若当标准型求解
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矩阵若当标准形的一种算法
x l， n l+l
V 使得
（A - ! E） x l l， n l+l = x l， nl . 向量组 （ x l i s ， l i" （ x ll m l + l （ x l l， n l+l
， 因而A- ! （A- ! 数为P 0 E 的值域Wl = ] E） l l 的维数为 n - P . 易知 Wl 是 A 的不变子空间， 因此 记为 Al， 我们有 A 可看作 Wl 上的线性变换， 引理! Al 的最小多项式为 （ ／ （ ） !） !） !- ! = ] g（ l =
收稿日期： 2002- 01- 15 作者简介：陶志穗 （ ， 女， 副教授， 主要从事应用数 1955 - ） 学、 计算机应用等的研究.
第 5期
陶志穗 等： 矩阵若当标准形的一种算法
l 3
现设定理对维数小于 n 的空间成立. 设 A 是n 维复空间V 上线性变换， 它的最小多项式为
k（ k … ks （ ） ） （ （ ） !） !- ! !- ! l =（ ] l l !- ! 2 2 s ） 因! 是 A 的特征值， 的维 W0 = ker（A - ! E） l l
矩阵标准形的理论是线性代数的重要内容， 这 方面的一个重要定理是若当标准形定理. 这个定理 的推导是比较复杂的. 多数教材采用 !- 矩阵的方 法. 这种方法不仅繁琐， 而且没有指出计算过渡矩阵
［ 1， 2 ］ 有些书籍采用直接证明， 即直接求出一 的方法 .
组基的方法， 实际做起来仍很复杂. 本文给出这个定理的一种简洁的证明方法， 同 时给出求过渡矩阵的一种简单算法.
（ （ （ ） J ! n s l） ! ns ， 3 + …+ J s ， s ， ms ） 引理" W0 Wl 的一组基是｛ （ x l ll｝ m l） . 显然向量组｛ （ x l ll｝ 性无关， 且包含在 W0 Wl 中. 若x 则存在 L i "， 使x = 证 明 线 m l） W0 Wl， l或
第2章约当标准型
eij j
其在实数域上的初等因子为： (λ-1)2,(λ-1)2, (λ+1),(λ-1)2, (λ+1),(λ2+1)2
(λ-1) (λ-1) (λ-1) (λ+1)(λ+1) (λ2+1)2
2 2 2
d3=(λ-1)2(λ+1)(λ2+1)2 d2=(λ-1)2(λ+1), d1=(λ-1)2
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问题：给定一个线性变换，找出一组基，使线性变换 在这组基下的矩阵表示具有比较简单的形状。 等价的问题：给矩阵的相似等价类一个形状简单的代 表。
如何解决此问题： Step1：找出相似矩阵的不变量，这些不变量不仅在 相似关系下保持不变。而且足以判断两个矩阵是否 相似——全系不变量。 Step2：找出一类比较简单的矩阵，利用相似关系 的全系不变量就可以判断一个矩阵与这类矩阵中的 某一个相似。
1 1 2 t
d 2 ( ) p ( ) p ( ) p ( )
e21 1 e22 2 e2 t t
er 1 1 er 2 2源自ert td r ( ) p ( ) p ( ) p ( )
e1 j e2 j erj ( j 1,2,, t )
er 1t t
e1t t
( ),, p ( )
初等因子组可以唯一 确定不变因子组
ptert ( ) pte1t ( )
e12 d1 ( ) p1e11 ( ) p2 ( )
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2.3 不变因子
例：设A是10阶矩阵，其初等因子组为： (λ-1),(λ-1) ,(λ-1)2,(λ+1)2 (λ+1)3,(λ-2) 求A的不变因子 定理2.3.6：数域K上的两个n阶方阵A与B相似的充要 条件是它们有相同的初等因子组，即矩阵的初等因 子组是矩阵相似关系的全系不变量。 定理2.3.7：用初等变换将λI-A化为对角阵，然后将主 对角线上元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘 积，则所用这些一次因式的方幂就是A的全部初等 因子。
其在实数域上的初等因子为： (λ-1)2,(λ-1)2, (λ+1),(λ-1)2, (λ+1),(λ2+1)2
(λ-1) (λ-1) (λ-1) (λ+1)(λ+1) (λ2+1)2
2 2 2
d3=(λ-1)2(λ+1)(λ2+1)2 d2=(λ-1)2(λ+1), d1=(λ-1)2
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问题：给定一个线性变换，找出一组基，使线性变换 在这组基下的矩阵表示具有比较简单的形状。 等价的问题：给矩阵的相似等价类一个形状简单的代 表。
如何解决此问题： Step1：找出相似矩阵的不变量，这些不变量不仅在 相似关系下保持不变。而且足以判断两个矩阵是否 相似——全系不变量。 Step2：找出一类比较简单的矩阵，利用相似关系 的全系不变量就可以判断一个矩阵与这类矩阵中的 某一个相似。
1 1 2 t
d 2 ( ) p ( ) p ( ) p ( )
e21 1 e22 2 e2 t t
er 1 1 er 2 2源自ert td r ( ) p ( ) p ( ) p ( )
e1 j e2 j erj ( j 1,2,, t )
er 1t t
e1t t
( ),, p ( )
初等因子组可以唯一 确定不变因子组
ptert ( ) pte1t ( )
e12 d1 ( ) p1e11 ( ) p2 ( )
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2.3 不变因子
例：设A是10阶矩阵，其初等因子组为： (λ-1),(λ-1) ,(λ-1)2,(λ+1)2 (λ+1)3,(λ-2) 求A的不变因子 定理2.3.6：数域K上的两个n阶方阵A与B相似的充要 条件是它们有相同的初等因子组，即矩阵的初等因 子组是矩阵相似关系的全系不变量。 定理2.3.7：用初等变换将λI-A化为对角阵，然后将主 对角线上元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘 积，则所用这些一次因式的方幂就是A的全部初等 因子。
若尔当标准型求法 例题
若尔当标准型求法例题
若尔当标准型求法是一种矩阵分解的方法，用于将一个线性变换表示为若尔当矩阵的乘积形式。
它在线性代数中被广泛应用，特别是在研究矩阵的特征值和特征向量时。
若尔当标准型提供了一种简洁的方式来描述矩阵的特征结构。
为了理解若尔当标准型的求法，我们首先需要了解若尔当矩阵。
一个若尔当矩阵是一个由多个若尔当块组成的矩阵，其中每个若尔当块都由一个特征值和对应的特征向量所确定。
若尔当矩阵的形式类似于一个对角矩阵，但是对角线上可以有多个非零元素。
若尔当标准型的求法涉及以下步骤：
1. 计算特征值和特征向量：首先，我们需要计算给定矩阵的特征值和特征向量。
这可以通过求解矩阵的特征方程来完成。
2. 构建若尔当块：对于每个特征值，我们根据对应的特征向量构建一个若尔当块。
若特征值有重复的根，则若尔当块的大小将相应增加。
3. 形成若尔当标准型：将所有构建的若尔当块按照特定的顺序排列，形成若尔当标准型矩阵。
通常，若尔当块按照特征值的大小进行排序。
若尔当标准型的求法允许我们更好地理解线性变换的行为，特别是当矩阵的特征值存在重复根时。
通过将矩阵分解为若尔当矩阵的乘积形式，我们可以更清楚地看到特征向量的线性组合如何影响变换。
总结起来，若尔当标准型求法是一种用于将线性变换表示为若尔当矩阵乘积形式的方法。
它通过计算特征值和特征向量来构建若尔当块，并按照特征值的大小排列它们，从而形成若尔当标准型矩阵。
这种表示方式有助于我们更好地理解矩阵的特征结构和线性变换的行为。
高等代数 第9章矩阵的标准型 9.6 若当标准型
X 3 1, 0, 0
T
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
0 4 1 P X 1, X 2 , X 3 1 3 0 0 2 0
例 2 求方阵
1 2 6 A 1 0 3 1 1 4
J 0 3 1 0 0 3
或
3 1 0 J 0 3 0 0 0 1
例 2 用矩阵秩的方法求出矩阵
1 0 A 0 0
的Jordan标准形。
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为
矩阵的Jordan标准形 定义： 称 n 阶矩阵
ai Ji
1 ai
1 1 ai ni ni
为Jordan块。设 J1, J 2 ,, J s 为Jordan块， 称准对角形矩阵
J1 J
J2
Js
X 3 2, 0, 1
T
T
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
1 2 2 P X 1, X 2 , X 3 1 1 0 0 1 1
从而有
1 0 0 1 P AP 0 1 1 0 0 1
故 A 的Jordan标准形为
0 0 0 J 0 0 0 0 0 2
或
0 0 0 J 0 2 0 0 0 0
求Jordan标准形的另一种方法：特征矩阵秩 的方法. 具体操作步骤： （1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征 值 A （2）其Jordan标准形的主对角线上都是 i 在主对角线上出 的特征值，并且特征值 现的次数等于 i 作为特征根的重数。对于每 i ，求出以它为主对角元的各级 个特征值 Jordan 块的数目N (i ) ，首先求出
T
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
0 4 1 P X 1, X 2 , X 3 1 3 0 0 2 0
例 2 求方阵
1 2 6 A 1 0 3 1 1 4
J 0 3 1 0 0 3
或
3 1 0 J 0 3 0 0 0 1
例 2 用矩阵秩的方法求出矩阵
1 0 A 0 0
的Jordan标准形。
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为
矩阵的Jordan标准形 定义： 称 n 阶矩阵
ai Ji
1 ai
1 1 ai ni ni
为Jordan块。设 J1, J 2 ,, J s 为Jordan块， 称准对角形矩阵
J1 J
J2
Js
X 3 2, 0, 1
T
T
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
1 2 2 P X 1, X 2 , X 3 1 1 0 0 1 1
从而有
1 0 0 1 P AP 0 1 1 0 0 1
故 A 的Jordan标准形为
0 0 0 J 0 0 0 0 0 2
或
0 0 0 J 0 2 0 0 0 0
求Jordan标准形的另一种方法：特征矩阵秩 的方法. 具体操作步骤： （1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征 值 A （2）其Jordan标准形的主对角线上都是 i 在主对角线上出 的特征值，并且特征值 现的次数等于 i 作为特征根的重数。对于每 i ，求出以它为主对角元的各级 个特征值 Jordan 块的数目N (i ) ，首先求出
若当标准型求解
P ( p1, p2 , p3 , p4 , p5 )
a
0
0
0
0
a
0
0
b
0
c
0
0
b 2
0
c 2
0
0
0
0
0
0
0
0
c 6
从前面的计算可以看出，如果先取a=0,那么后面的计 算将无法进行。因此我们应该在求Jordan块对应特征
值的时候先求阶数比较高的，然后在同阶数的可以随 便进行。依此类推。可总结如下
I I I
) 0 ) y2
) y3 y2
特征向量
( A Biblioteka i I ) yn j yn j 1 广义特征向量
注意：这里使用的是 ( A i I ) yi1 yi 教材上使用的是 (i I Ai ) yi1 yi
另外，注意的选择。观察上面的公式可以发现
J( )
1
1
rr
g(
)
g( ) g( )
g( )
2! g( )
g( r1)( )
( r 1)!
g( J )
mr
g( )
g( )
2! g( )
g( )
15
关于Jordan标准形的计算
由于计算涉及的内容偏多，有兴趣或需要的可以 参见教材。另外很多定理的证明可参见北京大学 出版社出版的<<高等代数>>教材的相关内容即可。
数学代数方法T矩阵若儿当标准型
1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级 行列式因子.
（即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子）
2）若 矩阵 A( ) 的标准形为
d1( )
O
D(
)
dr ( )
0
O
0
其中 d1( ),L dr ( ) 为首1多项式，且
di ( ) di1( ), i 1,2,L r 1,
行列式因子的定 义：
设 A为(一) 个 阶 n矩阵,对于任意的正整数
k
1 k r必A有(非) 零的 阶子式k， 的全A部() 阶子式的k首
一最大公因子称为 的 阶行A(列)式因k子。记为:
Dk ()
规定: D0( ) 1
显然，如果 rank( A()) r ，则行列式因子一共有r 个
例1 求
3、在一个线性变换 的若当标准形中，主对角线 上的元素是 的特征多项式的全部根（重根按多数
计算）.
λ－矩阵的概念 λ－矩阵的秩 可逆λ－矩阵
λ－矩阵的概念
定义：
设P是一个数域， 是一个文字，P[]是多项式环， 若矩阵A的元素是 的多项式，即 P[] 的元素，则 称A为 ―矩阵，并把A写成 A( ).
例 用初等变换化λ―矩阵为标准形.
1 2 1
A( )
2
1 2 3 1 2
解：
1 2 1 1
A(
)
[31 ]
1
2
2 3 1
0 1
1 2 1 1
[1,3 ]
0 1
2 3 1
1 2 1 3 2
行列式因子
1. 定义：
设 －矩阵 A( )的秩为 r ，对于正整数 k，1 k r, A( )中必有非零的 k 级子式， A( )中全部 k级子式 的首项系数为1的最大公因式 Dk ( ), 称为 A( ) 的
（即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子）
2）若 矩阵 A( ) 的标准形为
d1( )
O
D(
)
dr ( )
0
O
0
其中 d1( ),L dr ( ) 为首1多项式，且
di ( ) di1( ), i 1,2,L r 1,
行列式因子的定 义：
设 A为(一) 个 阶 n矩阵,对于任意的正整数
k
1 k r必A有(非) 零的 阶子式k， 的全A部() 阶子式的k首
一最大公因子称为 的 阶行A(列)式因k子。记为:
Dk ()
规定: D0( ) 1
显然，如果 rank( A()) r ，则行列式因子一共有r 个
例1 求
3、在一个线性变换 的若当标准形中，主对角线 上的元素是 的特征多项式的全部根（重根按多数
计算）.
λ－矩阵的概念 λ－矩阵的秩 可逆λ－矩阵
λ－矩阵的概念
定义：
设P是一个数域， 是一个文字，P[]是多项式环， 若矩阵A的元素是 的多项式，即 P[] 的元素，则 称A为 ―矩阵，并把A写成 A( ).
例 用初等变换化λ―矩阵为标准形.
1 2 1
A( )
2
1 2 3 1 2
解：
1 2 1 1
A(
)
[31 ]
1
2
2 3 1
0 1
1 2 1 1
[1,3 ]
0 1
2 3 1
1 2 1 3 2
行列式因子
1. 定义：
设 －矩阵 A( )的秩为 r ，对于正整数 k，1 k r, A( )中必有非零的 k 级子式， A( )中全部 k级子式 的首项系数为1的最大公因式 Dk ( ), 称为 A( ) 的
一些情况下若尔当标准型的简解
问题：有没有简便的方法求若尔当标准型？记号：以下U ∗表示矩阵U 的共轭转置命题1：若存在酉矩阵U ，使得U ∗AU=B ，设A=【a ij 】，B=【b ij 】，则：|a ij |2n i,j=1= |b ij |2n i,j=1证明： |a ij |2n i,j=1=tr A ∗A , |b ij |2n i,j=1= tr B ∗B =tr U ∗A ∗AU ，由矩阵乘法在迹运算下的可交换知：tr A ∗AU U ∗= tr A ∗A ，得证由这个定理，则将矩阵A 酉相似为若尔当标准型后，记s= |a ij |2n i,j=1，t= |λi |2n i=1（λi 为A 的特征根），则s 与t 的差值即为若尔当标准型中剩下的1的个数。
对每个若尔当块J t 为n t ×n t ，有n t -1个“1”，设化为若尔当标准型后有k 个若尔当块，则s −t = （n i −1）=n-k ，故 k=n+t-s .命题：记号同上，矩阵A 的若尔当标准型中若尔当块的个数k= n+t-s . 推论：记号同上，则s-t 为非负整数，且等于0当且仅当A 可对角化当且仅当A 是正规矩阵.分析：记号同上，设矩阵A 的特征根λi 的重数为n i ，若重数大于1的特征根只有1个，设其为λt ，对应重数为n t ，那么应该有n t -1个1，而其他的特征值由于互异，对应的若尔当块没有1，若矩阵A 一共有m 个不同的特征根，其中只有λi 的重数大于1，为n i ，那么λi 将对应k-m+1个若儿当块，此时可以很快写出若尔当标准型。
命题：记号同上，设矩阵A ，若重数大于1的特征根只有1个，设其为λt，对应重数为n t，令p= k-m+1，若方程x1+……x p=n i的正整数解唯一，则可以直接写出A的若尔当标准型。
问题：对于其他情况将更加复杂，是否可以再多求解一下简单的量值的情况下求出其他情况下矩阵A的若尔当标准型？？？。
矩阵论3-3.方阵的若当标准型
2 1 0 1 0 0 λ +λ ≅ 3 2 3 2 ≅ 0 −λ − λ + λ −λ 0 −λ − λ + λ −λ 0 −λ4 − λ3 − λ −λ2 0 −λ4 − λ3 − λ −λ2
Department of Mathematics
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B ( λ ) = P ( λ ) A( λ )Q ( λ )
行列式因子的定 义： 矩阵, 设 A(λ )为一个 n 阶 λ 矩阵,对于任意的正整数 k 阶子式， A 1 ≤ k ≤ r A( λ ) 必有非零的 k 阶子式， (λ) 的全部 k 阶 行列式因子。 子式的首一最大公因子称为 A( λ ) 的k 阶行列式因子。 规定: 规定 D0 (λ) = 1 记为: 记为: D (λ) 显然， 显然，如果 rank ( A(λ )) = r ，则行列式因子一共有r 个 例1 求
λ ( λ + 1) A( λ ) =
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λ
2 ( λ + 1)
λ ( λ + 1) A( λ ) =
λ
2 ( λ + 1)
≅ ≅
λ ( λ + 1) λ λ ( λ + 1) 2 λ ( λ + 1) λ λ −λ ( λ + 2) 1
k
1− λ A(λ ) = λ 1 + λ 2
λ λ 的各阶行列式因子。 λ −λ 的各阶行列式因子。 λ 2 −λ 2
2
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• 方法步骤：
由特征值i 对应的线性无关的特征向量的个数确定 J(i) 中 Jordan 块的个数 由特征值i 的代数重数确定主对角线元素是的 i 的 Jordan 矩阵J(i ) 的阶数。 由特征向量求得的Jordan 链条的长度确定Jordan块的阶数 链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA
另外，注意的选择。观察上面的公式可以发现
R(( A i I )nj1) N ( A iI )
2 1
例 A
20 2 2
，求可逆矩阵P使得A相似
2 3
2
于Jordan 标准型。
解：可计算A的包含阶数为2和3的两个Jordan块。可计算得：
0 1
00
A2I
0 2
0 3
0
2. 矩阵的化简
方阵A的Jordan 标准形变换矩阵P的求法
• 目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA • 求法与步骤：根据前面的计算求出初等因子组
f ( ) I A ( 1 )k1 ( 2 )k2 ( s )ks
矩阵A和JA的特征值相等
APi Pi Ji( i )
先求二阶Jordan对应的特征向量和广义特征向量。显然取
p1 R(( A 2 I )) N ( A 2 I ), p1 (a,0,b,0,0)T , a 0或b 0
这时
p2 (x, a, z, b / 2, 0)T (x, 0, z, 0, 0)T (0, a, 0， b / 2, 0)T
2
1
g( A ) P 15 23 P1
15
关于Jordan标准形的计算
由于计算涉及的内容偏多，有兴趣或需要的可以 参见教材。另外很多定理的证明可参见北京大学 出版社出版的<<高等代数>>教材的相关内容即可。
P ( p1, p2 , p3 , p4 , p5 )
a
0
0
0
0
a
0
0
b
0
c
0
0
b 2
0c 20Fra bibliotek00
0
0
0
0
0
c 6
从前面的计算可以看出，如果先取a=0,那么后面的计 算将无法进行。因此我们应该在求Jordan块对应特征
值的时候先求阶数比较高的，然后在同阶数的可以随 便进行。依此类推。可总结如下
• 基于Jordan标准形的矩阵多项式 g(A ) 的计算
Jordan块
J1( 1 )
Ap
J2( )
P 1
Jk( )nn
g( J1 )
g( A) p
g(J2 )
P 1
g( Jk )nn
1
J( )
1
1
rr
g(
)
g( ) g( )
g( )
2! g( )
0 0 0
000
(A 2 I )2
0 0 6
0
0
0
R((A 2 I)) {(x,0, y, z,0)T | x, y, z C}
R((A 2 I)2 ) {x (0,0,1,0,0)T | x C}
N ((A 2 I)) {(x,0, y,0,0)T | x, y C}
定理1.29. 设矩阵A为复数域C的矩阵， 特征多项式的分解
存在， 则存在非奇异矩阵P使得 P1AP= J. （注：其中P不唯一.）
定理1.30 (基本定理) 每个n阶复矩阵A都与一个Jordan 标准形 相似,这个Jordan 标准形除去其中Jordan块的排列次序外， 是由A唯一确定的。
若当标准型的计算 1.首先，给出如下定义：
g( r1)( )
( r 1)!
g( J )
mr
g( )
g( )
2! g( )
g( )
g（J）的结构特点： 由第一行的元素生成
• 例题1 设 g( ) 3 42 5 1
对下列矩阵A，计算g（A）。
解
3 3 2 1
A 7 6 3 P 2 1P1
1 2 2
Jordan 标准形
我们称
其中
若当标准型的基本性质：
• 任意矩阵A若当标准型J可以写成 J=D+R的形式, 那么 DR= R D 证明：由于D和R为相同划分的块对角矩阵，因此乘积对应的块等 于相应块的乘积，而D中相应分块为单位单位矩阵的数乘，即
因此结论成立.
1
=
i
0 1
1
1
0
Jordan 标准形(续)
很明显前一个向量属于N(A-2I)，因此可以去除的。
再求三阶Jordan对应的特征向量和广义特征向量。显然取
p3 R(( A 2 I )2 ) N ( A 2 I ), p3 (0,0, c,0,0)T , c 0
这时由 ( A 2 I ) p4 p3
p4 ( x, 0, z, c / 2, 0)T ( x, 0, z, 0, 0)T (0, 0, 0 c / 2, 0)T
很明显前一个向量属于N(A-2I)，因此可以去除的。 再由 ( A 2 I ) p5 p4
p5 ( x, 0, z, 0, c / 6)T ( x, 0, z, 0, 0)T (0, 0, 0, 0, c / 6)T
很明显前一个向量属于N(A-2I)，因此可以去除的。
综合前面的两步可得
J1( 1 )
J
A
J2( 2 )
Js( s )
细分矩阵Pi 和 Ji，在Jordan块上，有
• Jordan链条{，y2，…，ynj}
( ((
A A A
i i i
I I I
) 0 ) y2
) y3 y2
特征向量
( A
i I ) yn j yn j 1 广义特征向量
注意：这里使用的是 ( A i I ) yi1 yi 教材上使用的是 (i I Ai ) yi1 yi