北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 中考压轴题练习
北师大版九下数学二次函数压轴题分类训练
二次函数压轴题分类训练类型1二次函数与相似三角形的存在性问题1．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P为线段BC上的一个动点，过P作PE垂直于x轴与抛物线交于点E，设P点横坐标为m，PE长度为y，请写出y与m的函数关系式，并求出PE的最大值；(3)D为抛物线上一动点，是否存在点D使以A、B、D为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4与坐标轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当DE＝4时，求四边形CAEB的面积；(3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．3．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD 于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型2 二次函数与平行四边形的存在性问题1．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与坐标轴分别交于A (－3，0)，B (1，0)，C (0，3)三点，D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)F 是抛物线对称轴上一点，且tan ∠AFE ＝12，求点O 到直线AF 的距离； (3)点P 是x 轴上的一个动点，过P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ，F ，P ，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA ＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C 两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．类型3二次函数与直角三角形的存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B、C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5.(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求线段BC所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3．已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′.(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比．类型4 二次函数与等腰三角形的存在性问题1．如图，已知二次函数y 1＝－x 2＋134x ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A (4，0)，与y 轴的交点为B ，过A 、B 的直线为y 2＝kx ＋b .(1)求二次函数y 1的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y 1<y 2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，直线y＝kx－1与抛物线交于A，C两点，其中A(－1，0)，B(3，0)，点C的纵坐标为－3.(1)求k值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)交于x轴于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；(3)连接AC，在x轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形；若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型5二次函数与图形面积问题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？(3)当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求K点坐标．2．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＜0)与双曲线y ＝k x相交于点A 、B ，点A 的坐标为(－2，2)，点B 在第四象限内，过点B 作直线BC ∥x 轴，直线BC 与抛物线的另一交点为点C ，已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的4倍，记抛物线的顶点为E .(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算△ABC 与△ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的8倍？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型6二次函数与最值问题1．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B，已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当a＝1时，求四边形MEFP的面积最大值，并求此时点P的坐标；(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．2．如图，顶点为A的抛物线y＝a(x＋2)2－4交x轴于点B(1，0)，连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD.(1)求抛物线的解析式(关系式)；(2)求点A，B所在的直线的解析式(关系式)；(3)若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，四边形ABOP分别为平行四边形？(4)若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接PQ.问：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．类型7二次函数与根的判别式问题1．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM.(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ABM的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？类型8二次函数与圆1．如图，已知以E(3，0)为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于点A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，顶点为F.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标；(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合)．试探究：①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴分别交于C、D两点，且CD＝4.点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO 为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；(3)判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．。
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》复习训练题含答案解析 (13)
一、选择题1.抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( )A．y=(x+1)2+3B．y=(x+1)2−3C．y=(x−1)2−3D．y=(x−1)2+32.把抛物线y=2x2向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为( )A．y=2(x−1)2B．y=2(x+1)2C．y=2x2−1D．y=2x2+13.若y=(m+1)x m2+m是关于x的二次函数，则m的值为( )A．−2B．1C．−2或1D．2或14.已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x...01234...y...41014...点A(x1,y1)，B(x2,y2)在函数的图象上，则当1<x1<2，3<x2< 4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y25.已知二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0；当1≤x≤2时，总有y≤0，那么c的取值范围是( )A．0≤c≤2B．c≥2C．1≤c≤2D．c≤26.若二次函数y=x2−4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为( )A．6B．4C．3D．17.在同一平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能( )A．B．C．D．8.顶点为(−3.0)，且开口方向，形状与函数y=−12x2的图象相同的抛物线是( )A．y=−12(x−3)2B．y=−12x2+3C．y=−12(x+3)2D．y=12x2−39.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b<0；② −1≤a≤−23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b<0；② −1≤a≤−23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm，总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11.抛物线的顶点是C(2,√3)，它与x轴交于A，B两点，它们的横坐标是方程x2−4x+3=0的两个根，则AB=，S△ABC=．12.已知a是常数．（1）如果抛物线y=(2a+1)x2的最低点是原点，那么a的取值范围是；（2）如果抛物线y=−2(x−a)2+3a−1的对称轴是直线x=3，那么它的顶点坐标是；（3）若抛物线y=a(x−2)2+a−1的顶点坐标是(2,−4)，则它的开口．13.抛物线y=−2(x−1)2+4可以看作是由抛物线y=−2x2先向平移个单位，再向平移个单位得到的．14.乒乓球竖直落到光滑水平的地面后会竖直弹起，假设每次弹起的最高高度会比上一次降低20%，而且乒乓球每次弹起到落地过程中，其弹起高度ℎ是时间t的二次函数，都可以用ℎ=−5(t−m)2+n表示．如果乒乓球第一次弹起到落地的时间间隔为0.8s，则该乒乓球从第1次最高点到第2次最高点的时间间隔是s．15.将抛物线C:y=x2先向左平移2个单位长度，然后再向上平移1个单位长度后，所得抛物线Cʹ的解析式为．16.若函数y=(a−1)x2−4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．17.抛物线C1:y=x2−1(−1≤x≤1)与x轴交于A，B两点，抛物线C2与抛物线C1关于点A成中心对称，抛物线C3与抛物线C1关于点B成中心对称．若直线y=−x+b与由C1，C2，C3组成的图形恰有2个公共点，则b的取值或取值范围是．三、解答题18.如图，已知抛物线y=−12x2−32x+2与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．(1) 判断△ABC的形状，并说明理由．(2) 在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．x2+bx+c与x轴交于点A，B，交y轴于点C(0,−2√3)，且抛物线对19.如图，抛物线y1=12称轴x=−2交x轴于点D，E是抛物线在第3象限内一动点．(1) 求抛物线y1的解析式；(2) 将△OCD沿CD翻折后，O点对称点Oʹ是否在抛物线y1上？请说明理由．(3) 若点E关于直线CD的对称点Eʹ恰好落在x轴上，过Eʹ作x轴的垂线交抛物线y1于点F，①求点F的坐标；②直线CD上是否存在点P，使|PE−PF|最大？若存在，试写出|PE−PF|最大值．20.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在点O正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y= a(x−4)2+ℎ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．(1) 当a=−124时，①求ℎ的值；②通过计算判断此球能否过网．(2) 若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为125m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．21.在平面直角坐标系中，顶点为(−4,−1)的抛物线交y轴于点A(0,3)，交x轴于B，C两点，求此抛物线的解析式．22.我们已经知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线．研究二次函数的图象与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）．已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示．(1) 你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）(2) 依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．23.某体育用品商场购进一批“乐骑”牌自行车，每辆成本价300元，每辆自行车销售单价x（元）与每月的销售量y（辆）的关系如下表所示：x(元)⋯600550500450⋯y(辆)⋯100110120130⋯若每月的销售量y（辆）是销售单价x（元）的一次函数．(1) 求y与x之间的函数关系式；(2) 设该商场销售“乐骑”牌自行车每月获得的利润为W（元），当销售单价x为何值时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？24.在平面直角坐标系中，将抛物线C1:y=x2−2x向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2．(1) 求新抛物线C2的表达式；(2) 如图，将△OAB沿x轴向左平移得到△OʹAʹBʹ，点A(0,5)的对应点Aʹ落在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点Bʹ的距离．25.如图，抛物线y=ax2+bx−4经过A(−3,0)，B(5,−4)两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．(1) 求抛物线的表达式．(2) 求△ABC的面积．(3) 抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．答案一、选择题 1. 【答案】D2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】 ∵y =(m +1)x m 2+m是关于 x 的二次函数，∴{m +1≠0,m 2+m =2,解得：{m ≠−1,m =−2或1,∴m =−2或1．4. 【答案】B【解析】 ∵ 当 1＜x ＜2 时，函数值 y 小于 1，当 3＜x ＜4 时，函数值 y 大于 1， ∴y 1＜y 2． 故选B ．5. 【答案】B【解析】 y =x 2+bx +c 函数图象开口向上， 当 x ≤1 时，总有 y ≥0，∴x 2+bx +c =y =0 的较小根 x 1=1， ∴1+b +c =0．当 1≤x ≤2 时，总有 y ≤0，∴x 2+bx +c =y =0 的较大根 x 2≥2． ∵x 1+x 2=−b ，∴x 2=−b −x 1=−b −1≥2， ∴−b ≥3． ∵−b =c +1，∴c +1≥3，即 c ≥2．6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】C【解析】 y =−12(x −3)2 的顶点为 (3,0)，故选项A 不符合题意；y=−12x2+3的顶点为(0,3)，故选项B不符合题意；y=−12(x+3)2的顶点为(−3,0)，开口方向，形状与函数y=−12x2的图象相同，故选项C符合题意；y=12x2−3的顶点为(0,−3)，故选项D不符合题意．9. 【答案】D【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，而抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，∴3a+b=3a−2a=a<0，∴①正确；∵2≤c≤3，而c=−3a，∴2≤−3a≤3，∴−1≤a≤−23，∴②正确；∵抛物线的顶点坐标(1,n)，∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，∴③正确；∵抛物线的顶点坐标(1,n)，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n−1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，∴④正确．故选D．10. 【答案】B【解析】因为抛物线开口向下，所以a<0，而抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，所以3a+b=3a−2a=a<0，所以①正确．因为2≤c≤3，而c=−3a，所以2≤−3a≤3，所以 −1≤a ≤−23，所以②正确． 因为抛物线的顶点坐标 (1,n )，所以 x =1 时，二次函数值有最大值 n ， 所以 a +b +c ≥am 2+bm +c ， 即 a +b ≥am 2+bm ，所以③正确． 因为抛物线的顶点坐标 (1,n )，所以抛物线 y =ax 2+bx +c 与直线 y =n −1 有两个交点，与 y =n +1 无交点， 所以关于 x 的方程 ax 2+bx +c =n +1 有两个不相等的实数根错误， 所以④错误， 所以①②③正确．二、填空题11. 【答案】 2 ； √312. 【答案】 a >−12 ； (3,8) ；向下13. 【答案】右； 1 ；上； 414. 【答案】10+4√525【解析】 ∵ 乒乓球第一次弹起到落地的时间为 0.8，ℎ=−5(t −m )2+n ， ∴m =0.4，此时 ℎ 取得最大值 n ， ∴ℎ=−5(t −0.4)2+n ， ∵ 该函数过点 (0,0)， ∴0=−5(0−0.4)2+n ， 解得，n =0.8，∵ 每次弹起的最高高度会比上一次降低 20%，∴ 第二次弹起的最大高度是 0.8×(1−20%)=0.64， 令 0.2×0.8=−5(t −0.4)2+0.8， 解得，t 1=10+4√525，t 2=10−4√525， ∴ 该乒乓球从第 1 次最高点到第 2 次最高点的时间间隔是： (0.8−0.4)+(0.4−10+4√525)=10+4√525s ， 故答案为：10+4√525．15. 【答案】 y =(x +2)2+1【解析】原抛物线的顶点为 (0,0)，向左平移 2 个单位长度，然后再向上平移 1 个单位长度， 那么抛物线 Cʹ 的顶点为 (−2,1)，可得抛物线 Cʹ 的解析式为：y =(x +2)2+1．16. 【答案】 −1 或 2 或 1【解析】 ∵ 函数 y =(a −1)x 2−4x +2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b 2−4ac =16−4(a −1)×2a =0，解得：a 1=−1，a 2=2， 当函数为一次函数时，a −1=0，解得：a =1．17. 【答案】b =−54 或 b =−34 或 3≤b <134三、解答题 18. 【答案】(1) 直角三角形，理由如下： 当 y =0 时，−12x 2−32x +2=0，解得 x 1=−4，x 2=1，即 B (−4,0)，A (1,0)． 当 x =0 时，y =2，即 C (0,2)． AB =1−(−4)=5，AB 2=25， AC 2=(1−0)2+(0−2)2=5， BC 2=(−4−0)2+(0−2)2=20， ∵AC 2+BC 2=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形． (2) 存在，理由如下：y =−12x 2−32x +2 的对称轴是 x =−32，设 P (−32,n)， PA 2=(1+32)2+n 2=254+n 2，PC 2=94+(2−n )2，AC 2=5．分类讨论：①当 AP =AC 时，AP 2=AC 2，254+n 2=5，方程无解；不存在．②当 PA =PC 时，PA 2=PC 2，254+n 2=94+(2−n )2，解得 n =0，即 P 1(−32,0)；③当 CA =CP 时，CA 2=CP 2，94+(2−n )2=5，解得 n 1=2+√112，n 2=2−√112， 故 P 2(−32,2+√112)，P 3(−32,2−√112)． 综上所述：使得以 A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形，点 P 的坐标 (−32,0)，(−32,2+√112)，(−32,2−√112)．19. 【答案】(1) ∵ 抛物线对称轴 x =−2，∴ −b2×12=−2，解得 b =2，∵ 点 C(0,−2√3) 在抛物线 y 1=12x 2+bx +c 上，∴ c =−2√3，∴ 抛物线解析式为 y 1=12x 2+2x −2√3．(2) O 点对称点 Oʹ 不在抛物线 y 1 上．理由如下：过 Oʹ 点作 OʹH ⊥x 轴于 H ，如图，由（1）得 D (−2,0)，C(0,−2√3)，在 Rt △OCD 中，∵ OD =2，OC =2√3，∴ tan∠ODC =2√32=√3，∴ ∠ODC =60∘，∵ △OCD 沿 CD 翻折后，O 点对称点 Oʹ，∴ OʹD =OD =2，∠OʹDC =∠ODC =60∘，∴ ∠OʹDH =60∘，在 Rt △OʹDH 中，sin∠OʹDH =OʹH OʹD ， ∴ OʹH =2sin60∘=√3，∴ DH =√22−(√3)2=1，∴ Oʹ(−3,−√3)，∵ 当 x =−3 时，y 1=12x 2+2x −2√3=12×9+2×(−3)−2√3≠−√3,∴Oʹ点不在抛物线y1上．(3) ①设E(m,12m2+2m−2√3)(m<0)，过E作EH⊥x轴于H，连接DE，如图，则DH=−2−m，EH=−(12m2+2m−2√3)=−12m2−2m+2√3，由（2）得∠ODC=60∘，∵点E关于直线CD的对称点Eʹ恰好落在x轴上，∴DC垂直平分EEʹ，∴DC平分∠EDEʹ，DE=DEʹ，∴∠EDEʹ=120∘，∴∠EDH=60∘，在Rt△EDH中，∵tan∠EDH=EHHD，∴EH=HDtan60∘，即−12m2−2m+2√3=(−2−m)√3，整理得m2+(4−2√3)m−8√3=0，解得m1=2√3（舍去），m2=−4，∴E(−4,−2√3)，∴HD=2，EH=2√3，∴DE=√22+(2√3)2=4，∴DEʹ=4，∴Eʹ(2,0)，而EʹF⊥x轴，∴F点的横坐标为2，当x=2时，y1=12x2+2x−2√3=6−2√3，∴F(2,6−2√3)．② ∵点E关于直线CD的对称点Eʹ恰好落在x轴，∴PE=PEʹ，∴|PEʹ−PF|≤EʹF（当点P，Eʹ，F共线时，取等号），∴直线CD上存在点P，使|PE−PF|最大，最大值为6−2√3．20. 【答案】(1) ① ∵a=−124，P(0,1)，∴−124×(0−4)2+ℎ=1，解得ℎ=53．②把 x =5 代入 y =−124(x −4)2+53，得 y =−124×(5−4)2+53=1.625． ∵1.625>1.55，∴ 此球能过网．(2) 把 (0,1)，(7,125) 代入 y =a (x −4)2+ℎ，得 {16a +ℎ=1,9a +ℎ=125,解得 {a =−15,ℎ=215. ∴a =−15．21. 【答案】根据题意，可设抛物线的解析式为 y =a (x +4)2−1，把点 A (0,3) 代入，得 3=16a −1，解得 a =14，∴ 此抛物线的解析式为 y =14(x +4)2−1．22. 【答案】(1) ①抛物线的开口向下（或者 a <0 )，②抛物线的顶点坐标为 (2,7)，③抛物线的对称轴为直线 x =2，④沿 x 轴的正方向看：直线 x =2 的左侧，图象是上升的（或 y 的值随着 x 的值的增大而增大）；在直线 x =2 的右侧，图象是下降的（或 y 的值随着 x 的值的增大而减小），⑤ b >0，⑥ c >0，⑦ a +b +c >0，⑧ a −b +c >0，⑨ 4a +b =0 等信息．(2) 补充条件：C (0,3)，由题意得，该抛物线的顶点坐标为 D (2,7)，故而可设该抛物线的表达式为 y =a (x −2)2+7因为 C (0,3) 在该抛物线上，所以 3=a (0−2)2+7，解得 a =−1故所求的二次函数的解析式为 y =−(x −2)2+7 或 y =−x 2+4x +3．23. 【答案】(1) 设该函数关系式为 y =kx +b ，由已知得 {600k +b =100,550k +b =110. 解得：{k =−0.2,b =220.∴ 所求的所求的函数关系式为 y =−0.2x +220．(2) 由题意得：W=(x −300)y =(x −300)(−0.2x +220)=−0.2x 2+280x −66000=−0.2(x −700)2+32000.又 ∵−0.2<0，∴ 当 x =700 时，W 取得最大值，最大值为 32000，故销售单价 x 为 700 元/辆时，每月可获得最大利润，最大利润为 32000 元．24. 【答案】(1) 由抛物线 C 1:y =x 2−2x =(x −1)2−1 知，将其向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位得到新抛物线 C 2 的表达式是：y =(x −1+2)2−1−3，即 y =(x +1)2−4．(2) 由平移的性质知，点 A 与点 Aʹ 的纵坐标相等，所以将 y =5 代入抛物线 C 2，得 (x +1)2−4=5，则 x =−4 或 x =2（舍去），所以 AAʹ=4，根据平移的性质知：BBʹ=AAʹ=4，即点 B 与其对应点 Bʹ 的距离为 4 个单位．25. 【答案】(1) 将点 A (−3,0)，B (5,−4) 代入 y =ax 2+bx −4，得，{9a −3b −4=0,25a +5b −4=4,解得，{a =16,b =−56. ∴ 抛物线的解析式为：y =16x 2−56x −4． (2) 在抛物线 y =16x 2−56x −4 中，当 x =0 时，y =−4，∴C (0,−4)，∵B (5,−4)，∴BC ∥x 轴，S △ABC=12BC ⋅OC =12×5×4=10,∴△ABC 的面积为 10．(3) 设点 M (52,m)，①如图 1，当 ∠AMB =90∘ 时，设 x 轴与对称轴交于点 H ，过点 B 作 BN ⊥x 轴 于点 N ，则 HM =m ，AH =112，AN =8，BN =4，∵∠MAH +∠MAN =90∘，∠MAN +∠ABN =90∘，∴∠MAH =∠ABN ，又 ∵∠AHM =∠BNA =90∘，∴△AHM ∽△BNA ，∴AH BN =HM NA ，即 1124=m 8，解得，m =11， ∴M 1(52,11)．②如图 2，当 ∠ABM =90∘ 时，设 x 轴与对称轴交于点 H ，BC 与对称轴交于点 N ，由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分 BC ，∴MC =MB ，∴∠BMN =∠AMN ，又 ∵∠AHM =∠BMM =90∘，∴△AHM ∽△BNM ，∴AH BN =HM NM ，∵HM =−m ，AH =112，BN =52，MN =−4−m ， ∴11252=−m −4−m ，解得，m =−223，∴M 2(52,−223)；③如图 3，当 ∠AMB =90∘ 时，设 x 轴与对称轴交于点 H ，BC 与对称轴交于点 N ，则 AM 2+BM 2=AB 2，∵AM 2=AH 2+MH 2，BM 2=BN 2+MN 2，∴AH 2+MH 2+BN 2+MN 2=AB 2，∵HM =−m ，AH =112，BN =52，MN =−4−m ， 即 (112)2+m 2+(52)2+(−4−m )2=42+82，解得，m 1=√712−2，m 2=−√712−2，∴M3(52,√712−2)，M4(52,−√712−2)；综上所述，存在点M的坐标，其坐标为M1(52,11)，M2(52,−223)，M3(52,√712−2)，M4(52,−√712−2)．。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题综合复习练习题
（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；
（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；
（3）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；
（1）求该抛物线的解析式和点D坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，且在该抛物线上是否存在点Q，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．将抛物线C1：y＝﹣x2+3沿x轴翻折，得抛物线C2．
（1）请求出抛物线C2的表达式；
（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
7．如图1，抛物线y＝ x2+2x﹣6 交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD．
（1）求△ACD的面积；
（2）如图1，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求EF+ FG的最大值，以及此时P点的坐标；
10．如图，已知二次函数y＝ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数的表达式；
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题综合复习练习题
（1）求抛物线L1的解析式；
（2）如图2，点P为x轴上一动点，连接AD，AC，CP，当∠PCA＝∠ADB时，求点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线L1平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线L2，将直线DB向下平移经过坐标原点O，交抛物线L2于另一点F，点M（ ，0），点N是L2上且位于第一象限内一动点，MN交L2于Q点，QR∥x轴分别交OF，ON于S，R，试说明：QS与SR存在一个确定的数量关系．
5．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．
（1）求抛物线L和L′的表达式；
（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，
则点C是RQ的中点，
在△BOC中，tan∠OBC＝ ＝ ＝tan∠ROC＝ ，
则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB＝ ＝ x＝BQ，
在△QRB中，S△RQB＝ ×QR•BC＝ BR•QK，即 2x•2x＝ KQ• x，解得：KQ＝ ，
11．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为（﹣4，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；
（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题强化训练试题(1)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数压轴题强化训练试题1．如图，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA＝OB，点C的坐标为（﹣1，0），OA：OC＝3：1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．（1）求a、b、c的值；（2）若直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．①当n＝﹣1时，求∠BAF﹣∠BAD的值；②若直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，求n的取值范围．2．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，﹣1），其对称轴为直线x＝1．（1）求该二次函数的表达式；（2）点P（0，n）在y轴上，若n＜1，过点P作x轴的平行线与该二次函数的图象交于E，F两点，当n取某一范围内的任意实数时，|FP﹣EP|的值始终是一个定值d，求此时n的范围及定值d．（3）是否存在两个不等实数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，恰好有11﹣6t≤y≤11﹣6s．若存在，求出这样的实数s，t；若不存在，请说明理由．3．定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），当x＞m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2），则称点Q为点P的m分变换点（其中m为常数）．例如：（﹣2，3）的0分变换点坐标为（2，﹣1）．（1）点（5，7）的1分变换点坐标为；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y＝图象上，则k＝；若点（a﹣1，5）的1分变换点在直线y＝x+2上，则a＝（2）若点P在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，点Q为点P的3分变换点．①直接写出点Q所在函数的解析式；②求点Q所在函数的图象与直线y＝﹣5交点坐标；③当﹣4≤x≤t时，点Q所在函数的函数值﹣5≤y≤6，直接写出t的取值范围．（3）点A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），若点P在二次函数y＝x2﹣mx+﹣2的图象上，点Q为点P的m分变换点．当点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点时，直接写出m的取值范围．4．如图，已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0），对称轴是直线x＝．（1）求该二次函数的表达式；（2）如图1，连接AC，若点P是该抛物线上一点，且∠P AB＝∠ACO，求点P的坐标；（3）如图2，点P是该抛物线上一点，点Q为射线CB上一点，且P、Q两点均在第四象限内，线段AQ与BP交于点M，当∠PBQ＝∠AQB，且△ABM与△PQM的面积相等时，请问线段PQ的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B′、C′．（1）若a＝1，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由．6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点A，与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点C（3，3）．（1）求此一次函数与二次函数的表达式；（2）若点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠ADO ＝∠OED，求点D坐标．7．如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x 轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．8．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△P AB面积最大时，求点P的坐标及△P AB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．9．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．．10．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x 轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt △OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为；（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．11．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，DE＝EF，直接写出线段BE的长．12．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若△CAE与△OCD相似，求P点坐标；（3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由．13．已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l 平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？14．若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m＝时，求点P的坐标；②求m的最大值．15．如图，抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，CD∥AB交抛物线于点D．（1）当a＝1时，求点D的坐标．（2）若点E是第一象限抛物线上的点，过点E作EM⊥x轴于点M，当OM＝2CD时，求证：∠EAB＝∠ADC．（3）在（2）的条件下，试探究：在x轴上是否存在点P，使得以PF，AD，AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M 作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积最大时，试求出点P 的坐标，并求出△P AB面积的最大值．17．如图，二次函数y＝ax2+x+c的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C 作CN⊥PM于点N．连接PC；①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD＝，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连结PB，求PC+PB的最小值．20．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC＝t．童威在探究d﹣t的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算d﹣t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d﹣t是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明；（3）如图2，点P在第二象限，分别连接P A、PB，并延长交直线l于M、N两点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．参考答案1．如图，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA＝OB，点C的坐标为（﹣1，0），OA：OC＝3：1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．（1）求a、b、c的值；（2）若直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．①当n＝﹣1时，求∠BAF﹣∠BAD的值；②若直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，求n的取值范围．【解答】解：（1）∵点C的坐标为（﹣1，0），OA：OC＝3：1，∴A（（3，0），∵OA＝OB，∴B（0，3），把A、B、C三点都代入二次函数的解析式得，，解得，；（2）∵n＝﹣1，∴y＝x+n＝x﹣1，∴F（0，﹣1）∴OF＝1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），∵A（3，0），B（0，3），∴OA＝3，AB＝3，BD＝，AD＝2，∴BD2+AB2＝AD2，∴∠ABD＝∠AOF＝90°，∵，，∴，∴△OAF∽△BAD，∴∠OAF＝∠BAD，∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴∠BAF﹣∠BAD＝∠OAB+∠OAF﹣∠BAD＝45°；②直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，则以AC为直径的圆⊙G与直线EF有公共点，如图，当直线EF在x下方与⊙G相切时，则△EGK∽△EFO，∴，∵A（3，0），C（﹣1，0），∴GK＝AC＝2，G（1，0），∵直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．∴E（﹣3n，0），F（0，﹣n），n＜0，∴OF＝﹣n，EF＝﹣n，∴，解得，n＝；如图，当直线EF在x下方与⊙G相切时，则△EGK∽△EFO，∴，∵A（3，0），C（﹣1，0），∴GK＝AC＝2，G（1，0），∵直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．∴E（﹣3n，0），F（0，n），n＜0，∴OF＝n，EF＝n，，解得，n＝；∴若直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，则n的取值范围≤n≤．2．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，﹣1），其对称轴为直线x＝1．（1）求该二次函数的表达式；（2）点P（0，n）在y轴上，若n＜1，过点P作x轴的平行线与该二次函数的图象交于E，F两点，当n取某一范围内的任意实数时，|FP﹣EP|的值始终是一个定值d，求此时n的范围及定值d．（3）是否存在两个不等实数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，恰好有11﹣6t≤y≤11﹣6s．若存在，求出这样的实数s，t；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意：，解得，∴y＝﹣2x2+4x﹣1．（2）如图，观察图象可知n≤﹣1，|FP﹣EP|的值始终是一个定值d，d＝2．（3）由（1）知y＝﹣2x2+4x﹣1，对称轴为x＝1，①当s≤x≤t≤1时，y随x的增大而增大，当x＝s时，y取最小值＝﹣2s2+4s﹣1，x＝t时，y取最大值＝﹣2t2+4t﹣1，当s≤x≤t时，恰好有11﹣6t≤y≤11﹣6s，∴﹣2s2+4s﹣1＝11﹣6t，﹣2t2+4t﹣1＝11﹣6s，s+t＝﹣1，将s＝﹣t﹣1代入﹣2t2+4t﹣1＝11﹣6s中，﹣2t2+4t﹣1＝11﹣6（﹣t﹣1），即t2+t+9＝0，△＝12﹣4×1×9＝﹣35＜0，方程无解，∴当s≤x≤t≤1，不满足s≤x≤t时，恰好有：11﹣6t≤y≤11﹣6s．②当s≤1≤t时，当x＝1时，y取最大值＝﹣2+4﹣1＝1，当s≤x≤t时，恰好有11﹣6t≤y≤11﹣6s，1＝11﹣6s，s＝＞1与s≤1矛盾，∴当s≤1≤t，不满足s≤x≤t时，恰好有11﹣6t≤y≤11﹣6s．③当1≤s≤x≤t时，y随x的增大而减小，当x＝s时，y取最大值＝﹣2s2+4s﹣1，x＝t时，y取最小值＝﹣2t2+4t﹣1，当s≤x≤t时，恰好有11﹣6t≤y≤11﹣6s，∴，解得s＝2或3，t＝2或3，∵s＜t，∴s＝2，t＝3．综上所述，满足条件的s，t的值为s＝2，t＝3．3．定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），当x＞m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2），则称点Q为点P的m分变换点（其中m为常数）．例如：（﹣2，3）的0分变换点坐标为（2，﹣1）．（1）点（5，7）的1分变换点坐标为（﹣5，﹣7）；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y＝图象上，则k＝4；若点（a﹣1，5）的1分变换点在直线y＝x+2上，则a＝8或6（2）若点P在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，点Q为点P的3分变换点．①直接写出点Q所在函数的解析式；②求点Q所在函数的图象与直线y＝﹣5交点坐标；③当﹣4≤x≤t时，点Q所在函数的函数值﹣5≤y≤6，直接写出t的取值范围．（3）点A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），若点P在二次函数y＝x2﹣mx+﹣2的图象上，点Q为点P的m分变换点．当点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点时，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵5＞1，∴点（5，7）的1分变换点坐标为（﹣5，﹣7）；∵1＝1，∴点（1，6）的1分变换点为（﹣1，﹣4），∵点（1，6）的1分变换点在反比例函数y＝图象上，∴k＝﹣1×（﹣4）＝4；当a﹣1＞1，即a＞2时，点（a﹣1，5）的1分变换点为（1﹣a，﹣5），∵点（a﹣1，5）的1分变换点在直线y＝x+2上，∴﹣5＝1﹣a+2，∴a＝8，当a﹣1≤1，即a≤2时，点（a﹣1，5）的1分变换点为（1﹣a，﹣3），∵点（a﹣1，5）的1分变换点在直线y＝x+2上，∴﹣3＝1﹣a+2，∴a＝6，故答案为：（﹣5，﹣7）；4；8或6；（2）①设P（x，x2﹣2x﹣3），∵点Q为点P的3分变换点，∴当x＞3时，Q（﹣x，﹣x2+2x+3），∴点Q所在函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3（x＞3）；当x≤3时，Q（﹣x，﹣x2+2x+5），∴点Q所在函数的解析式为y＝﹣x2+2x+5（x≤3）；故点Q所在函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3（x＞3）或y＝﹣x2+2x+5（x≤3）；②把y＝﹣5代入y＝﹣x2+2x+3（x＞3）得﹣x2+2x+3＝﹣5，解得，x＝﹣2（舍去），或x＝4；把y＝﹣5代入y＝﹣x2+2x+5（x≤3）得，﹣x2+2x+5＝﹣5，解得，x＝1﹣，或x＝1+（舍），综上，点Q所在函数的图象与直线y＝﹣5交点坐标为（4，﹣5）或（1﹣，﹣5）；③∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4（x＞3），∴y的最大值为4＜6，且当x＞3时，y随x的增大而减小，令y＝﹣5，得y＝﹣x2+2x+3＝﹣5（x＞3），解得，x＝﹣2（舍），x＝4，∴当3＜t≤4时，点Q所在函数的函数值﹣5≤y≤6；∵y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6（x≤3），∴y的最大值为6，当1＜x≤3时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，令y＝﹣5时，得﹣x2+2x+5＝﹣5，解得，x＝1+（舍），x＝1﹣，而x＝3时，y＝﹣4+6＝2，∴当1﹣≤t≤3时，点Q所在函数的函数值﹣5≤y≤6；综上，当﹣4≤x≤t时，点Q所在函数的函数值﹣5≤y≤6，其t的取值范围是1﹣≤t≤4；（3）设P（x，x2﹣mx+﹣2），当x＞m时，则Q（﹣x，﹣x2+mx﹣+2），∴点Q所在的函数的解析式为：y＝﹣x2+mx﹣+2＝，∴顶点坐标为（，+2），∵点A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点，∴，解得，﹣2＜m≤2﹣，或2+≤m＜2．4．如图，已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0），对称轴是直线x＝．（1）求该二次函数的表达式；（2）如图1，连接AC，若点P是该抛物线上一点，且∠P AB＝∠ACO，求点P的坐标；（3）如图2，点P是该抛物线上一点，点Q为射线CB上一点，且P、Q两点均在第四象限内，线段AQ与BP交于点M，当∠PBQ＝∠AQB，且△ABM与△PQM的面积相等时，请问线段PQ的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）设P（x，），∵已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，4），∴OC＝4，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝＝＝5，如图，在y轴上取点D，使CD＝CA，连接AD，∴∠CAD＝∠ADC，DO＝9，∴∠ACO＝∠CAD+∠ADC＝2∠ADO，∵∠P AB＝∠ACO，∴∠ADO＝∠P AB，∴tan∠ADO＝tan∠P AB，∴，∴x1＝3，x2＝5∴P（3，2）或（5，）；（3）线段PQ的长是定值，PQ＝7．如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F，∵点B的坐标为（4，0），点A的坐标为（﹣3，0），∴AB＝7，∵△ABM与△PQM的面积相等，∴△ABQ与△PQB的面积相等，∴×BQ×AE＝×BQ×PF，∴AE＝PF，又∵∠PBQ＝∠AQB，∠AEQ＝∠PFB＝90°，∴△AEQ≌△PFB（AAS），∴EQ＝BF，∴BE＝QF，∵AE＝PF，∠AEB＝∠PFQ＝90°，BE＝QF，∴△AEB≌△PFQ（SAS），∴AB＝PQ＝7．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B′、C′．（1）若a＝1，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：，解得，∴原抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4），∴C（1，﹣4），∵B（3，0），∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣6．∴E（0，﹣6），∵抛物线绕点M旋转180°，∴MB＝MB′，MC＝MC′，∴四边形BCB′C′是平行四边形，∴S△BCM＝×40＝10，∵S△BCM＝S△MBE﹣S△MCE＝×（3﹣1）×ME＝ME，∴ME＝10，∴m＝4或m＝﹣16；（3）如图，过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，∴＝，即MO•MD＝BO•CD．∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），∴CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，∴﹣m（m+4a）＝3，∴m2+4am+3＝0，∵△＝16a2﹣12≥0，a＞0，∴a≥．所以a≥时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形．6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点A，与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点C（3，3）．（1）求此一次函数与二次函数的表达式；（2）若点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠ADO ＝∠OED，求点D坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2的图象过点C（3，3），∴3＝9a，∴a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2，∵一次函数y＝kx+b的图象经过点B（6，0）点C（3，3），∴，解得：，∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；（2）∵一次函数的表达式为y＝﹣x+6与y轴交于点A；∴点A（0，6），∴OA＝6，设点D（m，﹣m+6），则点E（m，m2），∴DE＝﹣m+6﹣m2，∵DE∥y轴．∴∠AOD＝∠ODE，又∵∠ADO＝∠OED，∴△ODA∽△DEO，∴，∴OD2＝OA•DE，∴m2+（﹣m+6）2＝6×（﹣m+6﹣m2）∴m＝0（不合题意）或m＝，∴点D坐标为（，）．7．如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x 轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．【解答】解：（1）分别过点M、N作ME⊥CD于点E，NF⊥DC于点F，∵ME∥FN∥x轴，∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，∴，，∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c，将M（﹣1，1）代入上式并解得：c＝4，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，则点D（1，5），N（4，﹣4），则ME＝2，DE＝4，DC＝5，FN＝3，DF＝9，∴，解得：AC＝，BC＝，∴＝；（2）不变，理由：∵y＝ax2﹣2ax+c过点M（﹣1，1），则a+2a+c＝1，解得：c＝1﹣3a，∴y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a），∴点D（1，1﹣4a），N（4，1+5a），∴ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝，BC＝，∴＝；（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE，∵FB＝FE，FH⊥BE，∴BH＝HE，∵BC＝2BE，则CE＝6HE，∵CD＝1﹣4a，∴FH＝，∵BC＝，∴CH＝×＝，∴F（﹣+1，﹣a），将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a）＝a（x+1）（x﹣3）+1得：﹣a＝a（﹣+1+1）（﹣+1﹣3）+1，解得：a＝﹣或（舍弃），经检验a＝﹣，故y＝﹣x2+x+．8．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△P AB面积最大时，求点P的坐标及△P AB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∵点F的横坐标为，∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，∴F点的坐标为（，﹣），又∵点A在抛物线上，∴c＝1，对称轴为：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，∵四边形DBFE为平行四边形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），∴PP'＝﹣n2+n，S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣+，∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），设Q（，m），①当AQ为对角线时，∴R（﹣），∵R在抛物线y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；②当AR为对角线时，∴R（），∵R在抛物线y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．9．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得∴二次函数的解析式为y＝﹣2x+3．∵y＝﹣1，∴E（4，﹣1）．（2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．设D（4，m），∵C（0，3），由勾股定理可得：42+（m﹣3）2＝62+32．解得m＝3±．∴满足条件的点D的坐标为（4，3+）或．（3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P（n，﹣2n+3），则Q（），设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则nk+3．解得k＝，于是CQ：y＝（）x+3，当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5﹣，∴M（4，n﹣5﹣），ME＝n﹣4﹣．∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM＝．∴n2﹣4n﹣60＝0，解得n＝10或n＝﹣6，当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．10．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x 轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt △OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，顶点坐标为（4，）；（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，∵：y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣4）2+，∴顶点坐标为（4，）故答案为：y＝﹣x2+x+4，（4，）；（2）点N在直线AC上，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，∴点A（0，4），即OA＝4，∵点B（8，4），∴AB∥x轴，AB＝8，∴AB⊥AO，∴∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAM＝90°，∵AM⊥OB，∴∠BAM+∠B＝90°，∴∠B＝∠OAM，∴tan∠B＝tan∠OAM＝＝＝，∵将Rt△OMA沿y轴翻折，∴∠NAO＝∠OAM，∴tan∠NAO＝tan∠OAM＝，∵OC＝2，OA＝4，∴tan∠CAO＝＝，∴tan∠CAO＝tan∠NAO，∴∠CAO＝∠NAO，∴AN，AC共线，∴点N在直线AC上；（3）∵点B（8，4），点O（0，0），∴直线OB解析式为y＝x，∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，∴AF∥OB，∴直线AF的解析式为：y＝x+4，联立方程组：解得：或∴点F（，），∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，∴Rt△OMA≌Rt△DEF，OA＝DF，OA∥DF∴S△OMA＝S△DEF，四边形OAFD是平行四边形，∵四边形AMEF的面积＝S四边形AMDF+S△DEF＝S四边形AMDF+S△OAM＝S四边形OAFD，∴四边形AMEF的面积＝S四边形OAFD＝4×＝22．11．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，DE＝EF，直接写出线段BE的长．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），C（0，）代入y＝a（x﹣2）2 +c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，即y＝﹣x2+x+；∴顶点D的坐标为（2，3）；（2）当y＝0时，﹣（x﹣2）2+3＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∵∠DEB＝∠DEF+∠BEF＝∠DAB+∠ADE，∠DEF＝∠DAB，∴∠ADE＝∠BEF，∵AD＝＝5，BD＝＝5，∴AD＝BD，∴∠DAE＝∠EBF，∵DE＝EF，∴△ADE≌△BEF（AAS），∴BE＝AD＝5．12．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若△CAE与△OCD相似，求P点坐标；（3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得．故此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点D（﹣1，4）．∵A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4），∴AC＝，OA＝OC＝3，CD＝，∠OCD＝∠CAE＝135°，∴点E只能在A点左边．①若△CAE∽△DCO，则，∴AE＝9，∴OE＝12，∴E（﹣12，0）．∵C（0，3），。
北师大版九年级下册数学第二章《二次函数应用》压轴题整理试题以及答案
二次函数压轴题练习试题1、抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点。
（1）求抛物线的表达式以及顶点D的坐标；S△ACD，求点P的坐标；（2）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP=12（3）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M 的坐标；2、如图，已知抛物线y=ax2+bx－3经过点A（1，﹣1）和B（﹣3，3），与y轴交于点C。
（1）求抛物线的表达式；（2）若点P为抛物线上位于直线AB下方的一点，且点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y 轴，交线段AB于点Q。
①当△APQ为直角三角形时，求m的值；②当﹣3＜m＜0，若∠PCA=3∠ACO，求m的值；（备用图）3、如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，点F是该抛物线的对称轴（x轴上方部分）上的一个动点，连接AF，将△ABF 沿直线AF翻折，得到△AB’F，当点B’落在该抛物线的对称轴上，求点F的坐标；（3）如图3，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接AD、AC、AP，当∠PAB=2∠CAD时，求m的值；4、如图，抛物线y=﹣1x2+bx+c经过A（4，0）和C（0，4）两点，点B是抛物线与x轴的另2一个交点，点E是OC的中点，作直线AC，点M在抛物线上，过点M作MD⊥x轴，垂足为点D，交直线AC于点N，设点M的横坐标为m，MN的长度为d。
（1）直接写出直线AC的表达式；（2）求抛物线的表达式；（3）求d关于m的函数关系式；（4）当以点M、N、E、O为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出m的值；（备用图）5、二次函数y=ax2+bx－3的图象交x轴于点A（﹣1，0）和B（3，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点M。
北师大版九年级下册数学第二章《二次函数应用》压轴题整理试题以及答案
二次函数压轴题练习试题1、如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于点B（﹣1，0）和C（4，0）两点，与y轴交于点A。
（1）求二次函数表达式；（2）连接AC、AB，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作MN∥AC，交AB于点M，当△AMN的面积最大时，求点N的坐标；（3）在（2）的结论下，若点Q在第一象限，且tan∠CQN=2，线段BQ是否存在最值？如果存在，请直接写出最值，若不存在，说明理由；（备用图）2、如图，抛物线y=﹣1x2+bx+c的图象经过点C（0，2）交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接2BC，直线y=kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F。
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；的最大值及点E的坐标；（2）求EFDF（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和N，使得四点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由；3、如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0）和C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，作直线BC，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，交直线BC于点Q，设点P的横坐标为m（m＞0），PQ的长为d。
（1）求抛物线的表达式以及顶点坐标；（2）求d和m之间的函数关系式；（3）当点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成两部分之比是1：2时，求m的值；（4）连接AC，作直线AP，直线AP交直线BC于点M，当△PCM、△ACM的面积相等时，直接写出m的值；（备用图）4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和B（3，0）该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C 恰好落在抛物线上。
（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；（2）求点P的坐标；（3）点Q在x轴下方抛物线上，连接AC，如果∠QAB=∠ABC，求点Q的坐标；（备用图）5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线l1：y=x2+bx+c过点C（0，﹣3），以抛物线l2：y=﹣1x22－3x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线l1、l2上的动点。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题专题复习(无答案)
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题专题复习1、已知二次函数c bx x y ++-=2的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（－1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）。
（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围。
2、已知抛物线y =41x 2 + 1(如图所示)． (1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；(2)已知y 轴上一点A (0，2)，点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，点M 在直线．．AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形?若存在，直接写出所有．．满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，抛物线25y ax bx =+-（0a ≠）经过点(4,5)A -，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且5OC OB =，抛物线的顶点为D ；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO ABC ∠=∠，求点E 的坐标；4、如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）联结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．5、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．x=-+与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．6、如图，已知抛物线243y x(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．7、在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，等边三角形OAB 的一个顶点为A （2，0），另一个顶点B 在第一象限内。
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北师大版九年级数学下册第二章二次函数中考压轴题练习1、抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？2、如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax2+bx+n（a≠0）过E，A′两点．（1）填空：∠AOB=°，用m表示点A′的坐标：A′（，）；（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且=时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：①求a，b，m满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a 的取值范围．3、如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．（1）则点A，B，C的坐标分别是A（，），B（，），C（，）；（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=（x﹣5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4、如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．6、已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴（XRS）相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R 不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．8、如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．9、已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．（1）求二次函数y=ax2的解析式；（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；②试判断当m≠时（图②），△AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）10、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．12、如图，已知图①中抛物线y=ax2+bx+c经过点D（﹣1，0），C（0，﹣1），E（1，0）．（1）求图①中抛物线的函数表达式．（2）将图①中的抛物线向上平移一个单位，得到图②中的抛物线，点D与点D1是平移前后的对应点，求该抛物线的函数表达式．（3）将图②中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后得到图③中的抛物线，所得到抛物线表达式为y2=2px，点D1与D2是旋转前后的对应点，求图③中抛物线的函数表达式．（4）将图③中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后与直线y=﹣x﹣1相交于A、B两点，D2与D3是旋转前后如图④，求线段AB的长．13、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．14、已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．15、如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C．（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；（2）设点C的纵坐标为y c，求y c的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．参考答案1、【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2，令y=0，则x2﹣3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∴抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）；（2）存在，由已知条件得AB∥x轴，∴AB∥CD，∴当AB=CD时，以A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形，设D（m，0），当C（1，0）时，则CD=m﹣1，∴m﹣1=3，∴m=4，当C（2，0）时，则CD=m﹣2，∴m﹣2=3，∴m=5，∴D（5，0），综上所述：当D（4，0）或（5，0）时，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形；（3）设t秒钟时，B、D、E在同一条直线上，则OE=t，OD=2t，∴E（0，t），D（2t，0），设直线BD的解析式为：y=kx+b，∴，解得k=﹣或k=（不合题意舍去），∴当k=﹣，t=，∴点D、E运动秒钟时，B、D、E在同一条直线上．2、【解答】解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，∵AB=2BC，∴AB=2m=0B，∵∠ABO=90°，∴△ABO为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即A′（m，﹣m）；故答案为：45；m，﹣m；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），∵=，∴P（2m，m），∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为y=a（x﹣m）2﹣m，∵抛物线过点E（0，n），∴n=a（0﹣m）2﹣m，即m=2n，∴OE：OD′=BC：AB=1：2，∵∠EOD′=∠ABC=90°，∴△D′OE∽△ABC；（3）①当点E与点O重合时，E（0，0），∵抛物线y=ax2+bx+c过点E，A，∴，整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，∴a（3m）2﹣（1+am）•3m=0，整理得：am=，即抛物线解析式为y=x2﹣x，由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y=x，联立抛物线与直线OA解析式得：，解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），令5m=10，即m=2，当m=2时，a=；若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m=2m，解得：am=2，∵m=2，∴a=1，则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1．3、【解答】（1）解：连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD==3，∴BD=3，∴OA=5﹣3=2，OB=5+3=8，∴A（2，0），B（8，0），故答案为2，0；8，0；0，4；（2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=（x﹣5）2+k，得：k=﹣，∴E（5，﹣），∴DE=，∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，∵MA2+EA2=52+=，ME2=，∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：由勾股定理得：BC===4，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，∴P（5，4）；②当BP=BC=4时，如图2所示：∵PD===，∴P（5，）；③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM===，∴PD=4+，∴P（5，4+）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．4、【解答】（1）证明：∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，∴∠BDE=∠BCE=90°，∵∠BAD=90°，∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，∴△ABD∽△ODE；（2）证明：∵=，∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，∴CE=DE=5x，∴AB=OC=CE+OE=8x，又∵△ABD∽△ODE，∴==，∴DA=6x，∴BC=OA=10x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，当x=10时，代入可得y=，∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，∴BF=DF，又M为Rt△BDE斜边上的中点，∴MD=MB，∴MF为线段BD的垂直平分线，∴MF⊥BD；（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为H、G，令y=0，可得0=﹣x2+x+3，解得x=﹣4或x=12，∴H（﹣4，0），G（12，0），①当PD⊥x轴时，由于PD=8，DM=DN=8，故点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）时，△PDQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形；②当PD不垂直与x轴时，分别过P，Q作x轴的垂线，垂足分别为N，I，则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI≠8．∵PD⊥DQ，∴∠QDI=90°﹣∠PDN=∠DPN，∴Rt△PDN∽Rt△DQI，∵PN=8，∴PN≠DI，∴Rt△PDN与Rt△DQI不全等，∴PD≠DQ，另一侧同理PD≠DQ．综合①，②所有满足题设条件的点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）．5、【解答】解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，∴x1+x2=8，由解得：∴B（2，0）、C（6，0）则4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴该抛物线解析式为：y=；（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵∴∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，=S△APF+S△CPF∴S△APC===，此时最大值为：，②当6＜t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，=S△APM﹣S△CPM=∴S△APC==，当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①当2＜t＜8时，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②当t＞8时，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=14，∴t=或t=或t=14．6、【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4与y轴相交于点B，∴点B的坐标是（0，﹣4），∴OB=4，∵AB=2，∴OA==2，∴点A的坐标为（﹣2，0），把（﹣2，0）代入y=ax2﹣4得：0=4a﹣4，解得：a=1，则抛物线的解析式是：y=x2﹣4；（2）∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，m2﹣4），过点P作PE⊥x轴于点E，∴OE=m，PE=m2﹣4，∴AE=2+m，∵=，∴=，∴CO=2m﹣4；（3）∵tan∠ODC=，∴=，∴OD=OC=×（2m﹣4）=，∵△ODB∽△EDP，∴=，∴=，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴OC=2×3﹣4=2，∵OA=2，∴OA=OC，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°=．7、【解答】解：（1）令x=0，则y=2，∴A（0，2），令y=0，则﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣3，x2=1（舍去），∴B（﹣3，0），C（1，0），由y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+可知D（﹣1，），故答案为：0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、；（2）①设P（n，0），则E（n，﹣n2﹣n+2），∵PE=PC，∴﹣n2﹣n+2=1﹣n，解得n1=﹣，n2=1（舍去），∴当n=﹣时，1﹣n=，∴E（﹣，），②如图1，设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于K，根据E、D的坐标求得直线ED的斜率为，根据E、A的坐标求得直线EA的斜率为﹣，∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰三角形，∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，根据等腰三角形的性质可知，EF是E点到坐标轴的距离，∴EF=或；（3）根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，如图2，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC 于R，此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，∵A（0，2），B（﹣3，0），C（1，0），∴AB==，AC==，=×OE×AB=OA•OB，∵S△AOB∴OE=，∵△OEM∽△ABO，∴==，即==，∴OM=，EM=∴E（﹣，），同理求得F（，），即△PQR周长的最小值为EF==．8、【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴=，∵MN∥AC∴=，∴=，∵OA=4，BC=10，BN=n+2∴MD=（n+2），=S△ABN﹣S△BMN∵S△AMN=BN•OA﹣BN•MD=（n+2）×4﹣×（n+2）2=﹣（n﹣3）2+5，∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．9、【解答】（1）解：∵y=ax2过点（2，1），∴1=4a，解得a=，∴抛物线解析式为y=x2；（2）①证明：当m=时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，1），B（8，16），分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，如图1，∴AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，∴==，且∠ACO=∠ODB，∴△ACO∽△ODB，∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，∴△AOB为直角三角形；②解：△AOB为直角三角形．证明如下：当m≠时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，∴A（2m﹣2，（m﹣）2），B（2m+2，（m+）2），分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，如图2，∴AC=（m﹣）2，OC=﹣（2m﹣2），BD=（m+）2，OD=2m+2，∴==，且∠ACO=∠ODB，∴△ACO∽△OBD，∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，∴△AOB为直角三角形；（3）解：由（2）可知，一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的交点为A、B，则△AOB恒为直角三角形．（答案不唯一）．10、【解答】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE=k1x+b1，则，解得：，∴y AE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴S△ACE∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知x D﹣x P=x A﹣x Q，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=y D+y Q=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11、【解答】解：（1）由已知得解得．所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），∴OA=1，OC=3，BC==5，∴OC+OA+BC=1+3+5=9；∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．（3）∵B（4，0）、C（0，3），∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），∵∠CMQ＞90°，∴只能CM=MQ=b，∵MQ∥y轴，∴△MQB∽△COB，∴=，即=，解得b=，代入y=﹣x+3得，=﹣a+3，解得a=，∴M（，）；②当∠QMB=90°时，如图3，∵∠CMQ=90°，∴只能CM=MQ，设CM=MQ=m，∴BM=5﹣m，∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，∴△BMQ∽△BOC，∴=，解得m=，作MN∥OB，∴==，即==，∴MN=，CN=，∴ON=OC﹣CN=3﹣=，∴M（，），综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）．12、【解答】解：（1）将D、C、E的坐标代入函数解析式，得，解得．图①中抛物线的函数表达式y=x2﹣1；（2）将抛物线的函数表达式y=x2﹣1向上平移1个单位，得y=x2，该抛物线的函数表达式y=x2；（3）将抛物线的函数表达式y=x2绕原点O顺时针旋转90°，得x=y2，图③中抛物线的函数表达式x=y2；（4）将图③中抛物线的函数表达式x=y2绕原点O顺时针旋转90°，得y=﹣x2，联立，解得，．A（，），B（，）．AB==．13、【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），∴把A、B两点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x﹣；（2）过A作AD⊥BC于点D，如图1，∵⊙A与BC相切，∴AD为⊙A的半径，由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC===，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，∴△ABD∽△CBO，∴=，即=，解得AD=，即⊙A的半径为；（3）∵C（0，﹣），∴可设直线BC解析式为y=kx﹣，把B点坐标代入可求得k=，∴直线BC的解析式为y=x﹣，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，设P（x，﹣x2+2x﹣），则Q（x，x﹣），∴PQ=（﹣x2+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OE+PQ•BE=PQ（OE+BE）=PQ•OB=PQ=﹣（x﹣）∴S△PBC2+，有最大值，此时P点坐标为（，），∴当x=时，S△PBC∴当P点坐标为（，）时，△PBC的面积有最大值．14、【解答】解：（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1，∴﹣=1，解得b=2，∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∵抛物线l2经过点A、E两点，∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5），又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣），∴﹣=﹣5a，解得a=，∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣；（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，∵PC=PA，∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，∴P点坐标为（1，1）；（3）由题意可设M（x，x2﹣2x﹣），∵MN∥y轴，∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+，显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值；②当＜x≤5时，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3）=x2﹣4x﹣=（x﹣）2﹣，显然当x＞时，MN随x的增大而增大，∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）2﹣=12；综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．15、【解答】解：（1）把点B的坐标B（2，1）代入y=﹣（x﹣h）2+1，得1=﹣（2﹣h）2+1．解得h=2．则该函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1（或y=﹣x2+4x﹣3）．故抛物线l的对称轴为x=2，顶点坐标是（2，1）；（2）点C的横坐标为0，则y C=﹣h2+1．当h=0时，y C=有最大值1，此时，抛物线l为：y=﹣x2+1，对称轴为y轴，开口方向向下，所以，当x≥0时，y随x的增大而减小，所以，x1＞x2≥0，y1＜y2；（3）∵线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且O（0，0），A（﹣5，0），∴把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．把x=﹣1，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，得0=﹣（﹣1﹣h）2+1，解得h1=0，h2=﹣2．但是当h=﹣2时，线段OA被抛物线l分为三部分，不合题意，舍去．同样，把x=﹣4，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，得h=﹣5或h=﹣3（舍去）．综上所述，h的值是0或﹣5．。