2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十一)数学理科
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十一)数学(理)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十一）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知复数z 满足2(1)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A. 1122i -+ B. 1122i -- C.1122i + D.1122i - 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出z ，再利用共轭复数及概念计算出z . 【详解】由于2(1)1z i i -=+，因此2111(1)22i i i z i i ++-+===--，因此11z 22i =--，故选B. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难度不大.2.记全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4A =，{}2,4,6B =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. {}1,3,6B. {}2,4C. {}5D. {}1,2,3,4,5,6【答案】A 【解析】 【分析】 先求得,AB A B ，然后求得阴影部分所表示的集合.【详解】依题意{}{}2,4,1,2,3,4,6A B A B ⋂=⋃=，所以阴影部分表示的集合为{}1,3,6. 故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集、并集的概念和运算，属于基础题. 3.下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A. 12y x = B. 2yx C. 3y x = D. 4y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，以及幂函数单调性，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，函数12y x =的定义域为[)0,+∞，所以函数12y x =是非奇非偶函数，排除A ； B 选项，幂函数2yx 在()0,∞+上单调递减，排除B ；C 选项，函数3y x =的定义域为R ，()33x x -=-，所以函数3y x =是奇函数，排除C ；D 选项，函数4y x =的定义域为R ，且()44x x -=，所以函数4y x =是偶函数；又由幂函数的性质可得，幂函数4y x =在()0,∞+上单调递增，故D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性确定解析式，熟记幂函数的性质，以及函数奇偶性即可，属于常考题型.4.某企业用自动化流水线生产统一规格的产品，每天上午的四个小时开工期间，每隔10分钟抽取一件产品作为样本，则这样的抽样方法是（ ） A. 简单随机抽样 B. 系统抽样C. 分层抽样D. 以上三种方法都有【答案】B 【解析】【分析】根据系统抽样的特点，即可确定答案.【详解】由题知这个抽样是每隔10分钟抽取一个产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，所以这是一个系统抽样. 故选：B【点睛】本题主要考查常见抽样的方法，属于基础题.5.已知椭圆22:14924x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，若C 上的点A 到2F 的距离为6，则△12AF F 的面积为（ ） A. 48B. 25C. 24D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到,,a b c ，根据椭圆定义得到1||AF ，根据2221212||||||AF AF F F +=可知△12AF F 为直角三角形，由此可求得面积. 【详解】依题意知，7a =，26b =，所以5c =，因为12||||214AF AF a +==，且2||6AF =，所以1||8AF =，在△12AF F 中，12||210F F c ==，因为2221212||||||AF AF F F +=，所以12AF AF ⊥，所以△12AF F 的面积为1211||||862422AF AF ⋅=⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了椭圆的定义，属于基础题.6.刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，估计sin3︒的值为（ ）A. 0.038B. 0.047C. 0.052D. 0.069【答案】C 【解析】 【分析】将一个单位圆平均分成120个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为3︒，由这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，能求出sin3︒的近似值． 【详解】解：将一个单位圆平均分成120个扇形， 则每个扇形的圆心角度数均为3︒，这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积， 112011sin360sin32π∴⨯⨯⨯⨯︒=︒≈，sin30.05260π∴︒≈≈故选：C ．【点睛】本题考查3︒角的正弦值的近似值的求法，考查扇形、单位圆等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A.57B.23C.34D.127【答案】A 【解析】 【分析】按照流程图的顺序进行计算，当进行完第五次循环时，停止循环可得结果. 【详解】1,0k s ==,第一次循环：2k =，13s =， 第二次循环：3k =，12s =， 第三次循环：4k =，35s =，第四次循环：5k =，23s =， 第五次循环：6k =，57s =，停止循环， 所以57s =.. 故选：A.【点睛】本题考查了当型循环，属于基础题.8.已知向量1,22b →⎛= ⎝⎭，向量a →在向量b →方向上的投影为2-．若a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则实数λ的值为（ ） A.14B. 14-C.12D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】由投影的概念可知2a bb→→→⋅=-，所以得2a b →→⋅=-，又0a b b λ→→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，代入计算可得λ. 【详解】向量a →在向量b →方向上的投影为2-，所以2a bb→→→⋅=-，又由12b →⎛= ⎝⎭得1b →=，所以2a b →→⋅=-，因为a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，所以0a b b λ→→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，所以20a b b λ→→→⋅+=，则有210λ-+=，解得：12λ=. 故选：C【点睛】本题主要考查了向量投影的概念，向量数量积的求解，向量模的坐标计算，考查了学生对概念的理解与运算求解能力.9.如图，网格纸上小正方形的边长是1，粗实（虚）线 画的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A. 642+B. 282+C. 822+D. 1223+【答案】A 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，可知该多面体是底面为正方形的斜四棱柱1111ABCD A B C D -，通过计算各面的面积,即可求得表面积【详解】将三视图还原成几何体，如图，可知该多面体是底面为正方形斜四棱柱1111ABCD A B C D -，11,22AB AD BB ===，所以它的表面积为2112122122642⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+故选：A【点睛】本题主要考查了三视图，几何体的表面积的计算，考查了学生的直观想象能力.10.已知曲线()ln f x x ax b =++在1x =处的切线是x 轴，若方程()()f x m m R =∈有两个不等实根12,x x ，则12x x +的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,1C. ()2,+∞D. ()4,+∞【答案】C 【解析】 【分析】利用()f x 在1x =处的切线是x 轴，求得,a b .利用()'f x 研究()f x 的单调性，根据方程()()f x m m R =∈有两个不等实根12,x x ，求得12x x +的取值范围.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'1f x a x=+， 依题意可知()()10110f a b f a ⎧=+=⎪⎨=+='⎪⎩，解得1,1a b =-=，所以()ln 1f x x x =-+，()'111x f x x x-=-=， 所以()f x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，()10f =， 由于方程()()f x m m R =∈有两个不等实根12,x x ， 所以0m <， 不妨设1201x x <<<，当0m →时，12121,12x x x x →→⇒+→， 当m →-∞时，12120,x x x x →→+∞⇒+→+∞， 即12x x +的取值范围是()2,+∞. 故选：C【点睛】本小题主要考查根据切线求参数，考查利用导数研究方程的根，属于难题.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ．若直线x t =与C 交于,A B 两点，且21AF BF ⊥，则C 的离心率的取值范围为（ ） A. (2 B. ()1,2C.)2,+∞D. ()2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】将直线t 与双曲线联立，求得2y ，利用210AF BF ⋅=列方程，然后根据22t c >，求得C 的离心率的取值范围.【详解】由22221x t x y a b=⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简得222222221t b y b t b a a ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭. 设()()00,,,A t y B t y -，而()()12,0,,0F c F c -，所以()()2010,,,AF c t y BF c t y =--=--，由于21AF BF ⊥，所以()()22221000,,AF BF c t y c t y t c y ⋅=--⋅--=--222222b t c t b a=--+222222222222222210b a b a c t c b t a t a a a a ⎛⎫--=--+=-=-= ⎪⎝⎭，所以22200t c y --=即2220t c y -=，故222222b t c t b a-=-，整理得到42222a t a c=-，因为220t c ->，故22t c > 即42222a c a c >-即()2222202a a c c >--，故2220a c ->，22222,21c a c e a><⇒<<故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于中档题. 12.关于函数()sin cos2f x x x =-，有下述四个结论： ①()f x 是周期为2π的函数； ②()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增；③()f x 在[]0,2π上有三个零点； ④()f x 的值域是[]1,1-．其中所有正确结论的编号是（ ） A. ②③ B. ①③C. ①③④D. ①②④【答案】B 【解析】 分析】①计算()2f x π+，即可判断出结果；②分0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦两种情况讨论，根据二次函数以及正弦函数的单调性，即可判断出结果；③分3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，357,,4444x ππππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两种情况，分别计算零点，即可判断出结果；④由③，只需计算出3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦时()f x 的最小值，即可判断出结果.【详解】①因为()sin cos2f x x x =-，所以()()()()2sin 2cos 2sin cos 2f x x x x x f x πππ+=+-+=-=； 因此()f x 是周期为2π的函数；故①正确； ②当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 20x ≥，则()2sin cos2sin 12sin f x x x x x =-=-+，令sin t x =，则sin t x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以0,2t ⎡∈⎢⎣⎦， 又221y t t =+-是开口向上，对称轴为14t =-的二次函数，因此221y t t =+-在0,2t ⎡∈⎢⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增； 当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos20x <，则()2sin cos2sin 12sin f x x x x x =+=+-，令sin t x =，则sin t x =在,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，所以2t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦， 又221y t t =-++是开口向下，对称轴为14t =的二次函数，因此221y t t =-++在2t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦上单调递减，所以函数()f x 在,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减；故②错；③当3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦时，cos 20x ≥，则()2sin 12sin f x x x =-+， 由()2sin 12sin 0f x x x =-+=，解得：sin 1x =-或1sin 2x =， 因此6x π=或56x π=； 当357,,4444x ππππ⎛⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos20x <，则()2sin 12sin f x x x =+-由()2sin 12sin 0f x x x =+-=，解得：sin 1x =或1sin 2x =-， 因此2x π=；综上，()f x 在[]0,2π上有三个零点，故③正确；④由③可得，当3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦时，()2sin 12sin f x x x =-+， 令sin t x =，根据正弦函数的性质，可得：3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦时，,22t ⎡∈-⎢⎣⎦，又221y t t =+-是开口向上，对称轴为14t =-的二次函数， 所以2min11921448y ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭，即()f x 在3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦上的最小值为98-，故④错. 故选：B .【点睛】本题主要考查三角函数与二次函数的综合应用，熟记二次函数与三角函数的性质即可，属于常考题型.二、填空题13.已知,a b 为实数，则下列各式是ln0ab>的充分不必要条件的有______．（只需填序号）<；②22ac bc >；③22a b >；④11a b<． 【答案】① 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，以及不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】ln0ab>等价于1a b >；<1>，0,0a b >>，所以能推出1a b >；但由1ab >，只能得到,a b <是ln 0ab>的充分不必要条件； ②由22ac bc >可得a b >，不能推出1a b >，故22ac bc >不是ln 0ab>的充分条件； ③若22a b >，当0b =时，a b 无意义；当0b ≠时，可得：221a b>，因此1a b >或1a b <-，因此由22a b >不能推出ln 0a b >，即22a b >不是ln 0ab>的充分条件； ④若11a b <，当0,0a b <>时，ln a b 无意义，故11a b <不是ln 0ab>的充分条件；故答案为：①.【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，涉及不等式的性质，属于基础题型.14.已知互不相等的四个数a b c d ,,,成等差数列，且,,a b d 成等比数列．若12a b c ++=，则b c d ++=______．【答案】18 【解析】 【分析】先求出4b =，则可设四个数a b c d ,,,分别为4,4,4,42,0m m m m -++≠，由,,a b d 成等比数列，列方程()()16442m m =-+求出m ，然后计算b c d ++.【详解】因为四个数a b c d ,,,成等差数列，所以2b a c =+，且12a b c ++=，得4b =， 设四个数a b c d ,,,分别为4,4,4,42,0m m m m -++≠， 由,,a b d 成等比数列，得()()16442m m =-+，解得：2m =, 所以46818b c d ++=++=. 故答案为：18【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的性质，考查了学生的运算求解能力.15.在曲线22x y x y +=+上及其内部随机取一点，则该点取自圆221x y +=上及其内部的概率为______．【答案】2ππ+【解析】 【分析】根据题意，求出曲线22x y x y +=+表示图形的面积，以及单位圆的面积，面积比即为所求概率.【详解】由22x y x y +=+得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.①当00x y ≥⎧⎨≥⎩时，22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示以11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以2为半径的圆的一部分；②当00x y ≥⎧⎨<⎩时，22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示以11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以22为半径的圆的一部分；③当00x y <⎧⎨≥⎩时，22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示以11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以22为半径的圆的一部分；④当00x y <⎧⎨<⎩时，22111222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示以11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，以22为半径的圆的一部分；即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由以上四部分组成；在同一坐标系内画出22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与221x y +=的图象如下：由图象易得：曲线22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示的平面区域面积为22124222S AB ππ⎛=+⨯⨯⨯=+ ⎝⎭， 单位圆221x y +=的面积为21ππ⨯=， 因此，所求的概率为2P ππ=+.故答案为：2ππ+.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解答的关键就是确定曲线22x y x y +=+所围成的平面区域的面积，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.16.已知三棱锥A BCD -的顶点都在球O 的球面上．若AB AD ⊥，1AB AD ==，BD CD ⊥，BD CD =．且二面角A BD C --的平面角等于150︒，则球O 的表面积为______． 【答案】10π如图，设点,E F 分别是线段,BC BD 的中点，过点E 作直线1l 垂直平面BCD ，过点F 作直线2l 垂直平面ABD ，则两直线的交点即为三棱锥A BCD -的外接球的球心O ，算出球半径R 即可求得球O 的表面积.【详解】如图，设点,E F 分别是线段,BC BD 的中点，因为AB AD ⊥，BD CD ⊥，所以点,E F 分别是,BCD ABD △△的外接圆的圆心，过点E 作直线1l 垂直平面BCD ，过点F 作直线2l 垂直平面ABD ，则两直线的交点即为三棱锥A BCD -的外接球的球心O ，又//EF CD ，所以EF BD ⊥，又AF BD ⊥，所以AFE ∠为二面角A BD C --的平面角，则有150AFE ∠=，又1AB AD ==，则可算出2,2BD DC BC ===，在直角OEF 中，260,2OFE EF ∠==，所以62OE =， 故有222104R OE EC =+=，所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积为10π. 故答案为：10π【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积的求法.在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.三、解答题17.在梯形ABCD 中，//AB CD ，3CD AC =，22cos ADC ∠= （1）求cos ACD ∠；（2）若42AD =3AB =，求BC 的长． 【答案】（1）13；（2）3BC =．（1）设AC m =，根据余弦定理的推论得到222cos 2CD AD AC ADC CD AD+-∠=⋅，求出AD =，再由222cos 2AC CD AD ACD AC CD+-∠=⋅，即可求出结果； （2）先由（1）得到1cos 3CAB ∠=，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】（1）设AC m =，则3CD m =，因为cos 3ADC ∠=， 在ACD 中，由余弦定理的推论可得222cos 2CD AD AC ADC CD AD +-∠=⋅，222923m AD m m AD+-=⨯⨯，解得AD =． 在ACD 中，由余弦定理的推论可得222cos 2AC CD AD ACD AC CD+-∠=⋅222981233m m m m m +-==⨯⨯．（2）因为AD ==，所以2m =． 因为AB CD ∥，所以ACD CAB ∠=∠，即1cos 3CAB ∠=． 又因为2AC m ==，3AB =，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AC AB AC AB CAB =+-⋅⋅∠14922393=+-⨯⨯⨯=．所以3BC =．【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.18.如图（甲），PAB △是边长为4的等边三角形，点,C D 分别为,PB PA 的中点，将PAB △沿CD 折成四棱锥P ABCD -，使PA BC ⊥，如图（乙）．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求PD 与平面PAB 所成角的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）22． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）由题意，以点C 为坐标原点，,CA CB 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系C xyz -，求出平面PAB 的一个法向量，以及直线PD 的方向向量，由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）证明：在ABC 中，2BC =，4AB =，60ABC ∠=︒， 所以2222cos 12AC BC AB BC AB B =+-⋅⋅=， 则有222AC BC AB +=，即AC BC ⊥． 又因为PA BC ⊥，PA AC A =，,PA AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ．（2）由（1）知AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，,CA CB 所在直线分别为,x y 轴建立如图所示的坐标系C xyz -．则()0,0,0C ，()23,0,0A ，()0,2,0B ，)3,1,0D -，易知P 在底面的射影为AC 与BD 的交点，所以2326P ⎝⎭．326,1,33PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，4326,0,33PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()23,2,0AB =-． 设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，直线PD 和平面PAB 所成角为θ，则0,0,n PA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即43260,332320.x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩令1x =，得()1,3,2n =．2sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅=<>==⋅， 所以直线PD 和平面PAB 所成角的正弦值为22．【点睛】本题主要考查证明线面垂直，以及求直线与平面所成角的正弦值，熟记线面垂直的判定定理，灵活运用空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.19.今年情况特殊，小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究．A 、B 两个投资项目的利润率分别为投资变量X 和Y ．根据市场分析，X 和Y 的分布列分别为：X 5% 10%P0.8 0.2 Y2% 8% 12% P0.2 0.50.3（1）若在,A B 两个项目上各投资100万元，ξ和η分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D ξ，D η；（2）若在,A B 两个项目上共投资200万元，那么如何分配，能使投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和最小，最小值是多少？ （注：()2D aX b a DX +=）【答案】（1）4D ξ=，12D η=；（2）A 、B 两个项目分别投资150万元，50万元时满足题意，最小值是12． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出分布列，运用期望，方差公式计算即可；（2）设在A 、B 两个项目上分别投资x 万元，()200x -万元，利润的方差和为()200100100x x f x D D ξη-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简函数即可求出最小值.【详解】（1）由题知，ξ，η的分布列分别为：所以50.8100.26E ξ=⨯+⨯=，()()22560.81060.24D ξ=-⨯+-⨯=．20.280.5120.38E η=⨯+⨯+⨯=，()()()222280.2880.51280.312D η=-⨯+-⨯+-⨯=．（2）设在A 、B 两个项目上分别投资x 万元，()200x -万元，利润的方差和为()f x ．则()200100100x x f x D D ξη-⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22200100100x x D D ξη-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22200412100100x x -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()244120012000010000x x =⨯-+()21507500625x -+=，可见，当150x =时，()12f x =为最小值．所以，在A 、B 两个项目分别投资150万元，50万元时，能使投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和最小，最小值是12．【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差的计算，二次函数求最值，考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生的运算求解能力.20.已知抛物线()2:205C y px p =<<，与圆()22:516M x y -+=有且只有两个公共点．（1）求抛物线C 的方程；（2）经过()2,0R 的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，试问在直线2y =上是否存在定点Q ，使得直线,AQ BQ 的斜率之和为直线RQ 斜率的2倍？若存在，求出定点Q ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）存在定点()2,2Q -满足题意．【解析】 【分析】（1）联立方程()2225162x y y px⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，得()221090x p x +-+=，由0∆=可得p 值，即可得抛物线C 的方程；（2）由题设(),2Q m ，易得当直线l 的斜率不存在时，恒有2RQ AQ BQ k k k =+；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程()224y k x y x ⎧=-⎨=⎩，由韦达定理与斜率公式表示出,,AQ BQ RQ k k k ，由2RQ AQ BQ k k k =+列方程求解出m 即可.【详解】（1）联立方程()2225162x y y px⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，得()221090x p x +-+=，因为抛物线C 与圆M 有且只有两个公共点， 则()2210360p ∆=--=，解得2p =或8p =， 又05p <<，所以2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）假设直线2y =上存在定点(),2Q m ，当直线l的斜率不存在时，(2,A，(2,B -， 由题知2RQ AQ BQ k k k =+，即2222222m m m -+⋅=+---恒成立． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程()224y k x y x⎧=-⎨=⎩得()22224140k x k x k -++=，则()212241k x x k++=，124x x =，由题知2RQ AQ BQ k k k =+， 所以121222222y y m m x m x --⋅=+--- ()()()()()()2112122222m x k x m x k x m x m x ---+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--()()()()12122121222241kx x km k x x m k x x m x x m-+++++=-++ ()22224488824mk km k k k m m----=--，整理得()()24220m k m --+=，因为上式对任意k 成立，所以24020m m ⎧-=⎨+=⎩，解得2m =-，故所求定点为()2,2Q -．【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，抛物线中的定点问题，考查了学生的运算求解能力.21.已知函数()1xf x e ax =--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()123x x x <<是曲线()y f x =上任意三点，求证：()()()()21312131f x f x f x f x x x x x --<-- 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增．（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求得()f x 的导函数()'f x ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论()f x 的单调性.（2）将所要证明的不等式，转化为证明()121212110t t e e t t t t --<<<，构造函数()()10t e g t t t-=>，利用导数研究()g t 的单调性，由此证得不等式成立.【详解】（1）函数()f x 的导函数为()x f x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，由()0f x '≥知ln ≥x a ，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()ln ,a +∞上单调递增．（2）由题可知：要证()()()()21312131f x f x f x f x x x x x --<--， 需证32112131x x x x e e e e x x x x --<--，即需证()()311121213111x x x x x x e e e e x x x x ----<-- 设211x x t -=，312x x t -=，则需证：当120t t <<时，121211t t e e t t --<，设()()10t e g t t t -=>，则()()211t e t g t t-+'=， 设()()11t h t e t =-+，则()0th t te '=>，所以()h t 在()0,∞+单调递增， 所以()()00h t h ≥=，于是()0g t '≥，()g t 在其定义域内单调递增，所以，当12t t <时，121211t t e t t t --<． 所以不等式()()()()21312131f x f x f x f x x x x x --<--成立. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，属于难题. 22.在直角坐标系xOy 中，直线l 过原点且倾斜角为4π，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线2C的参数方程为12x y ββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（β为参数）．（1）求直线l 的极坐标方程，曲线1C 和曲线2C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线1C 和曲线2C 在第一象限的交点分别为,M N ，求MN ．【答案】（1）直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线1C 的普通方程为2213x y +=，曲线2C 的普通方程为()()22125x y -+-=；（2【解析】【分析】 ()1直线l 的极坐标方程为4πθ=，()R ρ∈；利用22sin cos 1αα+=，消去参数即可得1C 和2C 的普通方程；()2将1C ，2C 化成极坐标方程后将4πθ=代入可求得OM ，ON ，再相减即可得MN ． 【详解】（1）直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线1C 的普通方程为2213x y +=， 曲线2C 的普通方程为()()22125x y -+-=；（2）将cos ,sin x y ρθρθ==代入1C 和2C 的普通方程化简得，曲线1C 的极坐标方程为22312sin ρθ， 曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，所以2cos 4sin 44ON ππ=+=，2OM ==，可得2MN ON OM =-=． 【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查两点距离的求法，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.23.已知不等式23x x -<与不等式()20,x mx n m n R -+<∈的解集相同． （1）求m n -；（2）若(),,0,1a b c ∈，且ab bc ac m n ++=-，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）1；（2）1．【解析】【分析】（1）解不等式|23|x x -<得出20(,)x mx n m n R -+<∈的解集，从而求得m ，n ；（2）根据题意，利用基本不等式求得222a b c ++的最小值．【详解】解：（1）当0x ≤时，不等式解集为空集；当0x >时，2323x x x x x -<⇔-<-<，即13x <<，所以1,3是方程20x mx n -+=的两根，所以10,930.m n m n -+=⎧⎨-+=⎩解得4,3.m n =⎧⎨=⎩所以1m n -=．（2）由（1）可知1ab bc ac ++=， 因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 所以222222222222a b b c a c a b c +++++=++ 1ab bc ac ≥++=（当且仅当a b c === 所以222a b c ++的最小值为1．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．。
高三数学(理)联考试卷
2023届高三年级11月联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{（x ，y ）｜x －y ＝0}，B ＝{（x ，y ）｜x －y 2＝0}，则A ∩B ＝A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．{（0，0），（1，1）}D ．∅2．若a ＞b ＞0＞c ，则A ．（a －b ）c ＞0B ．c a ＞cb C ．a －b ＞a －cD ．1a c ＋＜1b c＋3．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且n a ＞0，则6328S S a a －＋＝A ．2B ．32C ．1D ．124．已知α为第三象限角，且1cos23α＝，则cos α＝A．－3B．－3C．3D．35．已知数列{n a }是1a ＞0的无穷等比数列，则“{n a }为递增数列”是“k ∀≥2且k N *∈，k a ＞1a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知非零向量a ，b的夹角正切值为，且（a ＋3b ）⊥（2a －b ），则ab＝A ．2B ．23C ．32D ．17．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ：b ：c ＝2：3：4，则△ABC的面积为A ．21512a B ．21512b C ．212a D ．212b 8．已知函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ，不等式()f x x＜0的解集为（(312，0）∪（0，()312），则不等式f （x ）≤－27的解集为A ．{x ｜x ≤－3或x ＝3}B ．{x ｜x ≤3}C ．{x ｜x ≥－3}D ．{x ｜x ≥3或x ＝－3}9．若2a ＝3b ＝6c 且abc ≠0，则A ．a c －a b＝1B ．b a －bc ＝1C ．a c －b c＝1D ．a b －b c＝110．已知函数f （x ）＝sin 3x πω⎛⎫⎪⎝⎭－（ω＞0）的最小正周期为π，则A ．f （2）＜f （0）＜f （－2）B ．f （0）＜f （－2）＜f （2）C ．f （－2）＜f （0）＜f （2）D ．f （0）＜f （2）＜f （－2）11．对任意实数x ，定义[x]为不大于x 的最大整数，如[0．2]＝0，[1．5]＝1，[2]＝2．已知函数f （x ）＝[x]·sin x π，则方程｜f （x ）｜＝3－50x在（0，＋∞）上的实根个数为A ．290B ．292C ．294D ．29612．已知点P 在曲线y ＝－1x（x ＞0）上运动，过P 点作一条直线与曲线y ＝e x 交于点A ，与直线y )1x －交于点B ，则｜｜PA ｜－｜PB ｜｜的最小值为A ．1B ＋1C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{n a }中，3a ＝2，5a ＝4，则11a ＝__________．14．在平行四边形ABCD 中，AE ＝AD λ ，AF＝AB μ ，λμ＞0，且E ，C ，F 三点共线，则λ＋μ的最小值为__________．15．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，满足f （2π＋x ）＝f （2π－x ），f （2π）＝3，且()sin f x x '＋f （x ）cosx ＞0在（0，2π）内恒成立（()f x '为f （x ）的导函数），若不等式f （4π＋x ）sin （3π－x ）≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．16．设－1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公差为d 的等差数列，a 2，a 4，a 6成公比为3的等比数列，则d 的最小值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy 中，角α，β，γ（α，β，γ∈（0，2π））的顶点在原点，始边均与x 轴正半轴重合，角α的终边经过点A （－1，2），角β的终边经过点B （3，4）．（Ⅰ）求tan （α－β）的值；（Ⅱ）若角γ的终边为∠AOB （锐角）的平分线，求2sin γ的值．18．（12分）已知数列{n a }的各项均不为0，其前n 项的乘积n T ＝12n －·1n a ＋．（Ⅰ）若{n a }为常数列，求这个常数；（Ⅱ）若1a ＝4，设n b ＝2log n a ，求数列{n b }的通项公式．19．（12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝2π，∠BCD ＝4π，5BC ＝CD ，AB，AD ＝3．（Ⅰ）求tan ∠BDC 的值；（Ⅱ）求BD ．20．（12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a ＝1，1n S ＋＝4n a ．（Ⅰ）证明：数列{12nn S －}为等差数列；（Ⅱ）求数列{n S }的前n 项和n T ．21．（12分）已知函数f （x ）＝2x －1＋x ae的最小值为1．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f （x ）没有公共点，求实数k 的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝ln x＋x（x－3）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x1，x2，x3∈（0，＋∞），且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），求证：2x1＋x2＞x3．。
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (10)
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题10学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |2x -1≥0},则A ∩B =A.(1,+∞)B.[12,1) C.(12,2) D.[12,2) 2．若复数1-bi 2+i(b ∈R )的实部与虚部相等,则b 的值为A.-6B.-3C.3D.6 3．函数f (x )=2x2+1，x ∈[−1, √2]的值域为A.[2, 8]B.[4, 8]C.[1, 3]D.[2, 3]4．设△ABC,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P,恒有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0⃗⃗⃗⃗ ·P 0⃗⃗⃗⃗ ,则A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC5．定义在R 上的奇函数f (x )连续且可导,若f (x )-f'(x )<x -1恒成立(其中f'(x )为f (x )的导函数),则A.f'(0)<1B.f (-1)+f'(-1)<0C.f (1)<f (0)<f (-1)D.f (-1)<f (0)<f (1)6．在2019年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了3种不同的精美海报,每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报,集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛的门票.现有4个球迷组成的球迷团(每人各买一份球迷礼包),则他们能获得该门票的概率为A.1027B.49C.59D.17277．已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nC.若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥nD.若m ∥α,m ∥β,则α∥β8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=36,a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9=A.30B.35C.40D.4510．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),以原点O 为圆心的圆(圆的半径小于b )的面积为4π,且经过椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点,Q 为圆上任意一点,若P ,Q 两点间的距离的最小值为1,则椭圆的离心率为A.2√1313 B.√1313C.√32 D.12 11．下列区间中,函数f (x )=7sin(x -π6)单调递增的区间是A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)12．如图,已知圆柱OO 1的轴截面是边长为2的正方形,A 1,B 1,C 1是圆O 1的三等分点,BB 1∥AA 1∥OO 1,那么异面直线AC 1与OB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=e x 2-e x (e 是自然对数的底数)在x =1处的切线方程为 . 14．已知数列{a n }与{b n }满足a n =2b n +3(n ∈N ∗),若{b n }的前n 项和为S n =32(3n −1)且λa n >b n +36(n −3)+3λ对一切n ∈N ∗恒成立,则实数λ的取值范围是 . 15．某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出m 与年销售额t (单位:百万元) 进行了初步统计,得到下列表格中的数据:经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程t ＾=6.5m +17.5,则p = .16．已知某双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0,且该双曲线经过点(2,-3√2),则该双曲线的实轴长为 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(cos∠B ,2cos 2∠C 2-1),n =(c ,b -2a ),且m ·n =0.(1)求∠C 的大小;(2)若点D 为边AB 上一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,c =2√3,求△ABC 的面积. 18．(本题12分)如图,棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形.侧棱长为5,平面ABCD ⊥平面A 1ACC 1,AB =3√3,∠BAD =60°,点E 是ΔABD 的重心,且A 1E =4.(1)求证:平面A 1DC 1∥平面AB 1C ; (2)求棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积.19．(本题12分)某省在高考改革试点方案中规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;从2020年开始,高考总成绩由语、数、外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目考生的原始成绩从高到低依次划分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E 共8个等级,参照正态分布的原则,确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,132). (1)求该校高一年级学生的物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,X 表示这3人中某门选考科目的等级成绩在区间[61,80]的人数,求X 的分布列和数学期望.附:若随机变量ξ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.20．(本题12分)已知以F 为焦点的抛物线C :y 2=2px (p >0)过点P (1,-2),直线l 与C 交于A ,B 两点,M 为AB 的中点,O 为坐标原点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)当λ=3时,求点M 的坐标; (2)当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12时,求直线l 的方程.21．(本题12分)已知函数f (x )=(x −1)e x +ax 2,e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )在(1,f(1))处的切线方程为y =−ex +a +e ,求实数a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(一)理科数学试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（一）数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
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第Ι卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12x A y y -==，}4{0|2x B x x -=≤+，则A B =（ ） A. ()0,4 B. ∅C. ()2,-+∞D. [)2,-+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据指数型函数的值域化简集合A ，求解不等式化简集合B ，按并集的定义即可求解. 【详解】{}12(0,)x A y y -===+∞，]402{|}(2,4x B x x ≤=+--=， (2,)A B ∴=-+∞.故选：C.【点睛】本题考查集合间的运算，掌握指数函数性质是解题的关键，属于基础题. 2.若复数z 满足211z ii i⋅=++（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点在（ ） A .第四象限 B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法、除法的运算法则，求出z ，得到z 对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】(12)(1)1321,31z i i i ii z i i i i⋅++-+=+∴===++， 复数z 在复平面内对应的点坐标为(3,1)，在第一象限. 故选：D .【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题. 3.已知条件1:p k =，条件:q 直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线1y kx =+与圆2212x y +=相切时k 的值，再由充分必要条件的定义判定，即可得出结论. 【详解】设圆心(0,0)O 到直线1y kx =+距离为d ， 由直线1y kx =+与圆2212x y +=相切， 则d ==，解得1k =±， ∴p 成立则q 成立，q 成立p 不一定成立，所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分不必要条件的判定以及直线与圆的位置关系，属于基础题.4.若31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，313bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c c -=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. c a b <<B. c b a <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得,,a b c 分别为1()3xy =与三个函数1333log ,,y x y x y x ===交点的横坐标，做出函数图象，即可求解结论.【详解】做出函数13331(),log ,,3x y y x y x y x ====的图象，根据图象可得，c b a <<. 故选：B.【点睛】本题考查方程的解与函数图象间的关系，熟练掌握基本初等函数性质是解题关键，属于基础题. 5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3a =（ ） A. 17 B. 29C. 23D. 35【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得{}n a 为等差数列，由9S ，求出5a ，再结合公差，即可得出结论.【详解】依题意{}n a 为等差数列，且3d =-，199559()9207,232a a S a a +===∴=， 35229a a d ∴=-=.故选：B.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和以及通项的基本量运算，属于基础题.6.函数2()()1x x x e e f x x --=-的图像大致是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】判断函数奇偶性、走势，利用排除法快速得出答案.【详解】由题意得，22()()()()11x x x x x e e x e e f x f x x x ------===--即()f x 为偶函数，故排除A ；当,()x f x →+∞→+∞，根据图像走势，排除B,D 故选：C【点睛】解答此类问题可从函数奇偶性、特殊点的值、渐近线和走势等多方面入手，利用排除法快速得到答案.7.已知非等向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且3BC AB =，则ABC 为（ ） A. 等腰非等边三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形D. 三边均不相等的三角形【答案】A 【解析】 【分析】 由AB AC ABAC+的几何意义结合已知可得AB AC =，即可得出结论.【详解】不妨设||||AB AC AP AB AC =+， 即AP 为BAC ∠角平分线所在直线上的向量， 又AP BC ⊥，AB AC ∴=，又32BC AB AB =≠，所以ABC 为等腰非等边三角形. 故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断，掌握向量的几何意义是解题的关键，属于中档题 8.在正方体内随机放入n 个点，恰有m 个点落入正方体的内切球内，则π的近似值为（ ） A.2mnB.2m nC.6m nD.6m n【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型来计算π的近似值，先求出两个图形的体积，求出点落在内切球的概率，根据比例得出π的近似值.【详解】设正方体的边长为2，则其内切球的半径为1，正方体与其内切球的体积分别为48,3π， 恰有m 个点落入正方体的内切球概率为mn，根据几何概型体积型概率得46,38m mn nππ=∴=⨯.故选：C .【点睛】本题考查模拟方法估计概率的应用问题，利用体积比表示概率，属于基础题. 9.执行如图所示的程序框图，若输出的数3S =，那么判断框内可以填写的是（ ）A. 6?k ≥B. 6?k ≤C. 7?k ≥D. 7?k ≤【答案】C 【解析】 【分析】由程序框图，写出运行结果，根据程序输出结果是3S =，可得判断框内应填入的条件. 【详解】初始0,2,1S m k ===，第一次运行12,,22S m k ===不输出， 第二次运行5,1,32S m k ==-=不输出， 第三次运行3,2,42S m k ===不输出，第四次运行71,,522S m k ===不输出，第五次运行4,1,6S m k ==-=不输出，第六次运行3,2,7S m k ===，停止运行输出3S =， 所以判断框要填7?k ≥. 故选：C.【点睛】本题考查补全循环结构程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 10.已知函数()sin cos f x x x =⋅，给出下列四个说法：①2015364f π⎛⎫=⎪⎝⎭，②函数()f x 的一个周期为2π；③()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 的图象关于点（π，0）中心对称；其中正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()f x 的解析式，结合特殊角的三角函数值、函数周期定义、正弦型三角函数的单调性、以及对称中心的定义，逐项判断.【详解】2015551()(335)()6662f f f πππππ=+=+==(2)cos(2)|sin(2)|cos |sin |()f x x x x x f x πππ+=++==，所以②对；313,,()cos sin sin 2,2[,]44222x f x x x x x ππππ⎡⎤∈∴=⋅=∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 单调递减，所以③对；3151(),()42224222f f ππ=-⨯=-=-⨯=-， 35()()44f f ππ≠-，所以④错. 故选：D .【点睛】本题考查三角函数的求值、周期、单调性和对称性的综合应用，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.11.定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≤时，恒有03()()xx f x f '--≥，若()()3g x x f x =，则不等式()()213g x g x >-的解集为（ ）A. 1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】考虑用单调性解不等式，求()g x '结合已知，可得()g x 在(,0]-∞上的单调性，再由()g x 的奇偶性得到()g x在R 的单调性，即可求解.【详解】()f x 在R 上是奇函数，()()f x f x ∴-=-， 所以当0x ≤时，恒有()()03xx f x f '+≥， ()()()2323()3[()]03xg x x f x x f x x f x f x '=⨯+⨯'=+'≥， ()g x ∴在(,0]-∞单调递增，()()()()33g x x f x x f x g x -=--==， ()g x ∴是偶函数，()g x ∴在[0,)+∞单调递减，()()213g x g x ∴>-等价于|2||13|x x <-，两边平方得25610x x -+>解得15x <或1x >， 所以不等式的解集为1(,)(1,)5-∞+∞.故选：D.【点睛】本题考查不等式的求解，利用函数导数、单调性、奇偶性是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算，属于中档题.12.如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm 时，则切面的面积为（ ）A.2415cm B.2163cm C.2102cm D.283cm 【答案】A 【解析】 【分析】设直棱柱的底面为ABCD ，切面为APFM ，由对称性得BP DM =，连PM ，可得PM BD =， 根据面面平行的性质定理，可得截面APFM 为菱形，过P 点做PE CF ⊥于E ，可证PB EF CE ==，根据已知60NPF ∠=︒，可求出CF ，进而求出AF 即可.【详解】设直棱柱的底面为ABCD ，切面为APFM ，根据对称性BP DM =，AP AM ∴=，在直棱柱中，平面ABP 平面CDMF ，平面ABP 切面APFM AP =， 平面CDMF 切面APFM FM =，APFM ∴，同理PFMA ，切面APFM 为菱形，连,,AF PM BD ，则22PM BD ==，过点P 做PE CF ⊥于E ，则BP CE =，2PE AB ==，Rt ABP Rt PEF ∴≅△△，,2BP EF CF EF ∴=∴=，60,30NPF FPE ∠=︒∴∠=︒，在Rt PEF △中，23tan 303EF PE =︒=， 43,3CF CF AC ∴=⊥， 221623083AF CF AC ∴=+=+=， 所以切面APFM 面积为21123041522()22AF PM cm ⨯⨯=⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查实际应用问题，考查正四棱柱的结构特征以及切面的面积，利用线面关系确定切面的形状特征是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在()7121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为________. 【答案】85- 【解析】 【分析】求出()721x -展开式中的常数项和2x 项分别与1x x ⎛⎫+⎪⎝⎭中的1,x x 相乘即可. 【详解】()721x -展开式通项为777177(2)(1)(1)2k k k k k k kk T C x C x ---+=-=-⨯0,1,27k =，所以常数项为1-，含2x 的项为52227284C x x -⨯=-，所以()7121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为85-. 故答案为：85-【点睛】本题考查二项展开式定理，掌握二项展开式通项是解题的关键，属于基础题. 14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若11a =，121n n a S +=+()n N *∈，则3456a a a a +++=__________.【答案】360 【解析】 【分析】根据递推公式，当1n =求出2a ，当2n ≥，求出1,n n a a +关系，即可求解. 【详解】11a =，121n n a S +=+()n N *∈，∴当1n =时，21213a a =+=，当2n ≥时，121n n a S +=+，121n n a S -=+两式相减得，112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-=∴=≥，又213a a =，{}n a ∴是1为首项公比为3的等比数列，13n n a -∴=， 345692781243360a a a a ∴+++=+++=.故答案为：360.【点睛】本题考查数列的前n项和与通项关系，还考查运算求解能力及化归与转化思想，属于基础题.15.若实数, x y满足不等式1520xx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则1yx+的最大值为___________.【答案】2【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据斜率的几何意义，利用图形转化为求可行域内的点与点(1,0)B-连线斜率的最大值.【详解】做出满足1520xx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的可行域，如下图阴影部分，1yx+几何意义为可行域内的点与点(1,0)B-连线的斜率，根据图形，当直线为BA时，斜率最大，联立15xx y=⎧⎨+=⎩，解得max(1,4),()21yAx∴=+.故答案为：2.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，运用斜率的几何意义求目标函数的最值，属于基础题.16.若点P是曲线21:16C y x=上的动点，点Q是曲线222:(4)9C x y-+=上的动点，点O为坐标原点，则PQOP的最小值是___________.【答案】8【解析】 【分析】曲线222:(4)9C x y -+=圆心2(4,0)C 是抛物线焦点F ，半径为3，所以||3||PQ PF OP OP -≥，转化为求||3||PF OP -的最小值，设(,)P x y ，利用焦半径公式和抛物线方程将||3||PF OP -表示为x 的函数，化简运用二次函数的最值，即可求解.【详解】抛物线21:16C y x =的焦点为(4,0)F ，曲线222:(4)9C x y -+=圆心(4,0)F ，半径为3，||3,,,||PQ PF P Q F OP OP -∴≥三点共线时等号成立，设(,),0P x y x >，则||3||PF OP -====11t x =+，则01t <<，||3||PF OP -==， 当715t =，即87x =时，||3||PF OP -取得最小值为8，所以87x =时，PQ OP取得最小值为8.【点睛】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线定义有关，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简，“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦半径有关问题的重要途径.属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题，共60分.17.在三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()22cos 2cos 2Ca abc A -=-. （1）求角A 的大小； （2）若a =2b c -的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）(.【解析】 【分析】（1）利用二倍角余弦公式和正弦定理将条件等式转化为角的关系，再由两角和差公式化简，求出cos A ，即可求解；（2）由,A a 和正弦定理，将,b c 用B 角表示，再化为正弦型函数，结合B 角范围，即可得出结论. 【详解】（1）由()22cos2cos 2Ca abc A -=-，点cos (2)cos a C b c A =-， 由正弦定理得sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =-，sin cos sin cos sin()sin 2sin cos A C C A A C B B A +=+==，10,sin 0,cos 2B B A π<<∴≠=， 0,3A A ππ<<∴=；（2）由正弦定理得2sin sin sin b c aB C A====， 22sin ,2sin 2sin(),033b Bc C B B ππ===+<<，24sin 2sin()3sin 3b c B B B B π-=-+=∴1cos ))226B B B π=-=-， 210,,sin()1366226B B B πππππ<<∴-<-<-<-<，2b c -<∴2b c -的取值范围是(.【点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，14AC CC ==，2BC =，D 为棱11A C 上的动点.（1）若D 为11A C 的中点，求证：1//BC 平面1ADB ；（2）若平面11A ACC ⊥平面ABC ，且1160AAC ∠=︒是否存在点D ，使二面角11B AD C --的平面角的余弦311A D C D 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）113A DC D=. 【解析】 【分析】（1）连1A B 交1AB 与E ，连DE ，E 为1A B 中点，结合已知可得1DE BC ，即可证明结论；（2）根据已知可得BC ⊥平面11A ACC ，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，由已知确定111,,,A A B C 坐标，假设满足条件的点D 存在，设111(01)A D AC λλ=≤≤，求出平面1AB D 的法向量坐标，取平面1AC D 一个法向量为(0,0,1)n =，按照空间向量的面面角公式，建立λ的方程，求解即可得出结论. 【详解】（1）连1A B 交1AB 与E ，连DE ， 四边形11AA B B 为平行四边形，E ∴为1A B 中点， 又D 为11A C 的中点，1,DEBC DE ∴⊂平面1ADB ，1BC ⊄平面1ADB ，1//BC ∴平面1ADB ；（2）1,AC CC ∴=平行四边形11AAC C 为菱形，11AC AC ⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，,AC BC BC ⊥∴⊥平面11A ACC ，过点C 作1C A 的平行线CP ，即1,,CA CP CB 两两互相垂直，以C 为坐标原点，以1,,CA CP CB 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，111160,4,AAC AC AC ∠=︒∴==，故11(0,0,0),2,0),2,2)C A C B -- 111(23,2,0),(0,4,2)AC AC AB ==--=-， 假设存在点D ，使二面角11B AD C --设111(,2,0),01A D AC λλλ==--≤≤， 11(2),2(1),0)AD AA A D λλ=+=--+，平面1AC D 一个法向量为(0,0,1)n =， 设平面1AB D 的法向量为(,,)m x y z =，100AD m AB m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即)2(1)0420x y y z λλ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x λ=+，则),)yz λλ=-=-，(1,3(1),))m λλλ∴=+--由cos ,4m n <>==， 整理得2249(1)(1),771λλλλ-=+∴-=+或771λλ-=--， 解得4(13λλ=>舍去）或34λ=， 111113,34A D A D AC C D∴=∴=， ∴满足条件的点D 存在，且113A DC D=.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行，以及空间向量二面角公式的应用，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.19.已知圆C ：()22232x y ++=，点()2,0D ，点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平分线交线段CP于点Q .（1）求点Q 的轨迹方程.（2）设点(0,2)A ，,M N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点A .求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）22184x y +=；（2）直线MN过定点2(0,)3-，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得||||42CQ QD +=Q 的轨迹为椭圆，即可求出方程；（2）设直线MN 方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，得到,M N 两点横坐标的关系，再由已知可得AM AN ⊥，利用0AM AN ⋅=和,M N 两点横坐标的关系，整理出,m k 关系或求出m 为定值，即可求出结论.【详解】（1）圆C ：()22232x y ++=，得圆心(2,0)C -，半径42r =PD 的垂直平分线交线段CP 于点,Q QP QD ∴=，||||||||||424||QC QD QC QP CP r CD ∴+=+===>=， ∴点Q 的轨迹为椭圆，且焦点在x 轴，22,2a c ∴==，2222,4a b a c ∴==-=，∴点Q 的轨迹方程为22184x y +=；（2）依题意直线MN 斜率存在，设其方程为,2y kx m m =+≠±，联立2228y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得，222(12)4280k x kmx m +++-=， 222222168(4)(21)8(84)0k m m k k m ∴∆=--+=-+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2121222428,1212km m x x x x k k-+=-=++， 以MN 为直径的圆过点A ，,0AM AN AM AN ∴⊥∴⋅=，12121212(2)(2)(2)(2)AM AN x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-221212(1)(2)()(2)0k x x k m x x m =++-++-=，2222,2(2)(1)4(2)(12)0m m k mk m k ≠∴++-+-+=，整理得2320,3m m +=∴=-，此时>0∆恒成立， 所以直线MN 过定点2(0,)3-.【点睛】本题考查定义法求椭圆轨迹方程、直线与椭圆的位置关系、证明直线过定点等知识，要掌握根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20.自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数.经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x ，每天新增确诊人数作为变量y ，通过回归分析，得到模型ˆˆˆln yb x a =+用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：()()()()99911115,42.2,ln 1.42,384,ln ln 100.869i i i i ii i i x y x x x y y x xy y ======--=--=∑∑∑，()()99221160,ln ln 4.1,ln10 2.3i i i i x x x x==-=-==∑∑.根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X ，求X k =最有可能（即概率最大）的值是多少. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v …，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii ni i u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑. 【答案】（1）回归方程为ˆ24.6ln 7.3y x =+，估计第10天新增确诊人数为64人；（2）3k =.【解析】 【分析】（1）由模型ˆˆˆln yb x a =+，根据提供公式，结合数据()()91ln ln 100.86iii x x y y =--=∑，()921ln ln 4.1ii x x =-=∑，求出b ，利用(ln ,)x y 回归方程上求出a ，将10x =代入回归方程，即可估算结论；（2）根据已知可得余下的人员中被感染的人数为X ，服从二项分布(11,0.3)XB ，由()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩，且110,k k N ≤≤∈，即可求出X k =最有可能（即概率最大）的值.【详解】（1）()()()91921ln ln 100.8624.6l ˆˆˆl , 4.1n n ln iii i i b x x y y a xyb x x ==--====+∴-∑∑， 24.6ln 42.224.6 1.427.3a y x =-⨯=-⨯≈，∴回归方程为ˆ24.6ln 7.3yx =+， 当10x =时，ˆ24.6ln107.324.6 2.37.363.8864y=⨯+=⨯+=≈， ∴估计第10天新增确诊人数为64人；（2）设余下11人中被感染的人数为X ，则(11,0.3)XB ，1111()0.30.7kk k P X k C -∴==⋅，要使()P X k =最大，需()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩，111112111111111011110.30.70.30.70.30.70.30.7k k k k k k k k k k k kC C C C -----++-⎧⋅≥⋅∴⎨⋅≥⋅⎩ 即0.30.7!(11)!(1)!(12)!0.70.3!(11)!(1)!(10)!k k k k k k k k ⎧≥⎪---⎪⎨⎪≥⎪-+-⎩，3.60.30.70.70.7 3.30.3k kk k -≥⎧⎨+≥-⎩得2.6 3.6,,3k k N k ≤≤∈∴=，所以X k =最有可能（即概率最大）的值为3k =.【点睛】本题考查回归方程及其应用、二项分布的随机变量概率最大值，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知函数()cos xf x ae x =-,2a R x π⎛⎫∈>-⎪⎝⎭. （1）证明：当1a =时，()f x 有最小值，无最大值； （2）若在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上方程()0f x =恰有一个实数根，求α的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）43412{}[,0]{}22e e eπππ--. 【解析】 【分析】（1）当1a =，求()f x '，进而求出单调区间，极小值，即可证明结论； （2）分离参数转化为()cos 2x x a x e ππ=-<<，令)(2)(cos x x g x x e ππ-=<<，求y a =与()g x 只有一个交点时，a 的范围，通过求导求出()g x 在,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调区间，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】（1）当1a =时，()cos ,()sin xxf x e x f x e x =-'=+， 当(0,),()1sin 0x f x x ∈+∞'>+>恒成立，当(,0)2x π∈-，()f x '单调递增，2()10,(0)102f ef ππ-'-=-<'=>，所以存在的0(,0)2x π∈-，使得0()0f x '=，()f x 在0(,)2x π-单调递减，在0(,)x +∞单调递增，当0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有最小值0()f x ，无最大值； （2）方程()cos 0()2xf x ae x x ππ=-=-<<恰有一实根，()2cos x x x a e ππ-⇔<<=恰有一实根， y a ⇔=与)(2)(cos x x g x x e ππ-=<<恰有一个公共点，4(),,2xx g x x e πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭'=∈- ⎪⎝⎭， 令()0,4g x x π'==-或34x π=， 当3(,)(,)244x ππππ∈--时，()0g x '>， 当3(,)44x ππ∈-时，()0g x '<， ()g x ∴在(,)24ππ--上单调递增，在3(,)44ππ-上单调递减，在3(,)4ππ上单调递增，即极大值为4()42g e ππ-=， 极小值为431()()0,()422g g g eeππππ=-==-，做出()g x 在(,)2ππ-上的图象，如下图所示，又y a =与)(2)(cos x x g x x e ππ-=<<恰有一个公共点， a ∴的取值范围是434212{}[,0]{}2e e e ππ--.【点睛】本题考查函数导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、方程的根等知识，注意分离参数在解题中的应用，也考查数形结合思想以及直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，()02θπ≤≤.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）射线l 的极方程为()0,0θααπρ=≤≤≥，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于原点的,A B 两点，且4OA OB =，求α的值.【答案】（1）2cos 2sin ρθθ=；（2）3πα=或23πα=. 【解析】【分析】（1）消去1C 方程中的参数化为普通方程，再由cos ,sin x y ρθρθ==化为极坐标方程；（2）将()0,0θααπρ=≤≤≥代入11,C C 极坐标方程，由已知0ρ≠，利用4A B ρρ=，建立α方程，求解即可.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈）， 消去参数t 得曲线1C 的普通方程为212y x =， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入212y x =得222sin cos ρθρθ=， 0ρ∴=或2cos 2sin ρθθ=，2cos 2sin ρθθ=包含0ρ=，1C ∴的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=；（2）射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于原点的,A B 两点，设,A B 的极坐标方程为(,),(,),0,0A B A B B ραραρρ≠≠，则2cos 2sin ,2sin ,(0,)A B ρααρααπ==∈， 依题意22sin cos 0,4,42sin cos A B ααρραα≠=∴=⨯， 又1sin 0,cos ,(0,)2αααπ≠∴=±∈， 3πα∴=或23πα=. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化，以及极坐标方程的求解，考查数学计算能力，属于中档题.23.若不等式13x m x +++≤的解集非空.（1）求实数m 的取值范围；（2）设m 的最大值为M ，若b a R +∈、，且a b M +=，求2211a b b a +++的最小值. 【答案】（1）[2,4]-；（2）83. 【解析】【分析】（1）只需min 1)3(x m x +++≤，根据绝对值不等式性质求出min (1)x m x +++，即可求解；（2）由（1）得4a b M +==，将所求式子化为221()[(1)(1)]611a b a b b a ++++++，利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）1|()(1)||1|x m x x m x m +++≥+-+=-不等式13x m x +++≤的解集非空，|1|3m ∴-≤， 313,24m m -≤-≤∴-≤≤，m ∴的取值范围是[2,4]-；（2）由（1）得4,4M a b =∴+=，又,a b R +∈，22221()[(1)(1)]11611a b a b a b b a b a +=++++++++ 22221(1)(1)[]611a ab b a b b a ++=+++++ 222118(2)()663a b ab a b ≥++=+= 当且仅当2a b ==时，等号成立,2211a b b a ∴+++的最小值为83. 【点睛】本题考查运用绝对值三角不等式求最小值，以及利用基本不等式求最值，需要注意考虑最值等号成立的条件，考查计算求解能力，属于中档题.。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十一)数学(文)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十一）文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每题5分，共计60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．1.已知集合{}3|log 1A x x =<，{|1}B x x =，则A B =（ ）A. {1,2}B. {1,2,3}C. [1,3)D. (3,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】计算{|03}A x x =<<，再计算交集得到答案.【详解】{}3|log 1{|03}A x x x x =<=<<,{|1}B x x =≥，[1,3)A B =.故选：C .【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2.已知i 为虚数单位，41z i=-，则复数z 的虚部为( ) A. 2i - B. 2iC. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算求出z ，进而得出z ，即可得出结果. 【详解】因为()()()41422111i z i i i i +===+--+，所以22z i =-，所以虚部为2-. 故选D【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型. 3.函数tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A. 关于原点对称B. 关于点,12π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线8x π=-对称D. 关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】D 【解析】 【分析】 令2,42k x k Z ππ+=∈，解得,48k x k Z ππ=-∈，得到答案. 【详解】函数tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭中，令2,42k x k Z ππ+=∈，解得,48k x k Z ππ=-∈； 令1k =得8x π=，所以tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于原点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 正确. 代入验证知ABC 错误. 故选：D .【点睛】本题考查了正切函数的对称中心，意在考查学生的计算能力.4.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对A 、B 、C 三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至A 县区的概率为（ ）A.12B.13C.16D.23【答案】B 【解析】 【分析】列出所有情况共有6种，满足条件的有两种情况，得到概率.【详解】某市农业经济部门派三位专家对A 、B 、C 三个县区进行调研，每个县区派一位专家，故调研的情况的基本事件总数为ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA ，六种情况， 甲专家恰好派遣至A 县区的情况为ABC ，ACB ，两种情况， 则甲专家恰好派遣至A 县区的概率为：2163=. 故选：B .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5.已知向量m ，n 满足||1m =，||2n =，7m n +=，则n 在m 上的投影为（ ）A. 1B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】计算1m n ⋅=，再根据投影公式||m nm ⋅计算得到答案.【详解】向量m ，n 满足||1,||2,7n m m n ==+=，∴221227m n ++⋅=，可得1m n ⋅=，则n 在m 上的投影为1||m nm ⋅=. 故选：A .【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生的计算能力和对于投影概念的理解..6.已知椭圆22221(0)2x y a b a b +=>>与双曲线22221x y a b-=的焦点相同，则椭圆的离心率为（ ）A.2B.2C.12D.3【答案】A 【解析】【分析】根据题意得到22222a b a b -=+，得到222a b =，得到离心率.【详解】椭圆22221(0)2x y a b a b+=>>的半焦距2212c a b =-，双曲线22221x y a b-=的半焦距222c a b =+，由题意可得22222a b a b -=+，即222a b =，∴椭圆的离心率为22123222a a e a a-===.故选：A .【点睛】本题考查了椭圆离心率，双曲线焦点，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.163B.83C.43D.23【答案】B 【解析】 【分析】该几何体是如图所示的三棱锥1C ABD -，计算体积得到答案. 【详解】根据三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥1C ABD -， 结合图中数据，计算该三棱锥的体积为：11184223323V Sh ==⨯⨯⨯⨯=. 故选：B .【点睛】本题考查了根据三视图求体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8.已知x ，y 满足约束条件1033010x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则目标函数22z x y =+的最大值为（ ）A. 2B.13 C. 22D. 13【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，目标函数22z x y =+的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，计算得到答案. 【详解】由已知得到可行域如图：目标函数22z x y =+的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图得知，A 是距离原点最远的点，由33010x y x y -+=⎧⎨--=⎩得到(3,2)A ，所以目标函数22z x y =+的最大值为223213+=. 故选：D .【点睛】本题考查了线性规划问题，将目标函数转化为点到原点的距离的平方是解题的关键.9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤000震 001 1 坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“井”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）A. 11B. 18C. 22D. 26【答案】C 【解析】 【分析】根据题意井卦表示二进制数的010110，计算得到答案. 【详解】六十四卦中符号“”表示二进制数的010110，转化为十进制数的计算为01234502121202120222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C .【点睛】本题考查了二进制，意在考查学生的计算能力和理解能力.10.执行如图所示的程序框图，若输入的,,a b c 依次为0.80.9，0.90.8，0.90.9，则输出的x 为（ ）A. 0.80.9B. 0.90.8C. 0.90.9D. 0.80.8【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图知：a 、b 、c 中最大的数用x 表示后输出，比较大小得到答案. 【详解】由题意可知a 、b 、c 中最大的数用x 表示后输出， 若输入的a ，b ，c 依次为0.80.90.90.9,0.8,0.9，利用指数函数的性质可得0.80.90.90.9>，0.90.90.80.9<，故最大的数x 为0.80.9， 故选：A .【点睛】本题考查了程序框图，理解程序框图表示的意义是解题的关键. 11.已知函数ln(21),0()1,0xx x f x e x +>⎧=⎨-⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A. (1,)+∞ B. [1,2]C. [1,2)D. (0,2)【答案】C 【解析】 【分析】函数2ln(1)y x =+在原点处的切线斜率为12k =，函数1xy e =-在原点处的切线斜率为21k =，根据图像得到答案.【详解】函数()()g x f x ax =-恰有2个零点，即函数()y f x =与()g x ax =的图象有2个交点，可知直线()g x ax =过原点，函数2ln(21)y x =+的导数是221y x '=+， 可知函数2ln(1)y x =+在原点处的切线斜率为12k =，函数1x y e =-的导数是e x y '=，可知函数1x y e =-在原点处的切线斜率为21k =， 由图象可知，直线()g x ax =的斜率[1,2)a ∈时有2个零点. 故选：C .【点睛】本题考查了零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出函数图像是解题的关键. 12.已知动点M 到点(1,0)F 的距离与到y 轴距离之和为3，动点N 在直线240x y -+=上，则两点距离||MN 的最小值是（ ）A.45210-B.5 C.25D.45【答案】B 【解析】 【分析】根据定义知动点(,)M x y 的轨迹方程为抛物线，计算200245y y d -+=. 【详解】设动点(,)M x y ，当0x ≥时，M 到y 轴距离与到直线3x =的距离之和为3，由抛物线定义得：动点(,)M x y 满足：24(2),(0)y x x =--≥，同理，当0x <时，M 到y 轴与到直线3x =-的距离之和为3， 由抛物线定理得：动点(,)M x y 满足：28(1),(0)y x x =+<， 当M 到直线240x y -+=距离最小时，0x <，()00,M x y 到240x y -+=的距离：d ==， 当02y =时，d. 故选：B .【点睛】本题考查了抛物线的轨迹方程，距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每题5分，共计20分． 请把正确答案填写在答题纸相应的位置上．13.cos 75°－cos 15°的值等于_________．【答案】 【解析】【详解】原式＝cos(45°+30°)－cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°) ＝-2sin 45°sin 30°＝－2． 14.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg 4xg x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 【答案】8 【解析】 【分析】确定()y g x =的图象关于点(2,0)对称，函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，得到答案. 【详解】()lg4xg x x=-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称， 又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称， 所以四个交点的横纵坐标之和为8.故答案：8.【点睛】本题考查了函数的交点问题，确定函数关于点(2,0)对称是解题的关键. 15.已知球的直径2SC =，A ，B 是该球球面上的两点，2AB =，45ASC BSC ︒∠=∠=，则棱锥S ABC -的体积为________. 【答案】13【解析】 【分析】设圆心为O ，连结AO ，BO ，由SC 是球的直径，得到90SBC ︒∠=，证明SC ⊥平面ABO ，计算体积S ABC S ABO C ABO V V V ---=+得到答案.【详解】设圆心为O ，连结AO ，BO ，由SC 是球的直径，得到90SBC ︒∠=， ∵45ASC BSC ︒∠=∠=，∴,,BS BC AO SC BO SC =⊥⊥，∴SC ⊥平面ABO ， ∴棱锥S ABC -的体积为：1133S ABC S ABO C ABO ABO ABO V V V S SO S SO ---∆∆=+=⋅+⋅ 1111121233223ABO S SC ∆=⋅=⨯⨯⨯-⨯=. 故答案为：13. 【点睛】本题考查了三棱锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知4c =，(2)cos cos 0a b C c B ++=，则ABC ∆面积的最大值是_________. 43【解析】 【分析】根据正弦定理得到23C π=，再根据余弦定理和均值不等式得到163ab ≤，得到面积最值. 【详解】因为(2)cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A C B C C B ++=， 即2sin cos sin()0A C B C ++=，所以2sin cos sin 0A C A ， 因为sin 0A ≠，所以12cos ,23C C π=-=， 由余弦定理可得，2222cos c a b ab C =+-，所以22163a b ab ab =++，当且仅当a b =时取等号，所以163ab，所以1sin 243S ab c ab ==≤，即面积的最大值3.. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题：本题共5小题，共计70分．17.在公差大于1的等差数列{}n a 中，413a =，且3a ，61a +，13a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令232n n n b a a =--，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）31n a n =+；（2）364n nS n =+【解析】 【分析】（1）直接根据等差数列公式和等比中项计算得到答案. （2）113132n b n n =--+，根据裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d >，∵413a =，且3a ，61a +，13a 成等比数列，∴2(1321)(13)(139)d d d ++=-+，解得：3d =，则14a =，∴43(1)31n a n n =+-=+； （2）233112(31)(32)3132n n n b a a n n n n ===----+-+，∴1111111132558313223264n nS n n n n =-+-++-=-=-+++. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AD ==，3AB =，点E 为线段PD 的中点.（1）求证：AE PC ⊥； （2）求三棱锥P ACE -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）证明PA CD ⊥，CD AD ⊥，得到CD ⊥平面PAD ，得到证明. （2）根据12P ACE E PAC P ACD V V V ---==计算得到答案. 【详解】（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又在矩形ABCD 中，CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面PAD ，∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥，又∵PA AD =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，∴AE ⊥平面PCD ，∴AE PC ⊥； （2）∵点E 为线段PD 的中点. ∴111122312232P ACE E PAC P ACD V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线线垂直，三棱锥体积，意在考查学生计算能力，推断能力，空间想象能力.19.为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：参加文体活动 不参加文体活动 合计 学习积极性高 80 学习积极性不高 60 合计200已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高学生的概率为25. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率. 附：2.07222()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）表格见解析；（2）有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关，理由见解析；（3）910【解析】 【分析】（1）计算学习积极性不高的有2200805⨯=人，完善列联表得到答案. （2）233.3310.828K ≈>，对比临界值表得到答案.（3）有2人学习积极性高，设为A 、B ，有3人学习积极性不高，设为C 、D 、E ，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【详解】（1）根据题意，全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为25， 则学习积极性不高的有2200805⨯=人， 据此可得：列联表如下：（2）根据题意，由列联表可得：22200(80602040)33.3310.82812080100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯；故有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关；（3）根据题意，从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，有2人学习积极性高，设为A 、B ，有3人学习积极性不高，设为C 、D 、E ，从中选取2人，有AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE ，共10种情况，其中至少有1人学习积极性不高的有AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE ，共9种情况，至少有1人学习积极性不高的概率910P =. 【点睛】本题考查了列联表，独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)A 、()00,P x y 、()()000,0Q x y y --≠在椭圆上，直线AP与直线AQ 的斜率之积34AP AQ k k =-⋅. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线0022:1x x y yl a b+=点(1,0)B -关于直线l 的对称点是D ，求证：过点P ，D 的直线恒过定点. 【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）计算2a =，根据34AP AQ k k =-⋅得到23b =，得到椭圆方程. （2）直线l 为00143x x y y+=，计算得到D 的坐标，00001PD n y y k m x x -==--，得到PE PD k k =，得到答案. 【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)A ，2a =，()00,P x y 、()()000,0Q x y y --≠在椭圆上，直线AP 与直线AQ 的斜率之积34AP AQ k k =-⋅，得00003224y y x x -⋅=----，由2200214x y b+=，联立得23b =， 所以椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）证明：由（1）直线l 为00143x x y y+=，设D 的坐标为(,)m n ， 则0000200413(1)186143y nm x x m y n x y ⎧=⎪+⎪⎪-+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2002000020724161683216x x m x x y y n x ⎧+-=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩， 故()()()22000000000032200000000816816781618161PDx x y n y x y x y y y k m x x x x x x x x ++-++====-++--++-， 取点(1,0)F ，显然PE PD k k =，所以D ，P ，F 三点共线， 即直线PD 恒过定点(1,0).【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.已知函数()1x f x e ax =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，2()f x x x -恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(,1]e -∞- 【解析】 【分析】（1）求导得到()xf x e a '=-，讨论0a 和0a >两种情况，分别计算得到答案.（2）0x >时， 11x e a x x x ≤--+，令1()1(0)x e h x x x x x =--+>，求函数的最小值为min ()(1)1h x h e ==-，得到答案.【详解】（1）函数的定义域为R ，()xf x e a '=-，若0a ，则()0f x '>，所以()f x 在R 上单调递增；若0a >，令()0x f x e a '=-=，则ln x a =， 当(,ln )x a ∈-∞）时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上所述，0a ，函数在(,)-∞+∞上单调递增，0a >时，函数在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）当0x >时，2()f x x x -，即11x e a x x x--+，令1()1(0)x e h x x x x x =--+>，则()222(1)1(1)1()x x x e x e x x h x x x'-----+==， 令()1(0)x g x e x x =-->，则()10xg x e '=->， 当0x >时，()g x 单调递增，()(0)0g x g >=，所以当01x <<时，()0,()h x h x '<单调递减，当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，故min ()(1)1h x h e ==-，所以a 的取值范围是(,1]e -∞-.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 解答时请写清题号．22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的方程为212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求1C ，2C 的普通方程；（2）设点A 在曲线1C 上，且对应的t =B 是曲线2C 上的点，求AOB 面积的最大值. 【答案】（1）20x +=，2220x y y +-=；（2）32【解析】 【分析】（1）直接根据参数方程，极坐标公式转化得到答案. （2）2,3A π⎛⎫⎪⎝⎭，设(,)B ρθ，则2sin ρθ=，112sin 226ABC S πθ∆⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】（1）曲线1C的方程为212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.转换为直角坐标方程为20x -+=.曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.转换为直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）点A 在曲线1C上，且对应的t =，故A ，则转换为极坐标为2,3A π⎛⎫⎪⎝⎭， 设(,)B ρθ，则2sin ρθ=，则111||||sin 2sin 12sin 222326ABC S OA OB AOE ππρθθ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯∠=⨯-=⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当23πθ=时，()max 32ABC S ∆=.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，三角形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 23.已知函数()|21|||f x x x a =-+-. （1）当1a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式()2f x x <在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）43x x ⎧>⎨⎩或}0x <；（2）12a << 【解析】 【分析】 （1）讨论1x ≥，112x <<，12x ≤三种情况，分别计算得到答案. （2）题目转化为||1x a -<恒成立，解得答案. 【详解】（1）当1a =时，()|21||1|f x x x =-+-，由()2f x >，可得12112x x x ⎧⎨-+->⎩或1122112x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+->⎩或121212xx x ⎧⎪⎨⎪-+->⎩，即为43x >或x ∈∅或0x <， 则原不等式的解集为43x x ⎧>⎨⎩或}0x <. （2）函数()f x 的解析式可得当[1,2]x ∈时，()2f x x <，即21||2x x a x -+-<， 即||1x a -<，可得11x a -<-<，即11a x a -<<+在[1,2]x ∈恒成立， 由[1,2]x ∈，可得11a -<且12a +>，可得12a <<.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十一)生物试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十一）生物试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.下列叙述，正确的是（）A. 组成细胞的化学元素和化合物，在无机自然界中都能够找到B. 细胞器都含有蛋白质，细胞的生命活动都离不开蛋白质C. 细胞分化过程中，不同细胞中表达的基因和形成的RNA完全不同D. 端粒学说和自由基学说揭示了细胞癌变的2个可能原因【答案】B【解析】【分析】细胞分化是指在个体发育中，由一个或一种细胞增殖产生的后代，在形态、结构和生理功能上发生稳定性差异的过程；细胞分化的特点：普遍性、稳定性、不可逆性和不变性；细胞分化的实质：基因的选择性表达；细胞分化的结果：细胞的种类增多，细胞中细胞器的种类和数量发生改变，细胞功能趋于专门化。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(二)数学(理)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1A x x =<-或}2x >，{}3,2,1,0,1,2,3B =---，则AB =（ ） A. {}3,2--B. {}2,3C. {}3,2,3--D. {}3,2,2,3--【答案】C【解析】【分析】利用交集定义直接求解.【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A ∩B ＝{﹣3，﹣2，3}.故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.已知复数z 满足()125i z i +=，则z =（ ）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i -- 【答案】A【解析】【分析】通过分母实数化，求出z 即可.【详解】解：∵z 满足（1+2i ）z ＝5i ，∴z ＝512i i +＝5(12)(12)(12)i i i i -+-＝2+i . 故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题.3.在正项等比数列{}n a 中，若11a =，322a a =+，n S 为其前n 项的和，则63S S =（ ） A. 6B. 9C. 12D. 15 【答案】B【解析】 【分析】 先由11a =，322a a =+求出公比q ，再利用前n 项的和公式求出结果.【详解】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则 q ＞0.∵a 1＝1，a 3＝a 2+2，∴q 2＝q +2⇒q ＝2. ∴63S S ＝6311q q--＝1+q 3＝9， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题. 4.若夹角为120︒的向量a 与b 满足2a b b +==，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】【分析】 根据向量数量积的应用，把2a b +=两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论. 【详解】解：∵2a b +=， ∴2224a a b b +⋅+=，即24cos12044a a ++=，则2a =，或0a =（舍），故选：B.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题.5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 67πB. πC. 76πD. 2π【答案】C【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，再由圆锥与球的体积公式求解.【详解】解：由三视图还原几何体如图，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1， 则该几何体的体积为2313471213836πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.6.执行如图所示的程序框图，则输出的T =（ ）A. 32B. 127C. 53D. 85【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】解：模拟程序的运行，可得k ＝1，S ＝0，T ＝0，S ＝1满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝1，k ＝2，S ＝3满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝43，k ＝3，S ＝6 满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝32，k ＝4，S ＝10 满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝85，k ＝5，S ＝15 此时，不满足条件S ＜15，退出循环，输出T 的值为85. 故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.7.已知圆C ：()()22211x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为2的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则MN =（ ）A. 52B.C. 54D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，求出M 的坐标，写出直线l 的方程，与圆的方程联立求得N 点横坐标，再由中点坐标公式求得r ，进一步求出M 与N 的坐标，则答案可求.【详解】解：取y ＝0，可得x ＝1﹣r 或x ＝1+r ，由题意可得，M （1﹣r ，0），设直线l 的方程为y ＝2（x +r ﹣1），联立2222(1)(1)y x r x y r=+-⎧⎨-+=⎩，得5x 2+（8r ﹣10）x +3r 2﹣8r +4＝0. 由x M +x N ＝1﹣r +x N ＝1085r -，得x N ＝535r -. 由MN 的中点P 恰好落在y 轴上，得1﹣r +x N ＝0，即r ＝54. ∴M （﹣14，0），N （14，1），则|MN |. 故选：B.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题. 8.若直线y x =与曲线ln y x ax =+相切，则a =（ ） A. 1e B. 1e - C. 11e - D. 11e- 【答案】D【解析】【分析】先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于1，然后结合ln x ax x +=，即可求出a 的值.【详解】解：设切点为（x ，y ）， 由题意1y a x'=+. ∴ln 11x ax x a x+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11a e =-. 故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的两个条件列方程组是本题的总体思路.属于基础题. 9.抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P ，称PAB △为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB △具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②PAB △为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ）A. 210x y --=B. 220x y +-=C. 210x y +-=D. 220x y --= 【答案】A【解析】【分析】由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线24y x =焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （−1，4），从而得到直线PF 的斜率为−2，又PF AB ⊥，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程.【详解】解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，∴点P （﹣1，4），∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2， 又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12， ∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题.10.已知函数()33f x x x =+，若对任意[]1,1t ∈-不等式()()220f t m f t -+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1mB. 12m ≤-C. 14m ≤-D. 18m ≤- 【答案】D【解析】【分析】函数()33f x x x =+，判断其奇偶性.不等式()()220f t m f t -+≥，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ），利用其单调性及其二次函数的单调性即可得出.【详解】解：函数()33f x x x =+， f （﹣x ）＝﹣x 3﹣3x ＝﹣f （x ），∴函数f （x ）为R 上的奇函数.f ′（x ）＝3x 2+3＞0，∴函数f （x ）为R 上的增函数.不等式f （2t 2﹣m ）+f （t ）≥0，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ），∴2t 2﹣m ≥﹣t ，化为：m ≤2t 2+t ，t ∈[﹣1，1].令g （t ）＝2t 2+t ＝2214t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭﹣18，t ∈[﹣1，1]. ∴t ＝﹣14时，函数g （t ）取得最小值，g （﹣14）＝﹣18. 则实数m 的取值范围是m ≤﹣18. 故选：D.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.已知正四棱锥P ABCD -的高为2，AB =过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为1111D C B A ，若底面ABCD 与截面1111D C B A 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. 20πB. 203πC. 4πD. 43π 【答案】A【解析】【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面P AC 是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O ，在两个直角三角形△OAM ，△A 1ON 利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R ，则表面积可求.【详解】解：因为正四棱锥P ﹣ABCD ，所以底面是正方形，结合高为2，AB =设底面对角线交点为M ，所以AC ＝4，AM ＝2，故PM ＝AM ＝CM ＝2，所以△P AC 是等腰直角三角形.因为截面A 1B 1C 1D 1过PM 的中点N ，所以N 为截面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，且PM ⊥截面A 1B 1C 1D 1. ∴PN ＝MN ＝A 1N ＝1，设球心为O ，球的半径为R ，则A 1O ＝AO ＝R .在直角三角形A 1ON 中，ON ==，∴11OM ON =-=.在直角三角形AOM 中，OA 2＝AM 2+OM 2，即224(1R =+，解得R 2＝5，故S ＝4πR 2＝20π.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R 的两个直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.12.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在OCD 区域种荷花，在OBD 区域修建水上项目.若AOC COD ∠=∠，且使四边形OCDB 面积最大，则cos AOC ∠=（ ）A. 171-B. 331-C. 1716D.3316 【答案】B【解析】【分析】设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π），利用三角形面积公式可得S ＝1(sin 2sin )2θθ+，利用导数结合复合函数的单调性求最值，即可得到使四边形OCDB 面积最大时cos ∠AOC 的值.【详解】解：设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π）， ∵OC ＝OB ＝OD ＝1，∴四边形OCDB 面积S ＝1111sin 11sin(2)22θπθ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-＝1(sin 2sin )2θθ+. 则1(2cos 2cos )2S θθ'=+＝()214cos cos 22θθ+-.由S ′＝0，得4cos 2θ+cos θ﹣2＝0，可得01cos 8θ= 又cos θ在（0，2π）上单调递减， ∴当θ∈（0， 0θ），即cos θ∈（18，1）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递减， 当θ∈（0θ，2π），即cos θ∈（0，18）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递增， ∴当cos ∠AOC时，四边形OCDB 的面积最大. 故选：B.【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数模型的选择及其应用，训练了利用导数求最值，是中档题.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.能说明命题“x R ∀∈且0x ≠，12x x +≥”是假命题的x 的值可以是_______.（写出一个即可） 【答案】-1（任意负数均可）【解析】【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可.例如x ＝－1，带入.【详解】解：当0x >时，12x x +≥，当且仅当1x =取等号， 当0x <时，12x x+≤-，当且仅当1x =-取等号， ∴只需x 取值为负数，即可.例如x ＝－1时12x x+=-. 故答案为：－1（任意负数均可）.【点睛】本题考查全称命题的真假，基本不等式应用，属于基础题.14.已知F 是双曲线C ：()22210y x b b -=>的右焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若2OP b =，3POF π∠=，则C 的离心率为______.【答案】5 【解析】 【分析】设P 的坐标，求出OP ，OF 的坐标，由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅＝02x c b c⋅⋅，求出P 的横坐标，代入x 02+y 02＝4b 2进而求出纵坐标，再将P 坐标代入双曲线的方程可得a ，b 的关系，由a ，b ，c 之间的关系求出离心率.【详解】解：设P （x 0，y 0）由题意可得x 0＞0，设y 0＞0，OP ＝（x 0，y 0），由题意|OP |＝2b ，可得x 02+y 02＝4b 2，OF ＝（c ，0）， 由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅＝02x c b c⋅⋅，可得x 0＝b ， y 02＝3b 2，y 0＞0，将P 点的坐标代入双曲线的方程可得：22b a﹣3＝1，所以b 2＝4a 2，所以双曲线的离心率e ＝22c a＝222a ba +＝5，故答案为：5.【点睛】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题.15.河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点，共有36C 种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过P 点的概率为______.【答案】35【解析】 【分析】共有n ＝36C ＝20种不同的路线，其中该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种，由此能求出该质点经过p 点的概率.【详解】解：一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点， 共有n ＝36C ＝20种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种， 该质点经过p 点的概率为P ＝123205m n ==. 故答案为：35. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 16.定义域为R 的偶函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，给出下列四个结论： ①()1f x < ；②若()()120f x f x +=，则120x x +=； ③函数()f x 在()0,4内有且仅有3个零点；④若123x x x <<，且()()()123f x f x f x ==，则31x x -的最小值为4. 其中，正确结论的序号是______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称，又()f x 为偶函数，所以可推得()f x 的周期为4，又得()10f =，且当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项的真假.【详解】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称， 又()()11f x f x +=--，()()2f x f x ∴+=--，()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4，当0x =时，()()10100f f ++-=得()10f =， 又当[)0,1x ∈时，()sin2xf x π=，所以函数()f x 图象如图：由图知，()11f x -<<，()1f x ∴<，故①正确； 又()()120f f +=，从而可知②不正确；当()0,4x ∈时，()()()1230f f f ===，故③正确.④取x 1＝-1，x 2＝0，x 3＝1，则f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0，但x 3- x 1＝2＜4，即④错误. ∴正确的是①③. 故答案为：①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为等边三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，D 为1CC 中点，12AA AB =，1AB 和1A B 交于点O .（1）证明：//OD 平面ABC ；（2）求AB 与平面1A BD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（225【解析】 【分析】（1）取AB 中点E ，先利用中位线的性质可证1//EO BB 且112EO BB =，再由已知条件可得111122CD CC BB ==且1//CD BB ，进而得到//EO CD ，则四边形EODC 为平行四边形，故//OD EC ，由此得证//OD 平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，求出直线A B 的方向向量以及平面1A BD 的法向量，利用向量的夹角夹角公式即可得到所求正弦值.【详解】解：（1）取AB 中点E ，连结CE 、OE ， 在四边形EODC 中，E 为AB 中点，O 为1AB 中点， 所以EO 为1ABB △中位线，故：1//EO BB 且112EO BB =， 因为D 为1CC 中点，所以111122CD CC BB ==且1//CD BB ，所以//EO CD 且EO CD =，所以四边形EODC 为平行四边形， 所以//OD EC ，且EC ⊂平面ABC ， 所以//OD 平面ABC .（2）取BC 的中点F ，根据已知条件建立如图空间直角坐标系F xyz -， 设2AB =，则14AA =，则()1,0,0B ，()003A ,,，()10,4,3A ，()1,2,0D -， 所以()1,0,3BA =-，()2,2,0BD=-，()11,4,3BA =-， 设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则10BD n BA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()1,1,3n =-，设AB 与平面1A BD 所成角为θ，()()()()()2222221,0,31,1,3sin 103113BA n BA nθ-⋅-⋅==⋅-++++-255=.【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题.18.2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国2011-2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）.（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. （结论不要求证明） 【答案】（1）0.5万亿元（2）910（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大. 【解析】 【分析】（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），由此能求出年增加的平均数.（2）设A 表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，利用对立事件概率计算公式能求出两年中至少有一 年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率.（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大.【详解】解：（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为： 0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6（单位：万亿元）， 所以年增加值的平均数为0.30.20.30.50.60.40.80.60.58+++++++≈万亿元.（2）设A 表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两年，两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%”，依题意，()23259110C P A C =-=. （3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【点睛】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查折线图、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.19.ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin sin B C A B B C +=+. （1）求A ；（2）从三个条件：①a =②b =③ABC求ABC 周长的取值范围. 【答案】（1）3A π=.（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得222b c a bc +=+，由余弦定理求出cos A ，结合A 的范围可得A 的值. （2）由题意，分类讨论，利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，正弦函数的图象和性质等知识即可求解.【详解】解：（1）因为222sin cos sin sin sin B C A B C +=+， 由正弦定理得222b c a bc +=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈， 所以3A π=.（2）选择①a =因为3A π=，a =由正弦定理得2sin sin sin b c a B C A===， 即ABC的周长2sin 2sin l a b c B C =++=++22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭3sin B B =++6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5666B πππ<+<，1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 即ABC周长的取值范围是(.选择②b =因为3A π=，b =由正弦定理得32sin a B=，23cos 3sin sin 2sin 2B C B c B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，即ABC周长33cos 3(1cos )2sin 2sin 2sin B B l a b c B B B +=++=++=26cos 224sincos 22B B B=+32tan2B =+,因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以023B π<<，所以0tan 2B <<即ABC 周长的取值范围是()+∞.选择③ABCS =.因为3A π=，1sin 24ABC S bc A ===△4bc =， 由余弦定理得22222()3()12a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，即ABC 的周长l a b c b c =++=+，因为4b c +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以46l ≥=.即ABC 周长的取值范围是[)6,+∞.【点睛】本题考查三角形周长取值范围的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题. 20.已知函数()()()22ln 0f x ax a x a x=-+->. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()ln g x f x a =-，若()g x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()12g x g x +的最小值. 【答案】（1）见解析（2）最小值为22ln 2e--. 【解析】 【分析】（1）求导，令'0fx得1x =或2x a=，接下来分02a <<，2a =及2a >讨论即可； （2）依题意，可得()()12(2)ln 2ln 2a g x g x a a +=+-，设()(2)ln 2ln 2xh x x x =+-，利用导数求()h x 的最小值即可得出答案.【详解】解：（1）()2'2222(2)2f a ax x a x x x a x+-++=-+=()2(1)(2)0x ax x x --=>，因为0a >，由'0fx得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21a >，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得01x <<或2x a>， 所以，若02a <<，则()f x 在()0,1递增，在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；②若2a =，则21a，()()2'2210x f x x-=≥，()f x 在定义域()0,∞+递增； ③若2a >，则21a <，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得20x a<<或1x >， 所以，若2a >，则()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,+∞递增. （2）由()()ln g x f x a =-得()()''g x f x =，由（1）知，()g x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =，22x a=， ()()112ln g x g a a ==--，()222(2)ln ln 2a g a a a a g x ⎛⎫==-++- ⎪⎝⎭，所以()()12(2)ln 2ln 2ag x g x a a +=+-， 设()(2)ln2ln 2xh x x x =+-， 则()(2)(ln ln 2)2ln h x x x x =+--，()'ln ln 21h x x =-+，由()'0h x <得20x e <<，()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减， 由()'0h x >得2x e >，()h x 在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 所以，0x >时，min 22()2ln 2h x h e e ⎛⎫==--⎪⎝⎭. 所以，当0a >且2a ≠时，()()12g x g x +的最小值为22ln 2e--. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.21.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，4MN =，D 为旋杆上的一点，且在M ，N 两点之间，且3ND MD =，当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为C .如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆C 的方程；（2）设1A ，2A 是椭圆C 的左､右顶点，点P 为直线6x =上的动点，直线1A P ，2A P 分别交椭圆于Q ，R 两点，求四边形12AQA R 面积的最大值.【答案】（1）2219x y +=（2）33【解析】 【分析】（1）由MN 的值及3ND MD =，可得|MD |，|ND |的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由题意设P 的坐标，进而求出直线1A P ，直线2A P 的方程，与椭圆联立分别求出Q ，R 的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P 的坐标.【详解】解：（1）由题得1MD =，3ND =，所以椭圆C 的长半轴长为3，短半轴长为1，故椭圆C 的方程为：2219x y +=.（2）由对称性可设点()6,P t ，其中0t >，则直线1A P 的方程为()39ty x =+，直线2A P 的方程为()33ty x =-.设()11,Q x y ，()22,R x y .由2219(3)9x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消x 得()22960t y ty +-=，由于10A y =，则1269t y t =+.由2219(3)3x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消x 得()22102t y ty ++=，由于20A y =，则2221t y t =-+. 所以四边形12AQA R 的面积为()()()211222222243162329191t t t t S A A y y t t t t +⎛⎫=⋅-=+= ⎪++++⎝⎭ ()()2222222432434343t t t t t t t t +==+++++. 由于0t >，23t m t +=≥，又4y m m =+在)⎡+∞⎣上是增函数，所以43y m m =+≥，故244S m m =≤+.当且仅当m =t =12AQA R的面积的最大值为【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和均值不等式的应用，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4- 4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 极坐标方程； （2）设动点M 的极坐标为(),ρθ，射线OM 与直线l 相交于点A ，且满足4OA OM ⋅=，求点M 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）cos sin 2ρθρθ+=.（2）()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用极径的应用求出结果.【详解】解：（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，所以l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=.（2）依题意可知，A 点的极坐标为4,θρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为A 在直线l 上，所以()4sin cos 2θθρ+=，所以点M 轨迹的极坐标方程为()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.[选修4--5：不等式选讲]23.已知()211f x x x =++-.（1）解不等式()4f x ≤；（2）设()f x 的最小值为m ，实数a ，b ，c 满足222a b c m ++=，证明：a b c ++≤【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式()4f x ≤的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明. 【详解】解：（1）因为()31,13,1131,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，所以不等式()4f x ≤等价于1314x x ≤-⎧⎨--≤⎩或1134x x -<<⎧⎨+≤⎩或1314x x ≥⎧⎨+≤⎩， 解得513x -≤≤-或11x -<<或1x =. 所以不等式的解集为5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）可知，()f x 在(],1-∞-递减，在()1,-+∞递增，所以函数()f x 的最小值为()12f -=. 所以2m =，即2222a b c ++=，根据柯西不等式得：()()2222222()1116a b c a b c ++≤++++=，故a b c ++≤【点睛】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十一)数学(理)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十一）数学（理）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}2B x x =|-2≤≤，则A B ⋂=（ ） A. [2,1]-- B. [1,2)-C. [1,1]-D. [1,2)【答案】A 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 【详解】解：由A 中不等式变形得：(3)(1)0x x -+， 解得：1x -或3x ，即(][),13,A =-∞-+∞，[]2,2B =-，[2,1]A B -=-∴，故选：A ．【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.已知i 是虚数单位，20172i3i 1iz =-+，且z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ）C. 5D. 3【答案】C 【解析】 【分析】 先化简20172i3i 1iz =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-，再求其共轭复数求解. 【详解】因为20172i3i 1iz =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-， 所以12z i =+， 所以5z z ⋅=. 故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题.3.（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.4.已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】找到两个不等式之间的关系，理解充分，必要条件的概念可得结果.【详解】由22a a >，所以202a a a ≥⎧⎨>⎩或202a a a <⎧⎨>-⎩，即2a >或2a <-，所以可知“2a >”是“22a a >”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分，必要条件的概念，可以等价于集合之间的包含关系，属基本题型. 5.若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A. x=26k ππ-（k ∈Z ） B. x=26k ππ+（k ∈Z ）C. x=212k ππ-（k ∈Z ）D. x=212k ππ+（k ∈Z ） 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．6.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若m α⊂，则m β⊥B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C. 若m α⊄，m β⊥，则//m αD. 若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥【答案】C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.7. 一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ） A.964B.12C.164D.18【答案】D 【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：332814648P ===，故选D ．考点：几何概型．8.函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A. B.C. D.【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x x e f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞+∞，11()sin()sin 11x x x x e e f x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101xx e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01x x e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数的奇偶性判断函数的对称性； 4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象9.ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+,3C π=则ABC 的面积为（ ）A. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式，即可求解，得到答案. 【详解】由()226c a b =-+，整理得22226c a ab b =-++， 即22226a b c ab +-=-，又因为3C π=，由余弦定理可得222261cos 3222a b c ab ab ab π+--===，解得6ab =，所以三角形的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了解三角形的余弦定理的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中根据余弦定理求得6ab =是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.10.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A.6 B.26C.15 D.10 【答案】D 【解析】试题分析：以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴110cos ,58BC AC 〈〉==⋅．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为10考点：直线与平面所成的角11.如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点.若△ABF 1为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A.13 B.7C.5D.2【答案】B【分析】设1ABF 的边长为m ，则由双曲线的定义，1ABF 为等边三角形，可求m 的值，在12BF F △中，由余弦定理，可得结论．【详解】解：设1ABF 的边长为m ，则由双曲线的定义，可得2||2BF m a =+ 又22AB m AF a =∴= 又1||AF m = 12||||2AF AF a -=22m a a ∴-= 4m a ∴=在12BF F △中，2||6BF a =，1||4BF a =，12||2F F c =，1260F BF ∠=︒∴由余弦定理可得22214(6)(4)2642c a a a a=+-c ∴=∴ce a==故选：B【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的运用，属于中档题． 12.已知函数321,0()3+1,0x x f x x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+≤-⎩，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. 3(ln2,)2B. (ln2,4)C. (ln 3,2)D. (ln 31,1)-【答案】D 【解析】 【分析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+，求导2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-，当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时，'()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减，然后在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象求解.【详解】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+， 则2'()33f x x =-+，由'()0f x =，可得1x =-.当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时，'()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象 如图所示.若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln 3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解得ln31<<1m -. 故选：D【点睛】本题主要考查函数与方程问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.第II 卷(共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ . 【答案】3【解析】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=. ∴2222(2)4(2)44423a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为3点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．14.在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 【答案】60 【解析】 【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数. 【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，故选派的方法为：225410660C C =⨯=.故答案为60．【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．15.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 【答案】1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3. 16.已知()sin cos fx a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b+++的最小值为_______________.【答案】17【解析】 【分析】先将()sin cos f x a x b x =+，转化为()f x )x ϕ+，再根据最大值为ab ，建立等式ab ，整理得22111a b+=，然后将4422191a b a b +++转化为222211(9)a b a b +++，再利用基本不等式中的“1”的代换求解.【详解】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ=+(tan )ba ϕ=ab ， 整理得22111a b +=，则4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()1111117b a a b a b a b a b a b =+++=+++=++=≥，当且仅当22229b a a b=且22111a b +=，即2,a b ==时，取等号 所以4422191a b a b+++的最小值为17故答案为：17【点睛】本题主要考查三角函数的性质和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17.△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3+. 【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+.试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得33b c +=. 故ABC 的周长为333+.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评 100 30 130对车辆状况不满意 40 30合计 14060200（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的 三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：2()P K k ≥ 0.150 0.1000.050 0.025 0.010 0.005 0.001k2.0723.841 5.0246.6357.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. (2)分布列见解析；EX =1.8（元）. 【解析】试题分析：（1）由题意求得2K 的值，然后即可确定结论； （2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可． 试题解析（1）由22⨯列联表的数据，有()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++ ()2200300012001406070130-=⨯⨯⨯220018146713⨯=⨯⨯⨯ 54008.4810.828637=≈<. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为310.X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4. ∵()239010100P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121P X C == 13321010⨯=， ()122P X C ==2131375102100⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，()123P X C == 111255⨯=， ()2114525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：X1234P91003103710015125X 的数学期望为3371210100EX =⨯+⨯ 1134 1.8525+⨯+⨯=（元）.19.如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，2AB AD ==，2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面ABC ； （2）求二面角B AE C --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）13． 【解析】 【分析】（1）只需证明BC AD ⊥及AD AB ⊥，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式求解；【详解】解：（1）∵顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，即AO ⊥平面BCD ，又AO ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD ， ∵90CBD ∠=︒，∴BC BD ⊥，∵平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面ABD ，AD ⊂面ABD ，∴BC AD ⊥， 由2AB AD ==2BD =，得222BD AB AD =+，∴AD AB ⊥，∵AB BC B ⋂=，AB 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面ABC ．（2）连结OE ，分别以OE 、OD 、OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0O ，()0,0,1A ，()0,1,0B -，()2,1,0C -，()0,1,0D ，()1,0,0E ，()2,1,1AC →=--，()0,1,1AB →=--，()1,0,1AE →=-，.设(),,n x y z →=为平面ABE 的一个法向量，则0n AB y z n AE x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得()1,1,1n →=-，..()2,1,1AC →=--，()1,0,1AE →=-，设平面ACE 的法向量(),,m x y z →=，则020m AE x z m AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取1z =，则()1,1,1m →=，设二面角B AE C --的平面角为θ，则1cos 333m n m n θ⋅===⋅⨯．. ∴二面角B AE C --的余弦值为13． 【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．20.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点(2,1)，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-． （1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进行化简,同理可得m 的值. 【详解】解：（1）椭圆Γ过点,∴22211a b +=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k --=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k-++, ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++mk k k m kOP OM m k m k k kk , 要使OP OM ⋅与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x , ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=.∴2m =【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题. 21.(1)讨论函数()22xx f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，()220;x x e x -++> (2)证明：当[)0,1a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax ag x x-->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当(0,)x ∈+∞时，()(0)f x f >证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数()g x 的最值，再构造新函数00e ()2x h a x =+，用导数法求解.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++' 且仅当0x =时，()0f x '=，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20xxx e x x e x ->-+-++>（Ⅱ）33(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x-+++==+'由（Ⅰ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0()0g x '=， 当00x x <<时，()0,()0,()f x a g x g x <'+<单调递减； 当0x x >时，()0,()0,()f x a g x g x >'+>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 于是00e ()2x h a x =+，由2(1)()0,2(2)2x x xe x e e y x x x +=>='+++知单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++ 因为2x e y x =+单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =-∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域是21(,].24e【考点】函数的单调性、极值与最值 【名师点睛】求函数单调区间的步骤： （1）确定函数f （x ）的定义域； （2）求导数f ′（x ）；（3）由f ′（x ）＞0（f ′（x ）＜0）解出相应的x 的范围．当f ′（x ）＞0时，f （x ）在相应的区间上是增函数；当f ′（x ）＜0时，f （x ）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ． （1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ONOM的最大值． 【答案】（1）sin()4πρθ+=2【解析】 【分析】(1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可. (2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=, 将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=sin(2)242ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM的最大值为2．【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型. 23.已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a+≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥-∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=．当且仅当21a a=,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。
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2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B 等于（ ）A. {}15x x -<< B. {}15x x -≤< C. {}26x x -<< D. {}25x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得AB .【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目. 2.复数21iz i=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A. 3 B. 22 C. 2 D.2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解. 【详解】()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+， 所以1z i =--，2z =， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目. 3.函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项．【详解】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．4.已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m⊥n”是“m⊥l ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】构造长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m ，n 即可进行判断．【详解】如图，取长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，直线AD =直线l ．若令AD 1＝m ，AB ＝n ，则m ⊥n ，但m 不垂直于l若m ⊥l ，由平面ABCD ⊥平面11ADD A 可知，直线m 垂直于平面β，所以m 垂直于平面β内的任意一条直线n∴m ⊥n 是m ⊥l 的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m ⊥n ⇒m ⊥l ？和m ⊥l ⇒m ⊥n ？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．5.设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A. 724-B. 524-C.524D.724【答案】D 【解析】 【分析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈，4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目. 6.在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A.56πB.34π C.23π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==， 23CP CB BP AD AB ∴=+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,因为12CP CQ ⋅=,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22214323AB AD AB AD =++⋅222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.7.已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A. 2 B. 5 C. 1 D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-. 故选:B .【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.8.()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A. －60B. 240C. －80D. 180【答案】D 【解析】【分析】求()6321xx⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x项，再求和即可得出答案.【详解】由题意，62x⎫⎪⎭中常数项为2426260Cx⎛⎫=⎪⎝⎭，62x⎫⎪⎭中31x项为4246321240Cx x⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()6321xx⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：3x⨯31240160180x-⨯=.故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.9.已知函数()f x满足：当[)2,2x∈-时，()()22,20log,02x x xf xx x⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x∈R，都有()()4f x f x+=，则()2019f=（）A. 0B. 1C. -1D. 2log3【答案】C【解析】【分析】由题意可知()()20191f f=-，代入函数表达式即可得解.【详解】由()()4f x f x+=可知函数()f x是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f=-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.10.已知四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，5PA=，E为PC 的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为（）A.13- B.13C.15- D.15【答案】B【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos,BE PDBE PDBE PD⋅=⋅即可得解. 【详解】PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，∴如图建立空间直角坐标系，由题意：()0,0,0A，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,0,5P，()0,2,0D，E为PC的中点，∴51,1,E⎛⎫⎪⎪⎝⎭.∴51,1,BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，()0,2,5PD=-，∴1132cos,133BE PDBE PDBE PD-⋅===-⋅⋅，∴异面直线BE与PD所成角的余弦值为cos,BE PD即为13.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.11.已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ）A. 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]【答案】B 【解析】 【分析】由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A. (]1,2 B. (]1,4C. [)2,+∞D. [)4,+∞ 【答案】B 【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4ad c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数x ，y 满足约束条件32020440x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.【答案】3 【解析】 【分析】作出可行域,可得当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,z 取得最大值,求解即可.【详解】作出可行域（如下图阴影部分）,联立32020x y x y --=⎧⎨+-=⎩,可求得点()1,1A ,当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,max 1213z =+⨯=. 故答案为:3.【点睛】本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题. 14.记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若357n n S n T n +=+，则77a b =______. 【答案】115【解析】 【分析】结合等差数列的前n 项和公式,可得()()771377113111331313132132a ab b b a a T b S ===++,求解即可. 【详解】由题意,()11313713132a a S a +==,()11313713132b b b T +==,因为357n n S n T n +=+,所以7713771313313511131375a a Sb b T ⨯+====+. 故答案为:115. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 15.函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________． 【答案】633⎤-⎥⎣⎦【解析】【分析】利用换元法，得到()32g t t 3t 3,t 2⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，利用导数求得函数()g t 的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．【详解】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又6g 28⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数()g t ，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．16.等腰直角三角形ABC 内有一点P ，1PA =，PB =2PC =，90A ∠=，则ABC ∆面积为______.【答案】52【解析】 【分析】利用余弦定理计算()cos ,cos 90PAB PAB ∠-∠，然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果. 【详解】设AB AC x == 由题可知：222cos 2PA AB PB PAB PA AB+-∠=⋅ ()222cos 90sin 2PA AC PC PAB PAB PA AC+--∠==∠⋅由22sin cos 1PAB PAB ∠+∠=，1PA =，PB =2PC =所以22222222112122x x x x ⎡⎤+-⎡⎤+-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简可得：42650x x -+= 则25x =或21x =，即x =1x =由AB PA >，所以x =所以1522ABC S AB AC ∆=⋅⋅= 故答案为：52【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22ccosB a b =+． （1）求角C 的大小； （2）若函数()2sin 2cos 2()6f x x m x m R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为2Cx =且625f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求(2)cos C α+的值．【答案】（1）23C π=（2）7225cosC α+=-（） 【解析】 【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求1cosC 2=-，即可求C 的值． （2）利用三角函数恒等变换的应用，可得()()f x m 1cos2x =++，根据题意，得到()2πf 0f 3⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得m 2=-，得到函数的解析式，进而求得πsin α6⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，利用三角函数恒等变换的应用可求()cos 2αC +的值．【详解】（1）由题意，根据正弦定理，可得2sinCcosB 2sinA sinB =+， 又由()A B C π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 可得2sinCcosB 2sinBcosC 2cosBsinC sinB =++，即2sinBcosC sinB 0+=， 又因为()0,B π∈，则sin 0B >， 可得1cosC 2=-，∵()0,C π∈，∴2πC 3=． （2）由（1）可得()()f x 2sin 2x 1mcos2x 2sin2xcos 2cos2xsin mcos2x =++=++()3sin2x m 1cos2x =++，所以函数()f x 的图象的一条对称轴方程为πx 3=， ∴()2πf 0f 3⎛⎫=⎪⎝⎭，得()4π4πm 13sin m 1cos 33+=++，即m 2=-， ∴()πf x 3sin2x cos2x 2sin 2x 6⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 又απ6f 2sin α265⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π3sin α65⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()22ππππ7cos 2αC cos 2αcos 2α-cos2α2sin α1336625⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，CF ⊥平面ABCD ，CFDE ，22AB CF DE ===，G 为BF 的中点.（1）求证：CG AF ⊥；（2）求平面BCF 与平面AEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）306【解析】 【分析】（1）首先证明CG AB ⊥，CG BF ⊥，ABBF B =，∴CG ⊥平面ABF .即可得到AF ⊂平面ABF ，CG AF ⊥.（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 和平面BCF 的法向量，带入公式求解即可. 【详解】（1）∵CF ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，∴CF AB ⊥.又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ∵BCCF C =，∴AB ⊥平面BCF .∵CG ⊂平面BCF ，∴CG AB ⊥.又∵2BC CF ==，G 为BF 的中点，∴CG BF ⊥. ∵ABBF B =，∴CG ⊥平面ABF .∵AF ⊂平面ABF ，∴CG AF ⊥. （2）∵CF ⊥平面ABCD ，CFDE ，∴DE ⊥平面ABCD .以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.如图所示：则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ()0,2,2F . ∴()2,0,1AE =-，()0,2,1EF =，()0,2,0DC =. 设(),,n x y z =为平面AEF 的法向量，则·0·0n AE n EF ⎧=⎨=⎩，得2020x z y z -+=⎧⎨+=⎩，令1x =，则()1,1,2n =-.由题意知()0,2,0DC =为平面BCF 的一个法向量，∴()cos ,||||6n DC n DC n DC ===∴平面BCF 与平面AEF 6=.【点睛】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.19.阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序,由谷歌(Google)公司的团队开发.其主要工作原理是“深度学习”.2017 年5 月,在中国乌镇围棋峰会上,它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战,以3 比0 的总比分获胜.围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平.为了激发广大中学生对人工智能的兴趣,某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛,从参加比赛的学生中随机抽取了30 名学生,并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计,得到如下数据表:(1)根据上面的统计数据,试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取一人,其成绩等级为“A 或B ”的 概率;(2)根据(I)的结论,若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选3 人,记X 表示抽到成绩等级为“ A 或B ”的学生人数,求X 的分布列及其数学期望 EX ；(3)从这30 名学生中,随机选取2 人,求“这两个人的成绩之差大于1分”的概率. 【答案】（1）13；（2）见解析；（3）3487【解析】分析：(Ⅰ)根据统计数据，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解其成绩等级为“A 或B ”的概率； (Ⅱ)由题意，得到随机变量X 可取0,1,2,3，且服从二项分布，求得相应的概率，列出分(Ⅲ)设从30名学生中，随机选取2人,记两个人的成绩分别为,m n ，得到基本事件的总数为230C ，不妨设m n >，分类讨论即可求解所求的额概率.详解：(1)根据统计数据可知，从本地区参加比赛的30名中学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率为：46130303+=， 即从本地区参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率为：13. (2)由题意知随机变量X 可取0,1,2,3，则1~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()()343120,1,2,333k kP x k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以X 的分布列为：则()1313E x =⨯=,所求期望值为1 (3)设事件M :从这30 名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于1分. 设从这30 名学生中，随机选取2人,记两个人的成绩分别为,m n , 则基本事件的总数为220C ,不妨设m n >,当5m =时，3,2,1n =,基本事件的个数为()211141073C C C C ++； 当4m =时，2,1n =，基本事件的个数为()111673C C C +； 当3m = 时,1m =,基本事件的个数为11103C C ；()3487P M =点睛：本题主要考查古典概型的概率公式和二项分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，再利用二项何分布的概率公式，求得概率，得到分布列和求得数学期望，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.20.设函数()()1xf x lnxg x xe x ==--,.（1）若关于x 的方程()f x x m =+在区间[]1,3上有解，求m 的取值范围； （2）当0x >时，()()g x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]33,1ln --（2）(0]∞-，【解析】 【分析】（1）令()()0h x lnx x x =->，求出函数的对数，根据函数的单调性求出函数()h x 的值域，从而求出m 的范围即可；（2）当0x >时，()()g x f x a -恒成立，令()()()1x F x g x f x xe lnx x =-=---，(0)x >，根据函数的单调性求出()F x 的最小值，从而求出a 的范围．【详解】解析：（1）方程()f x x m =+，即为ln .x x m -= 令()()0h x lnx x x =->， 则()11'10xh x x x-=-=≤在[]1,3x ∈恒成立， 故()h x 在[]1,3上单调递减.()()11,333h h ln =-=-，∴当[]1,3x ∈时，()[]33,1h x ln ∈-- m ∴的取值范围是[]33,1ln --（2）依题意，当0x >时，()()g x f x a -≥恒成立.令()()()()10xF x g x f x x e lnx x x =-=⋅--->，则()()()()11'111x x x F x x e x e x x+=+⋅--=⋅⋅- 令()1xG x x e =⋅-，则当0x >时，()()'10x G x x e =+>，∴函数()G x 在(0)+∞，上单调递增， ()010G =-<，()110G e =->，()G x ∴存在唯一的零点()0,1c ∈，且当()0,x c ∈时，()0G x <，当,()x c ∈+∞时，()0G x >， 则当()0,x c ∈时，()F'0x <，当,()x c ∈+∞时，()'0F x >，()F x ∴在()0,c 上单调递减，在(,)c +∞上单调递增，从而()()1xF x F c ce lnc c ≥=---.由()0G c =得10,1c c ce ce -==，两边取对数得0lnc c +=，()0F c ∴=， ()()0F x F c ∴≥=，0a ∴≤，即实数a 的取值范围是(],0∞-【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题．21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知12PF F △12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2||AB GF 为定值. 【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）当12PF F △面积最大时，r 最大，即P 点位于椭圆短轴顶点时3r =，即可得到b 的值，再利用离心率求得,a c ，即可得答案；（2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690my my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求得||AB ，利用AB 的垂直平分线方程求得G 的坐标，两个都用m 表示，代入2||AB GF 中，即可得答案. 【详解】（1）由题意知：12c a =，∴2222,a c b a c ==-，∴b =.设12PF F △的内切圆半径为r ， 则()12121211(22)()22PF F SPF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+⋅， 故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =)a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得：2,a b ==， 所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()2122121||3434m AB y m m +===++. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m 的表达式，进而求证得到定值.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=. （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】 【分析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程； （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案. 【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法.23.已知函数()22f x x a x a =+++-，其中a R ∈. （1）若()25f -≤，求实数a 的取值范围；（2）记()1中的a 的最大值为M ，若正实数,,m n p 满足2m n p M ++=，求11m n n p+++的最小值. 【答案】（1）7,13a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）4 【解析】 【分析】（1）利用分段函数表示出()2f -，再分类讨论计算可得；（2）由（1）可知1M =，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：（1）由条件知()32,02222,1032,1a a f a a a a a a +>⎧⎪-=++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，则函数图象如下所示：又()25f -≤，3250a a +≤⎧∴⎨>⎩或2510a a +≤⎧⎨-≤≤⎩或3251a a --≤⎧⎨<-⎩ 解得7,13a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，1M =，21m n p ∴++= 于是()1111m n n p m n n p m n n p ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭ 2242n p m n n p m n m n n p m n n p++++=++⋅++≥+++， 当且仅当n p m n m n n p++=++时取等号， 故11m n n p+++的最小值为4. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题.。