高中数学基本不等式微专题训练试题
完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题
完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题基本不等式练题一、单项选择1.已知$x>0$，函数$y=\frac{4}{x}+x$的最小值是（）A．4.B．5.C．6.D．82.在下列函数中，最小值为2的是（）A $y=x+1$B $y=3x+3-x^2$C $y=\log_{10}x+\frac{11}{\pi}$D $y=\sin x+\log_{10}(x\sin^2x)$3.已知$\frac{5}{3}x+\frac{3}{5}y=1(x>0,y>0)$，则$xy$的最小值是（）A．15.B．6.C．60.D．14.已知$x>1,y>1$且$xy=16$，则$\log_2x\cdot\log_2y$（）A．有最大值2.B．等于4.C．有最小值3.D．有最大值465.若$a,b\in\mathbb{R}$，且$ab>0$，则下列不等式中恒成立的是（）A．$a^2+b^2>2ab$。
B．$a+b\geq2ab$。
C．$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{2}{a+b}$。
D．$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$6.若正数$a$、$b$满足$ab=a+b+3$，则$a+b$的取值范围是（）A．$[9,+\infty)$。
B．$[6,+\infty)$。
C．$(0,9]$。
D．$(0,6)$7.已知正项等比数列$\{a_n\}$满足$a_7=a_6+2a_5$。
若存在两项$a_m$,$a_n$使得$a_ma_n=4a_1$，则$(19+\sqrt{17})$的最小值为（）A．3456.B．811.C．1417.D．198.设$0<b<a<1$，则下列不等式成立的是()A．$a+b>1$。
B．$a+b1$9.已知$a+2b=2(a,b>0)$，则$ab$的最大值为( )A。
基本不等式专题训练
基本不等式专题训练一、选择题1.已知a,b∈R，且a+b=1，则ab的最大值为（）A. 41B. −41C. 1D. 不存在2.对于任意正实数x,y，下列不等式恒成立的是（）A. x2+y2≥2xyB. x2+y2≤2xyC. x+y≥2xyD. x+y≤2xy3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，则a+b+c的最大值为（）A. 1B. 3C. 3D. 33二、填空题4.已知x>0，则函数y=4x+x1的最小值为____。
5.已知a,b>0，且a+b=5，则a1+b4的最小值为____。
三、解答题6.已知x,y∈R，且x+y=4，求3x+9y的最小值。
7.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，证明：a+b+c≤2。
8.已知x>0，y>0，且xy=4，求x+yx2+y2的最小值。
参考答案一、选择题1.A解析由a+b=1，根据基本不等式(a−b)2≥0，展开得a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab。
又因为(a+b)2=a2+2ab+b2=1，所以2ab≤1−(a2+b2)+2ab=1，即ab≤41。
当且仅当a=b=21时，等号成立。
2.A解析对于任意正实数x,y，根据平方和公式，有x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时取等号）。
而选项C和D分别对应的是算术平均数与几何平均数的关系，但仅当x,y均为正数时，算术平均数才大于等于几何平均数，且等号成立的条件是x=y。
选项B显然不成立。
3.B解析由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）得(a+b+c)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3，即a+b+c≤3。
当且仅当a=b=c=31时，等号成立。
二、填空题4.41解析由算术平均数与几何平均数的关系得y=4x+x1≥24x⋅x1=4（当且仅当4x=x1，即x=21时取等号）。
5.59解析由“乘1法”与基本不等式得a1+b4=51(a+b)(a1+b4)=51(5+ab+b4a )≥51(5+2ab⋅b4a)=59（当且仅当ab=b4a，即a=35,b=310时取等号）。
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式11 .函数y=x+ -(x>0)的值域为().XA. 2] U [2,+x)B. (0,+x)C. [2 ,+x) D . (2,+x)a +b i2. 下列不等式：①a2+ 1>2a；②- -<2；③/ +三 > 1,其中正确的个数是p ab x 十3().A. 0 B . 1 C. 2 D . 33. 若a>0, b>0,且a + 2b — 2 = 0,则ab的最大值为().1B. 1C. 2D. 414. (2011重庆)若函数f(x) = x+ (x>2)在x= a处取最小值，则a=( ).X —2A. 1+ 2B. 1+ 3C. 3D. 4t2—4t+ 15. 已知t>0,则函数y= t 的最小值为利用基本不等式求最值1 1【例1】?(1)已知x>0, y>0,且2x+y= 1,则x + y的最小值为X y2x2(2)已知0v x v 5,贝U y= 2x—5x2的最大值为________ .⑶若x, y€ (0,+x)且2x+ 8y—xy= 0,贝U x+ y的最小值为_________ .利用基本不等式证明不等式【例2] ?已知a>0, b>0, c>0,求证：bC+ 学+ ab>a+ b+ c.a b c3 1（2010四川）设a>b>0,贝U a2+ + 的最小值是（）.ab a a—bC. 3⑵当x>0时，贝U f(x)= x2+ 1的最大值为1【训练1】(1)已知x> 1,则f(x) = x+一的最小值为_____________x—I【训练2】已知a>0, b>0, c>0,且a+ b+ c= 1.1 1 1 求证：一+匚+ 9.a b c利用基本不等式解决恒成立问题x【例3】?（2010 山东）若对任意x>0, x2+3x+［三a恒成立，则a的取值范围是 3 1【训练3】（2011宿州模拟）已知x>0, y>0, xy= x+ 2y,若xy>m—2恒成立, 则实数m的最大值是________ .考向三利用基本不等式解实际问题【例3】？某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800元，如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用•当侧面的长度为多少时，总造价最低？双基自测1.答案 C1 12•解析 ①②不正确，③正确，/ +孑亍二(x 2+ 1) + 齐1 — 1>2—1二1.答案 B13. 解析 v a >0, b >0, a + 2b = 2,二 a + 2b = 2>2.2ab ，即 ab <㊁.答案 A4. 解析 当 x >2 时，x — 2>0, f(x)= (x — 2) + x-—2 + 2>2 寸 x — 2 X ^—^+ 21二4,当且仅当x — 2二严(x >2),即x = 3时取等号，即当f(x)取得最小值时，xx ——2 =3,即a = 3.答案 C t 2—4t + 1 15.解析 v t >0,二 y = t = t +1 — 4>2 — 4= — 2,当且仅当t = 1 时取等 号.答案 —2【例 1】解析(1) v x >0, y >0,且 2x +y = 1,••」+J4 + 4= 3 + y +生3+ 2頁.当且仅当匕空时，取等号.x y x y x y x y2x 2 2 12x十w 2= 1,当且仅当x = J 即x = 1时取等号.答 x +x案(1)3+ 2 2 (2)1 1【训练 1].解析(1) V x > 1,二 f(x)= (x — 1) + — + 1>2+ 1 = 3 当且仅当 xx — 12 1=2 时取等号.(2)y = 2x — 5X 2= x(2 - 5x) = 55x(2 — 5X),5x + 2 一 5x 1—5x >0,.°. 5x(2 — 5x) < 2= 1 ,• y <5 当且仅当 5x = 2— 5x ,2 511 2 8即 x =5时，y max = 5.(3)由 2x + 8y — xy = 0,得 2x + 8y =xy ,「.~ + ~ = 1, 8 2 8y 2x 4y x /4y x• x + y = (x + y) + = 10+ +—= 10 + 2 +_ > 10+ 2X 2X = 18,x y x y x y . x y ， 当且仅当 4y = x，即 x = 2y 时取等号，又 2x + 8y — xy = 0,「. x = 12, y = 6, xy•••当 x = 12, y = 6 时，x + y 取最小值 18.答案 (1)3 (2# (3)18【例 2】证明■/a >0, b >0, c >0, • bc + 甲》2 bcca= 2c ； bc + ab >2a b \ a b a c：加2b ； -+瞥2 - Ob - 2a.以上三式相加得：2齐?+学>2(abc ca ab , + b + c)，即 + , + 》a + b + c. ’ a b c111a + b + c 【训练2] 证明 ■/ a >0, b >0, c >0,且 a + b + c = 1,二一+乙+一= +a b c a a+七+a+± 二 3+b +c +b +?+a +」3+ ?+a +a +a + e +b b c a a b b c c a b a c b c⑵ v x >0,「. f(x) = x 2+ 2一••• 5x v 2,21> 3+ 2+ 2+ 2= 9,当且仅当a = b = c =3时，取等号. X X 解析 若对任意x > 0x 2+ 3x + [ w a 恒成立，只需求得 尸x 2 + 3x +〔的最大值即 1 ■ x x 1 5当且仅当 可，因为 x > 0,所以 y =x 2+ 3x + 1 = —口W x +—+3 2 x1 1 等号，所以a 的取值范围是5，+^答案 5，+^ 【训练3】解析 由x >0,y >0,xy = x + 2y >2 - 2xy,得 xy > 8,于是由 恒成立，得m — 2<8, m < 10,故m 的最大值为10.答案 10 一 12 【例3.解 由题意可得，造价y = 3(2x X 150+ — X400)+ 5 800= 900 x x = 1时取 m — 2< xy x +16 + 5 x 16 800(0< x < 5),贝U y = 900 x +丁 + 5 800>900X 2入x =号，即x =4时取等号.故当侧面的长度为4米时，总造价最低.正解 Ta >0,b >0, 且 a + b = 1, 1,2 b 2a b 2a a + b (a +b )=1+ 2 + a + 3 + 2 aF = 3 + 22・a +b =1, b = 2a a = b ，当且仅当 【示例】. 1 2 •••_+==a b当且仅当 x X16+ 5 800= 13 000(元),a = 2—1, 1 2即b =2—2时，a +b 的最小值为3+2 2.1 1 1 1 【试一试】 尝试解答］a2 +1 + ~ = a 2 — ab + ab +1 + ~ = a(a — b)+ aba a —b ab a a — b —+ ab+W >2 气 /a a — b •+ 2、/ab^= 2+ 2= 4.当且仅当 a(a — a a — b ab . a a — b ；ab ' 1 1b)=—且ab = ab ，即a = 2b 时，等号成立.答案 D a a — b ab。
高三复习基本不等式练习题
高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。
本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。
练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。
希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。
复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。
在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。
基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。
因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。
希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。
高中数学基本不等式专题50练(含答案)
高中数学基本不等式（含答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ． 【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12-【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ． 【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________【答案】8 【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x 的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 .【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b+++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______.【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221aba +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ．【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________． 【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________. 【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______.【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________. 【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 . 【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ）A. 47B. 2233C. 2D. 32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______.【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________.【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22b a ba +-的最大值为___________.【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B 【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________. 【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯b a b b a a ， 则b a 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。
高中数学不等式经典题型专题训练试题(含答案)
高中数学不等式经典题型专题训练试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间120分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（共10小题，每题2分，共20分）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b2．已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x-y（）A．有最小值0，有最大值6B．有最小值-2，有最大值3C．有最小值3，有最大值6D．有最小值-2，有最大值63．若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）A．-1B．C．D．4．不等式x2-|x|-2＜0的解集是（）A．{x|-2＜x＜2}B．{x|x＜-2或x＞2}C．{x|-1＜x＜1}D．{x|x＜-1或x＞1}5．若不等式f（x）=ax2-x-c＞0的解集为（-2，1），则函数y=f（x）的图象为（）A．B．C．D．6．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a7．设0＜b＜a＜1，则下列不等式中成立的是（）A．a2＜ab＜1B．C．ab＜b2＜1D．2b＜2a＜28．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A．sin（α+β）＞sinα+sinβB．sin（α+β）＞cosα+cosβC．cos（α+β）＜sinα+sinβD．cos（α+β）＜cosα+cosβ9．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．B．2m＞2n C．D．log2m＞log2n10．设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞-b D．二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）11．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．12．已知a，b∈R+，且2a+b=1则的最大值是______．13．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为______．14．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是______．15、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为______（m）．16．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．17．若实数a+b=2，a＞0，b＞0，则的最小值为______．18．若x，y满足约束条件，则z=3x-y的最小值是______．19．若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2-ab+b2的范围是______．20．已知f（x）=，不等式f（x）≥-1的解集是______．三．简答题（共10小题，共60分）21．（6分）已知x＞0，y＞0，（1）若2x+y=1，求+的最小值．（2）若x+8y-xy=0，求xy的最小值．22．（6分）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．23．（6分）已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，证明：（1）a+b+c≥；（2）a2+b2+c2≥24．（6分）设函数f（x）=|x+3|-|x-4|①解不等式f（x）＞3；②求函数f（x）的最小值．25．（6分）已知向量=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC 面积的最大值．26．（6分）27．（4分）已知：x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，则x-2y-3z的最大值为______．28．（4分）若a，b，c∈R+，且++=1，求a+2b+3c的最小值．29．（10分）某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2-30x+600元：其中x是该厂生产这种产品的总件数．（I）把每件产品的成本费p（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（Ⅱ）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）（元），且Q（x）=1240-．试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润．（总利润=总销售额-总的成本）30．（6分）已知定义在R上的函数f（x）=|x-1|+|x+2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求+的最小值．参考答案一．单选题（共__小题）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b答案：D解析：解：由题意知，a=sin14°+cos14°==，同理可得，b=sin16°+cos16°=，=，∵y=sinx在（0，90°）是增函数，∴sin59°＜sin60°＜sin61°，∴a＜c＜b，故选D．2．已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x-y（）A．有最小值0，有最大值6B．有最小值-2，有最大值3C．有最小值3，有最大值6D．有最小值-2，有最大值6答案：D解析：解：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．当目标函数z=2x-y过直线x=3与直线y=0的交点（3，0），目标函数取得最大值6；当目标函数z=2x-y过直线x=0与直线x-y+2=0的交点（0，2）时，目标函数取得最小值-2．故选D．3．若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）A．-1B．C．D．答案：D解析：解：y=sinx+cosx+sinxcosx=sinx（1+cosx）+1+cosx-1=（1+sinx）（1+cosx）-1≤[（1+sinx）2+（（1+cosx）2]-1（当且仅当1+sinx=1+cosx时成立，此时sinx=cosx=）即y（max）=+故选D4．不等式x2-|x|-2＜0的解集是（）A．{x|-2＜x＜2}B．{x|x＜-2或x＞2}C．{x|-1＜x＜1}D．{x|x＜-1或x＞1}答案：A解析：解：原不等式化为|x|2-|x|-2＜0因式分解得（|x|-2）（|x|+1）＜0因为|x|+1＞0，所以|x|-2＜0即|x|＜2解得：-2＜x＜2．故选A5．若不等式f（x）=ax2-x-c＞0的解集为（-2，1），则函数y=f（x）的图象为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：∵不等式f（x）=ax2-x-c＞0的解集为（-2，1），∴a＜0，且-2，1是对应方程ax2-x-c=0的两个根，∴（-2，0），（1，0）是对应函数f（x）=ax2-x-c与x轴的两个交点，∴对应函数y=f（x）的图象为B．故选B．6．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a答案：A解析：解：∵函数y=0.2x是减函数，0.3＞0.2，故有a=0.20.3＜0.20.2=1，又a=0.20.3＞0，可得b＞a ＞0．由于函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，故c=log20.4＜log21=0，即c＜0．综上可得，b＞a＞c，故选A．7．设0＜b＜a＜1，则下列不等式中成立的是（）A．a2＜ab＜1B．C．ab＜b2＜1D．2b＜2a＜2答案：D解析：解：采用特殊值法，取a=，b=．则a2=，b2=，ab=，故知A，C错；对于B，由于函数y=是定义域上的减函数，∴，故B错；对于D，由于函数y=2x是定义域上的增函数，∴2b＜2a＜2，故D对．故选D．8．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A．sin（α+β）＞sinα+sinβB．sin（α+β）＞cosα+cosβC．cos（α+β）＜sinα+sinβD．cos（α+β）＜cosα+cosβ答案：D解析：解：对于AB中的α，β可以分别令为30°，60°则知道A，B均不成立对于C中的α，β可以令他们都等于15°，则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选D9．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．B．2m＞2n C．D．log2m＞log2n 答案：C解析：解：观察B，D两个选项，由于底数2＞1，故相关的函数是增函数，由0＜m＜n，∴2m＜2n，log2m＜log2n，所以B，D不对．又观察A，C两个选项，两式底数满足0＜＜1，故相关的函数是一个减函数，由0＜m＜n，∴，所以A不对，C对．故答案为C．10．设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞-b D．答案：D解析：解：∵a＜b＜0，∴，A正确，-a＞-b＞0，，B正确，|a|＞|b|=-b，C正确；，故D不正确．故选D．二．填空题（共__小题）11．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．答案：3解析：解：∵x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，∴x+1＞0且x+1+2y=3，∴=（）（x+1+2y）=[5++]≥（5+2）=3，当且仅当=即x=0且y=1时取等号，故答案为：3．12．已知a，b∈R+，且2a+b=1则的最大值是______．答案：解析：解：∵2a+b=1，∴4a2+b2=1-4ab，∴S==4ab+2-1，令=t＞0，则S=4-，∵2a+b=1，∴1≥2⇒0＜t≤故当t=时，S有最大值为：故答案为：．13．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为______．答案：8解析：解：∵∴4（x-1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为814．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是______．答案：25解析：解：∵x＞0，y＞0，且+=1，∴x+y=（x+y）（+）=17++≥17+2=25当且仅当=，即x=5，y=20时取等号，∴x+y的最小值是25，故答案为：25．15、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为______（m）．答案：20解析：解：设矩形高为y，由三角形相似得：=，且x＞0，y＞0，x＜40，y＜40，⇒40=x+y≥2，仅当x=y=20m时，矩形的面积s=xy取最大值400m2．故答案为：20．16．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．答案：3解析：解：∵x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，∴x+1＞0且x+1+2y=3，∴=（）（x+1+2y）=[5++]≥（5+2）=3，当且仅当=即x=0且y=1时取等号，故答案为：3．17．若实数a+b=2，a＞0，b＞0，则的最小值为______．答案：解析：解：∵实数a+b=2，a＞0，b＞0，则=+=++≥+2=+，当且仅当b=a=4-2时取等号．故答案为：．18．若x，y满足约束条件，则z=3x-y的最小值是______．答案：-4解析：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=3x-y为y=3x-z，由图可知，当直线y=3x-z过点C（0，4）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-4．故答案为：-4．19．若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2-ab+b2的范围是______．答案：[2，]解析：解：∵a，b∈R，且4≤a2+b2≤9；∴设a=rcosθ，b=rsinθ，且2≤r≤3，∴s=a2-ab+b2=r2cos2θ-r2sinθcosθ+r2sin2θ=r2（1-sinθcosθ）=r2（1-sin2θ），由三角函数的图象与性质，得；当sin2θ取最大值1且r取最小值2时，s取得最小值2，当sin2θ取最小值-1且r取最大值3时，s取得最大值；综上，a2-ab+b2的范围是[2，]．故答案为：．20．已知f（x）=，不等式f（x）≥-1的解集是______．答案：{x|-4≤x≤2}解析：解：∵已知f（x）=，故由不等式f（x）≥-1可得①，或②．解①可得-4＜x≤0，解②可得0＜x≤2．综上可得，不等式的解集为{x|-4≤x≤2}，故答案为{x|-4≤x≤2}．三．简答题（共__小题）21．已知x＞0，y＞0，（1）若2x+y=1，求+的最小值．（2）若x+8y-xy=0，求xy的最小值．答案：解：（1）+=（+）（2x+y）=2+++1=3++≥3+2，当且仅当2x2=y2等号成立，∴+的最小值为3+2．（2）∵x+8y-xy=0，∴xy=x+8y≥2，当且仅当x=8y时等号成立．∴≥4，∴xy≥32，∴xy的最小值为32．解析：解：（1）+=（+）（2x+y）=2+++1=3++≥3+2，当且仅当2x2=y2等号成立，∴+的最小值为3+2．（2）∵x+8y-xy=0，∴xy=x+8y≥2，当且仅当x=8y时等号成立．∴≥4，∴xy≥32，∴xy的最小值为32．22．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．答案：证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即有++≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．故++≥1．解析：证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即有++≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．故++≥1．23．已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，证明：（1）a+b+c≥；（2）a2+b2+c2≥．答案：证明：∵a，b，c∈R+∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2∴2a+2b+2c≥2+2+2∴a+b+c≥++∵abc=1，∴a+b+c≥++；（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，∵ab+bc+ac=≥=++，∴a2+b2+c2≥++．解析：证明：∵a，b，c∈R+∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2∴2a+2b+2c≥2+2+2∴a+b+c≥++∵abc=1，∴a+b+c≥++；（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，∵ab+bc+ac=≥=++，∴a2+b2+c2≥++．24．设函数f（x）=|x+3|-|x-4|①解不等式f（x）＞3；②求函数f（x）的最小值．答案：解：①不等式f（x）＞3，即|x+3|-|x-4|＞3．而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3，故不等式的解集为{x|x＞2}．…（3分）②f（x）=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，可得函数f（x）的最小值为-7．（7分）解析：解：①不等式f（x）＞3，即|x+3|-|x-4|＞3．而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3，故不等式的解集为{x|x＞2}．…（3分）②f（x）=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，可得函数f（x）的最小值为-7．（7分）25．已知向量=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC 面积的最大值．答案：解：（Ⅰ）∵=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），∴f（x）=•=1+sin2x+sin2x-cos2x，=1+sin2x-cos2x，=1+sin（2x-），∴当2x-=2kπ+即x=+kπ，k∈Z时，函数取得最大值1+．（Ⅱ）由（I）知f（）=2时，sin（A-）=，∴A-=2kπ+或A-=2kπ+，即A=+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，∵A是三角形的一个内角，∴A=，即△ABC是直角三角形．∵a=2，∴b2+c2=4，∴S△ABC=bc≤=1（当且仅当b=c=时，取得最大值），∴△ABC面积的最大值为1．解析：解：（Ⅰ）∵=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），∴f（x）=•=1+sin2x+sin2x-cos2x，=1+sin2x-cos2x，=1+sin（2x-），∴当2x-=2kπ+即x=+kπ，k∈Z时，函数取得最大值1+．（Ⅱ）由（I）知f（）=2时，sin（A-）=，∴A-=2kπ+或A-=2kπ+，即A=+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，∵A是三角形的一个内角，∴A=，即△ABC是直角三角形．∵a=2，∴b2+c2=4，∴S△ABC=bc≤=1（当且仅当b=c=时，取得最大值），∴△ABC面积的最大值为1．26、解：由柯西不等式：（1+3+5）²≤（a+b+c）（）因为：a+b+c=12所以（1+3+5）²≤12*（）81≤12*（）≤当且仅当==时取等号即：最小值为27．已知：x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，则x-2y-3z的最大值为______．答案：解：由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，和柯西不等式（a2+b2+c2）（e2+f2+g2）≥（ae+bf+cg）2则构造出[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2）≥（x-2y-3z）2．即：（x-2y-3z）2≤14即：x-2y-3z的最大值为．故答案为．解析：解：由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，和柯西不等式（a2+b2+c2）（e2+f2+g2）≥（ae+bf+cg）2则构造出[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2）≥（x-2y-3z）2．即：（x-2y-3z）2≤14即：x-2y-3z的最大值为．故答案为．28．若a，b，c∈R+，且，求a+2b+3c的最小值．答案：解：∵a，b，c∈R+，，∴=1+1+1，当且仅当a=2b=3c=3时取等号．即a+2b+3c≥9，∴a+2b+3c的最小值为9．解析：解：∵a，b，c∈R+，，∴=1+1+1，当且仅当a=2b=3c=3时取等号．即a+2b+3c≥9，∴a+2b+3c的最小值为9．29．某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2-30x+600元：其中x是该厂生产这种产品的总件数．（I）把每件产品的成本费p（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（Ⅱ）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）（元），且Q（x）=1240-．试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润．（总利润=总销售额-总的成本）答案：解：（I）P（x）=50++=+x+40．由基本不等式得P（x）≥2+40=220．当且仅当=x，即x=90时，等号成立．所以P（x）=+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．（Ⅱ）设总利润为y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=，f′（x）==（x-100）（x+120）当0＜x＜100时，f′（x）＞0，当x＞100时，f′（x）＜0．所以f（x）在（0，100）单调递增，在（100，170）单调递减，所以当x=100时，ymax=f（100）=故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为．解析：解：（I）P（x）=50++=+x+40．由基本不等式得P（x）≥2+40=220．当且仅当=x，即x=90时，等号成立．所以P（x）=+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．（Ⅱ）设总利润为y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=，f′（x）==（x-100）（x+120）当0＜x＜100时，f′（x）＞0，当x＞100时，f′（x）＜0．所以f（x）在（0，100）单调递增，在（100，170）单调递减，所以当x=100时，ymax=f（100）=故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为．30．已知定义在R上的函数f（x）=|x-1|+|x+2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求+的最小值．答案：解：（1）由|x-1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点-2的距离之和，如图：则x在[-2，1]上时，函数f（x）=|x-1|+|x+2|取得最小值a=3．即a=3．（2）由题意，m+n=3，则+=+=+++=1++≥1+2=1+．（当且仅当=时，等号成立）．即+的最小值为1+．解析：解：（1）由|x-1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点-2的距离之和，如图：则x在[-2，1]上时，函数f（x）=|x-1|+|x+2|取得最小值a=3．即a=3．（2）由题意，m+n=3，则+=+=+++=1++≥1+2=1+．（当且仅当=时，等号成立）．即+的最小值为1+．。
高考数学复习基本不等式专题训练(含答案)
高考数学复习基本不等式专题训练（含答案）通常不等式中的数是实数，字母也代表实数。
以下是整理的基本不等式专题训练，请考生练习。
一、填空题1.(徐州期中检测)如果log2x+log2y=1，则x+2y的最小值是________.[解析] 由log2x+log2y=1得log2(xy)=1，xy=2且x0，y0，x+2y2=4.当且仅当x=2y即x=2，y=1时，x+2y取得最小值4.[答案] 42.(山东高考改编)设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则的最大值是________.[解析] 由题设，得z=x2-3xy+4y2，又x，y，z大于0，+4，故1.当且仅当x=2y时，等号成立，则的最大值为1.[答案] 13.(苏州调研)若x2，则x+的最小值为________.[解析] x2，x-20，x+=x-2++22+2=4，当x-2=即x=3时等号成立，x+的最小值为4.[答案] 44.(扬州中学检测)设x，y均为正实数，且+=1，则xy的最小值为________.[解析] 由已知解出y=-2，那么xy=x=-2x=x+9+，x，y为正实数，y0，则x1，x-10，x+9+=(x-1)++102+10=16，当且仅当x-1=，即x=4时等号成立，故所求最小值为16. [答案] 165.(泰州调研)关于x的方程x2+2px+2-q2=0(p0，q0)有两个相等的实根，则p+q的取值范围是________.[解析] 由题意，=4p2-4(2-q2)=0，即p2+q2=2，又(p+q)2=p2+q2+2pq2(p2+q2)=4.所以00，b0，若不等式+恒成立，则m的最大值是________. [解析] a0，b0，+恒成立，等价于m5++恒成立.又5++5+2=9，当且仅当=，即a=b时，等号成立.m9，则m的最大值为9.[答案] 98.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y=-x2+18x-25(xN*).则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元. [解析] 每台机器运转x年的年平均利润为=18-，而x0，故18-2=8，当且仅当x=5时，年平均利润最大，最大值为8万元.[答案] 5 8二、解答题9.已知x0，y0，且2x+8y-xy=0，求：(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.[解] x0，y0,2x+8y-xy=0，(1)xy=2x+8y2，8，xy64.故xy的最小值为64.(2)由2x+8y=xy，得：+=1.x+y=(x+y)1=(x+y)=10++10+8=18.故x+y的最小值为18.10.已知a0，b0，c0，且a+b+c=1，求证：++9.[证明] ++=++=3+++3+2 +2 +2=3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时取等号，++9.基本不等式专题训练及答案的所有内容就是这些，希望对考生复习数学有帮助。
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基本不等式第二轮微专题复习
1.基本不等式求解
(乘积定的几种模型：a xy =、x
b ax +、xy y x y x x y 22+=+)(技巧：拆、凑) 母题1：已知，则
的最小值为____． 试题分析：412=+⋅b a 16)1(22=+∴b a 即32)22(22=+b a
28322)22(2222222==+≥++∴b a b a 222b a +∴的最小值为228-.
练习1：已知正实数,x y 满足1xy =，则x y y x y x
⎛⎫⎛⎫++
⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为 ________． 试题分析： x y y x y x
⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭22333312224x y x y xy x y y x xy +=+++=+=++≥+=，当且仅当x y =时取等号．
练习2：已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ． 试题分析：
因为(1)(1)160,0x y y -+=>>，
所以10, 1.x x ->>x y
+(1)(1)8x y =-++=≥
母题2：(1)已知x ＜0，求函数21x x y x
++=的最大值 (2)设x ＞﹣1，求函数
()()521x x y x ++=
+的最小值
试题分析： ∵x＜0，∴， 当且仅当﹣x=即x=﹣1时取得等号，∴函数的最大值为﹣1；
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，
∴
，
当且仅当x+1=
即x=1时，上式取“=”，∴y 最小值为9． ．
母题4：若42,0,0=+>>y x y x .
则(1)求xy 的最大值；
(2)求2xy xy
+的最小值； (3)求xy y x ++224的取值范围；
(4)求5222++++x y x xy 的最大值；
(5)求212++
+y x 的最大值; (6)求22)1()12(+++y x 的最小值.
试题分析： (1)2)2
2(212212=+⋅≤⋅⋅=y x y x xy ,当且仅当y x =取等号. (2)由(1)知20≤<xy ，222≥+
xy xy ，当且仅当2=xy 取等号. (3)由(1)知20≤<xy ，xy xy xy xy y x xy y x +-=+-+=++4164)2(4222
16257)81(42+--=xy ,由二次函数知识知，]16
257,28[422+∈++xy y x (4) 9)2
22())(2(2222=++≤++=+++y x y x x y x x xy 145222≤++++∴y x x xy ，当且仅当x y x +=+2，即2,1==y x 取等号.
(5)由222)()(2y x y x +≥+ 知：
14))2()12((2)212(222=+++≤+++y x y x
14112≤+++∴y x ,当且仅当112+=+y x ，即2,1==y x 取等号.
(6)10412144)1()12(2
22222++=+++++=+++y x y y x x y x 16)2()4(2222=+≥+y x y x 8422≥+∴y x
即18)1()12(2
2≥+++y x ，当且仅当2,1==y x 取等号.
2.“两元”通过消元变“一元”
母题1：若正数 a b ，满足
121a b +=，则2112
a b +--的最小值为 . 试题分析：（“两元”通过消元变“一元”，最后利用基本不等式求解） 由121a b +=得21a
b a =-，由201a b a =>-得10a ->，所
以
2121121221211221
a a a
b a a a -+=+=+≥------，当且仅当2112
a a -=-即3a
b ==时等号成立，所以
2112
a b +--的最小值为2.
练习1：已知正数y x ,满足0322=-+xy x ，则y x +2的最小值是 . 试题分析：
由2
230x xy +-=，得2331222x y x x x -==-，所以333223222x y x x +=+≥⋅=. 练习2：已知正数y x ,满足62=++y x xy ，则xy 的最大值是 .
试题分析：
正数y x ,满足62=++y x xy ，01
26>+-=∴y y x ，解得30<<y 2101
4)1(2210)141(21)26(=++⨯+⨯-≤++++-=+-=∴y y y y y y y xy 当且仅当141+=
+y y ，即2,1==x y 取等号。
母题1：正数y x ,满足22=+y x ，则
xy
y x 8+的最小值为 ． 试题分析： 9)16210(21)1610(2122)81(818=⋅+≥++=++=+=+y x x y y x x y y x x y x y xy y x 当且仅当y x 4=时取等号。