天津市耀华中学2020届高三数学上学期第一次月考数学考试试题(无答案)
天津市耀华中学2020届高三年级第一次月考
数学试卷
第Ⅰ卷（共45分）
一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}(){
}
012log ,02322≤-=≤-+=x x B x x x A ，则=B A ( )
A ．⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-32,1 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛32,21 D ．⎥⎦
⎤
⎝⎛1,2
1
2.下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为( ) A ．cos 2y x =，x R ∈ B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠
C ．2
x x e e y --=，x R ∈ D ．3
1y x =+，x R ∈
3.设14log ,10log ,6log 753===c b a ，则 ( )
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c b a >>
D ．b c a >> 4. 设R ∈α，则“21sin =α”是“Z k k ∈+=,6
2π
πα”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,满足
B
b
c A a cos 23cos 2-=，且B b sin 5=，则=a ( ) A.
35 B.32 C.5
3
D.352
6.已知0x 是函数()x
x f x
-+
=11
2的一个零点，若()()+∞∈∈,,,10201x x x x ，则( )
A ．()()0,021<<x f x f
B ．()()0,021><x f x f
C ．()()0,021<>x f x f
D ． ()()0,021>>x f x f
7.已知函数()()⎪⎭⎫
⎝
⎛<
>+=2,0sin πϕωϕωx x f 的最小正周期是π，
若其图象向右平移3
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数()x f y =的图象( )
A ．关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,12π对称 B ．关于直线12π=x 对称 C ．关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,125π对称 D ．关于直线12π=x 对称
8.若函数()()x a x e x f x
cos sin +=在⎪⎭⎫
⎝
⎛2,4ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(]1,∞- B ．()1,∞- C ．[)+∞,1 D ．()+∞,1
9.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1=⋅，=⋅CF CE 3
2
-
，则λμ+= ( ) A.
12 B.712 C.23 D.56
第Ⅱ卷（共105分）
二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．
10.如复数()i m i
i
z -+-+=111（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为 ． 11.(
)
4
3x x +
的展开式中3x 的系数是 ．
12.正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E 为棱1DD 上的点，F 为AB 的中点，则三棱锥BFE B -1的体积为 ．
13.数列{}n a 中，已知()
*
++∈+===N n a a a a a n n n 2121,2,1，则=2020a ．
14.不等式()y x a xy x +≤+22对任意正数y x ,恒成立，则正数a 的最小值是 ．
15.设()()x g x f ,是定义在R 上的两个函数，()x f 满足()()x f x f -=+2，()x g 满足()()x g x g =+2，且
当(]2,0∈x 时，()x x x f 22
+-=，()()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-≤<+=2121
102x x x k x g ，若在区间[]11,0上，关于x 的方程()()x g x f =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分15分）
某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为43，乙队中3人答对的概率分别为3
2
,43,54，且各人回答正确与否之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分.
(Ⅰ)求ξ的分布列和均值；
(Ⅱ) 求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中BC AD //,AD AB ⊥,
4,221===
=PA BC AD AB ,E 为棱BC 上的点，且BC BE 4
1
=. (Ⅰ) 求证：⊥DE 平面PAC ； (Ⅱ)求二面角D PC A --的余弦值；
(Ⅲ)设Q 为棱CP 上的点（不与P C ,重合），且直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值
55，求CP
CQ
的值.
正项等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，13,131==S a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正，且52=b ，又332211,,b a b a b a +++成等比数列.设()n
n n a b b c n 12-=，求数
列{}n c 的前n 项和n T .
设椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x M 的左、右焦点21,F F ，左顶点为A ，左焦点到左顶点的距离为1，离心率
为
2
1. (Ⅰ)求椭圆M 的方程；
(Ⅱ)过点A 做斜率为k 的直线与椭圆M 交于另一点B ，连接2BF 并延长交椭圆M 于点C ，若AB C F ⊥1，求k 的值．
已知1,0≠>a a ，函数()()a x x x g a x f x
ln ,12
+-=-=
（Ⅰ）若1>a ，证明：函数()()()x g x f x h -=在区间()+∞,0上是单调增函数 （Ⅱ）求函数()()()x g x f x h -=在区间[]1,1-上最大值.
（Ⅲ）若函数()x F 的图象过原点，且()x F 的导数()()x g x F ='，当3
10e a >时，函数()x F 过点()m A ,1的切线至少有2条，求实数m 的值.。
2023学年天津市耀华中学高三上学期第一次月考数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023年天津市耀华中学高三下学期第一次月考数学试题的。
1.设全集，若集合，，则集合( )A. B.C.D.2.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.函数的大致图象可能是( )A. B.C. D.4.化简式子等于( )A. 0B.C.D.5.某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如下图，数据的分组依次为若不低于60分的人数是35人，则该班的学生人数是( )A. 45B. 50C. 55D. 606.已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. B. C.D.7.若两个正实数x ，y 满足，且不等式恒成立，则实数m 的取值范围为( )A. B. 或C. D.或8.已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；点为图象的一个对称中心；；在区间上单调递增．其中正确结论的个数为( )A. 0 B. 1C. 2D. 39.设，函数，若在区间内恰有5个零点，则a 的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.设复数z 满足为虚数单位，则的值为__________.11.二项式的展开式中含x 项的系数为__________.12.已知函数，则使得成立的a 的取值范围是__________.13.已知是函数的导函数，且对任意实数x 都有，且，若的图像与有3个交点，则m 的取值范围为__________.14.已知函数若在区间上存在个不同的数，，，，，使得成立，则n的最大值为__________.15.若实数满足，则的最大值为__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2019-2020学年天津市耀华中学高三(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)
2019-2020 学年天津市耀华中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共 9 小题，共 45.0 分） 1. 设集合 = +− 1 < < 3}< < 2} − 3) < 0}， = < < 4}，则 ∩ = ( )− 1 < < 4} A. C.B. D. < < 3}2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是( )B. C. D. D. A. = = = = 3. 已知 = log 0.9， = log 0.8， = 0.5−0.9，则( ) 0.5 0.5 < <A. B. C. < << << <4. 已知 << ，则“ = ”是“) = √3”的( ) +3262A. C.B. D. 充分不必要条件充分必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件中，若= 4 ,= 5 ，则5.= ( )513B. C. D. A. 33636533 65636533 63 − 或− − 或6565656. 若函数= 2 + − 2019的一个零点 ∈+ 1)，则正整数 = ( )0 A. B. C. D.8117. 函数间是( )109= +> 0)的最小正周期是 ，则其图象向右平移 个单位后的单调递减区63B. A.C. [− ++ ∈ ∈[ +4+ ∈ 444D. [ +12+[−++∈1212 128. 若函数 = −在区间[0, ]上是单调增函数，则实数 的取值范围是( )a 3A. B. C. D. ≥ 0 ≤ 1> 0 = ≥ −19. 已知菱形 边长为 2， = ，点 满足 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −1，则 的值为( )AB C D P ∈⋅3B. C. D.− A. 1121313− 2二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分） 10. 若( − 4) + ( + + 2) 是纯虚数，则实数 的值是__________． 2 2 x 11. 12. 已知棱长为 1 的正方体则三棱锥 − 的体积为______ ．+ 的展开式中， 的系数为 15，则 =______．10 7 − 中， 是棱 1的中点， M 1 1 1 1 113. 数列 }满足： + = ∈ )，若 = 4，则 = ______ ．∗ 7 2014 14. 已知 + 4) = + 8 ，则 = ______ ． √ √ −−1 ≤ ≤ 0+ 1).0 < ≤ 42 15. 已知函数= {，若+ 1)有 3 个不同的零点，则实数 = −k的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共 5 小题，共 75.0 分）16. 甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得 10 分，答错得 0 分，2 假设甲班三名同学答对的概率都是 ，乙班三名同学答对的概率分别是 2 , 2 , 13 3 2，且这六名同学答3题正确与否相互之间没有影响．(1)用 表示甲班总得分，求随机变量 的数学期望和方差；X X (2)记“两班得分之和是 30 分”为事件 ，“甲班得分大于乙班得分”为事件 ，求事件 ， A B A B 同时发生的概率．17. 如图，在四棱锥 −中，底面 ，AB C D⊥ ⊥平面 的中点， == 2，= 1= 1，2⊥ ； 与平面 BS SC D的中点，求二面角 −(Ⅲ)设 为 M− 的余弦值．SC18. 设等比数列 }的前 n 项和为 ，已知 = 2，且1， 2， 3成等差数列．1(Ⅰ)求数列 }的通项公式； (Ⅱ)设 =− 5| ⋅ ，求数列}的前 项和 ．n 19. = 已知椭圆 += 2 2 >> 0)的左，右焦点分别为 ， ，且| = 6，直线 与椭圆1 2 1 222交于 ， 两点．A B(1)若△ 1 2的周长为 16，求椭圆的标准方程． (2)若 = √2，且⊥，求椭圆离心率 的值；e22420. 3求函数= 3 − + 5在区间[−2,2]上的最大值与最小值．22-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析： 【分析】本题考查了交集运算，是基础题． 【解答】 解：集合 = +− 3) < 0} =− 1 << 3}，∴ ∩ = << 3}，故选D ．2.答案：B解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题． 分析给定四个函数的奇偶性及在区间(0,1)内的单调性，可得答案． 解析：解：函数 = 2是偶函数，但在区间(0,1)内单调递增； 函数 = 是偶函数，又在区间(0,1)内单调递减；函数 = 2 是非奇非偶函数；函数 =是非奇非偶函数， 故选B ． 3.答案：B解析： 【分析】本题考查指数函数与对数函数的性质，属于基础题． 【解答】，0.5−0.9 > 0.50 = 1， << ．故选B ．4.答案：C解析：解：∵ << ，∴ < + < ，又“+ ) = √ ”3 326662∴ + = = ．，解得 632∴“ = ”是“) = √3”的充要条件． +26 2<< ，知 < + < 由 ，又+ ) = √ 可得 + 3 = ，解得 即可判断出结论．32666362本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析： 【分析】本题主要考查三角函数同角三角函数以及两角和差公式，属于基础题． 利用同角三角函数基本关系式可求出 s inA ，cosB 的值，将 cosC 化成 差的三角函数公式计算，即可得到答案． 【解答】 + ，再利用两角和与解：，则，可知，又 ，则 > ，由正弦定理得到 > ，再根据大边对大角，则 < ，所以 B 为锐角，则 ，所以，故选 A ． 6.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数零点存在性的判断方法的应用，属于基础题． 分别求出 出 n 的值． 【解答】解：∵和 并判断符号，再由函数的单调性，判断出函数唯一零点所在的区间，即可求 = 210 + 10 − 2019 < 0， = 211 + 11 − 2019 > 0， ∴= 2 + − 2019的存在零点 ∈ (10,11)， 0 ∵函数∴ = 2 + − 2019在 R 上单调递增， = 2 + − 2019的存在唯一的零点 ∈ (10,11)， 0 ∵函数 = 2 + − 2019的一个零点 ∈ + 1)， 0 则整数 = 10． 故选 B . 7.答案：B 解析：本题主要考查三角函数的解析式的求法和性质的灵活运用能力，属于基础题．根据最小正周期是 ，可知 = 2，求得图象向右平移 个单位后解析式，再结合三角函数的性质求3单调递减区间． 【解答】 解：由函数 ，解得： = 2，图象向右平移 个单位，经过平移后得到函数解析式为=+> 0)的最小正周期是 ，6即3= − ) + ] =− ) =，362+≤ ≤+ ∈ ， 由 22解得单调递减区间为[ ++∈ ．44故选：B ．8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，不等式恒成立问题，属于中档题． = +≥ 0在区间[0, ]上恒成立，求解即可．由题意得出 【解答】 解：函数 3在区间[0, ]上是单调增函数，]上恒成立；= −33所以= +≥ 0在区间[0, ∴ ≥ = 0．m a x故选 A ． 9.答案：A解析： 【分析】本题主要考查平面向量的基本定理的应用，两个向量的数量积的运算，两个向量的加减法及其几何 意义，属于中档题．根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【解答】⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅= 2 × 2 × cos = −2，解：由题意可得 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋅ )⋅ = + −<< ，知 < + < 由 ，又+ ) = √ 可得 + 3 = ，解得 即可判断出结论．32666362本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析： 【分析】本题主要考查三角函数同角三角函数以及两角和差公式，属于基础题． 利用同角三角函数基本关系式可求出 s inA ，cosB 的值，将 cosC 化成 差的三角函数公式计算，即可得到答案． 【解答】 + ，再利用两角和与解：，则，可知，又 ，则 > ，由正弦定理得到 > ，再根据大边对大角，则 < ，所以 B 为锐角，则 ，所以，故选 A ． 6.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数零点存在性的判断方法的应用，属于基础题． 分别求出 出 n 的值． 【解答】解：∵和 并判断符号，再由函数的单调性，判断出函数唯一零点所在的区间，即可求 = 210 + 10 − 2019 < 0， = 211 + 11 − 2019 > 0， ∴= 2 + − 2019的存在零点 ∈ (10,11)， 0 ∵函数∴ = 2 + − 2019在 R 上单调递增， = 2 + − 2019的存在唯一的零点 ∈ (10,11)， 0 ∵函数 = 2 + − 2019的一个零点 ∈ + 1)， 0 则整数 = 10． 故选 B . 7.答案：B 解析：本题主要考查三角函数的解析式的求法和性质的灵活运用能力，属于基础题．根据最小正周期是 ，可知 = 2，求得图象向右平移 个单位后解析式，再结合三角函数的性质求3单调递减区间． 【解答】 解：由函数 ，解得： = 2，图象向右平移 个单位，经过平移后得到函数解析式为=+> 0)的最小正周期是 ，6即3= − ) + ] =− ) =，362+≤ ≤+ ∈ ， 由 22解得单调递减区间为[ ++∈ ．44故选：B ．8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，不等式恒成立问题，属于中档题． = +≥ 0在区间[0, ]上恒成立，求解即可．由题意得出 【解答】 解：函数 3在区间[0, ]上是单调增函数，]上恒成立；= −33所以= +≥ 0在区间[0, ∴ ≥ = 0．m a x故选 A ． 9.答案：A解析： 【分析】本题主要考查平面向量的基本定理的应用，两个向量的数量积的运算，两个向量的加减法及其几何 意义，属于中档题．根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【解答】⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅= 2 × 2 × cos = −2，解：由题意可得 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋅ )⋅ = + −。
【精准解析】天津市耀华中学2020届高三上学期第一次月考数学试题+Word版含解析
15.设 f x, g x 是定义在 R 上的两个函数， f x 满足 f x 2 f x ， g x 满足
只要坚持 梦想终会实现
-8-
高中学习讲义
g x 2 g x ，且当 x 0, 2 时， f x
x2
2x
，
g
x
k x
1 2
,1
2,
x
0
2
x
1
.若
在区间 0,11 上，关于 x 的方程 f x g x 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是______
,即对称点为 6
k 2
,
0
；
令 2x k k Z ,则对称轴为 x 5 k k Z ,
32
12 2
当 k 0 时, x 5 ， 12
故选：D
【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性
8.若函数
f
(x)
ex (sin
x
a cos
x)
在(
,
)
上单调递增，则实数
-4-
高中学习讲义
则平移后的图像的解析式为
y
sin
2
x
3
sin
2x
2 3
,
此时函数是奇函数,所以 2 k k Z ,
3
则 2 k k Z ,
3
因为
2
,当 k
1 时,
3
,
所以
f
x
sin
2x
π 3
,
令2x 3
k
k
Z ,则
x
6
k 2
k Z
cos A
cos B
即 2 sin A cos B 3sin C cos A 2 sin B cos A ,
天津市耀华中学高三数学第一次月考试题 文 新人教A版
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分 钟.第I 卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.1、i 是虚数单位，复数3+22-3ii 等于A 、iB 、-iC 、12-13iD 、12+13i 【答案】A【解析】3+223i i -(3+2)(23)13=23(23)13i i i ii i +==-+（），选A.2、下列命题中是假命题的是A 、(0,),>2x x sin xπ∀∈ B 、000,+=2x R sin x cos x ∃∈C 、,3>0xx R ∀∈ D 、00,=0x R lg x ∃∈ 【答案】B【解析】因为000+4sin x cos x x π+≤（）B 错误，选B.3、在下列区间中，函数()=+4-3xf x e x 的零点所在的区间为 A 、（1-4，0） B 、（0，14） C 、（14，12） D 、（12，34）【答案】C【解析】1114441()=2=1604f e e --<，121()=102f e ->，所以函数的零点在11(,)42，选C.4、设a ，b ∈R ，那么“>1ab ”是“>>0a b ”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由>1ab 得，10a a b b b --=>，即()0b a b ->，得0b a b >⎧⎨>⎩或0b a b <⎧⎨<⎩，即0a b >>或0a b <<，所以“>1ab ”是“>>0a b ”的必要不充分条件，选B.5、设集合={|||<1},={|=2}M x x N y y x,x M ∈，则集合()RM N 等于A 、(-∞,-1)B 、(-l ，1)C 、(,1][1,)-∞-+∞D 、(1，+∞) 【答案】C 【解析】{1}{11}M x x x x =<=-<<,={|=2}N y y x,x M ∈{22}y x =-<<,所以{11}M N x x =-<<,所以()RM N ={11}x x x ≥≤-或,选C.6、已知函数2()=-f x x cos x ，则(0.6),(0),(-0.5)f f f 的大小关系是 A 、(0)<(0.6)<(-0.5)f f f B 、(0)<(-0.5)<(0.6)f f f C 、(0.6)<(-0.5)<(0)f f f D 、(-0.5)<(0)<(0.6)f f f 【答案】B【解析】因为函数2()=f x x cos x -为偶函数，所以(0.5)(0.5)f f -=，()=2f 'x x sin x +，当02x π<<时，()=20f 'x x sin x +>，所以函数在02x π<<递增，所以有(0)<(0.5)<(0.6)f f f ，即(0)<(0.5)<(0.6)f f f -，选B.7、已知幂函数27+3-225()=(+1)()t t f x t t x t N -∈是偶函数，则实数t 的值为A 、0B 、-1或1C 、1D 、0或1 【答案】C【解析】因为函数为幂函数，所以211t t -+=，即20,0t t t -==或1t =.当0t =时，函数为75()=f x x 为奇函数，不满足条件.当1t =时，85()=f x x 为偶函数，所以1t =，选C.8、定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t ≥恒成立，则实数t 的取值范围是 A 、[-2，0)(0，l) B 、[-2，0)[l ，+∞) C 、[-2，l] D 、(-∞，-2](0，l]【答案】D【解析】当[-4,-2]x ∈，则4[0,2]x +∈，所以11()(2)(4)24f x f x f x =+=+24 1.51[(4)(4)],[4,3)4=1(0.5),[3,2)4x x x x x +-⎧+-+∈--⎪⎪⎨⎪-∈--⎪⎩ 2 2.51(712),[4,3)4=1(0.5),[3,2)4x x x x x +⎧++∈--⎪⎪⎨⎪-∈--⎪⎩，当[4,3]x ∈--时，221171()=(712)[()]4424f x x x x ++=+-的对称轴为7=2x -，当[4,3]x ∈--时，最小值为71()=216f --，当 2.51[3,2),()=(0.5)4x x f x +∈---，当 2.5x =-时，最小，最小值为14-，所以当[-4,-2]x ∈时，函数()f x 的最小值为14-，即11442t t -≥-，所以110424t t -+≤，即220t t t +-≤，所以不等式等价于2020t t t >⎧⎨+-≤⎩或2020t t t <⎧⎨+-≥⎩，解得01t <≤或2t ≤-，即t 的取值范围是(,2](0,1]-∞-，选D.9、已知方程2(3+2)+2(+6)=0x m x m -的两个实根都大于3，则m 的取值范围是A 、(15-7，-2] B 、(-∞，-2] C 、[2，157) D 、[2，+∞)【答案】C【解析】设函数2(3+2)+2(+6)y x m x m =-，则由题意知0(3)0(32)32f m ⎧⎪∆≥⎪>⎨⎪-+⎪->⎩，即2(32)8(6)093(32)2(6)0326m m m m m ⎧+-+≥⎪-+++>⎨⎪+>⎩，整理得29444015743m m m m ⎧⎪+-≥⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩，即222915743m m m m ⎧≥≤-⎪⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩或.所以1527m ≤<，选C.10、若2()=(-2+1+)f x lg x ax a 在区间(-∞，1]上递减，则a 的取植范围为 A 、[1，2) B 、[1,2] C 、[1, +∞) D 、[2，+∞)【答案】A【解析】函数222()21()1g x x ax a x a a a-++=-++-的对称轴为x a=，要使函数在(-∞，1]上递减，则有(1)01ga>⎧⎨≥⎩，即201aa->⎧⎨≥⎩，解得12a≤<，即[1,2)，选A.11、若x≥0，y≥0且2=1x y+，那么2x+3y2的最小值为A、2B、34C、23D、0【答案】B【解析】由2=1x y+得=120x y-≥得，12y≤≤，所以22222232433()33x y y y y+=-+=-+，因为12y≤≤，所以当12y=时，有最小值2211323243243244x y y y+=-+=-⨯+⨯=，选B.12、己知函数()=(2+-1)xaf x log b(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是A、10<<b<1a B、10<b<<1a C、10<<a<1b D、110<<<1a b【答案】A【解析】由图象知函数单调递增，所以1a>，又1(0)0f-<<，0(0)=(2+1)=a af log b log b-，即1log0ab-<<，所以101ba<<<，选A.第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上． 13、函数()=++1f x ax b sin x ，若f(5)=7，则f(-5)= . 【答案】5-【解析】(5)5+sin517f a b =+=，所以5+sin56a b =.(5)5sin51615f a b -=--+=-+=-. 14、设集合是A={32|()=83+6a f x x ax x -是(0，+∞)上的增函数}， 5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈，则()R A B = ；【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】2()=2466f 'x x ax -+，要使函数在(0,)+∞上是增函数，则2()=24660f 'x x ax -+>恒成立，即14a x x <+，因为144x x +≥=，所以4a ≤，即集合{4}A a a =≤.集合5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈{15}y x =≤≤，所以{14}A B x x ⋂=≤≤，所以()=RA B (,1)(4,)-∞+∞.15、已知(+2)f x 的定义域为(-2，2)，则(-3)f x 的定义域为 ； 【答案】(3,7)【解析】因为函数(+2)f x 的定义域为(2,2)-，即22x -<<，所以024x <+<.由034x <-<得，37x <<，即(-3)f x 的定义域为(3,7).16、已知函数32,2()=(-1),<2x f x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩，若关于x 的方程()=f x k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ； 【答案】(0,1)【解析】做出函数()f x 的图象如图，由图象可知，要使()=f x k有两个不同的实根，则有01k <<，即k 的取值范围是(0,1).17、设定义在[-2，2]上的偶函数()f x 在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，则实数m 的值为 ；【答案】1[1,)2- 【解析】因为函数()f x 为偶函数，所以由(1)()f m f m -<得，(1)()f m f m -<，又函数()f x 在[0，2]上单调递减，所以有212221m m m m ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩，即132212m m m ⎧⎪-≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩，所以112m -≤<，即1[1,)2m ∈-.18、若关于x 的不等式211+-()022n x x ≥对任意*n N ∈在(-,]x λ∈∞上恒成立，则实 常数λ的取值范围是 ； 【答案】(,1]-∞-【解析】211+()022n x x -≥得211+()22n x x ≥，即211+()22n maxx x ≥恒成立.因为11()22n max =，即211+22x x ≥在(,]λ-∞恒成立，令21+2y x x =，则22111+2416y x x x ==+-（），二次函数开口向上，且对称轴为1=4x -.当14x ≤-时，函数单调递减，要使不等式恒成立，则有211+22λλ≥，解得1λ≤-.当14x >-，左边的最小值在1=4x -处取得，此时21111+21686x x =-=-，不成立，综上λ的取值范围是1λ≤-，即(,1]-∞-.三、解答题；本大题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19、(本小题满分12分)已知函数=+322x x y sin cos， 求：(1)函数y 的最大值，最小值及最小正周期；(2)函数y 的单调递减区间.20、(本小题满分12分)甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正方体，六个面上分别为l ，2，3，4，5，6点)，所得点数分别记为x ，y ，(1)列出所有可能的结果(x ，y)； (2)求x<y 的概率； (3)求5<x+y<10的概率.21、(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，且AB=PD=1． (1)求证：AC ⊥PB ；(2)求异面直线PC 与AB 所成的角；(3)求直线PB 和平面PAD 所成角的正切值.22、(本小题满分12分)已知函数2()=3-6-5 f x x x．(1)求不等式()>4f x的解集；(2)设2()=()-2+g x f x x mx，其中m∈R，求()g x在区间[l，3]上的最小值；(3)若对于任意的a∈[1,2]，关于x的不等式2()-(2+6)++f x x a x a b≤在区间[1，3]上恒成立，求实数b的取值范围.23、(本小题满分12分)设函数1()=(-)-f x a x ln xx(1)当a=1时，求曲线=()y f x在点(1,(1))f处的切线方程；(2)若函数()f x在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(3)设函数()=eg xx，若在[l，e]上至少存在一点0x使00()()f xg x≥成立，求实数a的取值范围.。
天津市耀华中学2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)
天津市耀华中学2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x |4−xx+1≤0}，那么集合A ∩(∁U B)等于( )A. [−2,4)B. (−1,3]C. [−2,−1]D. [−1,3] 2. 设等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8=81，log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10等于( )A. 5B. 10C. 20D. 403. “cos2α=−√32”是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的( )A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件4. 某圆柱的体积、侧面积都为16π，则该圆柱的外接球的体积为( )A. 32πB. 64√3πC. 64√23πD. 128√2π5. 2018年9月7日，《我不是药神》正式下线，累计票房30.98亿.为了解《我不是药神》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100名此片的观影人的年龄(他们的年龄都在区间[10,60]内)，并绘制了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄的中位数约为( )A. 33B. 34C. 35D. 36 6. 三个数a =0.67,b =70.6,c =log 0.76的大小关系为( )A. b <c <aB. c <a <bC. b <a <cD. c <b <a7. 将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x =π4对称，则φ的最小值为( )A. 18πB. 12πC. 34πD. 38π8. 双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点是抛物线y 2=4x 的焦点，l 是C 的一条渐近线且与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，若|AB|=b ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2√55B. 3√55C. √2D. 2√1059. 若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,12)B. (0,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 设复数z 满足(1−i)z =1+i(i 为虚数单位)，则z =__________． 11. 在(2x 2−1x )5的二项展开式中，x 的系数为_________.(用数字作答)12. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D(ξ)=________．13. 已知圆C ：x 2+y 2−8y +12=0，直线l ：ax +y +2a =0，若直线l 与圆C 相切，则实数a的值为__________．14. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是______． 15. 若△ABC 的面积为2√3，且A =π3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，cosA−2cosCcosB=2c−a b．(1)若C =A +π3，求角A 的大小；(2)若cosB =14，△ABC 的周长为5，求b 的值．17. 已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =AD =2，DC =3，E 在棱PC 上且PE =2EC ． (1)证明：BE//平面PAD ；(2)若PD ⊥平面ABCD ，异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为2√55，求二面角E −BD −C 的余弦值．18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．19.已知数列{b n}是首项为b1=1，公差d=3的等差数列，b n=1−3log2(2a n)(n∈N∗).(1)求证：{a n}是等比数列；(2)若数列{c n}满足c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=ln(x+1)−x．x+1(1)求f(x)的单调区间；(2)求曲线y=f(x)的极值；(3)求证：对任意的正数a与b，恒有lna−lnb≥1−b．a-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了集合的运算与解不等式的应用问题，是基础题． 解不等式求出集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出A ∩(∁U B)． 解：∵全集U =R ，集合A ={x|x 2−x −6≤0}={x|−2≤x ≤3}， B ={x |4−xx+1≤0}={x|x <−1或x ≥4}， ∴∁U B ={x|−1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B)={x|−1≤x ≤3}， 故选D ．2.答案：C解析：解：∵等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8=81，∴log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10=log 3(a 1a 2⋯a 10)=log 3(a 3a 8)5 =5log 3(a 3a 8)=5log 381=20， 故选：C ．利用等比数列的定义和性质，以及对数的运算性质，把要求的式子化为5log 3(a 3a 8)，再把已知的条件代入运算求得结果．本题主要考查等比数列的性质，对数的运算性质的应用，属于基础题．3.答案：A解析：解：由cos2α=−√32，得2α=2kπ±5π6，即α=kπ±5π12,k ∈Z ， 所以α=kπ±5π12,k ∈Z ，是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的必要不充分条件．故“cos2α=−√32”是“α=2kπ+5π12,k ∈Z ”的必要不充分条件．故选：A ．利用充分条件和必要条件的定义去判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握判断充要条件的方法： ①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．4.答案：C解析：本题考查圆柱的体积、圆柱的侧面积及球的体积，属于中档题． 设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ，根据题意可得，求得r ，h 的值，然后求得圆柱的外接球的半径，进而利用球的体积公式即可求得结果． 解：设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ， ∵柱的体积、侧面积都为16π，，解得{r =2ℎ=4，所以圆柱的外接球的半径R =√r 2+(ℎ2)2=√4+4=2√2，因此该圆柱的外接球的体积为．故选C ．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了频率分布直方图的实际应用，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图的计算，根据已知及频率分布直方图的计算，求出这100人年龄的中位数．【解答】解：年龄在区间[10,30)内的频率为(0.014+0.024)×10=0.38， 年龄在区间[30,40)内的频率为0.028×10=0.28， 故中位数在区间[30,40)内，设中位数为x ， 则0.38+(x −30)×0.028=0.5，所以x =30+307≈34，故选B ．6.答案：B解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：∵0<a =0.67<1，b =70.6>1，c =log 0.76<0， ∴c <a <b ， 故选B ．7.答案：D解析：解：将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数y =2sin[2(x −φ)+π4]=2sin(2x +π4−2φ)的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，可得函数y =2sin(4x +π4−2φ)的图象； 再根据所得图象关于直线x =π4对称，可得π+π4−2φ=kπ+π2(k ∈z)，即φ=3π8−kπ2k ∈z ，∴φ的最小值为3π8， 故选：D ．由条件利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查抛物线以及双曲线的简单性质，圆的性质的应用，属于中档题．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线a ，b 的关系，求出渐近线方程，利用渐近线且与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，|AB|=b ，求解双曲线的离心率即可． 解：抛物线y 2=4x 的焦点(1,0)，可得a 2+b 2=1， ∵两条渐近线和圆(x −1)2+y 2=a 2均关于x 轴对称，∴由对称性，不妨设渐近线ay +bx =0与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，|AB|=b ， ∴圆心到直线的距离为d =√a 2+b 2=bc =b ，圆的半径为a ， ∴a 2=b 2+(b 2)2=54(c 2−a 2)=54−54a 2， 解得a =√53，所以双曲线的离心率为ca =√53=3√55．故选B ．9.答案：A解析：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的图象的变化，注意函数零点的定义，属于基础题． 根据题意，分析可得若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点，作出函数y =|(12)x −1|的图象，结合图象分析可得答案．解：根据题意，若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点， 函数y =|(12)x −1|的图象如图：若其图象与直线y =2a 有2个交点，必有0<2a <1， 即0<a <12，即a 的取值范围为(0,12)； 故选A ．10.答案：i解析：本题考查复数的运算，题目基础． 解：由题设得z =1+i1−i =(1+i )2(1−i )(1+i )=i ． 故答案为：i ．11.答案：−40解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 在(2x 2−1x )5的展开式通项公式，再令x 的幂指数等于1，求得r 的值，即可求得x 的系数．解：(2x 2−1x )5的二项展开式的通项公式为T r+1=C 5r ·25−r ·x 10−2r ·(−1)r ·x −r =(−1)r ·25−r ·C 5r ·x 10−3r ，令10−3r =1，解得r =3，故x 的系数为−22·C 53=−40，故答案为：−40．12.答案：950；1225。
2020届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2020届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：,，∴=，∴() A=故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】由约束条件得如图所示的阴影区域,由，即由,可得,平移直线，由图可知，当直线过点时, 直线在轴上的截距最小，取得最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．已知程序框图如图所示，则输出的是（）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【解析】试题分析：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出．【考点】程序框图．4．设，都是不等于的正数，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.【考点】命题与逻辑.5．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）= f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，故选：C6．函数的部分图象如图所示，如果，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得,从而可得的值.【详解】由函数的部分图象,可得,再根据五点法作图可得，，因为上，且，所以,，，故选A.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.7．已知双曲线的左、右焦点分别为.若双曲线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或2 D．或2【答案】A【解析】通过分析可知,利用双曲线的定义可知,通过余弦定理化简得,进而计算可得结论.【详解】由题可知,边为腰,则等腰三角形的腰,根据双曲线的定义可知,,，即,化简得:,，解得或(舍),故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义与离心率,涉及到余弦定理等基础知识,属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：由两个函数均有两个零点可得对应方程的判别式大于，且的对称轴在的对称轴左边，初步得到的范围，再列不等式求解即可.详解：二次函数均有两个零点，所以，解得，因为，所以对称轴位于对称轴左边，即，解得，由求根公式可得，，由，得，化为，①，②解①得，且，两边平方得，，由②得，平方得，显然成立，综上，，故选C.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数零点函数与轴的交点横坐标方程的根函数与交点横坐标.二、填空题9．已知，是虚数单位，若复数，则______.【答案】4【解析】化简原等式为，利用复数相等的性质求出的值，从而可得结果.【详解】,,,,故答案为4.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题. 若，则.10．设20,a xdx=⎰则二项式5axx⎫-⎪⎭展开式中含2x项的系数是______.【答案】80-【解析】首先确定a的值，然后结合二项式定理展开式的通项公式即可确定含2x项的系数. 【详解】由题意可得：22211d4222a x x x===⨯=⎰，则5axx⎫⎪⎭即52xx⎫-⎪⎭，其展开式的通项公式为：515(2)rr rnT C xx-+=⋅-=3525(2)rr rC x--⋅⋅，令3522r-=可得3r=，则展开式中含2x项的系数是()325281080C-=-⨯=-.【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项式展开式通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = 【答案】14【解析】由已知1.2DAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点E 到平面PAB 距离为12h ， 所以，1211132.143DAB PAB S h V V S h ∆∆⋅== 【考点】几何体的体积.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos x a y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin ,42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 相切，则实数a =______.【答案】1-【解析】首先将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩,(θ为参数)，化为普通方程：()221x a y -+=.直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()sin cos θθ-=， 可得直角坐标方程：x −y +1=0.∵直线l 与圆C 相切，则圆心到直线的距离等于半径，12∴=,解得12a =-±. 故答案为：12-±. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．若正实数，满足，则的最大值为______.【答案】【解析】 ，即又 ，等号成立的条件为 ，原式整理为，即 ，那么，所以 的最大值是 .【点睛】基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再，构造1来求最值.14．在中，点满足，且对于边上任意一点，恒有.则______.【答案】0【解析】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，可得，由此列方程求得，可得，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，则，，因为，所以，解得，，所以，故答案为0.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题以及最值问题时，往往先建立适当的平面直角坐标系，转化为解析几何问题或函数问题，可起到化繁为简的妙用．三、解答题15．已知函数，.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．试题解析：（1）函数由，解得时，，可得的增区间为（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边b=5，若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC 的面积为16．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。
天津市耀华中学2020届高三数学第一次校模拟考试试题 文(含解析)
天津市耀华中学2020届高三年级第一次校模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A. -6B. 13C.D.【答案】A【解析】解答：∵是纯虚数，∴，解得a=−6.本题选择A选项.2. 曲线在处的切线倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对函数求导则，则，则倾斜角为．故本题答案选．3. 命题：，命题：，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B考点：充要条件与简易逻辑的综合.点评：要先求出p,q真的条件，得到,真的条件，再根据,为真对应的集合之间的包含关系，从而可求出是成立的充要关系.4. 在区间中随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知圆心（3，0）到直线y=kx的距离，解得，根据几何概型，选B.【点睛】直线与圆相交问题，都转化为圆心与直线的距离与半径关系。
5. 若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A本题选择A选项.6. 已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，为单位向量，又，则，可得，则，．又．则在上的投影为．故本题答案选．7. 过双曲线（，）的右顶点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质8. 已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得，所以，即.恰有4个零点即有4个零点等价于函数图像与直线的图像有4个交点.因为的最小值为，结合函数图像如图所示:分析可得.故D正确.考点：1函数方程，零点;2数形结合思想.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 已知全集，集合，，则集合__________．【答案】【解析】求题知，，则，则．故本题应填．10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________．【答案】2【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：.11. 已知某几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是__________．【答案】12【解析】由三视图可知：该几何体可以看成一个棱长为4，2，3的长方体的一半。
2023-2024学年天津市耀华中学高三上学期第一次月考数学试题及答案
天津市耀华中学2024届高三年级第一次月考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1 已知集合{}220A x x x =+-<，{}lg 1B x x =<，A B = （ ）A. ()2,10-B. ()0,1C. ()2,1-D. (),10-∞2. 设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()3ln xf x x=的部分图象是A. B.C. D.4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：.时间x12345销售量y （千只）0.50.81.01.21.5若x 与y 线性相关，且线性回归方程为 0.24y x a=+，则下列说法不正确的是（ ）A. 由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B. 线性回归方程 0.24y x a=+中 0.26a =C. 当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量 y 平均增加0.24个单位D. 可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）5. 已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b<< C. b<c<a D. c<a<b6. 已知4log a a =，则2log a a +=（ ）A 11或238-B. 11或218-C. 12或238-D. 10或218-7. “送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ）A.29B.18C.112D.588. 将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，有下述四个结论：①()π2sin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭②函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增③点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心④当ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③B. ②③C. ①③④D. ②④.9. 已知函数()()()()()()22121,1,11,1,1a x a x x f x a x ax x x ⎧-++-∈-⎪=⎨-++∉-⎪⎩有且只有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),80,1-∞- C. [)0,1 D. (][),80,1-∞- 第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题卡上.10. 复数()21i 1iz -=+（i 为虚数单位），则z =______.11.在6的二项展开式中，2x 的系数为___________．12.若2sin sin αβ+=3π2αβ+=，则sin α=________；cos 2β=________.13. 某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙､丙科目合格的概率均为23，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X ，则(2)P X ==___________；()E X =___________.14. 已知0a >，0b >的最大值为________.15. 设R ω∈，函数()2π2sin ,0,6314,0,22x x f x x x x ωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++<⎪⎩()g x x ω=.若()f x 在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 图象有三个交点，则ω的取值范围是________.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上.16. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，满足22cos c b A =+.（1）求角B ；（2）若1cos 4A =，求sin(2)A B +的值；（3）若7c =，sin b A =b 的值.的17. 已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//PA DQ ，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．（1）求证：//EF 平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ，若存在求出PM MC 的值，若不存在，说明理由．18. 已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >．19. 如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>()F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l ：40x ky +=交椭圆E 于,C D 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：点M 在直线l上；的（3）是否存在实数k ，使得3BDM ACM S S ∆∆=？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.20 已知函数()()1211222x f x x ex x -=--++，()()24cos ln 1g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数．.天津市耀华中学2024届高三年级第一次月考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1. 已知集合{}220A x x x =+-<，{}lg 1B x x =<，A B = （ ）A. ()2,10-B. ()0,1C. ()2,1-D. (),10-∞【答案】B 【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合对数函数的单调性、集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为{}()2202,1A x x x =+-<=-，{}()lg 10,10B x x =<=，所以A B = ()0,1，故选：B2. 设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的A. 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<，由31x <⇔1x <..据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 函数()3ln xf x x =的部分图象是A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0xf x x =>，排除CD ，得到答案.【详解】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x =-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y （千只）0.50.8 1.0 1.2 1.5若x 与y 线性相关，且线性回归方程为 0.24y x a=+，则下列说法不正确的是（ ）A. 由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B. 线性回归方程 0.24y x a=+中 0.26a =C. 当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量 y 平均增加0.24个单位D. 可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断A 选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B 选项；根据回归方程判断CD 选项.【详解】从数据看y 随x 的增加而增加，故变量y 与x 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数1r <，故A 正确；由已知数据得()11234535=++++=，()10.50.8 1.0 1.2 1.515y =++++=，代入ˆˆ0.24yx a =+中得到ˆ130.240.28a =-⨯=，故B 错；根据线性回归方程ˆ0.240.28yx =+可得x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.24个单位，故C 正确.将6x =代入ˆ0.240.28yx =+中得到ˆ0.2460.28 1.72y =⨯+=，故D 正确.故选：ACD.5. 已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c << B. a c b<< C. b<c<a D. c<a<b【答案】A 【解析】【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为0.20.20.21log 0.5log log 2a ==<=，而150.2110.522b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <.又12225log 0.4log log 212c ==>>，所以a b c <<，故选：A.6. 已知4log a a =，则2log a a +=（ ）A. 11或238-B. 11或218-C. 12或238-D. 10或218-【答案】A 【解析】【分析】对4log a a =43log 2a =或32-，讨论43log 2a =或32-时2log a a+的值，即可得出答案.【详解】由4log aa =()(4log 44log log aa=()49249log log4a ==，所以43log 2a =或32-.当43log 2a =时，33242a ===8，所以22log 8log 811a a +=+=；当43log 2a =-时，32148a -==，所以221123log log 888a a +=+=-，综上，a +2log 11a =或238-，故选：A.7. “送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ）A.29B.18C.112D.58【答案】A 【解析】【分析】剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的情况整体分为三种情况：丢失的英语书、数学书和语文书，计算出每种情况的概率即可.【详解】设事件A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件k B 表示丢失的一箱为,1,2,3k k =分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得()()()2223554222219999C C C 11382|2C 5C 10C C 9k k k P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯==∑．故选：A8. 将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，有下述四个结论：①()π2sin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭②函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增③点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心④当ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③ B. ②③C. ①③④D. ②④【答案】B 【解析】【分析】根据图象变换可得()π2sin 3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质逐项分析判断.【详解】由题意可得：()π2sin 3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故①错误；因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ,336x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且sin y x =在ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故②正确；因为4π4ππ2sin 2sin π0333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心，故③正确；因为ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π4ππ,336x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦-，所以当π4π33x -=-，即πx =-时，函数()g x 的最大值为()4ππ2sin 3g ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故④错误；故选：B.9. 已知函数()()()()()()22121,1,11,1,1a x a x x f x a x ax x x ⎧-++-∈-⎪=⎨-++∉-⎪⎩有且只有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),80,1-∞- C. [)0,1 D. (][),80,1-∞- 【答案】B【解析】【分析】先求1a =时函数()f x 的零点，再考虑1a ≠时，函数()f x 在(][),11,-∞+∞ 的零点，由此确定函数()f x 在()1,1-上的零点个数，结合二次函数性质求a 的取值范围.【详解】当1a =时，()()[)(]31,1,1,1,0,,1x x f x x x x x ∞∞⎧-∈-⎪=+∈+⎨⎪∈--⎩，所以区间(],1-∞-内的任意实数和13都为函数()f x 的零点，不满足要求；当1a ≠时，若(],1x ∈-∞-，则()()21f x a x ax x =-+-，令()0f x =，可得0x =(舍去)，或=1x -，所以=1x -为函数()f x 的一个零点；若[)1,x ∞∈+，则()()21f x a x ax x =-++，令()0f x =，则()210a x ax x -++=，所以11a x a +=-，若111a a+≥-，即01a ≤<，则函数()f x 在[)1,+∞上有一个零点；若1a >或a<0时，则函数()f x 在[)1,+∞上没有零点；当01a ≤<时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有两个零点；当1a >或a<0时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点，因为当01a ≤<时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有两个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有一个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有一个根，由()()()22418a a a a ∆=++-=+，当0a =时，方程()()21210a x a x -++-=的根为1x =(舍去)，故0a =时，方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上没有根，矛盾当01a <<时，0∆>，设()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为2122a x a+=>-，函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，由方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有一个根可得()()10,10g g >-<，所以()()()()1210,1210a a a a -++->--+-<，所以01a <<，当1a >时，则函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有两个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有两个根，由()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-可得函数()g x 的图象为开口向上的抛物线，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为222a x a+=-，则()()()224180a a a a ∆=++-=+>，21122a a+-<<-， ()()10,10g g >->，所以4a >，()()()()1210,1210a a a a -++->--+->，满足条件的a 不存在，当a<0时，则函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有两个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有两个根，由()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-可得函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为222a x a+=-，则()()()224180a a a a ∆=++-=+>，21122a a +-<<-， ()()10,10g g <-<，所以8a <-，a<0，()()()()1210,1210a a a a -++-<--+-<，所以8a <-，故实数a 的取值范围是()(),80,1-∞- .故选：B【点睛】关键点睛：含绝对值函数的相关问题的解决的关键在于去绝对值，将其转化为不含绝对值的函数，分段函数的性质的研究可以分段研究.第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题卡上.10. 复数()21i 1iz -=+（i 为虚数单位），则z =______.【解析】【分析】先利用复数的运算化简复数，再利用模长的公式求解模长.【详解】()()()()()21i 2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i 1i z ----====--=--+++-.所以z ==.11. 在6的二项展开式中，2x 的系数为___________．【答案】38-【解析】【详解】试题分析：因为6263166((1)2r r r r r r r r T C C x ---+==-，所以由32r -=得1r =，因此2x 的系数为1463(1)28C --=-考点：二项式定理【方法点睛】1．求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项的系数．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．12. 若2sin sin αβ+=3π2αβ+=，则sin α=________；cos 2β=________.【答案】 ①. ②. 35##0.6【解析】【分析】由2sin sin αβ+=3π2αβ+=，可得出2sin cos αα-=，再结合同角平方关系即可求出sin α=，从而算出sin β=3cos 25β=.【详解】 2sin sin αβ+=3π2αβ+=，3π2sin sin()2αα∴+-=2sin cos αα-=，cos 2sin αα∴=-，又22sin cos 1αα+= ，∴(22sin 2sin 1,αα+=解得sin α=∴2sin β+=，解得sin β=，23cos 212sin 5ββ∴=-=.综上，sin α=3cos 25β=.，35.13. 某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙､丙科目合格的概率均为23，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X ，则(2)P X ==___________；()E X =___________.【答案】①. 49； ②. 2512##1212.【解析】【分析】根据独立事件概率的公式，结合数学期望的公式进行求解即可.【详解】3223223224(2)(1(1(1)4334334339P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=；3221(0)(1)(1(1)43336P X ==-⨯-⨯-=，3223223227(1)(1(1)(1)(1)(1)(143343343336P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，3221(3)4333P X ==⨯⨯=，所以174125()012336369312E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：49；251214. 已知0a >，0b >的最大值为________.【解析】【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为0a >，0b >，所以=≤==，当且仅当2a a b=+即a b=等号成立..15. 设Rω∈，函数()2π2sin,0,6314,0,22x xf xx x xωω⎧⎛⎫+≥⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++<⎪⎩()g x xω=.若()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x与()g x的图象有三个交点，则ω的取值范围是________.【答案】23⎤⎥⎦.【解析】【分析】利用()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增可得1243ω≤≤，函数()f x与()g x的图象有三个交点，可转化为方程23610x xω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根可得答案.【详解】当π0,2x⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，πππ,626ωω⎡⎫++⎪⎢⎣⎭x，因为()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()π0ππ2624133π12sin62ω⎧+≤⎪⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得1243ω≤≤，又函数()f x与()g x图象有三个交点，所以在(),0x∈-∞上函数()f x与()g x的图象有两个交点，即方程231422x x xωω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根，即方程23610x xω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根，的所以22Δ3612003060102ωωω⎧=->⎪⎪-<⎨⎪⨯+⨯+>⎪⎩，解得ω>当0x ≥时，令()()π2sin 6ωω⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭f xg x x x ，由0x =时，()()10f x g x -=>，当π5π66ω+=x 时，7π3ω=x ，此时，()()7π203-=-<f x g x ，结合图象，所以0x ≥时，函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点，综上所述，23ω⎤∈⎥⎦.故答案为：233⎤⎥⎦.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为方程23610x x ω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上.16. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，满足22cos c b A =+.（1）求角B ；（2）若1cos 4A =，求sin(2)AB +的值；（3）若7c =，sin b A =b 的值.【答案】（1）6π.（2.（3【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得B ；（2）由二倍角公式求得sin 2,cos 2A A 后再由两角和的正弦公式可求值；（3）由正弦定理求得a ，再由余弦定理求得b ．【详解】（1）∵22cos c b A =+，由正弦定理得，2sin 2sin cos C A B A=+∴2(sin cos cos sin )2sin cos A B+A B A B A =+，即2sin cos A B A =.∵sin 0A ≠，∴cos B =又0B π<<，∴6B π=（2）由已知得，sin A ==∴sin 22sin cos A A A ==，27cos 22cos 18A A =-=-∴sin(2)sin(2sin 2cos cos 2sin 666A B A A A πππ+++==.（3）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin b A a B =.由（1）知，6B π=，∴a =由余弦定理得，2222cos 19b a c ac B =+-=.∴b =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式，同角间的三角函数关系，考查公式较多，解题关键是正确选择应用公式的顺序．在三角形中出现边角关系时，常常用正弦定理进行边角转换．17. 已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//PA DQ ，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 中点．（1）求证：//EF 平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ，若存在求出PM MC 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2（3）存在；1PM MC =或15PM MC =【解析】【分析】（1）法一：分别取AB 、CD 的中点G 、H ，连接EG 、GH 、FH ，证明出平面//EGHF 平面ADQP ，利用面面平行的性质可证得结论成立；法二：以点A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）假设存在点M ，使得PM PC λ= ，其中[]0,1λ∈，求出向量AM 的坐标，利用空间向量法可得出关于λ的方程，解之即可.【小问1详解】的证明：法一：分别取AB 、CD 的中点G 、H ，连接EG 、GH 、FH ，由题意可知点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．所以//EG PA ，//FH QD ，因为//PA DQ ，所以//EG FH ，所以点E 、G 、H 、F 四点共面，因为G 、H 分别为AB 、CD 的中点，所以//GH AD ，因为AD ⊂平面ADQP ，GH ⊄平面ADQP ，所以//GH 平面ADQP ，又因为//FH QD ，QD ⊂平面ADQP ，FH ⊄平面ADQP ，所以//FH 平面ADQP ，又因为FH GH H = ，FH 、GH Ì平面EGHF ，所以平面//EGHF 平面ADQP ，因为EF ⊂平面EGHF ，所以//EF 平面ADQP ；法二：因为ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，所以AP 、AB 、AD 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3P 、()3,3,0C 、()0,3,1Q 、()3,0,0B 、33,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭、31,3,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()0,3,1EF =- ，易知平面PADQ 的一个法向量()1,0,0a = ，所以0a EF ⋅= ，所以E F a ⊥ ，又因为EF ⊄平面ADQP ，所以//EF 平面ADQP ．【小问2详解】解：设平面PCQ 的法向量(),,m x y z = ，()3,3,3PC =- ，()3,0,1CQ =- ，则333030m PC x y z m CQ x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,2,3m = ，所以平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m = ，易知平面CQD 的一个法向量()0,1,0n = ，设平面PCQ 与平面CQD 夹角为θ，则cos cos ,m n m n m n θ⋅=====⋅ ，所以平面PCQ 与平面CQD【小问3详解】解：假设存在点M ，使得()3,3,3PM PC λλλλ==- ，其中[]0,1λ∈，则()()()0,0,33,3,33,3,33AM AP PM λλλλλλ=+=+-=- ，由（2）得平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m = ，由题意可得c os ,AM = ，整理可得212810λλ-+=．即()()21610λλ--=，因为01λ≤≤，解得16λ=或12，所以，15PM MC =或1PM MC=．18. 已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >．【答案】（1）23n a n =+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，用1,a d 表示n S 及n T ，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出n S ，n b ，再分奇偶结合分组求和法求出n T ，并与n S 作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出n S ，n b ，再分奇偶借助等差数列前n 项和公式求出n T ，并与n S 作差比较作答.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，而6,21,N 2,2n n n a n k b k a n k*-=-⎧=∈⎨=⎩，则112213316,222,626b a b a a d b a a d =-==+=-=+-，于是41314632441216S a d T a d =+=⎧⎨=+-=⎩，解得15,2a d ==，1(1)23n a a n d n =+-=+，所以数列{}n a 的通项公式是23n a n =+.【小问2详解】方法1：由（1）知，2(523)42n n n S n n ++==+，23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩，当n 为偶数时，12(1)34661n n b b n n n -+=--++=+，213(61)372222n n n T n n ++=⋅=+，当5n >时，22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->，因此n n T S >，当n 奇数时，22113735(1)(1)[4(1)6]52222n n n T T b n n n n n ++=-=+++-++=+-，当5n >时，22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->，因此n n T S >，所以当5n >时，n n T S >.方法2：由（1）知，2(523)42n n n S n n ++==+，23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩，当n 为偶数时，21312412(1)3144637()()222222n n n n n n n T b b b b b b n n --+--++=+++++++=⋅+⋅=+ ，当5n >时，22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->，因此n n T S >，当n 为奇数时，若3n ≥，则为132411231144(1)61()()2222n n n n n n n T b b b b b b --+-++-+-=+++++++=⋅+⋅ 235522n n =+-，显然111T b ==-满足上式，因此当n 为奇数时，235522n T n n =+-，当5n >时，22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->，因此n n T S >，所以当5n >时，n n T S >.19. 如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>()F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l ：40x ky +=交椭圆E 于,C D 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：点M 在直线l 上；（3）是否存在实数k ，使得3BDM ACM S S ∆∆？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）22141x y +=（2）详见解析（3）存在，且k =【解析】【分析】（1）根据离心率和焦点坐标列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆E 的方程.（2）写出直线AB 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得中点M 的坐标，将坐标代入直线l 的方程，满足方程，由此证得点M 在直线l 上.（3）由（2）知,A B 到l 的距离相等，根据两个三角形面积的关系，得到M 是OC 的中点，设出C 点的坐标，联立直线l 的方程和椭圆的方程，求得C 点的坐标，并由此求得k 的值.【详解】解：(1)解：由c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a =，1b =所以所求椭圆的标准方程为22141x y +=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y，(2244y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消x 得，()2222411240k x x k +-+-=，解得12012022x x x y y y ⎧+==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩将()00,M x y 代入到40x ky +=中，满足方程所以点M 在直线l 上.（3）由（2）知,A B 到l 的距离相等，若BDM ∆的面积是ACM ∆面积的3倍，得3DM CM =，有DO CO =，∴M 是OC 的中点，设()33,C x y ，则302y y =，联立224044x ky x y +=⎧⎨+=⎩，解得3y =，=解得218k =，所以k =.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查方程的思想，属于中档题.要证明一个点在某条直线上，那么先求得这个点的坐标，然后将点的坐标代入直线方程，如果方程成立，则这个点在直线上，否则不在这条直线上.20. 已知函数()()1211222x f x x e x x -=--++，()()24cos ln 1g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数．【答案】（1）增函数；()1,+∞；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到()()()111x f x x e-'=--，根据导数的方法，即可判定其单调性，进而可求出不等式的解集.（2）1x >时，()0F x >恒成立，当11x -<<时，()0f x <恒成立，故()F x 的零点即为函数()g x 的零点，讨论()g x 在11x -<<的零点个数得到答案.【详解】（1）()()()()111111x x f x x e x x e --'=--+=--，当1x >时，10x ->，110x e -->，∴()0f x ¢>，当1x <时，10x -<，110x e --<，∴()0f x ¢>，当1x =时，()0f x '=，所以当x ∈R 时，()0f x '≥，即()f x 在R 上是增函数；又()10f =，所以()0f x >的解集为()1,+∞．（2））函数()F x 的定义域为(1,)-+∞由（1）得，函数()f x 在x ∈R 单调递增，()10f =当1x >时，()0f x >，又()max{(),()}F x f xg x =，所以1x >时，()0F x >恒成立，即1x >时，()0F x =无零点.当11x -<<时，()0f x <恒成立，所以()F x 零点即为函数()g x 的零点下面讨论函数()g x 在11x -<<的零点个数：1()214sin 1g x ax a x x '=--++，所以21()24cos (11)(1)g x a a x x x ''=---<<+①当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈又函数cos y x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，所以π1cos1cos 32>=即当11x -<<时，12cos 0x -<，21()2(12cos )0(1)g x a x x ''=--<+所以()g x '单调递减，由()00g '=得：当10x -<<时()0g x '>，()g x 递增的当01x <<时()0g x '<，()g x 递减当1x →-时ln(1)x +→-∞，()g x ∴→-∞，当0x =时(0)40g a =>又(1)14cos1ln 2g a a =-++，()10f =当1ln 2(1)014cos1g a ->⇒>+时，函数()F x 有1个零点；当1ln 2(1)014cos1g a -=⇒=+时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2(1)0014cos1g a -<⇒<<+时，函数()F x 有3个零点；②当0a =时，()ln(1)g x x x =+-，由①得：当10x -<<时，()0g x '>，()g x 递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 递减，所以max ()(0)0g x g ==，(1)ln 210g =-<，所以当0a =时函数()F x 有2个零点③当a<0时，()2()4cos ln(1)g x a x x x x =+-++()24cos 0a x x +<，ln(1)0x x -++≤，即()0g x <成立，由()10f =，所以当a<0时函数()F x 有1个零点综上所述：当1ln 214cos1a ->+或a<0时，函数()F x 有1个零点；当1ln 214cos1a -=+或0a =时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2014cos1a -<<+时，函数()F x 有3个零点.【点睛】思路点睛：导数的方法研究函数的零点时，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，极值或最值等，有时需要借助数形结合的方法求解.。
2020届天津市耀华中学高三数学上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020届天津市耀华中学高三数学上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合2{|320}A x x x =+-≤，2{|log (21)0}B x x =-≤，则A B =I （ ）A ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为2320x x +-≤21253612x ⎛⎫⇒+≤ ⎪⎝⎭2125636x ⎛⎫⇒+≤⎪⎝⎭，515666x -≤+≤，213x -≤≤，所以2|13A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，因为 ()22log 21log 1211x x -≤⇒-≤且121012x x ->⇒<≤，所以1|12B x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭ ，12|23A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭，故选D.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( ) A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x≠0C ．2x x e e y --=,x ∈RD ．3+1y x =，x ∈R 【答案】B 【解析】【详解】首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C 、D ， 对于先减后增，排除A ，故选B.【考点】函数的奇偶性、单调性.3．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则 ( )． A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c【答案】D【解析】试题分析：，，；且；.【考点】对数函数的单调性.4．“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】1sin 2x =⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】 ，由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈∴“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选B 【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题. 5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足232cos cosBa c bA -=，且5bB =，则a =（ ）A ．53B ．23C ．35D ．253【答案】A【解析】利用正弦定理化边为角可得2sin 3sin 2sin cos cos A C BA B-=,整理后可求得2cos 3A =,则sin 3A =,再利用正弦定理sin sin a b A B == 【详解】由题,利用正弦定理可得2sin 3sin 2sin cos cos A C BA B-=,即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-, 则()2sin cos sin cos 3sin cos A B B A C A +=,所以()2sin 3sin cos A B C A +=,即2sin 3sin cos C C A =,因为在ABC ∆中,sin 0C >,所以2cos 3A =,则sin A =,又因为b B ,所以sin sin a bA B==, 所以53a =, 故选：A 【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查利用正弦定理解三角形 6．已知0x 是函数()121xf x x=+-的一个零点，若()()10201,,x x x x ∈∈+∞，则（ ）A ．()10<f x ,()20f x <B ．()10<f x ,()20f x >C ．()10f x >,()20f x <D ．()10f x >,()20f x >【答案】B【解析】转化0x 是函数()121xf x x =+-的一个零点为0x 是函数2xy =与11y x =-的交点的横坐标,画出函数图像,利用图像判断即可 【详解】因为0x 是函数()121xf x x =+-的一个零点,则0x 是函数2xy =与11y x =-的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,则当()101,x x ∈时,2xy =在11y x =-下方,即()10<f x ； 当()20,x x ∈+∞时,2xy =在11y x =-上方,即()20f x >,故选：B 【点睛】本题考查函数的零点问题,考查数形结合思想与转化思想7．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像（ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于直线512x π=对称 【答案】D【解析】由最小正周期为π可得2ω=,平移后的函数为2sin 23y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,利用奇偶性得到()23k k Z πϕπ-+=∈,即可得到3πϕ=-,则()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,进而判断其对称性即可 【详解】由题,因为最小正周期为π,所以22πωπ==,则平移后的图像的解析式为2sin 2sin 233y x x πϕπϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 此时函数是奇函数,所以()23k k Z πϕπ-+=∈, 则()23k k Z ϕππ=+∈,因为2πϕ<,当1k =-时,3πϕ=-,所以()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭, 令()23x k k Z ππ-=∈,则()62k x k Z ππ=+∈,即对称点为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 令()232x k k Z πππ-=+∈,则对称轴为()5122k x k Z ππ=+∈, 当0k =时,512x π=， 故选：D 【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性 8．若函数()(sin cos )x f x e x a x =+在(,)42ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,1)-∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】A【解析】∵f （x ）=e x （sinx+acosx ）在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴f′（x ）=e x[（1-a ）sinx+（1+a ）cosx]≥0在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，∵e x ＞0在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， ∴（1-a ）sinx+（1+a ）cosx≥0在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， ∴a （sinx-cosx ）≤sinx+cosx 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立 ∴sin cos sin cos x xa x x+≤- ，设g （x ）=sin cos sin cos x xx x+- ∴g′（x ）在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， ∴g （x ）在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴g （x ）＞()2g π=1，∴a≤1， 故选：A ．点睛：本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，利用导数研究函数的单调性，关键是分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，属于中档题，正确的构造函数和利用导数是解决问题的关键.9．已知菱形ABCD 的边长为2，0120BAD ∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC λ=,DF DC μ=.若21,3AE AF CE CF ⋅=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于( ) A ．12 B ．23 C ．56D ．712【答案】C【解析】试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C ．【考点】1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．二、填空题 10．若复数()111iz m i i+=+--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为______ 【答案】0【解析】先将z 整理为a bi +的形式,再令实部为0,虚部不为0求解即可 【详解】由题,()()()()()()21121111112i i iz m i m i m mi m m i i i i ++=+-=+-=+-=+---+, 因为z 是纯虚数,所以0m =, 故答案为：0 【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用 11．4(2)x x +的展开式中3x 的系数是__________．【答案】24 【解析】由题得()42x x +的展开式的通项公式为111444442221444(2)()22r r rrr rrrr rr T C x x C xxC x-----+==⋅⋅=⋅令14322r r -=∴=， 故3324T x =，故()42x x +的展开式中3x 的系数是24, 故填24.12．如图，正方体的棱长为1，E 为棱上的点，为AB 的中点，则三棱锥的体积为 .【答案】【解析】试题分析：.【考点】1.三棱锥的体积；2.等体积转化法.13．数列{}n a 中，已知()*12121,2,n n n a a a a a n N ++===+∈，则2020a=______【答案】-1【解析】由递推公式可得数列{}n a 具有周期性,6T =,则20204a a =,进而求得4a 即可 【详解】由题,21n n n a a a ++=-,所以32111n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=--=-；()63n n n n a a a a ++=-=--=,所以数列{}n a 具有周期性,6T =,因为202063364=⨯+,则20204a a =, 当1n =时,411a a =-=-,所以20201a =-, 故答案为：1- 【点睛】本题考查数列的周期性的应用,考查赋值法的应用14．不等式()x a x y +≤+对任意正数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值是______ 【答案】2【解析】将条件转化为max a ≥⎝⎭对任意正数x 、y 恒成立,利用均值定理求解max⎝⎭即可 【详解】由题,则maxa ≥⎝⎭对任意正数x 、y 恒成立,因为2x y =≤+,22x x yx y++≤=+,当且仅当2x y =时,等号成立,所以max2=⎝⎭,即2a ≥, 故答案为：2 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题,考查利用均值定理求最值,考查转化思想15．设()(),f x g x 是定义在R 上的两个函数，()f x 满足()()2f x f x +=-，()g x 满足()()2g x g x +=，且当(]0,2x ∈时，()f x =()()2,011,122k x x g x x ⎧+<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩.若在区间0,11⎡⎤⎣⎦上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是______【答案】1133⎛⎤⎡-⋃ ⎥⎢ ⎝⎦⎣⎭【解析】由题可得()f x 是周期为4的函数,()g x 是周期为2的函数,转化方程有8个不同的实数根为()f x 与()g x 在0,11⎡⎤⎣⎦内有8个交点,利用函数图像求解即可 【详解】由题,()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦,所以()f x 的周期为4； 因为()()2g x g x +=,则()g x 的周期为2；当(]0,2x ∈时,()()22211f x x x x =-+=--+,则()f x 的图像为以()1,0为圆心,半径为1的在x 轴上方的半圆；由()()2f x f x +=-,则当(]2,4x ∈时,是以()3,0为圆心, 半径为1的在x 轴下方的半圆,由周期性画出部分图像,如图所示,即()12g x =-时与()f x 在0,11⎡⎤⎣⎦内有2个交点,因为关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则()()2g x k x =+时与()f x 在0,11⎡⎤⎣⎦内需有6个交点,则①令()()2g x k x =+与圆()2211x y -+=相切,此时有一个交点,则2311k d k==+,则2k =（与上半圆相切）或2k =；②令()()2g x k x =+过()1,1,此时有2个交点,则13k =；令()()2g x k x =+过()1,1-,此时有2个交点,则13k =-；假设在(]0,1x ∈时有2个交点,即()()2g x k x =+与圆()2211x y -+=的上半圆有2个交点,则12,34k ⎡∈⎢⎣⎭,由函数的周期性,则在0,11⎡⎤⎣⎦内有6个交点； 当(]2,3x ∈时,图像为圆()2211x y -+=的下半圆向右平移2个单位得到,则当2143k ⎛⎤∈-- ⎥ ⎝⎦时,()()2g x k x =+与圆()2211x y -+=的下半圆有2个交点,由()g x 的周期为2,则当213k ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦时,与()f x 也有2个交点,同理,则在0,11⎡⎤⎣⎦内有6个交点；综上,2112,4334k ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭故答案为：2112,,4334⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【点睛】本题考查已知零点个数求参数范围问题,考查函数周期性的应用,考查数形结合思想三、解答题16．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分別为432,,543，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分． （1）求ξ的分布列；（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率． 【答案】（1）分布列见解析；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）由题意知，的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列；（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”，表示“甲队得分等于乙队得分等于”，可知、互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率．试题解析：（1）由题意知,的可能取值为由于乙队人答对的概率分别为,,43243243293(10)1111115435435436020P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯-+-⨯-⨯== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,4324324322613(20)1115435435436030P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,的分布列为:（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”,表示“甲队得分等于乙队得分等于”, 可知互斥, 又,则甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率为．【考点】古典概型；离散型随机变量的分布列．17．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中//AD BC，AB AD⊥，122AB AD BC===，4PA=，E为棱BC上的点，且14BE BC=．（1）求证：DE⊥平面PAC；（2）求二面角A PC D--的余弦值；（3）设Q为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦5，求CQCP的值．【答案】（1）见解析；（225；（3）23CQCP=【解析】（1）建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到0DE AC⋅=u u u r u u u r，0DE AP⋅=u u u r u u u r，根据线面垂直的判定定理，即可证明.（2）由（1）可知，平面PAC的法向量()2,1,0m=-u r，确定平面PCD的法向量()2,2,1n =-r ，根据cos ,m nm n m n⋅=⋅u r ru r r u r r ，求解即可. （3）设()01CQCPλλ=<<，确定()22,44,4Q λλλ=--，()2,43,4QE λλλ=--u u u r ，根据直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为5，求解λ，即可. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥ 因为AB AD ⊥则以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,2,0D ，()0,0,4P ，()2,1,0E .所以()2,1,0DE =-u u u r ，()2,4,0AC =u u u r ，()0,0,4AP =u u u r.因为221400DE AC ⋅=⨯-⨯+=u u u r u u u r，0DE AP ⋅=u u u r u u u r .所以DE AC ⊥，DE AP ⊥又AP AC A ⋂=，AP ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC . 所以DE ⊥平面PAC ．（2）设平面PAC 的法向量m u r，由（1）可知，()2,1,0m DE ==-u r u u u r 设平面PCD 的法向量(),,n x y z =r因为()0,2,4PD =-u u u r ，()2,4,4PC =-u u u r. 所以00n PD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即2402440y z x y z -=⎧⎨+-=⎩不妨设1z =，得()2,2,1n =-r．22120cos ,5m n m n m n ⨯-+-⨯+⋅===-⋅u r rur r u r r 所以二面角A PC D --． （3）设()01CQCPλλ=<<，即()2,4,4CQ CP λλλλ==--u u u r u u u r . 所以()22,44,4Q λλλ=--，即()2,43,4QE λλλ=--u u u r.因为直线QE 与平面PAC 所以cos ,QE m QE m QE m ⋅===⋅uu u r u r u u u r u r u u u r u r 3=解得23λ= 即23CQ CP =． 【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于较难题. 18．正项等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，131,13a S == （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项为正，且25b =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，设12n n n nb c a +⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a ；（2）()28424843nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用3123S a a a =++求得q ,进而求得通项公式；（2）利用等比中项可得()()()2113322a b a b a b ++=+,设135,5b d b d =-=+,代入可得2d =,则()12843n n c n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,进而利用错位相减法求解即可【详解】（1）设公比q ,则23123113S a a a q q =++=++=,得3q =或4q =-,Q 0n a >,∴3q =∴1113n n n a a q --=⨯=；（2）设{}n b 的公差为d ,Q 25b =,可设135,5b d b d =-=+, 又由（1）,1231,3,9a a a ===,()()()2113322a b a b a b ++=+Q ,()()()2515953d d ∴-+++=+,解得2d =或10-,Q 等差数列{}n b 的各项为正,∴0,2,d d >∴=()52221n b n n ∴=+-=+,∴()()11121228433n n nn n c n -+-+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,∴()01212222122028843333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴()123222221220288433333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴()121122221288433333n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++⋅⋅⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()12281332212842882823313n n nn n -⎡⎤⎛⎫⨯⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， ∴()28424843nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查等比中项的应用,考查错位相减法求数列的和19．设椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，左顶点为A ，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为12. （1）求椭圆M 的方程；（2）过点A 作斜率为k 的直线与椭圆M 交于另一点B ，连接2BF 并延长交椭圆M 于点C .若1F C AB ⊥，求k 的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）k =【解析】（1）由题可得1,12c e a c a ==-=,解得2,1a c ==,进而求得椭圆方程即可； （2）联立直线AB 与椭圆,可得点2228612,3434k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭,进而得到直线2BF ,联立直线2BF 与直线1CF 可得()281,8C k k --,将点C 坐标代入椭圆方程中,即可解得k 的值【详解】（1）设椭圆左焦点()1,0F c -,依题意,1,12c e a c a ==-=, 解得2,1a c ==,2223b a c ∴=-=,则椭圆方程为：22143x y +=；（2）由（1）得,()2,0A -,由题0k ≠ ，则直线AB 的方程为()2y k x =+,联立()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得()2222341616120k x k x k +++-=, 设(,)B B B x y ,221612234B k x k -∴-=+,即2228612,3434k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭, 由（1）得,()()121,0,1,0F F -,22222124348614134BF kk k k k k k +==-+--+,11CF k k=-, ∴直线()224:114k BF y x k =--,直线()11:1CF y x k=-+, 联立()()2411411k y x k y x k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-+⎪⎩，解得()281,8C k k --,代入22143x y +=,得4219220890k k +-=，解得2124k =,即12k =±【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆与直线的位置关系的应用,考查运算能力 20．已知0,1a a >≠，函数()()21,ln xf x ag x x x a =-=-+.（1）若1a >，证明：函数()()()h x f x g x =-在区间()0,∞+上是单调增函数； （2）求函数()()()h x f x g x =-在区间[]1,1-上的最大值；（3）若函数()F x 的图像过原点，且()F x 的导数()()F x g x '=，当103a e >时，函数()F x 过点(1,)A m 的切线至少有2条，求实数m 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）当1a >时,最大值为()11ln h a a-=+；当01a <<时,最大值为()11ln h a a-=+（3）43【解析】（1）由题()()()21ln xh x f x g x a x x a =-=-+-,利用导函数求单调区间即可；（2）利用导数可以推导得到()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数,则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值,作差可得()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭,设()12ln ,0G a a a a a =-->,再次利用导数推导()G a 的单调性,进而得到[]1,1-上的最大值； （3）由题可得()3211ln 32F x x x a =-+,设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入可得32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,则将原命题等价为关于0x 的方程至少有2个不同的解,设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,进而利用导函数判断()x ϕ的单调性,从而求解即可 【详解】（1）证明：()()()21ln xh x f x g x a x x a =-=-+-,则()()1ln 2xh x a a x '=-+,1,a >∴Q 当0x >时,10,ln 0x a a ->>,∴()0h x '>,即此时函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数.（2）由（1）知,当1a >时,函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,当0x <时,10x a -<,则()1ln 0xa a -<,()0h x '∴<,则()h x 在区间(),0-∞上是单调减函数；同理,当01a <<时,()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,在区间(),0-∞上是单调减函数；即当0a >,且1a ≠时,()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数, 则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值，()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭Q ,∴令()12ln ,0G a a a a a=-->, 则()22121110G a a a a ⎛⎫'=+-=-≥ ⎪⎝⎭,∴()12ln G a a a a=--在()0,∞+上为增函数, ()1112ln10G =--=Q ,∴当1a >时,()0G a >,即()()11h h >-,此时最大值为()1ln h a a =-；当01a <<时,()0G a <,即()()11h h ->,此时最大值为()11ln h a a-=+. （3）Q ()()2g ln F x x x x a '==-+,∴()3211ln 32F x x x a c =-++, Q ()F x 的图像过原点,()00F ∴=,即0c =,则()3211ln 32F x x x a =-+,设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入得()()3220000011ln x ln 132m x x a x a x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭, 即32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（※）, 则原命题等价为关于0x 的方程（※）至少有2个不同的解, 设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭, 则()()()()222ln ln 12ln x x a x a x x a ϕ'=-++=--, 令()0x ϕ'=,12ln 1,2ax x ∴==, 103ln 5,123a a e >∴>>Q , 当(),1x ∈-∞和ln ,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭时,()0x ϕ'>,此时函数()x ϕ为增函数； 当ln 1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0x ϕ'<,此时函数()x ϕ减函数,∴()x ϕ的极大值为()211111ln ln ln 3223a a a ϕ=--+=-, ()x ϕ的极小值为322321111111ln ln ln 1ln ln ln ln 212422244a a a a a a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设ln t a =,则103t >,则原命题等价为321111ln ln ln 24423a a m a ≤≤-+-,即32111124423t m t t ≤≤-+-对103t >恒成立, ∴由1123m t ≤-得43m ≤,设()3211244s t t t =-+,则()2111118224s t t t t t ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭,令()0s t '=,则10t =,24t =,当10,43t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0s t '>；当()4t ,∈+∞时,()0s t '<, 即()s t 在10,43⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()4,+∞上单调递减, ()s t ∴的最大值为()443s =,∴43m ≥,故43m =, 综上所述,当103a e >时,函数()F x 过点()1,A m 的切线至少有2条,此时实数m 的值为43【点睛】本题考查利用导函数证明函数的单调性,考查利用导函数求最值,考查导数的几何意义的应用,考查运算能力,考查分类讨论思想和转化思想。
天津市耀华中学2020届高三数学上学期第一次月考数学试题(无答案)
天津市耀华中学2020届高三年级第一次月考数学试卷第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}012log ,02322≤-=≤-+=x x B x x x A ，则=B A ( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,1 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛32,21 D ．⎥⎦⎤⎝⎛1,212.下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为( ) A ．cos 2y x =，x R ∈ B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠C ．2x x e e y --=，x R ∈ D ．31y x =+，x R ∈3.设14log ,10log ,6log 753===c b a ，则 ( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 4. 设R ∈α，则“21sin =α”是“Z k k ∈+=,62ππα”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,满足Bbc A a cos 23cos 2-=，且B b sin 5=，则=a ( ) A.35 B.32 C.53D.3526.已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()()+∞∈∈,,,10201x x x x ，则( )A ．()()0,021<<x f x fB ．()()0,021><x f x fC ．()()0,021<>x f x fD ． ()()0,021>>x f x f7.已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωx x f 的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()x f y =的图象( )A ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B ．关于直线12π=x 对称 C ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π对称 D ．关于直线12π=x 对称8.若函数()()x a x e x f xcos sin +=在⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(]1,∞- B ．()1,∞- C ．[)+∞,1 D ．()+∞,19.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1=⋅，=⋅CF CE 32-，则λμ+= ( ) A.12 B.712 C.23 D.56第Ⅱ卷（共105分）二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．10.如复数()i m iiz -+-+=111（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为 ． 11.()43x x +的展开式中3x 的系数是 ．12.正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E 为棱1DD 上的点，F 为AB 的中点，则三棱锥BFE B -1的体积为 ．13.数列{}n a 中，已知()*++∈+===N n a a a a a n n n 2121,2,1，则=2020a ．14.不等式()y x a xy x +≤+22对任意正数y x ,恒成立，则正数a 的最小值是 ．15.设()()x g x f ,是定义在R 上的两个函数，()x f 满足()()x f x f -=+2，()x g 满足()()x g x g =+2，且当(]2,0∈x 时，()x x x f 22+-=，()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+=2121102x x x k x g ，若在区间[]11,0上，关于x 的方程()()x g x f =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分15分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为43，乙队中3人答对的概率分别为32,43,54，且各人回答正确与否之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分.(Ⅰ)求ξ的分布列和均值；(Ⅱ) 求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中BC AD //,AD AB ⊥,4,221====PA BC AD AB ,E 为棱BC 上的点，且BC BE 41=. (Ⅰ) 求证：⊥DE 平面PAC ； (Ⅱ)求二面角D PC A --的余弦值；(Ⅲ)设Q 为棱CP 上的点（不与P C ,重合），且直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值55，求CPCQ的值.正项等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，13,131==S a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正，且52=b ，又332211,,b a b a b a +++成等比数列.设()nn n a b b c n 12-=，求数列{}n c 的前n 项和n T .设椭圆()01:2222>>=+b a by a x M 的左、右焦点21,F F ，左顶点为A ，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为21. (Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)过点A 做斜率为k 的直线与椭圆M 交于另一点B ，连接2BF 并延长交椭圆M 于点C ，若AB C F ⊥1，求k 的值．已知1,0≠>a a ，函数()()a x x x g a x f xln ,12+-=-=（Ⅰ）若1>a ，证明：函数()()()x g x f x h -=在区间()+∞,0上是单调增函数 （Ⅱ）求函数()()()x g x f x h -=在区间[]1,1-上最大值.（Ⅲ）若函数()x F 的图象过原点，且()x F 的导数()()x g x F ='，当310e a >时，函数()x F 过点()m A ,1的切线至少有2条，求实数m 的值.。