决是因為世界上第一流的数学家都还没 空去研究它。」而且兴之所至，当场就证了起来；但是写了好 几个黑板，却依旧未能得证。接下来几个星期的课，他继续证 下去，课一堂一堂地过去了，他如身陷泥沼，仍旧无法证明出 来。他终於投降，承认自己也无能為力了。就在这个时候，天 空正好霹靂一声巨响，他感嘆地说：「上帝在责备我的狂妄！」 然后就继续上他的拓朴课了。
公开徵答
1878年，英国数学家 将上述问题曝光取名為「四色猜想」， 公开徵求解答。 问题一传出后，马上就有了回应。1879年和1880年， 和 分 别发表论文证明了四色问题。轰动一时的热度终於平息。不料事 隔11年后，一个名叫 的年轻人指出了 证明中的错误，并利用 的 方法证明出若用5 种顏色就保证一定能区分出地图上相邻的区域。 虽然四色问题未被破解，但是至此算是迈出了一大步。而另一方 面， 的论文亦被陆陆续续发现多处错误，甚至最后一个错误是 一直到1946年才被发现的。从这裡我们可看出这些人的研究精 神是多麼可敬，被发现错误的东西并未被弃之如敝屣般丢在一旁， 仍旧不断有人去研究它，甚至是在事隔半个多世纪之后。 尽管如此，这篇论文仍然起着巨大的作用。
四色定理
许多同学都知到排列组合把， 也应该应该都做过这个着色问题 吧： 用4种不同的顏色去涂右边这 个脸谱，每区域一色，同一种顏 色可重复使用，但相邻区域不可214种
黃
4× 3× 2× 1× 1× 3× 3
四色問題
任何一张平面地图， 如果相邻的两个国家， 必须涂上不同的顏色以 便划清边界，则至多只 要四种顏色就搞定了， 不管这张地图有多麼奇 特复杂。
结论：
将平面图的不相连点使其相连（这样 增加着色难度），形成有许多三角形相连 的平面图，根据三角形的稳定性，利用数 学归纳法，平面图进行着色最多需４种颜 色。
在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面， 那么三点构成的三角形是平面图中最基本、最简单、最 稳定、密闭的图形。 由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考 虑点是否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增 加着色难度），形成有许多三角形相连的平面图（三点 以下肯定成立）。如图1：添加辅助线（不相邻的点使 其相邻，这样就增加了着色的色数，有利于证明），将 图1分解为４个△ABC。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明 基本上是按照肯普的想法（如上证明）在进行。 1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫 利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某 些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于 1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。 1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有 人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着 色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十 分缓慢。