问题解决

“问题解决”教学在数学教学中的实践林仙1, 张金华2( 红河学院1.教师教育学院; 2.远程学院, 云南蒙自661100) 摘要:“问题解决”教学是实施素质教育, 进行数学教育改革的一种有效教学模式。

在数学课堂教学中如果能根据教学目标, 设计并提出系列具有趣味和魅力的问题和任务, 向学生提出智力挑战, 引起学生的思考, 将激发学生参与整个教学过程, 最终达到学生主动发现、积极探索, 深层次理解并掌握和应用隐含于问题背后的知识, 提高解决问题的能力。

关键词: 问题解决; 数学教学; 实践中图分类号: G633.6 文献标识码: A 文章编号: 1008- 6390(2006)06- 0122- 031 “问题解决”教学的理论意义“学起于思, 思源于疑”, 问题是激活或唤醒思维的刺激因素。

问题解决教学是20 世纪80 年代以来受到广泛重视的一种教学模式, 它强调把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中, 通过让学习者合作解决真正的(authentic) 问题, 来学习隐含于问题背后的科学知识, 形成解决问题的技能, 并形成自主学习的能力[1]。

一般将“问题解决”教学(Instruction through problem solving with characteristic) 定义为“在教学过程中, 教师通过有目的地提出系列的不同类型的问题或任务, 引导学生主动发现、积极探索、实践体验, 解决问题, 以便深层理解并掌握和运用基本知识, 实现从能力到人格的整体发展, 成为有效的问题解决者的一种教学模式”。

该定义既保留我国教学的优良传统———对于基本知识掌握的关注, 又紧紧盯住当前课程改革的总目标———学生能力、情感、态度、价值观等的整体发展目标[2]。

“问题解决”教学中的“问题”, 是指: (1) 对学生来说不是常规的, 不能靠简单的模仿来解决; (2) 可以是一种情境, 其中隐含的数学问题要学生自己提出、求解并作出解释; (3)具有趣味和魅力, 能吸引学生的思考和向学生提出智力挑战; (4)不一定有终极答案, 各种不同水平的学生都可以由浅入深地作出回答; (5) 解决它往往需伴以个人或小组的数学活动。

[3]梅耶认为问题解决是“人在没有明显的解决方法的情况下, 将给定情境转化为目标情境的认知加工过程”。

[4]由此可见, 问题解决不是一种被动的、非自动化的加工, 而是一个人有目的的、主动的认知活动过程。

Hiebert 等人提出, 要以问题解决为基础来改革数学教学和课程, 为学生提供能够反映所要学习的知识、又能够与学生现有知识经验相关联的问题, 通过解决这类问题, 学生可以发现其中的关系,理解其中的新侧面。

有证据表明, 这样的教学比传统的技能操练式的教学更能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解, 形成自己的、可以迁移的问题解决策略, 而且对数学形成更为积极的兴趣、态度和信念[1]。

2 “问题解决”教学的实践应用现以“数列极限概念”教学为例, 探讨如何应用“问题解决”教学模式实现教学目标。

极限概念是高等数学中最重要、最基本的概念。

微积分的许多重要概念都是在极限概念的基础上建立的。

数列极限概念是极限理论的第一个重要概念,它既是教学的重点, 也是教学的难点。

难的原因, 不仅是由于定义的文字叙述长、概念抽象, 不易理解五个量:ε、n、N、an、A 的实际意义和相互关系, 而主要还在于要从变化过程中去考察数列{an}的变化趋势, 必然要从“静”进入“动”、从“有限”进入“无限”, 这是认识上的一次飞跃, 初学者往往难以适应。

[5]为了解决这一难点, 除了需要作某些知识上的准备工作, 如补做一些绝对值不等式的习题; 明确|x-A|的几何意义; 注的要求)。

再用投影显示与数列(1)的表格类似的表, 让学生自己观察、探索数列(2)和数列(3), 也得出与数列(1)相同的性质。

然后启发引导学生给出数列极限的精确定义:对于一个无穷数列{an}, 如果存在一个常数A,无论预先给定多么小的正数, 都能在数列中找到一项aN, 使得这一项后面所有项与 A 的差的绝对值都小于(即当n>N 时, |an- A|<恒成立), 就把常数A 叫做数列{an}的极限, 记作limn!∞an=A2.3 回顾反思, 实现有效知识建构得出结果并不意味着活动的终结, 自我评价反思是问题解决教学的一部分, 也是一种良好的学习习惯, 这种习惯只有在反思活动中才能逐步形成。

课堂上的反思不能单靠学生自发形成, 需要教师精心组织, 还要留给学生反思的时间, 引导他们概括知识结构, 升华思想方法、归纳问题解决的方法和策略。

另外, 反思概括能帮助学习者对所生成的新意义形成明确的意识, 并依据思维的路线将有关的知识经验整合起来, 同时也概括地形成此类问题的问题图式( 问题的特征描述及问题的解决办法)。

反思概括是问题解决通向有效知识建构的基本途径[1]。

回顾前面的例子, 通过下面的问题引导学生对定义逐句进行剖析, 使学生理解定义中五个量ε、n、N、an、A 的实际意义和相互关系, 加深对定义的理解。

问题7: {an}是否一定是无穷数列?可以是有穷数列吗?({an}必须是无穷数列。

)问题8: A 一定是正数吗? 能否是其它实数?(A可正、可负, 可以是零。

)问题9: 怎样理解的任意性? 当根据ε来求N时, ε能否看成是固定的?(ε的任意性是刻画an与A接近程度的, 通常ε越小, 表示an与A 越接近。

ε在给定前有任意性, 但一经给出, 由ε决定N 时, 它就应看成是固定的了。

)问题10: 自然数N 能起的作用是什么?(N 是一个界限)问题11: ε与N 之间有何关系? 由ε怎样求出N?(N 依赖于ε, 可以把N 看成ε的函数。

N 可通过|an- A|<ε解得, 且ε越小, N 越大。

)实践证明, 通过以上几个步骤的教学, 学生在逐个解决各个问题的过程中, 不仅对“数列极限”这个抽象的概念比较容易理解, 同时还培养了学生的观察能力、抽象概括能力、创造性思维能力和意志力,使学生在思维水平上有质的飞跃, 能促进学生辨证思维的形成。

3 “问题解决”教学实践中应注意的问题(1)“问题解决”教学是一种教学模式。

它既不同于纯粹的教学理论, 也不是具体的教学方法。

从本质上看, 它是实施教学的一种方法论体系, 而不是单纯的操作性、技术性的方法。

(2)“问题解决”教学中,“问题”的提出不是任意的, 而是“有目的的”, 要有恰当的学习目标定向。

“问题”反映着教学价值观, 是实现教学目标的重要依托[8]。

(3) 把握好“问题解决”教学中的“问题连续体”, 即“问题”必须是相互关联的、连续的“问题链”,由低级向高级发展, 层层递进。

(4) 在“问题解决”教学中, 要注重培养学生发现问题和提出问题的能力, 培养学生的问题意识。

发现问题是解决问题的基础, 让学生善于提出问题, 带着问题去学习, 能给他们的学习提供动力, 寻找对当前问题最合适的解决方法和策略。

(5) 要引导学生进行反思。

著名的数学家波利亚说过“数学问题的解决仅仅只是一半, 更重要的是解题之后的回顾。

”所谓回顾即反思, 它不仅是“问题解决”教学活动中一个重要的步骤, 而且是对解决过程的“评价”。

反思的过程就是要检验学生解题推理有无错误, 思考过程是否简捷, 解题的策略是否有效等。

同时, 反思还能帮助学生依据思维的路线将有关的知识经验整合起来, 加深对知识的理解。

参考文献:[1] 张建伟, 孙燕青.通过问题解决来建构知识[J].教育理论与实践, 2001, (11) : 43- 45.[2] 陈爱苾.课程改革与问题解决教学[M].北京: 首都师范大学出版社, 2004.60.[3] 张奠宙, 李士锜, 李俊.数学教育学导论[M].北京: 高等教育出版社, 2004.57.[4] 梁宁建.当代认知心理学[M].上海: 上海教育出版社,2003.277.[5] 孟季和.中学微积分教材教法[M].重庆: 重庆出版社,1983.22.[ 责任编辑仁可]·1 24·意直观性(如结合数轴、多媒体教学手段)外, 还要引导学生从特殊到一般、从具体到抽象、从定性到定量、从近似到精确, 采用“问题解决”教学模式, 把提出问题, 解决问题贯穿课堂教学的始终, 并注意时时引导、层层深入、环环紧扣、分散难点、循序渐进, 把问题各个击破, 让学生逐步理解数列极限的概念。

2.1 创设问题情景, 激发学生学习欲望在教学中, 教师呈现问题情景命题, 结合数轴,以学生对问题的定性思考为起点, 引导他们进行尝试性探索活动, 得出数学极限的粗略定义。

问题1:“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”是我国古代《庄子》一书中的一段话, 请同学们说出它的含意是什么? 并把木棒每天剩下的部分用数列表示出来。

(12,14,18,116,132, …,12n, …)问题2: 你能再列举( 补充) 几个数列吗?( 目的是要学生对这些数列的无限变化趋势进行定性分析, 初步认识数列极限的意义。

)例如, 得到下列五个数列:(1)12,14,18, …,12n, …;(2)0.9, 0.99, 0.999, …, 1-110n…;(3)2-12, 2+14, 2-18, …, 2+(- 1)n·12n, …;(4)1, 2, 3, …, n, …;(5)- 1, 1, - 1, …, (- 1)n, …。

问题3: 把各数列的前 5 项在数轴上表示出来,观察当项数n 无限增大时, 考虑各个数列的项an分别有什么样的变化趋势?(可以互相交流、讨论)当学生完成问题3 后, 便能直观、清楚地看出各数列的变化趋势, 即可回答数列(1)、(2)、(3)当n 无限增大时, an分别趋近于0, 1, 2; 而数列(4)当n 无限增大时, an也无限增大, an不趋近于任何常数; 数列(5)当n 无限增大时, an重复相间地取- 1 和1, an也不趋近于任何常数。

教师引导学生概括: 尽管不同的数列的变化趋势是多种多样的, 但从本质上说可以分成两大类:第一类: 当n 无限增大时, an无限趋近于某个确定的常数; 第二类: 当n 无限增大时, an 不趋近于任何确定的常数。

我们称第一类型的数列是有极限的;第二类型的数列是没有极限的。

由此得出数列极限的粗略定义:对于无穷数列{an}, 如果存在一个常数A, 当n无限增大时, an无限趋近于A, 则A 叫做数列{an}的极限。

2.2! 深层思考、探讨, 认识数列极限的精确定义分析粗略定义的关键词句, 借助图表引导学生对数列的无限变化趋势进行定量分析, 抽象概括出数列极限的精确定义。