集合及其运算
第一讲 集合的概念和运算
。
解析：对于新定义题，关键是读懂题目， 弄清概念的含义，准确运用。 ∵n=4, ∴ Sn {1, 2,3, 4}, ，则X可取 ,{1}, {2}, {3},
{4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {2,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}.不是偶子集有{1}，
A B 0,1,2,4,16
则a的值为（ A. 0 答案：D. B. 1
） C. 2 D. 4
a4 解析：抓住并集中的元素，由此知 a 2 16 2
a 4 或 ，∴选D。 a 16
变式题：含有三个实数的集合可表示为{a,b,lg(ab)},也可 表示为{|a|,b,0},则 a 2015 b2015 的值等于 。
7.特别提醒的几点：
①．注意区分几种常见集合
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然 后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注 意弄清其元素表示的意义是什么.
集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)＞0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
集合的意义 方程f(x)＝0的解源自 不等式f(x)＞0的解集 函数y＝f(x)的定义域 函数y＝f(x)的值域 函数y＝f(x)图象上的点集
⑶
无序性
。
5.集合中元素和集合、集合与集合的关系： ⑴元素和集合的关系：若元素a 是集合A的元素， A”。 记作：a A ，否则“a
⑵集合与集合的关系：包含和不包含关系。包含关系又 分为真包含和相等关系。符号为“ ”，“＝”， ”，“ “ ”，“ ” .
特别提醒：规定空集是 空集是
第一章 集合的概念及运算(集合论讲义)
(5) 德·摩根律 A ∪ B = A ∩ B ， A ∩ B = A ∪ B
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) ， A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)
4
|
A1
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
=
125
，|
A2
|=
⎢ 250 ⎢⎣ 3
⎥ ⎥⎦
=
83
，|
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦
=
50
，|
A4
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 7 ⎥⎦
=
35
，
|
A1
∩
A2
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 2× 3⎥⎦
=
41
，|
A1
∩
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣2× 5⎥⎦
=
(6) 吸收律 A ∪ ( A ∩ B) = A ， A ∩ ( A ∪ B) = A (7) 零律 A ∪ E = E ， A ∩ ∅ = ∅ (8) 同一律 A ∪ ∅ = A ， A ∩ E = A (9) 排中律 A ∪ A = E
5
(10) 矛盾律 A ∩ A = ∅ (11) 全补律 ∅ = E ， E = ∅ (12) 双重否定律 A = A (13) 补交转换律 A − B = A ∩ B
3
还可以将交，并运算推广到集族上。
∪ 定义 2.3 设 A 为一个集族，称由 A 中全体集合的元素组成的集合为 A 的广义并集，记作 A ， ∪ 称 ∪ 为广义并运算符， A 可描述为
集合及其运算
集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算理解命题的概念.了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题， 理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 理解全称量词和存在量词的意义. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法A B (或B A )判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ，B ，C 表示同一个集合．( ) (2)若a 在集合A 中，则可用符号表示为a ⊆A .( ) (3)若A B ，则A ⊆B 且A ≠B .( ) (4)N *NZ .( )(5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(教材习题改编)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案：B(教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝()A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}C．{3，4} D．{3，4，5}解析：选C.因为A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}．(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.答案：1(教材习题改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁A)∩B＝________．解析：因为∁R A＝{x|x<3或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．答案：{x|2<x<3或7≤x<10}集合的概念[典例引领](1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1B．3C．6 D．9(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．【解析】(1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.【答案】 (1)C (2)－32[通关练习]1．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A ，3∉A ，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得⎩⎪⎨（3－a ）2≥1即⎩⎪⎨⎪⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4，所以1<a ≤2. 答案：1<a ≤2集合间的基本关系[典例引领](1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)由题意知A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，则B A . (2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)B (2)(－∞，3]1.在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎨⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.2.若将本例(2)中的集合A 改为：A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？ 解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2， 解得⎩⎨⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．[通关练习]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个．2．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的范围为________． 解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述m 的范围为m ≤1. 答案：m ≤1集合的基本运算集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下两个命题角度：(1)集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数的值(范围)．[典例引领]角度一 集合间的交、并、补运算(1)(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}(2)(2018·南昌市第一次模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0，1] C ．(0，1)D ．(1，＋∞)【解析】 (1)A ∪B ＝{1，2，4，6}，(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}，选项B 符合．(2)由题知，A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}＝(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝x ＋1}＝{y |y ≥1}＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0，1)． 【答案】 (1)B(2)C角度二 已知集合的运算结果求参数的值(范围)(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3}B ．{1，0}C ．{1，3}D ．{1，5}(2)(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{x ∈R |12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[12，1]C ．[23，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】 (1)因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1，3}，选择C.(2)因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥12a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.【答案】 (1)C (2)A(1)集合基本运算的求解策略①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算．②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． ③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． (2)集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集．[通关练习]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}解析：选C.由已知可得B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}，故选C.2．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D.依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，选D.3．(2018·河北衡水中学第七次调研)已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x |0<x <c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．[1，＋∞) C ．(0，2]D ．[2，＋∞)解析：选D.A ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2，所以c ∈[2，＋∞)，故选D.集合中的创新问题[典例引领](1)定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝mn ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9(2)如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．【解析】 (1)由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B. (2)由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}． 【答案】 (1)B (2){0，6}解决集合创新型问题的方法(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．[通关练习]1．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B ＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)2．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．答案：6集合运算的性质(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.(4)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.(6)若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.易错防范(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．1．(2017·高考北京卷)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >2}，则∁U A ＝( ) A ．(－2，2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C.由已知可得，集合A 的补集∁U A ＝[－2，2]．2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析：选A.集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}，所以A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A. 3．已知集合A ＝{x ∈R |x －1x ＝0}，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选C.解方程x －1x ＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1，0，1}，所以B ＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B 共有4个．4．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C.由题意，得B ＝{0，1，2，3，2}，所以A ∩B ＝{0，1，2}，所以A ∩B 的真子集个数为23－1＝7.故选C.5．(2018·云南省第一次统一检测)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与集合B 的关系是( ) A ．B ⊆A B ．B ⊇A C ．B ∈AD ．A ∈B解析：选A.因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝{x |x >52}，所以B ⊆A ，故选A.6．(2018·陕西西安模拟)已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( ) A ．M ＝NB ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选B.因为集合M ＝{－1，0，1}．N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，所以N ＝{－1，0}，所以集合M ∩N ＝N .故选B.7．(2018·河南百校联盟联考)若集合A ＝{x |y ＝lg(3x －x 2)}，B ＝{y |y ＝1＋4x ＋1，x ∈A }，则A ∩∁R B 等于( ) A ．(0，2] B ．(2，3) C ．(3，5)D ．(－2，－1)解析：选A.因为A ＝(0，3)，所以B ＝(2，5)，所以A ∩∁R B ＝(0，2]．故选A.8．(2018·湖北武昌模拟)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( ) A ．{0，1} B ．{1，2} C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，5}解析：选D.因为 A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，所以A －B ＝{0，1，2，5}．故选D.9．(2018·长沙市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数 ，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2，选B.10．(2018·安徽省两校阶段性测试)设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．(－∞，32)B ．(1，32)C ．[1，32)D ．(32，3]解析：选 B.A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝{x |1<x <32}，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{x |1<x <32}．故选B.11．(2018·安徽淮北第二次模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( ) A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C.因为log 2(x －1)<1，所以x －1>0且x －1<2，即1<x <3，则N ＝{x |1<x <3}，因为U ＝R ，所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又因为M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩∁U N ＝{x |x ＝1或x ≥3}，所以－2a ＝1，得a ＝－12.故选C.12．(2018·豫北名校联考)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝12.故P ⊗Q ＝{0，－12，12}，该集合中共有3个元素，所以选B.13．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝________． 解析：由于A ∪B ＝{x |x ≤0，或x ≥1}，结合数轴，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}． 答案：{x |0<x <1}14．设全集S ＝{1，2，3，4}，且A ＝{x ∈S |x 2－5x ＋m ＝0}，若∁S A ＝{2，3}，则m ＝________． 解析：因为S ＝{1，2，3，4}，∁S A ＝{2，3}, 所以A ＝{1，4}，即1，4是方程x 2－5x ＋m ＝0的两根，由根与系数的关系可得m ＝1×4＝4. 答案：415．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁I B )＝________． 解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，所以∁I B ＝{0，1}，则A ∩(∁I B )＝{1}． 答案：{1}16．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)1．(2018·山东烟台调研)已知集合M ＝{x |x ＝k π4＋π4，k ∈Z }，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M解析：选B.由题意可知，M ＝{x |x ＝（2k ＋4）8π－π4，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝{x |x＝2k π8－π4或x ＝（2k －1）8π－π4，k ∈Z }，所以M ⊆N ，故选B. 2．(2018·宁夏银川二中考试)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．[1，＋∞) C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：选B.法一：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.法二：因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，取c ＝1，则B ＝(0，1)，所以A ⊆B 成立，可排除C ，D ；取c ＝2，则B ＝(0，2)，所以A ⊆B 成立，可排除A.3．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1，0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)．答案：(－∞，－1]∪(0，1) 4．若集合A 具有以下性质：(1)0∈A ，1∈A ；(2)x ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x ∈A ，则称集合A 是“完美集”，给出以下结论：①集合B ＝{－1，0，1}是“完美集”； ②有理数集Q 是“完美集”；③设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则x ＋y ∈A ； ④设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则xy ∈A ；⑤对任意的一个“完美集”A ，若x ，y ∈A ，且x ≠0，则yx ∈A .其中正确结论的序号是________．解析：①－1∈B ，1∈B ，但是－1－1＝－2∉B ，B 不是“完美集”； ②有理数集满足“完美集”的定义；③0∈A ，x ，y ∈A ，0－y ＝－y ∈A ，那么x －(－y )＝x ＋y ∈A ；④对任意一个“完美集”A ，任取x ，y ∈A ，若x ，y 中有0或1时，显然xy ∈A ，若x ，y 均不为0，1，而1xy ＝12xy ＋12xy ＝1（x ＋y ）2－x 2－y 2＋1（x ＋y ）2－x 2－y 2，x ，x －1∈A ，那么1x －1－1x ＝1x （x －1）∈A ，所以x (x －1)∈A ，进而x (x －1)＋x ＝x 2∈A .结合前面的算式，知xy ∈A ； ⑤x ，y ∈A ，若x ≠0，那么1x ∈A ，那么由④得yx ∈A .故填②③④⑤. 答案：②③④⑤5．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3，5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R |ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z .解：(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋c ×3＋15＝0，c ＝－8， 所以B ＝{x ∈R |x 2－8x ＋15＝0}＝{3，5}，又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3，5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7，所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝{x |－52≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝{x |－52≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1，0，1}．6．(2018·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。
1.3.1集合的基本运算(并集与交集)
定义
一般地,由既属于集合A又属于集合 B的所有元素组成的集合叫做A与 B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
A
B
A∩B
性质
⑴ A∩A = A A∩φ = φ A∩B =B∩A
⑵ A∪A = A A∪φ = A A∪B = B∪A
例6 设A={x x2+4x=0}, bbbbbcB={x x2+2(a+1)x+a2－1=0},
(1) 若A∩B=B,求a的值．
(2) 若A∪B=B,求a的值．
探究
(A∩B)∩C = A∩( B∩C ) A∩B∩C
(A∪B)∪C= A∪( B∪C ) A∪B∪C
课堂小结
1. 理解两个集合交集与并集的概念 bb和性质. 2. 求两个集合的交集与并集,常用 bbb数轴法和图示法． 3．注意灵活、准确地运用性质解题;
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B
的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
A
B
A∪B
观察集合A,B,C元素间的关系:
则A∩B= Φ
A∪B= {斜三角形}
例3 设A={x x＞－2},B={x x＜3}, 求A∩B, A∪B．
例4 已知A={2,－1,x2－x+1}, B={2y,－4,x+4}, C={－1,7}
且A∩B=C 求x,y的值及A∪B．
01集合的概念及运算
251 16, 261 32, 271 64, 281 128,
且1 4 16 64 128 211,
i1 1, i2 2, i3 5, i4 7, i5 8.
走进高考
综上知，当A⊆B时，a<-8或a≥2.
(2)当 a=0 时，显然 B ⊆A；
当 则 又当∵ 当a则则 又则又<a－ 4aaa∵<0≤∵<>1a0－4a－0时 0a4a－－ 时4aa≤， 时<≤1a≥>1a<， 0≤1a2，－20∴ ，，2－>，若－12>2∴－ 若若12212∴， B－12BB⊆ ，<－⊆⊆∴ 12a，，<∴AA1<2a∴，，<0<∴－ － .a0－ －如如如 <.00128<<1208≤ <－－图图图 <≤aa. a≤ ≤a128a，，a<，<<≤<22<0000aa.<<0.0.
走进高考
【2】（10 湖南文 15）若规定 E={a1,a2 ,..., a10}的子集{ai1 ai2 ,..., ain }
为 E 的第 k 个子集，其中 k 2i11 2i2 1 2in 1 ，则
（1）{a1, a3} 是 E 的第_____5____个子集；
（2）E 的第 211 个子集是_{__a_1_,__a_2_,__a_5_,__a_7__,_a_8_}___．
(4)常用数集的记法
数集
自然 数集
正整数集
整数 集
有理 数集
实数 集
复数 集
记法 N N(或N ) Z Q R C
第1讲集合的概念和运算
第1讲 集合的概念和运算必记考点1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征： 、 、 ． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集： N ； N *(或N ＋) ； Z ；Q ； R . (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、 . 2．集合间的基本关系(1)子集： ，则A ⊆B (或B ⊇A )． (2)真子集： 则A B (或B A )．若集合A 中含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的真子集有2n －1个．(3)空集：空集是 的子集，是 的真子集．即∅⊆A ，∅B (B ≠∅)．(4)集合相等：若 ，则A ＝B . 3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A ∪B ＝ ． (2)交集：A ∩B ＝ ．(3)补集：∁U A ＝ ，U 为全集，∁U A 表示A 相对于全集U 的补集． (4)集合的运算性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ②A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； ③A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( )．考向二 集合间的基本关系【例2】已知集合A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.【训练2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )． A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}(3)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C．{1,2} D．{3,5}基础演练1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()．A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()．A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}4.若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁R A)∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 6．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．7．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.第2讲函数及其表示必记考点1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作.2．函数的三要素函数由、、三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：．(2)值域：．(3)两个函数就相同: .3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数的定义【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是()．2．下列各组函数表示相同函数的是()．A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x2C．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0，－x，x<0，g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－1考向二 求函数的定义域、值域【例2】►(1) 函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．(2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．(3) 设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，实数a ＝________.考向三 分段函数及其应用【例3】(1) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )．A.15 B ．3 C.23D.139(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )．A ．1B ．0C ．－1D ．π(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12 B.45 C ．2 D ．9基础演练1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )．A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )．A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为________．5．(2013·皖南八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 6.已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式.第3讲 函数的性质必记考点 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若 ，则f (x )在区间D 上是增函数；②若 ，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则区间D 叫做f (x )的单调区间．(3)用定义判断函数单调性的步骤: . 2. 函数的奇偶性(1)定义：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2)性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称．考向一 确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x(2)函数y ＝－x 2＋2x －3(x <0)的单调增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]考向二 函数单调性的应用【例2】(1)若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________. (2) 函数y ＝f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .考向三 求函数的最值【例3】函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．考向四 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－2x ；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝(x －1)－ 1＋x1－x.考向五 函数奇偶性的应用【例5】(1)函数f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.(2) 设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________. (3) 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝ ．基础演练1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数2．函数y ＝f (x )在R 上为减函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x ＋14．已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________．5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 6.下列函数是偶函数的是( )．A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]7. 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是 .8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.9．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．第4讲 指数与指数函数必记考点1．指数与指数运算 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫 ，.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．即x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质①(na )n ＝ .②当n 为奇数时，na n＝ ；当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0).(3)分数指数幂的含义正分数指数幂a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．负分数指数幂a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．(4)幂指数的运算性质a r ·a s ＝ rs aa= (a r )s ＝ (ab )r ＝2．指数函数的图象与性质考向一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－ 3338－π0；(2) 2132a b ·(－31132a b )÷156613a b(3)a ·3a 25a ·3a考向二 指数函数的性质【例2】(1)方程2x －2＋x ＝0的解的个数是________． (2) 下列各式比较大小正确的是( )． A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(3)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，①讨论f (x )的奇偶性；②讨论f (x )的单调性．⎝⎛⎭⎫21412－⎝⎛⎭⎫－350－⎝⎛⎭⎫827－13＝________. 已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．函数y ＝1－3x 的定义域为________。
集合及其运算
《计算机数学基础》辅导(3)⎯⎯集合及其运算本章重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明，笛卡儿积.一、重点内容 1. 集合的概念h 集合与元素，具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素. 集合A 中所含元素的个数记作A . 集合中的元素不能重复出现，集合中的元素无序之分. 集合与其元素之间有属于“∈”或不属于“∉”之分.h 集合的表示方法：列举法和描述法.2. 特殊集合：全集、空集和幂集h 全集合E ，在一个具体问题中，所涉及的集合都是某个集合的子集，该集合为全集； h 空集∅，不含任何元素的集合为空集. 空集是惟一的，它是任何集合的子集.h 集合A 的幂集P (A )，有集合A 的所有子集构成的集合. 若⏐A ⏐＝n , 则⏐P (A )⏐=2n .3. 集合的关系：包含，子集，集合相等.h 包含(子集)，若，则B 包含A (或A 包含于B )，A 是B 的子集，记又A ≠B ，则A 是B 的真子集，记A ⊂B.B a A a ∈⇒∈∀,B A ⊆ h 集合相等，若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B.注意：在集合概念部分要特别注意：元素与集合，集合与子集，子集与幂集，∈与⊂(⊆)，空集∅与所有集合等的关系.4. 集合的运算h 集合A 和B 的并，由集合A 和B 的所有元素组成的集合，A ∪Bh 集合A 和B 的交，由集合A 和B 的公共元素组成的集合，A ∩Bh 集合A 的补集∼A ，由不属于集合A 的元素组成的集合，∼A. 补集总相对于一个全集. h 集合A 与B 的差集，由属于A ，而不属于B 的所有元素组成的集合，A －B.h 集合A 与B 的对称差，A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )，也有A ⊕B ＝）A ∪B 〕－（A ∩B ）应该很好地掌握10条运算律(运算的性质)，即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等.5. 恒等式证明集合的运算部分有三个方面的问题：其一是进行集合的运算；其二是集合运算式的化简；其三是集合恒等式的推理证明.集合恒等式的证明方法通常有二：其一，要证明A ＝B ，只需要证明A ⊆B ，又A ⊇B ； 其二，通过运算律进行等式推导.6. 有序对与笛卡儿积h 有序对，就是有顺序的数组，如<x ,y >，x ,y 的位置是确定的，不能随意放置.注意：有序对<a ，b >≠<b ,a >，以a ,b 为元素的集合{a ,b }={b ,a }；有序对(a ,a )有意义，而集合{a ,a }不成立，因为它只是单元素集合，应记作{a }.h 笛卡儿积，是一种集合合成的方法，把集合A ，B 合成集合A ×B ，规定A ×B ＝{<x ,y >⏐x ∈A ,y ∈B }由于有序对<x ,y >中x ,y 的位置是确定的，因此A ×B 的记法也是确定的，不能写成B ×A.笛卡儿积也可以多个集合合成，A 1×A 2×…×A n .笛卡儿积的运算性质.二、实例 例3.1 已知S ＝{2,a ,{3},4},R ={{a },3,4,1},指出下列命题的真值.(1) {a }∈S ; (2) {a }∈R ;(3) {a ,4,{3}}⊆S ; (4) {{a },1,3,4}⊆R ;(5) R =S ; (6) {a }⊆S(7) {a }⊆R (8) ∅⊂R(9) ∅⊆{{a }}⊆R (10) {∅}⊆S(11) ∅∈R (12) ∅⊆{{3},4}解 集合S 有四个元素组成：2，a ，{3}，4，而元素{3}又是集合. 集合R 类似.(1) {a }，这是单元素的集合，{a }不是集合S 的元素. 故命题A ：{a }∈S 的真值为0；(2) {a }是R 的元素，故命题B ：{a }∈R 的真值为1.(3) a ,4,{3}都是集合S 的元素，它们可以构成S 的子集. 故命题C ：{a ,4,{3}}⊆S 的真值为1(4) {a }，1，3，4都是R 的元素，它们可以构成R 的子集，故命题D ：{{a },1,3,4}⊆R 的真值为1.(6)和(8)，(9)和(12)相应题号的命题，其真值为1；而(5)，(7)，(10)相应题号的命题，其真值为0.例3.2 设A ＝{=,∈,∉,⊂, ⊃}选择适当的符号填在各小题的横线上.(1) (1,2,3,4) N ; (2) Z Q Q ,2 (3) },056{}5,1{2R x x x x ∈=+−∅(4) },3{},2{22R y y R x x ∈<∈< (5)}},{{}{a a a (6) {正方形} {菱形} {四边形}(7) {(1,2,3)} {1,2,3,{(1,2,3)}} 解 (1) ⊂ (2) ∉, ⊃ (3) ⊂ , = (4) ⊂ (5) ∈或⊂(6) ⊂ ⊂ (7) ∈例3.3 写出下列集合的子集：(1) A ={a ，{b }，c }(2) B ={∅}(3) C =∅解 (1)因为∅是任何集合的子集，所以∅是集合A 的子集；由A 的任何一个元素构成的集合，都是A 的子集，所以{a }，{{b }}，{c }是A 的子集；由A 的任何两个元素构成的集合，都是A 的子集，所以{a ，{b }}，{{b },{c }}，{a , c }是A 的子集；由A 的任何三个元素构成的集合，也是A 的子集，所以{a ，{b }，c }=A 是A 的子集；于是集合A 的所有子集为 ∅，{a }，{{b }}，{c }，{a ，{b }}，{{b },{c }}，{a , c }，{a ，{b }，c }=A(2) 同(1)，B 的子集有：∅，{∅}.(3) 因为∅是任何集合的子集，故∅也是C 的子集. 因为C 中没有元素，因此C 就没有其它子集，所以C 的子集只有：∅.说明：(1) 以集合A 的8个子集为元素的集合，就是集合A 的幂集，即P (A )={ ∅，{a }，{{b }}，{c }，{a ，{b }}，{{b },{c }}，{a , c }，{a ，{b }，c }}那么集合B 的幂集为；P (B )={∅,{∅}};集合C 的幂集：P (C )={∅}.一般地，如果集合A ，有,n A =那么P (A )有2n 个元素.(2) 根据真子集的定义，对于任何集合A ，除了集合A 本身不是A 的真子集外，其它子集均是A 的真子集. 于是本例集合A 有7个真子集：∅，{a }，{{b }}，{c }，{a ，{b }}，{{b },{c }}，{a , c }集合B 只有1个真子集：∅集合C 没有真子集.例3.4设集合A ＝{1,2,3,4},B ={2,3,5},求B A A B B A B A B A ⊕−−∩∪,,,,. 解};5,4,3,2,1{=∪B A}5,4,1{}5{}4,1{)()(}5{};4,1{};3,2{=∪=−∪−=⊕=−=−=∩A B B A B A A B B A B A例3.5 试证A －(B －C )＝(A －B )∪(A ∩C ) 证明 [方法1] 对任意x ，)()()()()()()()()~()(C A B A C B A C A B A x C x A x B x A x C x B x A x C B x A x C B A x ∩∪−⊆−−∴∩∪−∈⇒∈∧∈∨∉∧∈⇒∈∨∉∧∈⇒∩∉∧∈⇒−−∈同理，有 )()()(C B A x C A B A x −−∈⇒∩∪−∈所以，A －(B －C )＝(A －B )∪(A ∩C )说明：事实上，方法1的证明，完全是等值过程，可以写作)()()()()()~()(C A B A x C x A x B x A x C x B x A x C B x A x C B A x ∩∪−∈⇔∈∧∈∨∉∧∈⇔∈∨∉∧∈⇔∩∉∧∈⇔−−∈[方法2] 进行恒等推导. A －(B －C )＝)~(~C B A ∩∩ （分配律）摩根律)()~()()(~C A B A C B A ∩∪∩=∪∩= =(A －B )∪(A ∩C )例3.6 化简))(()))(((A B B A C B A −−∪∩−∪解 ))(()))(((A B B A C B A −−∪∩−∪＝ ))~())(((A B B C B E A ∪∪∪−∪∩）＝ A A E A =∪∩(例3.7 设集合 A ={a ,b },B ={1,2,3},C ={d },求A ×B ×C ，B ×A.解 先计算A ×B ＝{<a ,1>,<a ,2>,<a ,3>,<b ,1>,<b ,2>,<b ,3>}A ×B ×C ＝{<a ,1>,<a ,2>,<a ,3>,<b ,1>,<b ,2>,<b ,3>}×{d } ＝{<<a ,1>,d >,<<a ,2>,d >,<<a ,3>,d >,<<b ,1>,d >,<<b ,2>,d >,<<b ,3>,d >}B ×A ＝{<1,a >,<2,a >,<3,a >,<1,b >,<2,b >,<3,b >}例3.8 设集合A ＝{1,2},求A ×P (A ).解 P (A )={∅,{1},{2},{1,2}}A ×P (A )＝{1,2}×{∅,{1},}{2},{1,2}={<1,∅>,<2,∅>,<1,{1}>,<2,{1}>,<1,{2}>,<2,{2}>,<1,{1,2}>,<2,{1,2}>} 例3.9 单项选择题1. 若集合A ＝{a ,b ,c },∅为空集合，则下列表示正确的是( )(A) {a }∈A (B){a }⊂A (C) a ⊂A (D) ∅∈A答案：(B)解答：由集合A 的元素构成的集合是A 的子集，{a }是A 的子集，故选择(B )正确.2. 对任意集合S ，S ∪∅＝S ，满足( )(A) 幂等律 (B) 零一律 (C) 同一律 (D) 互补律答案：{C}解答：见集合的运算性质，A ∪∅＝A 和E ∩A ＝A 称为同一律.例3.10 填空题1 设全集合E ＝{1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,5},A ∩B = ,~B = . ～A ∪～B =答案：{2},{1,3,4}，{1,3,4,5}解答：A ∩B 是由集合A ，B 的公共元素构成的新集合. 此处A ，B 公共元素只有2，故A ∩B ＝{2},~B 是全集合中除去B 的元素所剩余元素构成的新集合，全集合E 有1，2，3，4，5，除去B 的元素2，5，余下有1，3，4. 故～B ＝{1,3,4}. ~A ={4,5},于是～A ∪～B ＝{1,3,4,5}2. 设集合A ＝{a ,b ,c },B ={a ,b },那么P (A )－P (B )= P (B )－P (A )=答案：{c },{a ,c },{b ,c },{a ,b ,c }；∅解答：P (A )={∅,{a },{b },{c },{a ,b },{b ,c },{a ,c },{a ,b ,c }}P (B )={∅,{a },{b },{a ,b }}所以 P (A )－P (B )={ {c },{a ,c },{b ,c },{a ,b ,c }}.∵P (A ) ⊂P (B )，∴ P (B )－P (A )=∅三、练习题1.设S ，T ，M 为任意集合，判定下列命题的真假：(1) ∅是∅的子集；(2) 如果S ∪T ＝S ∪M ，则T ＝M ；(3) 如果S －T ＝ ∅，则S ＝T ；(4) 如果∼S ∪T ＝E ，则S ⊆T ；(5) S ⊕S =S2. 用列举法表示以下集合： (1) }7{2≤∧∈=x N x x A (2) }33{<−∧∈=x N x x A (3) }0)1({2≤+∧∈=x R x x A3. 求使得下列集合等式成立时，a , b , c , d 应该满足的条件：(1) {a , b }={a , b , c }(2) {a , b , a }={a ,b }(3) {{a , ∅}, b , {c }}={{∅}}4. 求幂集P (A ),设集合A 为(1) A ={{1, 1 }, {2, 1 },{1, 2, 1} }；(2) A =P (A )5. 设A ，B 为任意集合，试证明B A A B B A =⇔−=−6 设集合A ＝{1,2,{1,2},∅}, 试求：(1) A －{1,2};(2) A －∅;(3)A －{∅};(4){{1,2}}－A ;(5)∅－A ;(6) {∅}－A7. 试证对任意集合A ，B ，C ，等式(A －B )∪(A －C )=A 成立的充分必要条件是A ∩B ∩C ＝∅四、练习题答案1. (1),(4)为真，其余为假.2. (1) A ={0,1,2}(2) A ={1,2,3,4,5}(3) A ={－1}3. (1) a =c 或c =b(2) 任意a , b(3) a =c =∅,且b ={∅}4. (1) P (A )={∅, {{1}}, {{1,2}}, {{1}, {1, 2}}}先将集合A 化简为{{1},{1,2}},再求幂集.(2) P (A )={∅, {∅}, {{1}}, {{2}}, {{1, 2}},{∅,{1}}, {∅, {2}}, {∅, {1,2}},{{1}, {2}}, {{1}, {1, 2}}, {{2}, {1,2}}, {∅, {1}, {2} }, {∅, {1},{1,2}}, {∅, {2}, {1,2 }}, {{1}, {2}, {1, 2 }}, {∅, {1}, {2}, {1,2}}}先求P (A ),再求幂集.5. 当A ＝B 时，必有A －B ＝B －A ；反之，由A －B ＝B －A ，得到B A B B B A ∩−=∩−)()(化简后得到∅=−A B ，即；A B ⊆同理，由A －B ＝B －A ，得到A AB A B A ∩−=∩−)()(化简后得到∅=−B A ，即.B A ⊆ A ＝B 6.(1) {{1,2},∅}. (2) A ; (3) {1,2,{1,2}};(4) ∅; (5) ∅; (6)∅提示：(1)此处{1,2}是以1，2为元素的A 的子集. 属于A ，而不属于{1,2}的元素有{1,2}和∅，故A －{1,2}={{1,2},∅}.此处把{1,2}理解为A 的元素，所求集合A 减去一个元素是无意义的. 也就是说，集合之间可以进行并、交、补、差等运算，一个集合与一个元素之间不能进行运算.(2) 此处的∅是空集合，不能理解为集合A 的元素. 从集合A 减去一个没有元素的集合，结果还是A.注意：A 中有元素∅，如果理解为元素∅，也就出现了集合减元素的错误.(3) 此处{∅}是A 的子集，结果为从A 中除去元素∅，为{1,2,{1,2}}(4) 集合{1,2}是集合A 的以1，2为元素的子集，属于{1,2}而不属于A 是不可能的，故其结果为∅.(5) 属于空集合∅而不属于A 这是不可能的，故结果为∅.(6)以A 的元素∅为元素的A 的子集{∅}减去A ，结果为∅.7. 必要性设(A －B )∪(A －C )=A ，因为(A －B )∪(A －C )＝)~()~(C A B A ∩∩U)()(~)~(~(C B A C B A C B A I I I U −==∩= 所以 A C B A =−)(I 于是对于任意必有，而必有,A x ∈)(C B A x I −∈C B x I ∉，故有ΦC B A =)(I I 充分性设ΦC B A =)(I I ，则对于任意A x ∈，必有C B x I ∉，即)(~C B x I ∈，因此)~C B A I ⊆于是，A CB AC B A C A B A C A B A =∩===−−)(~)~(~)~()~()()(I U I I U I U。
集合论第1章集合及其运算
集合论与图论以前学习的高等数学（数学分析）都是连续函数，而计算机是离散型结构，所以它所研究的对象应是离散型的。
因此，做为计算机理论的核心课程《离散数学》就显然非常重要，计算机专业学生必须开设此课程。
目的：培养学生抽象思维和逻辑思维的能力要求：概念第一，正确使用概念进行正确的推理。
特点：抽象，概念多；与其它课程不同，不是以计算为主，而是以推理论证为主；比较难。
内容：⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩集合映射集合论关系无穷集合图的基本概念树和割集离散数学图 论 连通度和匹配平面图的欧拉公式和图的着色有向图近世代数数理逻辑形式语言与自动机可计算理论等等离散：不考虑实数的性质，只考虑有限或可数的整数。
因此可用归纳法。
第一篇集合论集合论是德国数学家康托（Cantor）在1874年建立的，它是现代数学的基础，在当今数学中每个对象本质上都是集合。
有时我们说：“数学能嵌套在集合论中”其含义就是指数学的一些对象如：数、函数、线、面等都可以用集合来定义。
换句话说，数学的各个分支在本质上都是研究这种或那种对象的集合。
例如：几何学——研究点、线、面的集合；数学分析——连续函数的集合；代数——研究数的集合以及在此集合上定义有关运算的集合等等。
因此，把集合论作为现代各种数学的基础是有道理的，也是合适的。
集合论的特点：（1）研究的对象十分广泛：数、图形或其它任何客体都可以作为研究的对象。
（2）因为它研究的对象是如此广泛，为了便于研究必须寻找对象的共性，而要做到这一点，就必须进行抽象。
（3）在抽象化的基础上，可用统一的方法来研究和处理集合论的各类问题。
第一章 集合及其运算§1集合的基本概念在日常生活中，经常会遇到“集合”的概念，例如：所有中国人的组成的集合；坐标面上的有点的集合，自然数集，实数集，全世界无产者等等。
集合是集合论中最基本的概念，所以很难给出精确的定义。
因此，我们把“集合”作为原始的概念给出非形式定义，只给予一种描述说明这个概念的含义。
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第一讲 集合及其运算
● 知点 考点 答点
（1）子集——集合问题的核心
研究集合，说到底是在研究集合的子集。
全集只是一个概念，如实数集R 。
真正有实际意义的事，是在R 上研究方程或不等式的解集，函数的定义域或值域，参数的取值范围等。
这些，都是在研究R 的某个子集。
【例1】设集合A ={x |2232+-x x =1}，B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，A ⊆B ？
【思考】 集合A 、B 都是用“陈述法”表示的方程的解集，为了比较A 和B 的关系，先考虑将A 和B 分别化简。
【解答】 易得集合A ={1，2}。
B ={－1，1，a }，欲得A ⊆B ，必须且只须a =2。
【归纳】 已知A 是B 的子集，求“母集”B 中常数a 应满足的条件。
逆向运用子集的定义，常采用“比较法分析法”。
（2）交集——两集合间的“且运算”
【例2】设集合A ={x |2232+-x x
≤1}，B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，A ∩
B ={1}？ 【思考】 A 是不等式的解集，B 是方程的解集。
已知A 和B 的交集，求B 中参数满足的条件，先考虑将A 和B 分别化简。
【解答】 易得A ={x |1≤x ≤2}，B ={－1，1，a }，欲使A ∩B ={1}，必须有a ∉(]2,1。
即a >2或－1＜a ≤1 或a ＜－1。
【归纳】 比较分析法是分析法和比较法的综合运用。
分析法“由果索因”，比较法可以逆用概念或定义将交集定义中的“且”字法则化。
（3）并集——两集合间的“或运算”
【例3】设集合A ={x |2232+-x x ≥1}，B ={x | |x －a |>0}，当a 为何值时，A ∪B =A ？
【解答】 欲使A ∪B =A ，则有B ⊆A ，易得A ={x |x ≤1或x ≥2}，B ={x |x ≠a ，a ∈R }，欲使A ∪B =A ，必须有a ∈（1，2）。
【说明】 本题中的集合B ，容易误解为在R 上去掉一个单元素a ，即
B =()),(+∞⋃∞-a ，a ，实际上a 是个变数，当a ∈（1，2）时，B =(][)A ,,
=+∞⋃∞-21
（4）补集——全集对子集的“差运算”
【例4】设集合B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，R B ={x | x 2≠1，0}？
【解答】 易知R B={x|x ≠－1，0，1}，B ={－1，1，a }，按补集的概念有0∈B ，故得a =0。
【点评】 求一个集合A 对于全集合I 的补集I A=A ，所用方法是“求差法”：即在I 中“减去”A 的各个元素，剩下的元素便组成集合A ，A 上的这个“—”，就是“减号”的意思。
（5）等集—— 一个集合的两种表示
【例5】设集合A ={x |2232+-x x >1}，B ={x | （x －a ）（x －1）<0}，当a 为何值时，A=B ？
【解答】 A ={x |x <1或x >2}，B ={x |a <x <1或1<x <a }，不管a 取什么实数，集合B 都是有限区间，而集合A 是无限区间，故有A ≠B 。
故使A=B 的a 值不存在。
【点评】 等集关系是子集关系的特例。
当集合A 、B 互为“母子关系”，即A B B A ⊆⊆且时，便有A =B 。
和“等式替换”一样，集合的化简和变形都是在进行“等集替换”。
检验这种替换的正确与否，方法仍然是“互为母子法”。
● 通法 特法 妙法
（1）列举法——集合表示的基本大法
（2）分类法——子集思想的体现
【例7】设A ={x | x 2+mx +1=0，x ∈R }，B ={y | y <0}，若A ∩B =，求实数m 的取值范围。
【分析】 集合B 是非空实数集R －
，因此A ∩B =应分为： （1）A =和（2）A ≠这两种情况进行讨论。
【解答】 （1）当A =时，由Δ=m 2－4<0得－2<m <2。
（2）当A ≠时，则方程x 2+mx +1=0有大量负实数。
设其根为x １、x 2，因x ≠
故由⎩⎨⎧≥∆>-=+0021m x x 得m ≤－2。
综上所述得 （－2，2）∪（－∞，－2）=（－∞，2）为m
的取值范围。
【点评】 “分类讨论”常出现的错误有二：一是“重”，二是“漏”。
本题容易漏掉A =时的情况。
容易漏掉的，往往是一些不在“一般”中的特例。
A ∩
B =逻辑分类的一般情况是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧不空无空不空不空无空空B B A B B A ）（ ）（ 按题设化简（除“无”）后便是：（1）A 空（B 不空）；（2）A 不空（B 不空）。
（3）轴序法——集合运算的数轴操作
【例8】设A ={y |y 2－3y +2≤0}，B ={x |x 2－4ax +（3a 2－2a －1）≤0}
（1）若A ⊆B ，求非负数
a
（2）是否存在a 值，使B ⊆A ?
【分析】 本题分别求集合A 、B 互相包含的条件，集合A 是“一个”二次不等式的解集（可确定的），集合B 是“无限个”二次不等式的解集（变动的）。
首先考虑利用解二次不等式的通法将集合A 、B 化简。
【解答】 由条件知：A =［1，2］，B =［a －1，3a +1］
（1）∵A ⊆B ，∴a －1≤1<2≤3a +1 （数轴图解如下）
故由3121311⇒⎩⎨⎧≥+≤-a a ≤a ≤
2
（2）若B ⊆A ， 则1≤a －1≤3a +1≤
2
图1－2－2 故由⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤-≥≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+≥-311121311311a a a a a a a 无解。
因而，不存在这样的a 值，使B ⊆A。
【点评】 二次不等式的解集都是实数集的子集，通过实数轴上的“大小排序”能把抽象问题形象化，从而方便地进行集合的子、交、并、补的运算。
将实数集与实数轴对应，将实数的大小与数轴的方向对应，将实数区间与轴上的线段对应，于是有了解不等式（组）的特殊方法——轴序法。
实际上是数形结合思想的自然运用。
（4）韦恩图——集合运算的直观法
【例9】 设有集合A ={－3，4}，B ={x |x 2－2ax +b =0}，B ≠，且A ∩B =B ，求a ，b 的值。
【分析】 a ，b 两参数在一元二次方程x 2－2ax +b =0的系数中，
为此可考虑先求出该二次方程的根，再用韦达定理求a ，b 的值。
【解答】 A ∩B =B A B ⊆⇒，韦恩图如右
又B ≠。
故其韦恩图有如下的三种可能：
当B ={－3}时，方程x 2－2ax +b =0有重根－3，此时有a = －3，b =9。
当B ={4}时，方程有重根4，则a =－4，b =16。
当B ={－3，4}时，方程有相异两根－3，4，则有a =2
1，b =－12。
【点评】 本解的韦恩图呈现动态，把集合A 的2个元素－3和4分别进入集合B 的过程展现得一清二楚。
从而使解题人在“B 是A 的非空子集”的抽象困惑中找到了“实感”。
有道是：抽象集合不用愁，破题请画韦恩图。