第三章：函数

第三章——函数本章知识网络高中数学有哪些章节函数与数列的关系函数与解析几何的关系函数与各个章节的关系，在高中阶段的地位函数一、函数的概念基础练习1、下列各组函数中，表示同一函数的是( )A 、2x y =与33x y = B 、112--=x x y 与1+=x y C 、x y -=1与()21-=x y D 、2lg x y =与x y lg 2=2、函数()()⎩⎨⎧≥--<+=)1(14)1(12x x x x x f 则使得1)(≥x f 的自变量取值范围为( )A 、]([]10,02, -∞-B 、]([]1,02, -∞-C 、][](10,12, -∞-D 、[][]10,10,2 -3、若函数)(x f y =的定义域是[]4,2-，则函数F ())()(x f x f x -+=的定义域是( )A []4,4-B []4,2C []2,2-D []2,4--4、甲乙两地相距2400公里，若火车以每个小时120公里的速度由甲地匀速直线驶向乙地，那么火车离乙地的距离S5、函数⎩⎨⎧≤≤-≤≤-=)21(1)11(2)(2x x x x x f 的值域是 。

6、若函数)(x f y =的图像如图所示，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21f f ＝ 。

（有图）1、 定义2、 函数的概念有哪些3、 函数的定义域1）有解析式函数的定义域主要有三种类型：例1、1）x x x y -++-=1123 2）51log 5.0+-=x x y 3）x x y tan log 25.0++=例2、已知函数()31323-+-=ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 .2）抽象函数定义域 例3、已知()1x f y +=的定义域[]2,0，则()2x f 2-的定义域为 .总结：求抽象函数定义域的关键点在于什么，步骤是什么？4、 函数的值域1）有函数解析试的函数值域有几种方法，代表题型有哪些例4、求函数]2,2[,322-∈++=x x x y 的值域。

例5、求函数),3[,11+∞∈-+=x x x y 的值域。

例6、求函数1cos 2sin +-=x x y 的值域。

例7、求函数2212++-=x x x y 的值域。

例8、求函数x x y 2323-+-=的值域。

例9、求函数]2,0[,239∈+=x y x x 的值域。

例10、求函数x x y 2323---=的值域。

例11、求函数x x y -+=1的值域。

例12、求函数1212+-=x x y 的值域。

2）抽象函数的值域例13、函数)(x f y =的值域为]4,1[-，则函数1)12(3+-=x f y 的值域为 。

例14、函数)(344)1(2R x x x x f ∈++=+，那么函数)(x f 的最小值是 。

5、 函数的解析式主要有几种方法，代表题型有哪些例15、()c bx ax x f 2++=，若()00f =，且()()1x x f 1x f ++=+，则()=x f 。

例16、()5312+=-x x f ，则()x f 的解析式为 。

例17、已知函数1)2(2-=+x x f ，求)21(x f -。

例18、已知x x x x x x f cos sin cos sin )cos (sin ⋅+=+，求函数)(x f 。

例19、（1）已知221)1(x x x x f +=+，求)(x f ；（2）已知221)1(xx x x f +=-，求)(x f ； （3）已知331)1(xx x x f -=-，求)(x f 。

例20、（1）已知x x f x f =-)1(2)(，求)(x f ；（2）已知x x x f x f +=--2)(2)(，求)(x f例21、已知)2,0(,11cos )(cos π∈=x x x f ，求)(sin x f例22、我们知道，对数函数x x f a log )(=具有性质：)()1(x f xf -=。

试另外举出一个函数)(xg ，也满足)()1(x g xg -=，且它的定义域必须包含（0，+∞）。

6、 函数的运算例23、函数()x x f -=1，()x x x g +-=1，则()()=+x g x f 。

例24、设()x x f =，()x2x g =，()()()x g x f x P +=，()()()x g x f x Q -=，求()x P 、)(x Q 并做图像。

7、 函数的建立建立函数的步骤：例25、新世纪花园要建造一个直径为16米的圆形喷水池（如图）。

计划在池的周边靠近水面的位置安装一个喷水头，要求喷出的水柱在离池中心3米的地方达到最高，高度为4米，还要在水池中心的上方设计一个装饰物，使各方向喷头的水柱在此处汇合。

问这个装饰物高度如何设计？例26、小明、小强和小红的爸爸每月工资分别为1500、2500、3500元。

问他们应缴纳多少个人所得税：1.个人每月的工资薪水收入x 中，800元为免税收入，其余部分为应纳税收入2税率按应纳税收入额规定如下表： 应纳税收入额（元） 税率（%）[)500,0 5[)2000,500 10[)5000,2000 15[)20000,500020例27、对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称Q P 的最小值为P 到线段AB 的距离。

已知平面直角坐标系中的线段AB ，其中两端点为)2,1(-A 、)1,4(B ，点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数解析式。

8、 函数相等函数相等的条件是：例28、在①()x x f =，()()2x x g =②()x x f =，()2x x g =③()1=x f ，()0x x g =④()()()⎩⎨⎧∈--∈+=1,0,10,1,1x x x x x f ，()()x f x g 1-=；这四组函数中，表示同一函数的组数是 。

9、 反函数1、已知如下命题：①函数)(x f y =存在反函数的充要条件是)(x f y =在定义域上单调；②函数)(x f y =与其反函数1-=f y ()x 的图像成轴对称图形；③递减函数的反函数不一定是递减函数；④函数)(x f y =与其反函数1-=f y ()x 的图像不可能重合。

其中正确命题的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、32、下列函数中，有反函数的是（ ）A 、532++=x yB 、2123+-=x y C 、112+=x y D 、()()⎩⎨⎧<≥-=03032x x x x y（1） 定义（2） 性质① 如果)(x f y =有反函数，那么函数中y x ,必须是 ，它的图像 ；② 可知，如果)(x f y =有反函数，那么函数)(x f y =与)(1x fy -=，互为反函数，)(x f y =的定义域是)(1x f y -=的值域，)(x f y =的值域是)(1x fy -=的定义域； ③ )(x f y =与)(1y f x -=图像 ，与)(1x f y -=的图像 ；④ )(x f y =图像过点),(b a ，则)(1x fy -=的图像过点 ； ⑤ =-)]([1x f f ，=-)]([1x f f ；⑥ 如果)(x f y =是奇函数，则)(1x f y -=是 ，反之亦然；如果)(x f y =是递增（减）函数，则)(1x f y -=是 ，反之亦然；⑦ 在定义域上单调的函数一定有反函数，有反函数的函数不一定是单调函数。

（3） 求反函数的步骤：例29、函数)21(2413-≠∈++=x R x x x y 且的反函数是 。

例30、求函数3x y =的反函数，并在同一坐标系作出原函数与反函数的图像。

例31、函数5x 4x y 2+-=()()1,x ∞-∈，则其反函数()=-x f 1 .例32、（1）若函数)(x f 的反函数为)0()(21>=-x x x f ，则=)4(f ；（2）若函数2)(+=x x x f ，则=-)31(1f 。

例33、（1）若()x f 图像过点()2,1，则其反函数)(1x f-必经过点 ；（2）若()x f 图像过点()1,0，则()2+x f 的反函数图像必过点 ，()21+-x f得图像必过点 。

例34、设)01(11)(2≤≤---=x x x f ，则)(1x f y -=的图像是 。

例35、直线2ax y +=与直线b x 3y -=关于x y =对称，那么（ ） （A ）31a =，6b = （B ）31a =，6b -= （C ）3a =，2b -= （D ）3a =，6b =例36、函数2xx e e y --=的反函数（ ） A 、是奇函数，它在),0(+∞上是减函数 B 、是偶函数，它在),0(+∞上是减函数C 、是奇函数，它在),0(+∞上是增函数D 、是偶函数，它在),0(+∞上是增函数例37、函数()0)(>+=x xa x x f 在区间[)+∞,2上存在反函数，则实数a 的取值范围是 。

例38、已知x x x f 32)3(+=，求)3(1x f -，提供如下一种解法：“由已知x x x f 32)3(+=，设3x t =得23)(1-=-t t f ，将3x t =带回，所以23)3(1-=-x x f ”上述解法是否正确，为什么？例39、设函数)(x f 对任何实数y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+，求证：（1）0)0(=f ；（2）)(2)2(x f x f =。

例40、设)(x f 为定义在R 上的偶函数，当1-≤x 时，)(x f y =的图像是经过点)0,2(-，斜率为1的射线，又在)(x f y =的图像中有一部分是顶点在)2,0(，且过点)1,1(-的一段抛物线，试写出函数)(x f y =的表达式，并作出其图像。

10、最值求最值的几种方法：例41、已知410≤<t ，则t t -1的最小值为 。

例42、求函数)23)()(cos (sin >++=a a x a x y 的最小值。

例43、求1)2(4)(22+-++=x x x f 的最小值。

例44、已知x>0，y>0，且2x ＋5y ＝20，则xy 的最大值是 。

例45、已知R b a ∈,，且1022=+b a ，则b a +的范围是 。

例46、若1>a ，则11-+a a 的最小值为 。

例47、设x 、y 是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是 。

例48、对于每个实数x ，设)(x f 为2+x ，14+x ，x 24-三个函数中的最小值，求)(x f 的最大值。