锐角三角函数知识点总结与复习1
第1章-锐角三角函数-知识梳理
锐角三角函数一、基础知识1.定义：如图在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ；sinA= a sinA c = 把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ；cos b A c= 把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
tan a A b =把锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cosA 。
cos b A a =2、三角函数值 角度 三角函数0°30° 45° 60° 90° sinA 0 12 22 321 cosA 1 3222 12 0 tanA 0 33 1 3 不存在（2）锐角三角函数值的性质。
锐角三角函数的大小比较：在︒<<︒900A 时，随着A 的增大，正弦值越来越大，而余弦值越来越小.即：A sin 是增函数，A cos 减函数。
○1锐角三角函数值都是正数。
○2当角度在090间变化时:正弦、正切值随着角度的增大而增大；余弦、余切随着角度的增大而减小。
3、 同角、互余角的三角函数关系：1、同角三角函数关系：1cos sin 22=+A A .sin tan cos ∂∂=∂；cos cot sin ∂∂=∂；tan cot 1∂•∂=2、互余锐角的三角函数关系：)90cos(cos sin A B A -︒==，)90sin(sin cos A B A -︒==。
解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型已知条件解法 一条边和一个锐角 斜边c 和锐角AB=90°-A ，a=csinA ，b=ccosA ，s=c 2sinAcosA 直角边a 和锐角AB=90°-A ，b=acotA ，c sin a A =，21cot 2s a A = 两条边 两条直角边a和b 22c a b =+，由tan a A b=，求角A ，B=90°-A ，S=12ab 直角边a 和斜边c 22b c a =-，由sin a A c =，求 角A ，B=90°-A ，S=12a 22c a - 知识梳理：。
锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c2、如以下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 那么∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得B A 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 对边邻边Cαsin0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan 0 33 1 3 不存在 αcot不存在3133 06、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：边和角〔两个，其中必有一边〕→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量防止使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角； (2)俯角：视线在水平线下方的角。
(3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即h i l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
:i h l=hl α如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(基础)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．BCabc锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．如图，在4×4的正方形网格中，tanα=( )(A)1 (B)2 (C) 12(D)52【思路点拨】把∠α放在一个直角三角形中，根据网格的长度计算出∠α的对边和邻边的长度.【答案】B；【解析】根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的定义tan∠αα=∠α的对边的邻边，故选B.【总结升华】本题考查锐角三角函数的定义及运用，可将其转化到直角三角形中解答，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°,若AC=2BC，则sinA的值是( )(A) 12(B)2 (C)55(D)52【答案】选C.因为∠C=90°，522AB=AC +BC =BC ，所以BC BC 5sin A AB 55BC===.类型二、特殊角的三角函数值2．已知a ＝3，且21(4tan 45)302b bc -++-=°，以a 、b 、c 为边长组成的三角形面积等于( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【思路点拨】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩°求出b 、c 的值，再求三角形面积. 【答案】A ；【解析】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩° 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩ 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，即222a b c +=，其构成的三角形为直角三角形，且∠C ＝90°， 所以162S ab ==． 【总结升华】利用非负数之和等于0的性质，求出b 、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要记错． 举一反三： 【变式】 计算：.【答案】原式.3．如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5，求sinB ·sinC 的值．【思路点拨】为求sin B ，sin C ，需将∠B ，∠C 分别置于直角三角形之中，另外已知∠A 的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B 、C 向CA 、BA 的延长线作垂线，即可顺利求解． 【答案与解析】解：过点B 作BD ⊥CA 的延长线于点D ，过点C 作CE ⊥BA 的延长线于点E ．∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝60°．∴AD ＝AB ·cos60°＝10×12＝5； BD ＝AB ·sin60°＝10×32＝53． 又∵CD ＝CA+AD ＝10， ∴2257BC BD CD =+=，∴21sin 7BD BCD BC ∠==． 同理，可求得21sin 14ABC ∠=． ∴21213sin sin 71414ABC BCD ∠∠=⨯=． 【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中．举一反三：【变式】如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为__________.(结果保留根号)．【答案】类型三、解直角三角形及应用4．在△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，AB＝33，求∠BCA的度数和AC的长．【思路点拨】由于∠A是一个特殊角，且已知AB，故可以作AC边上的高BD(如图所示)，可求得332BD=．由于此题的条件是“两边一对角”，且已知角的对边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC与AC边上的高BD的大小，而33332BC<<，所以此题有两解．【答案与解析】解：作BD⊥AC于D．(1)C1点在AD的延长线上．在△ABC1中，13BC=，332 BD=，∴13sin2C=．∴∠C1＝60°．由勾股定理，可分别求得13 2DC=，92 AD=．∴AC1＝AD+DC1＝936 22+=．(2)C2点在AD上．由对称性可得，∠BC2D＝∠C1＝60°，213 2C D C D==．∴∠BC2A＝120°，2933 22AC=-=．综上所述，当∠BCA＝60°时，AC＝6；当∠BCA＝120°时，AC＝3．【总结升华】由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一．5．（2015•茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）【思路点拨】（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD与AD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由AD+DB求出AB的长即可；（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，由AC+CB﹣AB即可求出输电线路比原来缩短的千米数．【答案与解析】解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC•cos∠CAD=20×=10（千米），在Rt△BCD中，BD===10（千米），∴AB=AD+DB=10+10=10（+1）（千米），则新铺设的输电线路AB的长度10（+1）（千米）；（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==10（千米），∴AC+CB﹣AB=20+10﹣（10+10）=10（1+﹣）（千米），则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+﹣）千米．【总结升华】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．已知斜三角形中的SSS，SAS，ASA，AAS以及SSA条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图所示)：举一反三：【变式】坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．下图为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角α＝35°，在点A和塔之间选择一点B，测出看塔顶(M)的仰角β＝45°，然后用皮尺量出A ，B 两点间的距离为18.6m ，量出自身的高度为1.6m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°≈0.7，结果保留整数)．(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为am(如图所示)，你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：________________________；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据?________________________________________________________. 【答案】解：(1)设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为x m ，则ME ＝(x-1.6)m ． ∵β＝45°，∴DE ＝ME ＝x-1.6．∴CE ＝x-1.6+18.6＝x+17．∵tan tan 35MECE α==°， ∴ 1.60.717x x -=+，解得x ＝45．∴太子灵踪塔MN 的高度为45m ．(2)①测角仪、皮尺；②站在P 点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)．6．如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）【思路点拨】过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中求出BD=AB=20，在R t△BDP中求出PB即可．【答案与解析】解：过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，∴BD=AB=20，在R t△BDP中，∵∠P=45°，∴PB=BD=20≈28.3（海里）．答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里．【总结升华】此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12C ．cosB ＝32D ．tan B ＝3第1题 第2题2．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为（ ）A ．53B ．255 C ．52D ．233．在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13，则cosB=（ ）A ．125B ．512 C ．135 D ．13124．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=25，则tan ∠CAD 的值是（ ）A.2B.2C.3D.5第4题 第6题5．一个物体从A 点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B ，AB=30米时，物体升高（ ）米． A ．B ．3C ．D ． 以上的答案都不对6．如图，已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是（ ）A.sinA=cosAB.sinA ＞cosAC.sinA ＞tanAD.sinA ＜cosA二、填空题7．若∠α的余角是30°，则cosα的值是 .8．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.第8题第12题9．计算2sin30°﹣sin245°+t an30°的结果是 .10．已知α是锐角，且sin(α+15°)=32.计算1184cos( 3.14)tan3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值为 .11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为海里．（结果保留根号）12．如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=12DM，HN=2NE，HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为．三、解答题13．如图所示，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现要在C 点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB的高为多少米?(结果保留三个有效数字)14. 已知：如图所示，八年级(1)班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30′．已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC(精确到0.1米)（可用计算器查角的三角函数值）15．如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）16. 如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ； 【解析】sinA ＝BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ＝33，cosB ＝BC AB ＝12．故选D.2.【答案】A ；【解析】在直角△ABC 中，根据勾股定理可得：AB=2AC BC +2=2(5)2+2=3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD． ∴ sin∠ACD=sin∠B=ACAB =53， 故选A ．3.【答案】C ；【解析】根据三角函数性质 cosB==，故选C ．4.【答案】A ；【解析】∵AD 是BC 边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt △ACD 中，AC= 22AD -CD =-=222（25）4，∴tan ∠CAD===2．故选A ．5.【答案】B ；【解析】∵坡度为1：7，∴设坡角是α，则sinα===，∴上升的高度是：30×=3米．故选B ．6.【答案】B ；【解析】∵45°＜A ＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA 随角度的增大而增大，cosA 随角度的增大而减小， 当∠A ＞45°时，sinA ＞cosA ，故选B ．二、填空题 7．【答案】21； 【解析】∠α=90°﹣30°=60°，cosα=cos60°=21．8．【答案】；【解析】过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设小方格的长度为1，在Rt △ACD 中，AC=22CD AD +=25,∴sinA=CD 5=AC 5.9．【答案】21+33； 【解析】2sin30°﹣sin 245°+ t an30°=2×21－（22）2+（）2+33=1﹣21+33=21+33．10．【答案】3； 【解析】∵sin60°=32，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=22﹣4×22﹣1+1+3=3． 11．【答案】40 ；【解析】解：作PC ⊥AB 于C ，在Rt △PAC 中，∵PA=80，∠PAC=30°，∴PC=40海里，在Rt △PBC 中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°， ∴PB=40海里，故答案为：40．12．【答案】13； 【解析】∵正方体的棱长为3，点M ，N 分别在CD ，HE 上，CM=12DM ，HN=2NE ， ∴MC=1，HN=2， ∵DC ∥EH ， ∴12PC MC PH NH ==， ∵HC=3， ∴PC=3， ∴PH=6， ∴tan ∠NPH=2163NH PH ==，故答案为：13．三、解答题13.【答案与解析】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝40°，DB＝5 m，∵tanBC BDCDB ∠=．∴BC＝DB·tan∠BDC＝5×tan40°≈4.195(米)．∴EB＝BC+CE＝4.195+2≈6.20(米)．14.【答案与解析】解：如图所示，过D作DH⊥AB，垂足为H．设AC＝x．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝25°，所以CD＝AC·tan∠DAC＝x tan 25°．在Rt△BDH中，∠BHD＝90°，∠BDH＝15°30′，所以BH＝DH·tan 15°30′＝AC·tan 15°30′＝x·tan 15°30′．又CD＝AH，AH+HB＝AB，所以x(tan 25°+tan 15°30′)＝30．所以3040.3tan25tan1530x='+≈°°(米)．答：两建筑物的水平距离AC约为40.3米．15.【答案与解析】解：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，∴BD=AB=100m，在Rt△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，∴BD+CE≈100+134=234m．答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．16.【答案与解析】解：背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，由题意可知tanB＝1，tan C＝1 1.5，在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝AEBE＝1，∴BE＝AE＝4，在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝11.5 DFCF，∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．又∵EF＝AD＝2.5，∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽BC为12．5 m．。
中考复习： 锐角三角函数
中考复习：锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）1、定义：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ）， 记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边。
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即。
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle ）。
当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比（正弦）、∠A 的邻边与斜边的比（余弦）、∠A 的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。
2、增减性：在0°到90°之间，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减小。
3、取值范围：当∠A 为锐角时，三角函数的取值范围是：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0。
4、互余两角的函数关系：如果两角互余，则其中一有的正弦等于另一角的余弦，即：若α是一个锐角，则sin α=cos （90°-α），cos α=sin （90°-α）。
5、正、余弦的平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。
二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表：三、解直角三角形bcos c A A ∠==的邻边斜边atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边C ∠A 的邻边b∠A 的对边a在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。
1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a。
初中锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数 1、锐角三角函数的定义如图，在 Rt △ ABC 中，/ C 为直角， 有(1) 图表记忆法三角\角 函数、304560si na1 c亡222 cosa爲匹J222tana乜31(2) 规律记忆法：30 °、45 °、60°角的正弦值的分母都是 2,分 子依次为1、. 2、3 ；30°、45°、60°角余弦值恰好是 60°、45°、 30°角的正弦值。
/ A 的正弦： sin A A 的对边a 斜边 c / A 的余弦： cos A A 的邻边b 斜边c / A 的正切： tan AA 的对边a A 的邻边b2、特殊角的三角函数值则/ A ABC 中的一锐角，则（3）口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删.”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27,分别是30°，45 °，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值.弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3.最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉.如tan60 °二旦 ,3，tan45 =— 1 .这种方法有趣、简单、3 3易记.考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的类型和解法如下表：考点二、锐角二角函数的实际应用（咼频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角叫坡角,i tan Pl指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角.注意：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南偏方向角东45 方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南偏西45°方向.我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016?陕西）已知抛物线y二-x2-2x+3与x轴交于A B两点，将这条抛物线的顶点记为C,连接AG BC则tan / CAB的值为（）A.丄B . ■- C •」D ■ 2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义.CD：【解析】先求出A B、C坐标，作CDL AB于D,根据tan / ACD=-即可计算.o【解答】解：令y=0,则-x —2x+3=0,解得x=—3或1,不妨设A （—3,0）,B (1, 0),2 2• y二—x - 2x+3=—( x+1) +4,「•顶点C (- 1, 4),如图所示，作CDL AB于D.故答案为D.（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现例2、（2016?陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分.A. —个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是8 .B. 运用科学计算器计算：3.「sin73 ° 52’〜11.9 .（结果精确到0.1 ）【考点】计算器一三角函数；近似数和有效数字；计算器一数的开方；多边形内角与外角.【解析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3. 7和sin73 ° 52 '的近似值，再相乘求得计算结果.【解答】解：（1）v正多边形的外角和为360° 二这个正多边形的边数为：360°宁45° =8(2) 3 i sin73 °52’ 〜12.369 x0.961 〜11.9故答案为：8, 11.9例3、（2015?陕西）如图，有一滑梯 AB,其水平宽度AC 为5.3米，铅直高 度BC 为2.8米，则/ A 的度数约为 27.8（用科学计算器计算，结果精【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可. 【解答】 解：T tan / A 」"1〜0.5283 ,AC 5. 3•••/ A=27.8°, 故答案为：27.8 ° .【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值 等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大.例4、（2014?陕西）用科学计算器计算：一 一；+3tan56 °〜10.02 （结果精确到0.01 ） 计算器一三角函数；计算器一数的开方.先用计算器求出tan56°的值，再计算加减运解：「丨〜5.5678 , tan56 °〜1.4826 , 则-1 +3tan56 °〜5.5678+3 X 1.4826 〜10.02故答案是：10.02 .【点评】 本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到【考点】 【分析】0.01.例5、（2014?陕西）如图，在正方形 ABC ［中, AD=1将厶ABD绕点B 顺时针旋转45 °得到△ A BD ，此时A D 与CD 交于【考点】 旋转的性质【分析】 利用正方形和旋转的性质得出 A D=A E ,进而利用 勾股定理得出BD 的长，进而利用锐角三角函数关系得出 DE 的长 即可.【解答】 解：由题意可得出：/ BDC=45，/ DA E=90° , •••/ DEA =45°,••• A D=A E ,•••在正方形ABCD 中AD=1 • AB=A B=1, • BD=:':, • A D 二；:-1,•••在 Rt △ DA E 中,DE备=2-五故答案为：2-血.【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、2~41锐角三角函数关系等知识，得出 A D 的长是解题关键.(三) 、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、( 12分)(2015?陕西)如图，在每一个四边形 ABC 冲，均有AD// BC ；CDL BC / ABC=60 , AD=8 BC=12(1) 如图①，点M 是四边形ABCDi AD 上的一点，则厶BMC 勺面积为 24「；; (2) 如图②，点N 是四边形ABCD* AD 上的任意一点，请你求出△ BNC 周长 的最小值；(3) 如图③，在四边形ABCD 勺边AD 上，是否存在一点P,使得cos / BPC 的 值最小？若存在，求出此时cos / BPC 勺值；若不存在，请说明理由.【考点】四边形综合题.. 【专题】综合题.【解析】(1)如图①，过A 作AE ! BC 可得出四边形AECF 为矩形，得到EC=ADBE 二B G EC 在直角三角形 ABE 中，求出AE 的长，即为三角形 BMC 勺高，求 出三角形BMC 面积即可；(2) 如图②，作点C 关于直线AD 的对称点C ,连接C N, C D, C B 交AD 于点 N ,连接 CN ，贝卩 BN+NC 二BN+NO BC =BN +CN ，可得出厶 BNC 周长的最小值BN C 的周长=BN +CN +BC 二BC+BC 求出即可；(3) 如图③所示，存在点P,使得cos /BPC 的值最小，作BC 的中垂线PQ 交BC 于点Q 交AD 于点P,连接BP CP 作厶BPC 的外接圆Q 圆O 与直线PQ 交于点N,则PB=PC 圆心0在PN 上，根据AD 与BC 平行，得到圆0与AD 相AD圈②图①ACc图③切，根据PQ=DC判断得到PQ大于BQ可得出圆心0在BC上方，在AD上任取一点P',连接P‘ B, P C, P‘ B交圆0于点M连接MC可得/ BPC= / BM OZ BP C,即/ BPC最小，cos/ BPC的值最小，连接0B求出即可.【解答】解：(1)如图①，过A作AE±BC二四边形AEC助矩形，••• EC=AD=8 BE二B G EC=12- 8=4,在Rt△ ABE中, / ABE=60 , BE=4•AB=2BE=8 AE=：・，二=4 二则S A BM千BC? AE=24 -;;故答案为：24. -；；(2)如图②，作点C关于直线AD的对称点C,连接C N, C D, C B交AD于点N,连接CN，贝卩BN+NC二BN+NO BC =BN +CN ,•△ BNC周长的最小值为△ BN C的周长=BN +CN +BC=BC +BCv AD// BC AE! BC / ABC=60 ,•过点A 作AE! BC 则CE=AD=8•BE=4 AE=B? tan60 ° 二酣1,•CC =2CD=2AE=8,v BC=12•BC=血/+防2=4阿,•△ BNC周长的最小值为4 1+12;(3)如图③所示，存在点P,使得cos/ BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q交AD于点P,连接BP, CR作厶BPC的外接精品文档圆Q 圆0与直线PQ交于点N,贝S PB=PC圆心0在PN上，v AD// BC•••圆0与AD相切于点P,v PQ=DC=4>6,•PQ> BQ•/BPG 90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P',连接P‘ B, P‘ C, P‘ B交圆0于点M连接MC•••/ BPC y BM OZ BP C,•/ BPC最大，cos / BPC的值最小，连接0B 贝卩/ BON=/BPN/ BPCv 0B=0P=4 - 0Q在Rt△ B0C中，根据勾股定理得：0Q+62二（砸-0Q 2,解得：0Q二:；，2•0B二：,2•cos / BPC二co/ B0Q==l,P厂则此时cos/ BPC的值为一.【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.例7、(10分)(2014年陕西省)已知抛物线C: y二-x2+bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3)两点，将这条抛物线的顶点记为M它的对称轴与x轴的交点记为N.(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到C,抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M N M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？新课标xk b1. c om【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质.菁优网版权所有【分析】(1)直接把A(- 3, 0)和B(0, 3)两点代入抛物线y二-x2+bx+c, 求出b, c 的值即可；(2)根据(1)中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；(3)根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示.需要分类讨论.【解答】解: (1)V抛物线y二-x2+bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3)两占J \\、’解得仁2,故此抛物线的解析式为：y二-x2- 2x+3；(2)v由(1)知抛物线的解析式为：y二-x2- 2x+3,•••当x=- 一= - = - 1 时，y=4, xKb 1.C omSa 2X ( -1) ，‘，• M(- 1, 4).（3J由题意，以点MN、M、N为顶点的平行四边形的边MN勺对边只能是M‘ N, •MN/ M N 且MN二M N.•MN NN =16,•NN =4.i ）当M、N M、N为顶点的平行四边形是？ MNN M时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C ;ii ）当M N M、N为顶点的平行四边形是？ MNMN时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C . •上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C .【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点.第（3）问需要分类讨论，避免漏解.例8、(12分)(2014?陕西)问题探究(1)如图①，在矩形ABCD K AB=3 BC=4如果BC边上存在点巳使厶APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△ APD并求出此时BP 的长；(2)如图②，在△ ABC中，/ ABC=60 , BC=12 AD是BC边上的高，E、F分别为边AB AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q 使/ EQF=90，求此时BQ 的长；问题解决(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M安装监控装置，用来监视边AB现只要使/ AMB大约为60°, 就可以让监控装置的效果达到最佳，已知/ A二/ E=Z D=90°, AB=270m AE=400mED=285m CD=340m问在线段CD上是否存在点M 使/ AMB=60 ? 若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由.A D團①图②團③【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值.菁优网版权所有【专题】压轴题；存在型.【分析】（1）由于△ PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题.（2）以EF为直径作。
锐角三角函数知识点
锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。
2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。
一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。
3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。
二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。
圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。
2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。
三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。
2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。
四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。
锐角三角函数专题复习
锐角三角函数专题复习知识点1：锐角三角函数定义1.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．332.在Rt sin ABC A 中，若AC=2BC,则的值是（ ）A 。
12B 。
2C 。
55D 。
523.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直 角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值等于 .4.（09包头）已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ）A ．43B ．45C ．54D ．345.已知∠A 是锐角，且sinA=32，那么90°—∠A 等于 ． 知识点2：特殊锐角三角函数的值 1.在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B，则这个三角形一定是 ( ）A.锐角三角形;B. 直角三角形;C.钝角三角形;D.等腰三角形. 2.已知：3tan （α+10°）=1，则锐角α= .3.计算：(1)（09湖北荆门）104cos30sin60(2)(20092008)-︒︒+---(2)．260tan 0- ＋（-2001）0 11|32|20093tan303-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭°(3).计算： sin 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°α(4)计算：000245tan 45cos 230cos 60tan 45sin +⋅+4.（09哈尔滨）化简求值：22 ()2111a a a a a ++÷+-- 其中a ＝tan60°－2sin30°．知识点3：同角间三角函数关系1.若sin 220°+sin 2A=1，则锐角∠A= . 知识点4：互余角间的三角函数关系1.（10年怀化）在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，则cosB 的值等于（ ） A ．53 B. 54 C. 43 D. 55 2.在△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 中三个内角，则下列各式成立的是： （填代码） （1）B A cos sin =；（2）2sin 2sinCB A =+；（3）2cos 2sin AC B =+；（4）tanA=tanB ； 3.化简:tan2°·tan4°·tan6°…tan88°=_______.知识点5：锐角三角函数的变化规律1.当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于12B ．小于12C ．大于32D ．小于322.用小于号连接sin25°、cos26°、tan26°： .3.已知：45°＜α＜90°，则下列不等式成立的是（ ）A 。
锐角三角函数全章复习
B
D
C
专题二、锐角三角函数的性质
1.锐角三角函数的增减性： (1)当角度在00～900之间变化时， 正弦和正切值随角度的增大而增大； 余弦随角度的增大而减小。 (2)当∠A为锐角时， 0<sinA<1;0<cosA<1; tanA>0 2.互余两角的三角函数之间关系 ∠A为锐角时，sinA=cos(900-∠A) cosA=sin(900-∠A)
• 例4.若∠A为锐角，且 cosA≤0.5,则∠A的范围是（ ） A.00<∠A≤600 B.600≤∠A<900 C.00<∠A≤300 D.300≤∠A<900
• 例5.当锐角A>450时，下列不等式 中不成立的是 （ ）
2 A. sin A 2 2 B. cos A 2 C. t an A 1 D. t an A 1
• 例6.下列不正确的是（
A. sin 48 37 cos 41 21
0 / 0 / 2
）
B.RtABC中，C＝90 ，则sin A sin B 1
0 2
C.RtABC中，C＝90 ，则AB＝ACsinB
0
1 D.RtABC中，C＝90 ，则 sinB cosB tanB
0
专题三、解直角三角形及其应用
1.定义； 2.直角三角形边角关系； 3.解直角三角形的应用 (1)在测量距离方面的应用； (2)在工程建筑、航空、航海等 方面的应用.
• 例7.在△ABC中，
BC 1 3, B 60 ,
0
∠C＝450，求AB的长
A
B
C
• 例8.A、B之间有条河，原来从A到B需 过桥CD：A→D→C→B。 A 现建桥EF，可沿直线AB 从A到B.已知 D ∠A＝450， C ∠B＝300，BC＝ E 11km，CD∥AB， F 则现在从A到B比 原来少走多少路程？
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3
4
3
4
A． 5
B． 5
C． 4
D． 3
4． 如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．
求 sinA 的值．
5． +sin45°．
计算：sin30°·sin60°
A
C
24 7
25
B
能力拓展
6． 如图，B 是线段 AC 的中点，过点 C 的直线 l 与 AC 成 60°的角，在直线上取一点
斜边
表达式 sin A a
c cos A b
c
取值范围
0 sin A 1
(∠A 为锐角)
0 cos A 1
(∠A 为锐角)
正切
tan A A的对边 A的邻边
tan A a b
tan A 0
(∠A 为锐角)
余切
cot A A的邻边 A的对边
cot A b a
cot A 0
(∠A 为锐角)
1
a
若 tan∠DCE= 2 ，求 b 的值．
C
b
a
创新学习
A
ED B
（第 8 题图）
9．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，D 为 CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB= 19 ，试
求 cosA 与 tanA 的值． B
C
D
A
锐角三角函数（3）
基础扫描
1 1． 已知 sinα 2 ，则锐角 α=
7、正切、余切的增减性：
当 0°< <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大
而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）
→所有未知的边和角。 依据：①边的关系： a2 b2 c2 ；②角的关系：A+B=90°；③边 角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例：
锐角三角函数知识点总结与复习
1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b2 c 2
对边
2、如下图，在 Rt△ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
B
斜边 c a
A
C
邻边
b
正弦 余弦
定义 sin A A的对边
斜边 cos A A的邻边
由A B 90 得B 90 A
sin A cos(90 A) cos A sin(90 A)
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的
正切值。
tan A cot B cot A tan B
由A B 90 得B 90 A
tan A cot(90 A)
(1)仰角：视线在水平线上方的角；
(2)俯角：视线在水平线下方的角。
(3)坡面的铅直高度 h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡
h
i h:l
比)。用字母 i 表示，即 i h 。坡度一般写成1: m 的形
α
l
l
式，如 i 1: 5 等。把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么
i h tan 。
锐角三
角函数
基础扫描 1.求出下图中 sinD，sinE 的值．
（1）
D 5
F
8
E
2．把 Rt△ABC 各边的长度都扩大 2 倍得 Rt△A′B′C′，
那么锐角 A、A′的正弦值的关系为（ ）．
A．sinA＝sinA′ B． sinA＝2sinA′ C．2sinA＝sinA′ D．不能确定
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 AB＝5，AC＝4，则 sinB 的值是（ ）
l
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方
位角。如图 3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45°、135°、
225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90°的水平角， 叫做方向角。
如图 4：OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30°（东 北方向），南偏东 45°（东南方向），南偏西 60°（西南方向），北 偏西 60°（西北方向）。
3． 如果 a 是等腰直角三角形的一个锐角，则 cos 的值是（ ）
1 Ａ． 2
2 Ｂ． 2
Ｃ．1
Ｄ． 2
4． 如图，P 是∠α 的边 OA 上一点，且 P 点坐标为（2，3）， 则 sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ ．
5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，若 AC 5 6 ，
y
O
AB 6 5 ，则 tan∠ACD 的值为（ ）
Ａ． 5
5 Ｂ． 5
30 Ｃ． 6
Ｄ． 6
3 6． 已知 α 是锐角，且 cosα= 4 ，求 sinα、tanα 的值．
A P(2,3)
x
能力拓展
tan sin
7． 若 α 为锐角，试证明：
cos ．
8． 如图，在 Rt△ABC 中，CD、CE 分别为斜边 AB 上的高和中线，BC=a，AC=b（b＞a），
关系
sin A cos B cos A sin B sin 2 A cos2 A 1
tan A cot B cot A tan B tan A 1 (倒数)
cot A
tan A cot A 1
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的
正弦值。
sin A cos B cos A sin B
1
P，连接 AP、PB，使 sin∠APB= 2 ，则满足条件的点 P 的个数是（
）
A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 不存在
7．如图，△ABC 中，∠A 是锐角，求证：
P
8．等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求 sinA、sinB．
A
BC
l
（第 6
题图）
创新学习
9. 如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 sin∠BAC
等于（
）
2
5
10
1
A． 3 B． 5 C． 5 D． 3
C
A
B
（第 7
题图）
锐角三角函数（2）
基础扫描
1． 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，若 b=3a，则
tanA=
．
3 2． 在△ABC 中，∠C＝90°，cosA＝ 4 ，c＝4，则 a＝_______．
cot A tan(90 A)
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sin
1
2
3
0
2
2
2
1
cos
3
2
1
1
2
2
2
0
tan
3
0
1
3
3
不存在
cot
不存在
3
1
3
0
3
6、正弦、余弦的增减性： 当 0°≤ ≤90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。