江苏数学附加题
附加题考前冲刺专练
（请同学们抽时间将下列题型的解题通法掌握熟练）
一、矩阵
1、已知二阶矩阵M 有特征值8λ
=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，并且矩阵M
对应的变换将点
(1,2)-变换成(2,4)-. （Ⅰ）求矩阵M ；
（Ⅱ）求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量2e 的坐标之间的关系； （Ⅲ）求直线:10l x y -+=在矩阵M 的作用下的直线l '的方程.
2、已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．
3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2223M ，⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=41α，试计算：α10
M
4、试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =1002⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，N =1
020
1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
二、参数方程与极坐标
1、已知圆C
的参数方程为2cos 2sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以圆
心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆C 的切线的极坐标方程．
2．在极坐标系中,设圆3ρ=
上的点到直线()
cos 2ρθθ=的距离为d ,求d 的最大值.
3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。
⑴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t
y t x 232211 （t 为参数）；⑵⎩⎨
⎧+=+=t y t x 212（t 为参数）；⑶⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=141
1222t t y t t x （t 为参数）
4、已知曲线C 的方程2
2
3
32y x x =-，设y tx =，t 为参数，求曲线C 的参数方程．
5、过点P （－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1x t t
t y t t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-
⎪⎩
为参数相交于A 、B 两点． 求线段AB 的长
6、在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρ
θθ=+
和直线sin 42l ρθπ⎛⎫-= ⎪
⎝
⎭:． （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程； （2）当(0,)θ∈π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．
三、概率
1．某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()
P A；
（2）求η的分布列及期望Eη．
2、.甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为
0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，
（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ
的数学期望和方差．
3、一个袋中装有黑球，白球和红球共n(*
n∈N)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1
个球，得到黑球的概率是2
5
．现从袋中任意摸出2个球．
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是4
7
，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数,
求随机变量ξ的概率分布及数学期望ξ
E；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?
4．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：
f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=x 3，f 4（x ）=sin x ，f 5（x ）=cos x ，f 6（x ）=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； （2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
5、某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是
3
1
，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的
数学期望．
五、立体几何
1、如图，在四棱锥ABCD P -中，
底面ABCD 是正方形，侧棱DC PD ABCD PD =⊥，底面，
E 为PC 中点，作PB E
F ⊥交PB 于F （1）证明：EFD PB 平面⊥；
（2）求二面角D PB C --的正弦值。
P D C
B
A
2、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ， 90=∠BAD ，PA ⊥
平面ABCD ，1=AB ，2=AD ，4==CD PA .
（Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；
（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值.
3、 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90o
BAC ∠=，AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，
1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b a
λ=．
（1）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；
（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．
六、二项式定理
1．已知a n 532n 2
n -+⋅+只能被25整除，求正整数a 的最小值。
F
E
C 1 B 1
A 1
C
B
A
2. 已知n
x 21(）+
展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，且等于它后一项系数的
6
5
，
试求该展开式中的二项式系数最大的项。
（T 4=280）
和252
3
x 560T x = 3.已知n
2x
31x ）（
+
的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3，求展开式中不含x
的项。
（5）
三、数学归纳法
1、设n 为大于1的自然数，求证：2
121312111>+++++++n n n n ．
2、设,1*,>∈n N n 求证：n n
>+
++
+
13
12
11。
江苏省数学高考附加题强化练习10套带答案
江苏省数学高考附加题强化试题1班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．选修4—2：矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线与曲线C 的交点P 的直角坐标.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,AB PA ==AC 、BD 相交于点O ，求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；（2）平面PAC 与平面PBC 所成的角23、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P 2，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”； （1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P 2的取值范围．江苏省数学高考附加题强化试题2班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．22．（本小题10分）口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．23．已知抛物线和抛物线在交点处的两条切线互相垂直，求实数a 的值．江苏省数学高考附加题强化试题3班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），求直线被曲线C 截得的线段长度.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分. 22．（本小题满分10分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示． (Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝 对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．如图，已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A （x 1，y 1）（y 1＞0），B （x 2，y 2）两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点． （1）若，求直线l 的斜率；（2）求∠ATF 的最大值．江苏省数学高考附加题强化试题4班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数，且A B ≠∅ ，求实数m 的取值范围．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ． ⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．（本小题满分10分） 已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省数学高考附加题强化试题5班级 姓名 得分AP B CD M第22题图21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．（选修4—2：矩阵与变换） 求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）求圆心为36C π⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，AC =BC = 4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，122BD AE ==,O M CE AB 、分别为、的中点，求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值．23,已知数列{a n }满足，且a 1=3．（1）计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；A MBCO DE（2）求证：当n≥2时，．江苏省数学高考附加题强化试题6班级 姓名 得分21.[选做题]在B 、C 、D 三小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．选修4—2：矩阵与变换求关于直线y=3x 的对称的反射变换对应的矩阵A ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中,过曲线)0(cos 2sin :2>=a a L θθρ外的一点),52(θπ+A (其中,2tan =θθ为锐角)作平行于)(4R ∈=ρπθ的直线与曲线分别交于C B ,.（1）写出曲线L 和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建直角坐标系)； （2）若|||,||,|AC BC AB 成等比数列,求a 的值.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题10分）如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1=2。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习讲义： 附加题部分 第1章 第62课 离散型随机变量的均值与方差
第62课离散型随机变量的均值与方差[最新考纲]内容要求A B C离散型随机变量的均值与方差√1．离散型随机变量的均值与方差一般地，假设离散型随机变量X的概率分布为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)均值称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称V(X)＝σ2＝∑ni＝1(x i－E(X))2p i＝∑ni＝1x2i p i－μ2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根σ＝V(X)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)V(aX＋b)＝a2V(X)．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)假设X服从两点分布，那么E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．(2)假设X～B(n，p)，那么E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，那么偏离均值的平均程度越小. ( )(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运发动罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．(教材改编)X 的概率分布为设73 [E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， 那么E (Y )＝2E (X )＋3＝3－23＝73.]3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，那么V (ξ)等于________．8 [∵E (ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ∴V (ξ)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.]4．(2021·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，那么在2次试验中成功次数X 的均值是________．32 [同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34. 又X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，∴成功次数X 的均值E (X )＝2×34＝32.]5．假设X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，V (X )＝3，那么P (X ＝1)＝________. 31 024[∵E (X )＝np ＝6， V (X )＝np (1－p )＝3， ∴p ＝12，n ＝12，那么P (X ＝1)＝C 112×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1211＝3×2－10＝31 024.]离散型随机变量的均值、方差设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的时机均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的时机均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．假设Eη＝53，Dη＝59，求a ∶b ∶c . 【导学号：62172334】[解] (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的概率分布为(2)由题意知η的概率分布为所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c＝53，D (η)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.[规律方法] 1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进展计算．2．注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )的应用．[变式训练1] (2021·苏北四市摸底)某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校方案从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．(1)求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；(2)记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的概率分布和数学期望．[解] (1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C 12·C 13·C 23＋C 13＝21种．(2)X 的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C23C25C24＝310×6＝120，P(X＝1)＝C12C13C23＋C13C25C24＝2×3×3＋310×6＝720，P(X＝3)＝C23C13C25C24＝3×310×6＝320，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝9 20.X的概率分布为X 012 3P 120720920320E(X)＝0×120＋1×720＋2×920＋3×320＝1710.与二项分布有关的均值、方差某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，那么获一等奖；假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的概率分布和数学期望及方差. 【导学号：62172335】[解](1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12， 所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15， P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的概率分布为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.随机变量X 的方差V (X )＝3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1225.[规律方法]ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B (n ，p )，那么用公式E (ξ)＝np ，V (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，此时，可以综合应用E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (aξ＋b )．同样还可求出V (aξ＋b )．[变式训练2] 空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录2021 年某地某月10天的AQI 的茎叶图如图62-1所示．图62-1(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列、数学期望和方差．[解] (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，从而估计该月空气质量优良的天数为30×35＝18. (2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为35， ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 1335⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125，P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫35225＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P8125361255412527125显然ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35，E (ξ)＝3×35＝1.8，随机变量ξ的方差V (ξ)＝3×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝1825.均值与方差在决策中的应用有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进展质量检验，结果如下：X 甲 28 29 30 31 32 PX 乙 28 29 30 31 32 P花的质量．[解] 由题意，得E (X 甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30，E (X 乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30. 又V (X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，V (X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，所以E (X 甲)＝E (X 乙)，V (X 甲)＜V (X 乙)，故甲种棉花的质量较好． [规律方法] 1.依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差． 2．依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．[变式训练3] (2021·扬州期末)某商场举办“迎新年摸球〞活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全一样)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．假设摸中甲箱中的红球，那么可获奖金m 元，假设摸中乙箱中的红球，那么可获奖金n 元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，那么可继续在第二个箱子中摸球，否那么活动终止.(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；(2)假设要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．[解] (1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M . 那么P (M )＝13×34＝14，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14.(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x 可取0，m ，m ＋n ， 那么P (x ＝0)＝34，P (x ＝m )＝14×23＝16，P (x ＝m ＋n )＝14×13＝112； E (X )＝0×34＋m ×16＋(m ＋n )×112＝m 4＋n12；②先在乙箱中摸球，参与者获奖金η可取0，n ，m ＋n ， 那么P (η＝0)＝23，P (η＝n )＝13 ×34＝14，P (η＝m ＋n )＝13×14＝112， E (η)＝0×23＋n ×14＋(m ＋n )×112＝m 12＋n3， E (X )－E (η)＝2m －3n12，当m n >32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当m n ＝32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当m n <32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 即当m n >32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当m n ＝32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当m n <32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．[思想与方法] 1．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )(a ，b 为常数)． (2)假设X 服从两点分布，那么E (X )＝p ，V (X )＝p (1－p )．(3)假设X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，那么E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )． 2．求离散型随机变量的均值与方差的根本方法(1)随机变量的概率分布求它的均值、方差，按定义求解．(2)随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从二项分布，利用均值、方差公式求解．[易错与防范]1．理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)易错易混．3．对于应用问题，必须对实际问题进展具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进展分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．课时分层训练(六)A组根底达标(建议用时：30分钟)1．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者效劳，假设选出的男生人数为ξ，求ξ的方差．[解]依题意，随机变量ξ服从超几何分布，ξ可能的取值为1,2,3.P(ξ＝k)＝C k4C3－k2C36，k＝1,2,3.ξ的概率分布为E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.V (ξ)＝15×(1－2)2＋35×(2－2)2＋15×(3－2)2＝0.4.2．现有一游戏装置如图62-2，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规那么为：假设小球最终落入A 槽，得10张奖票，假设落入B 槽，得5张奖票；假设落入C 槽，得重投一次的时机，但投球的总次数不超过3次．图62-2(1)求投球一次，小球落入B 槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X ，求X 的概率分布及均值.【导学号：62172336】[解] (1)由题意可知投一次小球，落入B 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.(2)落入A 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，落入B 槽的概率为12， 落入C 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.X 的所有可能取值为0,5,10， P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，P (X ＝5)＝12＋14×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×12＝2132.P (X ＝10)＝14＋14×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×14＝2164.所以X 的概率分布为X510E (X )＝0×164＋5×2132＋10×2164＝10516.3．(2021·南通二调)一个摸球游戏，规那么如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小一样、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k 倍的奖励(k ∈N ＋)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X 元．(1)求概率P (X ＝0)的值；(2)为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值．(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！) 【导学号：62172337】 [解] (1)事件“X ＝0〞表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次〞，那么P (X ＝0)＝3×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝2572.(2)依题意，X 的可能值为k ，－1,1,0，且P (X ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫163＝1216，P (X ＝－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫563＝125216，P (X ＝1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×56＝572，P (X ＝0)＝2572，结合(1)知，参加游戏者的收益X 的数学期望为 E (X )＝k ×1216＋(－1)×125216＋1×572＝k －110216(元)．为使收益X 的数学期望不小于0元，所以k ≥110，即k min ＝110.4．(2021·山东高考)甲、乙两人组成“星队〞参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，那么“星队〞得3分；如果只有一人猜对，那么“星队〞得1分；如果两人都没猜对，那么“星队〞得0分．甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队〞参加两轮活动，求：(1)“星队〞至少猜对3个成语的概率；(2)“星队〞两轮得分之和X 的概率分布和数学期望E (X )． [解] (1)记事件A ：“甲第一轮猜对〞， 记事件B ：“乙第一轮猜对〞， 记事件C ：“甲第二轮猜对〞， 记事件D ：“乙第二轮猜对〞，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语〞．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ， 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队〞至少猜对3个成语的概率为23. (2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14. 可得随机变量X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2021·南京盐城二模)甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1)求比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛完毕后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E (ξ)．[解] (1)比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率 P ＝C 1323⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1136. (2)ξ的取值为0,1,2,3，所以ξ的概率分布列为所以数学期望E (ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.2．方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，缺乏80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：行，那么该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机多少台？[解] (1)依题意，p 1＝P (40＜X ＜80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X ＞120)＝550＝0.1.由二项分布知，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形．依题意知，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X ＞120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X ＞120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 4008 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机2台． 3．(2021·南通模拟)一位网民在网上光临某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购置意向．该网民购置A 种商品的概率为34，购置B 种商品的概率为23，购置C 种商品的概率为12.假设该网民是否购置这三种商品相互独立．(1)求该网民至少购置2种商品的概率；(2)用随机变量h 表示该网民购置商品的种数，求h 的概率分布和数学期望． [解] (1)记“该网民购置i 种商品〞为事件A i ，i ＝2,3，那么：P (A 3)＝34×23×12＝14，P (A 2)＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124，所以该网民至少购置2种商品的概率为P (A 3)＋P (A 2)＝14＋1124＝1724. 该网民至少购置2种商品的概率为1724. (2)随机变量h 的可能取值为0,1,2,3， P (h ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝124，又P (h ＝2)＝P (A 2)＝1124，P (h ＝3)＝P (A 3)＝14，所以P (h ＝1)＝1－124－1124－14＝14.所以随机变量h 的概率分布为：故数学期望E (h )＝0×124＋1×14＋2×1124＋3×14＝2312.4．(2021·苏州市期中)某公司对新招聘的员工张某进展综合能力测式，共设置了A ，B ，C 三个测试工程．假定张某通过工程A 的概率为12，通过工程B ，C 的概率均为a (0<a <1)，且这三个测试工程能否通过相互独立．(1)用随机变量X 表示张某在测试中通过的工程个数，求X 的概率分布和数学期望E (X )(用a 表示)；(2)假设张某通过一个工程的概率最大，求实数a 的取值范围． [解] (1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 02(1－a )2＝12(1－a )2；P (X ＝1)＝12C 02(1－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 12a (1－a )＝12(1－a 2)；P (X ＝2)＝12C 12a (1－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 22a 2＝12(2a －a 2)； P (X ＝3)＝12C 22a 2＝12a 2. 从而X 的概率分布为X 的数学期望为E (X )＝0×12(1－a )2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12. (2)P (X ＝1)－P (X ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a )2]＝a (1－a )， P (X ＝1)－P (X ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a 2， P (X ＝1)－P (X ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a 22.由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a (1－a )≥0，1－2a2≥0，1－2a22≥0，得0<a ≤12，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.。
江苏省南通、泰州市2020届高三第一次调研测试数学试题含附加题 Word版含答案
南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学试卷2020.1.14一、填空题1.已知集合 A ＝ {-1，0，2}， B ＝ {-1，1，2}， 则 A ∩B =________.2.已知复数 z 满足(1+ i ) z ＝ 2i ， 其中i 是虚数单位，则 z 的模为_______.3.某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_______.5.已知等差数列{a n } 的公差 d 不为 0 ，且 a 1，a 2，a 4 成等比数列，则1a d的值为_____. 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.7.在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥 A 1 - BB 1C 1 的体积为______.8.已如函数.若当 x ＝6π时，函数 f (x ) 取得最大值，则ω 的最小值为______.9. 已 知 函 数 f (x ) ＝ (m - 2)x 2 + (m - 8)x (m ∈R ) 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x ∈ R ， 关 于 x 的 不 等 式f ( x 2 +1) < f (a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是______.10.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A ，B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 ＝1 的两条渐近线上， 且双曲线C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝ 4.8 +1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.12. 已知△ABC 的面积为 3 ，且 AB ＝ AC .若2CD DA =，则 BD 的最小值为______.13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2 ＝ 8 与圆C 2 : x 2 + y 2 + 2x + y -a ＝ 0 相交于 A ，B 两点.若圆C 1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为______. 14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ( x ) + 2af (x )+1- a 2 ＝ 0 有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.二、解答题15. (本小题满分14 分)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，PC ⊥AB ，D，E 分别为BC，AC 的中点。
2020年高考(江苏卷)数学附加题训练七(含答案)
2020年高考（江苏卷）数学附加题训练七21．已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线sin()()4l m m R πθ-=∈，圆C 的参数方程为13cos 23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．当圆心C 到直线l 的距离为时，求m 的值。
1111ABCD -A B C D 中，P 是侧棱1CC 上23．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的一点，CP =m .（1）若m =1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；11所成角的正弦值是13？若存在，请求出m （2）是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB D 的值；若不存在，请说明理由.24．已知抛物线C :x 2=2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0,-1)与抛物线C 交于A ,B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A '，连接A 'B .（1）求抛物线C 标准方程；（2）问直线A 'B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.数学附加题训练七答案21．【答案】x ，y 的值分别为0 ，1．【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0 ， 1．试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，所以24,{22,a b +=-+=解得2,{ 4.a b ==所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．则][][][12221444x x x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+=解得0,{ 1.x y ==所以x ，y 的值分别为0 ，1．22．【答案】m − =1或m − =5 .【解析】根据曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化求出曲线的普通方程，利用点到直线的距离公式进行求解，即可得到答案.【详解】直线l 的直角坐标方程为x −y +m =0 ，圆C 的普通方程为(x −1)2 +(y +2)2 =9 ，圆心C 到直线l =1m =-或5m =-．【点睛】本题主要考查了主要考查了参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，其中解答中结合点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23．【答案】(1)3(2)存在，74m =【解析】（1）采用建系法进行求解；（2）假设存在实数m ，使得直线AP 与平面11AB D 所成角的正弦值是13，则用向量法表示出(1,1,)AP m =- ，再求得平面11AB D 的法向量为(2,2,1)n =- ，结合夹角公式即可求得；【详解】解：（1）建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,)P m ，(0,1,0)C ，(0,0,0)D ，1(1,1,2)B ，1(0,0,2)D .所以1(1,1,2)BD =-- ，(1,1,1)AP =-.111cos ,3||BD AP BD AP BD AP ⋅==⨯ ，即异面直线AP 与1BD所成角的余弦是3.（2）假设存在实数m ，使直线AP 与平面11AB D 所成的角的正弦值等于13，则11(1,1,0)D B = ，1(1,0,2)AD =- ，(1,1,)AP m =- .设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =r ，则由111n D B n AD ⎧⊥⎨⊥⎩ ，得020x y x z +=⎧⎨-+=⎩，取2x =，得平面11AB D 的法向量为(2,2,1)n =- .由直线AP 与平面11AB D 所成的角的正弦值等于13，得13=，解得74m =，因为02m ≤≤，所以74m =满足条件，所以当74m =时，直线AP 与平面11AB D 所成的角的正弦值等于13.【点睛】本题考查建系法在立体几何中的应用，异面直线所成的夹角，由线面角的正弦值反求参数的问题，能正确表示出各向量和平面的法向量是解题的关键，属于中档题24．【答案】（1）x 2 =4y ；（2）(0,1)【解析】试题分析：（1）将点(2,1 )代入抛物线 C 的方程解得 p 即可得到抛物线C 标准方程；（2）设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用点斜式写出直线A B '的方程()2221244x x x y x x --=-，再将直线AB 方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理化简直线A B '的方程得2114x x y x -=+，即证得直线A B '是否过定点()0,1.试题解析：（1）将点()2,1代入抛物线C 的方程得，2p =，所以，抛物线C 的标准方程为24x y =．（2）设直线l 的方程为1y kx =-，又设()()1122,,,A x y B x y ，则()11,A x y '-，由21,41,y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得2440x kx -+=，则2121216160,4,4k x x x x k ∆=->⋅=+=，所以()222121212112444A Bx x y y x x k x x x x '---===--+，于是直线A B '的方程为()2221244x x x y x x --=-，所以，()22122121444x x x x x y x x x --=-+=+，当0x =时，1y =，所以直线A B '过定点()0,1．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。
江苏高三数学20套数学附加题
实战演练·高三数学附加分20套江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为 ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知点A(1，2)在抛物线Γ：y 2＝2px 上．(1) 若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2) 若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB 、BC 、CD 、DA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．23. 设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中a i ＝2或－2(1≤i ≤2m)．(1) 求满足“对任意的k(k ∈N *，1≤k ≤m)，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；(2) 若对任意的k 、l(k 、l ∈N *，1≤k ≤l ≤m)，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立，求满足“存在k(k ∈N *，1≤k ≤m)，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23.记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*)．性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i>a i＋1(i∈{1，2，…，n－1})．(1) 求f(3)；(2) 求f(n)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD ＝BC·DE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求点M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 、y 、z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1) 求证：MN ⊥AD ；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．23.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1) 求概率P(ξ＝0)；(2) 求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝34AD·AE，求∠BAC的大小．B. (选修4-2：矩阵与变换)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002M⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1成立的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a、b、c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．23.从集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE ＝∠BAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为55，求PA.23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)求经过极坐标为O(0，0)、A ⎝⎛⎭⎫6，π2、B ⎝⎛⎭⎫62，π4三点的圆的直角坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程； (2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝⎛⎭⎫25n －1(其中n ∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD ＝∠DBM ；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆．(1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc ≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t ≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .22. (本小题满分10分)已知直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，圆M 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ是参数)．(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程； (2) 求圆上的点到直线l 上点距离的最小值．23. (本小题满分10分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m.(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本小题满分10分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X 0 2 3 4 5 Pp 1p 2p 3p 4p 5(1) 若p ＝0.25，p 1＝0.03，求该同学用上述方式投篮得分是5分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某品牌汽车4S 店经销A 、B 、C 三种排量的汽车，其中A 、B 、C 三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．23. 已知点A(－1，0)，F(1，0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M 、N ，问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，求矩阵M 的特征值，并任选择一个特征值，求其对应的特征向量．22.(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝2，试判断圆C 是否通过极点，并求圆C 的极坐标方程．23. (本小题满分10分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别是2、1.又P是SC的中点，E是BC上一点，CE＝1，SO＝3，过O在底面内分别作AB、BC垂线Ox、Oy，分别以Ox、Oy、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE的一个法向量；(2) 问在棱SA上是否存在一点Q，使直线BQ∥平面PDE？若存在，请给出点Q在棱SA上的位置；若不存在，请说明理由．24.(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y，在直线y＝－1上任取一点M，过M作抛物线C的两条切线MA、MB.(1) 求证：直线AB过一个定点，并求出这个定点；(2) 当弦AB中点的纵坐标为2时，求△ABM的外接圆的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，有f(n)∈Z；②任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m ，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n2；当n 为奇数时，m ＝n －12. (1) 证明：当n ∈N *，n ≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP ∥CA ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE ∽△BDE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB ＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．23. 设数列{a n }共有n(n ≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i ≤n －1，i ∈N )，均有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a 、k 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，…，集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，…，数组T 中所有数的平均值记为m(T)．(1) 若S ＝{1，2}，求m(T)；(2) 若S ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥2)，求m(T)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)．圆A 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C 在极轴的上方，∠AOC ＝π6.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1) 写出点C1、P、D1的坐标；(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．23.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n.(1) 写出a2，a3，a4的值；(2) 写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F.求证：△DEF ∽△EAF.B. (选修4-2：矩阵与变换)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(0，1)，曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA·PB 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y .【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1，0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0.(1) 求动点N 的轨迹C 的方程；(2) 设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS 、QT ，切点分别为S 、T ，设切线QS 、QT 的斜率分别为k 1、k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证：k 1＋k 2＝2k 0.23.各项均为正数的数列{x n }对一切n ∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.证明：(1) x n ＜x n ＋1； (2) 1－1n＜x n ＜1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．B. (选修42：矩阵与变换) 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设x 、y 、z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求证：x ＋y ＋z ＝3147.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．23.已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n －19，b n ＝2n .将{a n }与{b n }中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }．(1) 试写出c 1，c 2，c 3，c 4的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式； (2) 证明你在(1)所猜想的结论．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为圆O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1) 求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2) 求二面角BAB1C平面角的余弦值．23.在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．(1) 当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2) 求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知AB ＝6，CD ＝25，求线段AC 的长度．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A 、B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．。
高考数学试题及答案 (1)
普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =， 其中S 为底面积， h 为高． 一、填空题：本大题共14小题， 每小题5分， 共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{124}A =，，， {246}B =，，， 则A B = ▲ ．2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本， 则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 3．设a b ∈R ，， 117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位）， 则a b +的值 为 ▲ ．4．右图是一个算法流程图， 则输出的k 的值是 ▲ ． 5．函数6()12log f x x =-的定义域为 ▲ ．6．现有10个数， 它们能构成一个以1为首项， 3-为公比的 等比数列， 若从这10个数中随机抽取一个数， 则它小于8 的概率是 ▲ ．7．如图， 在长方体1111ABCD A B C D -中， 3cm AB AD ==， 12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．8．在平面直角坐标系xOy 中， 若双曲线22214x y m m -=+的离心率5 则m 的值为 ▲ ．9．如图， 在矩形ABCD 中， 22AB BC ==，点E 为BC 的中点， 点F 在边CD 上， 若2AB AF =， 则AE BF 的值是 ▲ ． 10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数， 在区间[11]-，上，开始 结束k ←1k 2－5k +4>0输出k k ←k +1NY （第4题）FD DABC 1 1D 1A1B（第7题）0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则3a b +的值为 ▲ ．11．设α为锐角， 若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中， 圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点， 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， 则k 的最大值是 ▲ ． 13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，， 则实数c 的值为 ▲ ． 14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题， 共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中， 已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若5cos C =求A 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 1111A B AC =，D E，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ）， 且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．（第9题）1A1C FDCAE1B17．（本小题满分14分） 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）， 其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由．18．（本小题满分16分）若函数()y f x =在x =x 0取得极大值或者极小值则x =x 0是()y f x =的极值点 已知a ， b 是实数， 1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+， 求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-， 其中[22]c ∈-，， 求函数()y h x =的零点个数．19．（本小题满分16分）如图， 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和3e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上， 其中e（第16题）x （千米y （千米）O（第17题）（1）求椭圆的离心率；（2）设A ， B 是椭圆上位于x 轴上方的两点， 且直线1AF与直线2BF 平行， 2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若126AF BF -=， 求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：122n n n n n a n a b *+=∈+N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，， 求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设12nn nb b n a *+=∈N ，， 且{}n a 是等比数列， 求1a 和1b 的值．绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题， 请选定其中两题．．．．．．．，． 并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．．若多做， 则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图， AB 是圆O 的直径， D ， E 为圆上位于AB 异侧的两点， 连结BD 并延长至点C ， 使BD= DC ， 连结AC ， AE ， DE ． 求证：E C ∠=∠．B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ， 求矩阵A 的特征值．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）（第21-A 题）AED CO在极坐标中，已知圆C 经过点()24Pπ，，圆心为直线()3sin 32ρθπ-=-与极轴的交点， 求圆C 的极坐标方程． D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x ， y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．【必做题】第22题、第23题， 每题10分， 共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量， 从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条， 当两条棱相交时， 0ξ=；当两条棱平行时， ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列， 并求其数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…， n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈， 则2x A ∉；③若nP x A ∈， 则2nP x A ∉．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B= {1，2，4，6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}点评：本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案解答：解：由题，a，b∈R，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图，则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值，判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循环，得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0，不满足判断框．则k=2，22﹣10+4=﹣2＞0，不满足判断框的条件，则k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，52﹣25+4=4＞0，成立，所以结束循环，输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用，考查计算能力，注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0，]．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0，且x＞0∴，x＞0∴，x＞0，∴，x＞0，∴0，故答案为：（0，]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0，这种题目的运算量不大，是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的概念与性质，属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．11．（5分）（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是[e，7]．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞，∵5c﹣3a≤4c﹣a，∴≤2．从而≤2×4﹣1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc，∴0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e，7]双闭区间．：本题考查不等式的综合应用，得到≥，通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又cosA＞0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析（1）求出导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．：（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx，得 f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5个零点．（ i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|t i|＜2，i=3，4，5．而f（x）=t i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=，求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求解．（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件AF1﹣BF2=，用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行，点B在椭圆上知，可得，，由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2﹣1．由点（e，）在椭圆上，得∴，∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，∴由，可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴，（舍），∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=，∴，解得m2=2．∵注意到m＞0，∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴，即．由点B在椭圆上知，，∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得，，，∴PF1+PF2=．∴PF1+PF2是定值．点评本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．：20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足：a n+1=，n∈N*，（1）设b n+1=1+，n∈N*，求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•，n∈N*，且{a n}是等比数列，求a1和b1的值．数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）由题意可得，a n+1===，从而可得，可证（2）由基本不等式可得，，由{a n}是等比数列利用反证法可证明q==1，进而可求a1，b1解答：解：（1）由题意可知，a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n＞0，b n＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q，由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1，则，故当时，与（*）矛盾0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾综上可得q=1，a n=a1，所以，∵∴数列{b n}是公比的等比数列若，则，于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1，b2，b3至少有两项相同，矛盾∴，从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用，解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（，），求出圆的半径，从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵，∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1，λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0）．∵圆C 经过点P（，），∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，|x+y|＜，|2x﹣y|＜，∴3|y|＜，∴点评：本题是选作题，综合考查选修知识，考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明，综合性强23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数，可求解答：解（1）当n=4时，P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m•2k，其中m为奇数，k∈N*由条件可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数若m∉A，则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，。
2020年高考(江苏卷)数学附加题训练一 (含答案)
2020年高考（江苏卷）数学附加题训练一21、（本小题满分10分）已知线性变换1T 是顺时针方向选择90°的旋转变换，其对应的矩阵为M ，线性变换⎩⎨⎧=+=yy y x x T '2'2：对应的矩阵为N ，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）写出矩阵M ，N ；（2）已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--2411X M N ，试求b a ,的值.22、（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,3x t y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=-+⎩，（ϕ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的标准方程；（2）点,P Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，当PQ 长度最小时，试求点Q 的坐标..23、（本小题满分10分）在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，∆PAD是正三角形，DC∥AB，DA=DC=2AB=2.（1）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小；（2）点E为线段CD上的一动点，设异面直线BE与直线PA所成角的大小为θ，当cosθ=5时，试5确定点E的位置.24、（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(4,m)到焦点F的距离为6，点Q为其准线l上的任意-一点，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B.(1)求抛物线C的方程;(2)当点Q在x轴上时，证明:∆QAB为等腰直角三角形.(3)证明:∆QAB为直角三角形.数学附加题训练一参考答案21．已知线性变换1T 是顺时针方向选择90°的旋转变换，其对应的矩阵为M ，线性变换⎩⎨⎧=+=y y y x x T '2'2：对应的矩阵为N ，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）写出矩阵M ，N ；（2）已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--2411X M N ，试求b a ,的值.22在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,3x t y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=-+⎩，（ϕ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的标准方程；（2）点,P Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，当PQ 长度最小时，试求点Q 的坐标.23、（本小题满分10分）在四棱锥ABCD P -中，⊥CD 平面PAD ，PAD ∆是正三角形，AB DC ∥，22===AB DC DA .（1）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的大小；（2）点E 为线段CD 上的一动点，设异面直线BE 与直线PA 所成角的大小为θ，当55cos =θ时，试确定点E 的位置.24、（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中,已知抛物线px y C 2:2=)0(>p 上一点),4(m P 到焦点F 的距离为6，点Q 为其准线l 上的任意-一点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为B A ,.(1)求抛物线C 的方程;(2)当点Q 在x 轴上时，证明:QAB ∆为等腰直角三角形.(3)证明:QAB ∆为直角三角形.。
【真题】2019年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)
15．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．
（1）若 a=3c，b=
2
，cosB=
2
，求
c
的值；（2）若
sin
A
cos
B
，求
sin(B
)
的值．
3
a 2b
2
第 3 页 共 18 页
16．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E．
置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式：
样本数据 x1, x2 ,…, xn 的方差 s2
5．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ . 6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学
的概率是 ▲ .
7．在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
x2
y2 b2
1(b
0)
经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是
绝密★考试结束前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。
江苏数学附加题
江苏数学附加题e＞的坐标之间的关系;i的方程.附加题考前冲刺专练(请同学们抽时间将下列题型的解题通法掌握熟练)，、矩阵1、已知二阶矩阵M有特征值，=8及对应的一个特征向量(-1,2)变换成(-2,4) . (I)求矩阵M；(u)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量(山)求直线丨：x -y • 1 =0在矩阵M的作用下的直线1、参数方程与极坐标2、已知矩阵A= 3一0求A的特征值，1, '2及对应的特征向量內，a •4、试求曲线y二sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中N = 2_0对应的变换将点（t为参数）;⑵= 1 +t2』= 2+tx =（t为参数）；3）*y =1 -t2t2 14t（t为参数）t2 15、过点P （- 3，0）且倾斜角为30°直线和曲线求线段AB的长x =t ,t1ty =t（t为参数）相交于A、B两点.x = 3 2cos ■?!1已知圆C的参数方程为'（二为参数），若P是圆C与y轴正半轴的交点，以圆y =2sin 日心C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P的圆C的切线的极坐标方程.2•在极坐标系中，设圆T =3上的点到直线「cos?r/3sin V - 2的距离为d ,求d的最大值.3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线2 2 34、已知曲线C的方程y =3x -2x，设y二tx，t为参数，求曲线C的参数方程.6、在极坐标系下，已知圆O：：' =cosv sin v 和直线|："sin 二一一=—2I 4丿2（1）求圆O和直线I的直角坐标方程；2）当V • （0,二）时，求直线|与圆O公共点的一个极坐标.1 2 3 4 5 P0.40.20.20.10.12、.甲乙两人独立解某一道数学题, (1)求该题被乙独立解岀的概率;三、概率1 •某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数■的分布列为商场经销一件该商品，采用 1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期 或5期付款，其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.(1) 求事件A :“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 P(A)； (2) 求的分布列及期望E •已知该题被甲独立解出的概率为 °6，被甲或乙解出的概率为 °92，(2)求解出该题的人数的数学期望和方差.3、一个袋中装有黑球，白球和红球共 n(n ・N *)个，这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出 1个球，得到黑球的概率是 -•现从袋中任意摸岀2个球.54 疋(1)若n=15，且摸岀的2个球中至少有1个白球的概率是 ，设 表示摸岀的2个球中红球的个数，7求随机变量'的概率分布及数学期望 E '；(2)当n 取何值时，摸岀的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少 ？4.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：23f l （ X ）=x ，f 2（x ） =x ，f 3（ x ） =x ，f 4（ x ） =sinx ，f 5（x ）=cosx ，f 6（x ） =2. （1） 现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； （2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取岀后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数■的分布列和数学期望.5、某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试•假设某学生每1 一次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立.3（1）求该学生考上大学的概率.（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望.五、立体几何AB // CD ，BAD 二 90，PA 丄3、CG1、如图，在四棱锥P — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD _底面ABCD , PD = DC ,E 为PC 中点，作EF _ PB 交PB 于F(1) 证明：PB _平面EFD ；(2) 求二面角C _ PB _ D 的正弦值。
数学附加题江苏卷
普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D 、C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC. 求证：AC ＝2AD.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .C. (选修44：坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D. (选修45：不等式选讲)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1 － ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．23. 设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k k 个，…，即当（k －1）k 2＜n ≤k （k ＋1）2(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k.记S a ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P t ＝{n|S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l}．(1) 求集合P 11中元素的个数；(2) 求集合P 3 000中元素的个数．。