第一章《常用逻辑用语》知识总结

选修2-1知识点小结

第一章《常用逻辑用语》

（1）命题

命题：可以判断真假的语句叫命题；

逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。

常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。

（2）复合命题的真值

“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：

“p且q

“p且q

注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。（3）四种命题

如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。

两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。

（4）条件

一般地，如果已知p?q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。

可分为四类：（1）充分不必要条件，即p?q,而q?p；(2)必要不充分条件，即p?q,而q?p；(3)既充分又必要条件，即p?q，又有q?p；(4)既不充分也不必要条件，即p?q，又有q?p。

一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作：p?q.“?”叫做等价符号。p?q表示p?q且q?p。

这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。

（5）全称命题与特称命题

这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号?表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号?表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

注意：1.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、

疑问句、感叹句都不是命题；

2.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价

命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；3.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B

A?，则A 是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即利用等价

关系"

A

B

B

A

"?

?

?判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；

第二章《圆锥曲线与方程》

一．曲线方程

步骤含义说明

1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标

系，用(x,y)表示曲线上任

意一点M的坐标。

(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。

(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。

2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M

的集合P={M|P(M)}

这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使

写出的条件简明正确。

3、“代”：代换用坐标法表示条件

P(M)，列出方程f(x,y)=0

常常用到一些公式。

4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简

形式。

要注意同解变形。

5、证明证明化简以后的方程的

解为坐标的点都是曲线

上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。

（2）求曲线方程的常见方法：

直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。

转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。

几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。

参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。

待定系数法

2．圆锥曲线综合问题

（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题

通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。

圆锥曲线的弦长求法：

设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：

若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。

（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。

（3）实际应用题

数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问

题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。

涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：

实际问题

模型的解

数学模型方程

讨论方程的解

翻译回去

建立坐标系

转化成数学问题

（4）知识交汇题

圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。

2．直线与圆锥曲线的位置关系

1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系

二．直线与圆锥曲线的位置关系

（1）直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。

（2）直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式

设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，

且由??

?+==n

kx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2

－4ac 。 则弦长公式为：

d=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(a k Δ+=Δ|

|)1(2

a k +。

焦点弦长：||PF e d

=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离

心率）。

三、圆锥曲线方程及性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。

椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122

22=+b

x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。

注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222

c a b =-；

②在22221x y a b +=和22221y x a b

+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2

x 和2y 的分母的

大小。例如椭圆

22

1x y m n

+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程22

221x y a b

+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不

变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，

且2

2

2

2222||||||OF B F OB =-，即222

c a c =-；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c

e a

=

叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于

圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222

x y a +=。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。

注意：①（*）式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支（含2F 的一

支）；21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线；③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。

①范围：从标准方程12222=-b

y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧。即2

2a x ≥，

a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

②对称性：双曲线122

22=-b

y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双

曲线122

22=-b

y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线122

22=-b

y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令

0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122

22=-b

y a x 的顶点。

令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，

双曲线122

22=-b

y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(2

2≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ

时焦点在y 轴上。

⑥注意191622=-y x 与22

1916

y x -=的区别：三个量,,a b c 中,a b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

方程()022

>=p px

y 叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p ,0），它的准线方程是2

p x -= ； （2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22

-=，py x 22

=，py x 22

-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表

标准方程

22(0)y px p =>

22(0)

y px p =->

22(0)x py p =>

22(0)

x py p =->

图形

焦点坐标 (,0)2

p (,0)2p - (0,)2p

(0,)2p -

准线方程 2p x =-

2p x =

2p y =-

2p y =

范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性

x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e = 1e =

1e =

1e =

一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。 4、几个常用结论

（1）椭圆的焦点三角形：椭上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2组成的三角形称为椭圆的焦点三角形，解决与椭圆焦点三角形有关的问题时，应注意椭圆的定义、正弦和余弦定理的运用。

（2）关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线 y 2=2px (p>0 )焦点的弦，A(x 1 ，y 1)、B (x 2 ,y 2 ) ,直线AB

的倾斜角为θ，则① x 1x 2=24p ， y 1y 2=－p 2 ; ② |AB|=22sin p

θ

③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在

准线上射影的张角为900；⑤

112

||||FA FB P

+=.

第三章 《空间向量与立体几何》

一、空间向量及其运算 1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算律

b a ρρ+=+= b a ρ

ρ-=-=

)(R a OP ∈=λλρ

加法交换率：.a b b a ρ

ρρρ+=+

加法结合率：).()(c b a c b a ρ

ρρρρρ++=++

数乘分配率：.)(b a b a ρρ

ρρλλλ+=+

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

平行向量。a ρ平行于b ρ记作a ρ∥b ρ

。

注意：当我们说a ρ、b ρ共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a ρ、b ρ

平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a ρ（a ρ≠）、b ρ，a ρ∥b ρ的充要条件是存在实数λ使b ρ＝λa ρ

o F

x

y l

o

x

y

F l

x

y

o

F l

注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ρ∥b ρ（a ρ≠0），则有b ρ＝λa ρ

，其中λ是唯一确定的实数。②判

断定理：若存在唯一实数λ，使b ρ＝λa ρ（a ρ≠0），则有a ρ∥b ρ（若用此结论判断a ρ、b ρ所在直线平行，还需a ρ

（或b ρ）

上有一点不在b ρ（或a ρ

）上）。

⑵对于确定的λ和a ρ，b ρ＝λa ρ表示空间与a ρ平行或共线，长度为 |λa ρ|，当λ>0时与a ρ同向，当λ<0时与a ρ

反

向的所有向量。

⑶若直线l ∥a ρ

，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a ρ

的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式

OA OP =a t ρ

+ ①

其中向量a ρ

叫做直线l 的方向向量。

在l 上取a AB ρ=，则①式可化为 .)1(t t +-= ②

当21

=

t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(2

1+= ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量a ρ的有向线段所在直线与平面α平行或a ρ在α平面内，我们就说向量a ρ

平行于

平面α，记作a ρ∥α。注意：向量a ρ

∥α与直线a ∥α的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果两个向量a ρ、b ρ不共线，则向量p ρ

与向量a ρ、b ρ共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使

.b y a x p ρρ

ρ+=①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使

,MB y MA x MP +=④

或对空间任一定点O ，有.y x ++=⑤

在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。①式叫做平面MAB 的向量表示式。 又∵.OM -=.OM -=代入⑤，整理得

.)1(y x y x ++--= ⑥

由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、（或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量a ρ、b ρ、c ρ

不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x , y ,

z , 使.c z b y a x p ρ

ρρρ++=

说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a ρ、b ρ、c ρ

不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

{}R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,|ρρρ

ρρ，这个集合可看作由向量a ρ、b ρ、c ρ生成的，所以我们把{a ρ，b ρ，c ρ}叫做空间的一

个基底，a ρ，b ρ，c ρ

都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一

个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0ρ

可视为与任意非零向量共线。

与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0ρ

。

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x 、、，使

.OC z OB y OA x OP ++=

6．数量积

（1）夹角：已知两个非零向量a ρ、b ρ，在空间任取一点O ，作a OA ρ

=，b ρ=，则角∠AOB 叫做向量a ρ与b

ρ的夹角，记作??b a ρ

ρ

，

说明：⑴规定0≤??b a ρ

ρ，≤π,因而

??b a ρ

ρ，=??a b ρρ，；

⑵如果??b a ρρ，=2

π，则称a ρ与b ρ互相垂直，记作a ρ⊥b ρ

；

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同， 图（3）中∠AOB =??,， 图（4）中∠AOB =-π??OB AO ,,

从而有??-OB OA ,=?-?OB OA ,=-π??OB OA ,.

（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：??b a b a ρρρρ,cos 叫做向量a ρ、b ρ

的数量积，记作b a ρρ?。

即b a ρρ?=??b a b a ρρρρ,cos ，

向量方向上的正射影在e ρ

:

B A e a AB e a ''=??=?ρ

ρρρ,cos ||

（4）性质与运算律

⑴??=?e a e a ρ

ρρρ,cos 。 ⑴()()a b a b λλ?=?r r r r

⑵a ρ⊥b ρ?b a ρρ?=0 ⑵b a ρρ?=b a ?r r

⑶2||.a a a =?r r r ⑶()a b c a b a c ?+=?+?r r r r r r r

二、立体几何中的向量方法

1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是]2

,

0(π

。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面

问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是]2

,

0[π

。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

A

B

O

（3）

a ρ

b

ρa ρ

b

ρ A

B

O （1）

O a ρ

b

ρa ρ

b

ρA

B

（2）

D

B

A C

α

具体步骤如下：

①找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；

③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，

角，则有α

θ≤；

即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的

（3）确定点的射影位置有以下几种方法：

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；

③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；

④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：

a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；

b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；

c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；

（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指]

,0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法

①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；

②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；

③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

斜面面积和射影面积的关系公式：θ

cos

?

=

'S

S(S为原斜面面积,S'为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。

2．空间的距离

（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。

点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n

m:，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n

m:．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法

（2）异面直线间的距离：异面直线b

a,间的距离为b

a,间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线b

a,的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过b且与a平行的平面，则直线a到平面的距离就是异面直线b

a,

间的距离．③找或作出分别过b

a,且与b，a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b

a,间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。

（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。

（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。

以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。

3．空间向量的应用

（1）用法向量求异面直线间的距离

如右图所示，a 、b 是两异面直线，是a 和b 的法向量，点E ∈a ，F ∈b ，则异面直

线 a 与b

之间的距离是d =

；

（2）用法向量求点到平面的距离

如右图所示，已知AB 是平面α的 一条斜线，n 为平面α的法向量，则 A 到平

面α的距离为d =

；

（3）用法向量求直线到平面间的距离

首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。 （4）用法向量求两平行平面间的距离

首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。

（5）用法向量求二面角

如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1n 与2n 所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。

（6）法向量求直线与平面所成的角

要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a

的夹角的余弦a ，易知

2

π

-a

或者a 2

-π

。

E