力法 位移法
位移法与力法的比较
A l
F
l
l
结构力学
FR1
C 2i i A
l 2 l 2
第7章 位移法
F=ql
例题1 试用位移法求图示刚架内力，并绘内力图。
F=ql B
Δ2 FR2
4i B
r11
r12
B
φ1
l
C
r21
3(2i)=6i A D M1
6i l
6i l
C
r22
i D
q
q
基本体系
r12
B
6i l
r11
B 4i 6i
2i
FR1F F T R2F F F F FR F R1F R2F RnF 自由项列阵 FRnF
A A Z AF
结构力学
第7章 位移法
C
§7-3 位移法计算举例 例1：刚架内力计算，并绘内力图。 例2：排架内力计算，并绘内力图。
结构力学
第7章 位移法
四、推广到n个基本未知量
r11Z1 r12 Z 2 + +r1n Z n FR1F 0 r Z r Z + +r Z F 0 21 1 22 2 2n n R2F rn1Z1 rn 2 Z 2 + +rnn Z n FRnF 0
（2）位移法法典型方程 平衡 FR1 FR11 FR12 +FR1F 0 条件 FR2 FR21 FR22 +FR2F 0
典型 方程
r111 r12 2 +FR1F 0 r211 r22 2 +FR2F 0
浅述力法与位移法的异同
浅述力法与位移法的异同作者：程龙殷礼君来源：《科学与财富》2015年第12期结构力学中，在求解超静定结构的内力时，最常用的方法是力法和位移法。
二者既有相同之处也有许多不同之处。
相同之处主要在于二者研究的对象同为超静定结构，基本思路相同，且最终目的都是为了解出结构内力及支座反力；不同之处主要在于二者选取的基本未知量不同、基本体系不同、建立基本方程的依据不同、一些内力符号的规定不同等。
1. 相同之处1.1 研究对象力法与位移法的研究对象同为实际工程中常见的超静定结构。
所谓的超静定结构是指一个结构各截面的内力和支座反力不能完全由静力平衡平衡条件唯一确定的结构。
力法和位移法不仅考虑静力平衡条件，还考虑了变形协调条件及应力与变形间的本构关系，对超静定结构进行求解。
1.2 基本思路力法与位移法求解超静定结构的基本思路都是先求解最关键的未知量，即基本未知量，再求解其他未知量；先把不会算的超静定结构修改成会算的基本结构来计算，再使基本结构恢复到原来的结构，使基本结构的变形或受力与原来的结构一致，并据此建立关于基本未知量的基本方程，求解出基本未知量，进而求出其他未知量。
1.3 目的力法和位移法综合利用静力平衡条件、变形协调的几何条件、应力与应变间本构关系的物理条件，依托各自的简单基本结构和关于基本未知量的基本方程，先解出基本未知量，再求出剩余未知量，最终都是为了求解出实际工程中常见的超静定结构各截面内力和支座反力。
2. 不同之处2.1 基本未知量力法与位移法的基本未知量互不相同。
在力法中，首先要确定出超静定结构的多余约束，去掉这些多余约束，并代之以多余未知主动力，得到含有多余未知力的静定结构。
其中，这些多余未知力就是力法中的基本未知量，也是关键未知量，力法中首先要求解的就是这些多余约束力，然后根据静力平衡条件求解其他未知量。
而位移法中，选取独立的节点位移为基本未知量，节点位移包括线位移和角位移，在位移法中，若干独立节点位移为关键未知量，求解节点位移是首要目标，进而求解出超静定结构的内力和支座反力。
位移法的典型方程与力法的典型方程一样
位移法的典型方程与力法的典型方程一样位移法和力法是结构分析中常用的两种方法。
位移法是通过求解结构的位移来得到结构的反力，而力法是通过已知的外力和支座反力来求解结构的内力和位移。
尽管这两种方法的思想和计算过程不同，但它们的本质是相同的，都是基于平衡原理和变形原理，因此它们的典型方程也具有相似性。
一、位移法的典型方程位移法是一种基于变形原理的方法，它假设结构的变形是已知的，通过求解结构的位移来得到结构的反力。
位移法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{u}=boldsymbol{F}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{u}$是结构的位移向量，$boldsymbol{F}$是结构的外力向量。
在这个方程中，$boldsymbol{u}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{F}$是已知量。
因此，通过求解这个方程，可以得到结构的位移和反力。
二、力法的典型方程力法是一种基于平衡原理的方法，它假设结构的外力和支座反力是已知的，通过求解结构的内力和位移来满足平衡条件。
力法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{x}=boldsymbol{P}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{x}$是结构的位移向量，$boldsymbol{P}$是结构的等效节点力向量。
在这个方程中，$boldsymbol{x}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{P}$是已知量。
因此，通过求解这个方程，可以得到结构的内力和位移。
三、位移法和力法的相似性位移法和力法的本质是相同的，它们都是基于平衡原理和变形原理的。
因此，它们的典型方程也具有相似性。
首先，它们的典型方程都是线性方程组。
在位移法和力法中，结构的刚度矩阵和等效节点力向量都是已知的，未知量是结构的位移和反力（力法中是内力和位移）。
力法、位移法求解超静定结构讲解
力法、位移法求解超静定结构讲解
超静定结构是指在结构中存在多余的支座或者杆件，使得结构的自由度小于零，即结构无法通过静力学方法求解。
在这种情况下，我们需要采用力法或者位移法来求解结构的内力和位移。
力法是指通过假设结构内力的大小和方向，来求解结构的内力和位移的方法。
在力法中，我们需要假设结构内力的大小和方向，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
力法的优点是计算简单，适用于简单的结构，但是对于复杂的结构，力法的假设可能会导致误差较大。
位移法是指通过假设结构的位移，来求解结构的内力和位移的方法。
在位移法中，我们需要假设结构的位移，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
位移法的优点是适用于复杂的结构，可以准确地求解结构的内力和位移，但是计算较为繁琐。
在实际工程中，我们通常采用力法和位移法相结合的方法来求解超静定结构。
首先，我们可以通过力法来确定结构的内力大小和方向，然后再通过位移法来求解结构的位移。
这种方法可以充分利用力法和位移法的优点，减小误差，提高计算精度。
超静定结构的求解需要采用力法和位移法相结合的方法，通过假设结构的内力和位移，来求解结构的内力和位移。
在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，以保证计算精度和效率。
力法位移法总结
对称结 时也可按照变形和内力与原结构等价的原则截取半边结 构计算。
包括平衡条件的校核和变形协调条件的校核
超静定结构计算 结果的校核
结构上某点的位移等于原结构的 M 图与 Mi 图图乘。若除 荷载外，结构还有支座位移、温度变化等其他因素，则所 求位移除图乘结果外， 还要加上结构在其他因素下产生的 位移。
求解对称结构时，应选用对称基本结构，并选取对 称未知力和反对称未知力作为基本未知量， 可实现如下简 化： （1）对称单位力作用下，反对称位移（力法方程中 相应的副系数）等于零；反对称单位未知力作用下，对称 位移（相应的副系数）等于零； （2）在对称荷载作用下，反对称未知力等于零，只 考虑对称未知力； （3）在反对称荷载作用下，对称未知力等于零，只 考虑反对称未知力； （4）若选择了对称基本结构而基本未知力不对称 （也非反对称）时，可采用组合未知力法，将未知力分解 为对称与反对称两组分量， 形成组合未知力， 使计算简化； （5）在结点等高的对称刚架、排架上只作用结点集 中荷载， 则只有荷载的反对称分量产生弯矩， 荷载的对称 分量不产生弯矩； （6）结构若有两个对称轴，均应利用以简化计算。 以校核变形协调条件为主。 在求得结构的 M 图后， 可 在原结构任意基本结构上施加虚单位荷载，得到 Mi 图。 （1）对称结构，在对称荷载作用下，对称位置的结点角位移大小相等，转向相反；对称位置 的线位移互不独立，未知量减少一半。在反对称荷载作用下，对称位置的结点角位移大小相 等，转向相同，对称位置的线位移互不独立，未知量也减少一半。 对称结构在对称荷载或反对称荷载作用下可以取半边结构计算。 半边结构在原对称轴截 （2） 面切断处需加上与变形性质相当的约束，具体情况如下： 奇/偶数跨刚架在对称/反对称荷载作用下对称轴处截面应增加的约束 在对称荷载作用下 奇数跨对称刚架 偶数跨对称刚架 定向支座 固定支座 在反对称荷载作用下 竖向链杆 半结构，且中柱惯性矩减半（刚度减半）
力法和位移法的基本方程
力法和位移法的基本方程力法和位移法是结构力学中常用的两种分析方法。
力法是以外力为基础，通过计算结构内力来求解结构的变形和应力状态；位移法则是以结构变形为基础，通过计算结构位移来求解结构的内力和应力状态。
两种方法各有优缺点，应根据具体情况选择合适的方法进行分析。
力法的基本方程为平衡方程和应力-应变关系式。
平衡方程是指结构受到的外力与内力的平衡关系，可以用以下公式表示：∑F = 0其中，∑F表示结构受到的所有外力的合力，等于内力的合力。
这个方程可以用来计算结构的内力分布。
应力-应变关系式是指材料的应力与应变之间的关系，可以用以下公式表示：σ = Eε其中，σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
这个方程可以用来计算结构的应力分布。
位移法的基本方程为位移-力关系式和应力-应变关系式。
位移-力关系式是指结构的位移与内力之间的关系，可以用以下公式表示：u = ∑(k_i)^(-1)F_i其中，u表示结构的位移，k_i表示第i个节点的刚度，F_i表示第i个节点的外力。
这个方程可以用来计算结构的内力分布。
应力-应变关系式同样适用于位移法，可以用来计算结构的应力分布。
需要注意的是，力法和位移法的基本方程只是分析结构的起点，具体的分析方法和计算过程还需要根据具体情况进行选择和确定。
同时，结构的材料性质、几何形状、边界条件等因素也会对分析结果产生影响，需要进行综合考虑。
总之，力法和位移法是结构力学中常用的两种分析方法，它们的基本方程为平衡方程和应力-应变关系式、位移-力关系式和应力-应变关系式。
在实际分析中，应根据具体情况选择合适的方法进行分析，并考虑结构的材料性质、几何形状、边界条件等因素。
位移法与力法的比较
C
B
φ1
φ1
C
B φ1
EI ＝C
l
单跨超静定梁
A
l
l
2
2
A 组合体 基本体系
原超定结构
（基本结构）
3、典型方程 FR1 FR11 FR1F 0 r111 FR1F 0
位移法典型方程 位移法基本方程
基本未知量
1
FR1F r11
自由项 刚度系数
FR1F F
FR11
C
C
B
φ1
φ1
A
荷载单独作用
A
分析超静定结构的基本方法有力法和位移法，力法十九世 纪末已应用，出现较早；位移法在二十世纪初建立，结构分 析的近代发展中位移法占有重要地位，如渐近法、近似法、 矩阵位移法等均由位移法演变或从中得到启迪，位移法是力 矩分配法、矩阵位移法基础。
位移法解题过程规范，便于编计算程序。
力法只能解超静定结构； 位移法能解超静定结构，也能解静定结
M BA
3Fl 28
FAB
3Fl
56（右拉）
（上拉）
作FQ、 FN图 FQ、 FN图作法与力法相同。
结构力学
第7章 位移法
线位移未知情况
Δ1
Δ1
B
C
EA＝∞
BC杆EA=∞，故水平位移相同，
角位移不作为未知量
Δ1
B
C
Δ1
B
C
B
FR1
FR11
C FR1F
q l q q
EI ＝C
A
D
l
A
D
A
D
A
D
原超定结构
Fl
A 2i M1
力法和位移法的适用对象
力法和位移法的适用对象力法和位移法是结构力学中常用的两种分析方法。
它们有着不同的适用对象和特点。
力法是一种基于受力平衡原理的分析方法。
它适用于刚体或者刚性结构的力学分析。
在力法中，结构被看作是由若干个连接在一起的刚体组成的。
通过分析结构中受力平衡的条件，可以得到结构中各个部分受力的大小和方向。
力法适用于简单的结构，如梁、柱等。
在力法中，通常需要计算结构中各个部分的受力，例如弯矩、剪力等。
这些受力可以通过应力-应变关系来求解，进而得到结构的变形情况。
位移法是一种基于变形平衡原理的分析方法。
它适用于弹性结构的力学分析。
在位移法中，结构被看作是由若干个连接在一起的弹性体组成的。
通过分析结构中变形平衡的条件，可以得到结构中各个部分的变形情况。
位移法适用于复杂的结构，如悬索桥、拱桥等。
在位移法中，通常需要计算结构中各个部分的变形，例如位移、转角等。
这些变形可以通过应力-应变关系和结构刚度来求解，进而得到结构的受力情况。
力法和位移法的适用对象不同，各有优势。
力法适用于简单的结构，可以直接计算出各个部分的受力情况，简单直观。
位移法适用于复杂的结构，可以通过计算结构的变形来间接求解出各个部分的受力情况，更加精确。
同时，位移法还可以考虑结构的非线性特性，如材料的非线性、几何的非线性等，能够更加全面地分析结构的力学性能。
在实际工程中，力法和位移法常常结合使用。
对于简单的结构，可以使用力法进行初步的分析，快速得到结构的受力情况。
对于复杂的结构，可以使用位移法进行详细的分析，考虑结构的变形情况。
两种方法相互补充，可以得到更加准确和全面的结构力学分析结果。
力法和位移法是结构力学中常用的两种分析方法。
力法适用于刚体或者刚性结构，可以直接计算出各个部分的受力情况；位移法适用于弹性结构，可以通过计算结构的变形来间接求解出各个部分的受力情况。
在实际工程中，力法和位移法常常结合使用，以得到更加准确和全面的结构力学分析结果。
力法 位移法
A
EI
l
近端看位移，远端看支座
MBA
M AB
4i A
பைடு நூலகம்
6i l
M BA
2i A
6i l
M AB
3i A
3i l
MBA M AB i A
M BA i A
由荷载求固端弯矩
载常数表7-1，称为固端弯矩和固端剪力
M ABF , FQFAB
一般杆件叠加公式:
M 4i 2i 6i
AB
A
B
l
M ABF
k11Z1 k12Z2 R1P 0
k21Z1 k22Z2 R2P 0
k11 7i
k22
15i l2
k12
k21
6i l
R1P 30 kN m R2P 0
10.
20
150 Z1 23i
60 l Z2 23i
10.44 3
3
40
M M P Z1M 1 Z2 M 2
2.
7.
6 1 M 图(单位8：3kN m）
P Mq
A
B
C
D
M
MCB
MCD
C
M CB M CD M 0
1、基本未知量的选取
1、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移：
C
D
标准矩形框架= 结 构 的 层 数A
B
2
1
非标准矩形框架= 铰结体系的自由度
直接刚度法计算步骤可归纳如下：
1）确定基本未知量； 2）由转角位移方程（及表7-1），写出各杆端力表达式； 3）在结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，
弹性力学 第2章力法和位移法(8-10)
(2-21a)
（2-21a）应力表示的相容方程
注：对于平面应变问题用
1
代换
2 1 f x f y 2 2 2 x y 1 x y （2—21b） y x
齐次方程： x y
x
yx
xy
y
* xy
0
* xy
特解
f x x; f y y;
* x
0
平衡方程的通解
x * x x y * y y * xy xy xy
E
y
xy
E v u ( ) 2(1 ) x y
把（2~16a）代入平衡微分方程（2~2）：
E 2 1 E 1 2 2u 1 2 v 1 2u ( 2 ) fx 0 2 2 xy 2 y x ( v 1 u 1 v ) fy 0 2 2 2 xy 2 x y
x
y
)
E
2
y
(
y
x
) — （２～１６ ） a
E xy 2(1 )
x
xy
2、把几何方程（2-3） 代入(2-12a）
1 1
( 2 ( 2
u v ) x y v u ) ( 2 16b) — y x
(2 19)
相容方程是满足几何方程的应变必然满足的关系
用应力分量表示相容方程：
由物理方程
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一般杆件
M M
AB BA
? ?
4i? A 2i? A
? ?
2i? B 4i? B
? ?
6i 6i
? l ? l
? ???? ? ??
?
(1)
FQAB
?
FQBA
?
?
6i l
?A
?
6i l
?
B
?
12i l2
?
?
(2)
? ? FQAB
?
FQBA ?
?1 l
M AB ?
M BA
几种不同远端支座的刚度方程
M BA ? ? i? A
由荷载求固端弯矩
载常数表 7-1，称为固端弯矩和固端剪力
M
F AB
,
FQFAB
一般杆件叠加公式 :
M ? 4i? ? 2i? ? 6i ?
AB
A
B
l
?
M
F AB
M ? 2i? ? 4i? ? 6i ?
BA
A
B
l
?
M
F BA
FQAB
?
?
6i l
?
A
?
6i l
?
B
?
12 i l2
?
?
FF QAB
FQBA
?
?
6i l
?
A
?
6i l
?
B
பைடு நூலகம்
?
12 i l2
?
?
FF QBA
小结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；
2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；
3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括
外力矩。 q
P Mq
A
B
C
D
M
MCB
MCD
C
MCB ? MCD ? M ? 0
P C
q
?A
?
A
M AB
AP
?A
? M AC
A
C
B
B
拆了再搭：拆（变形协调），搭（力的平衡）
单元分析 整体分析
? MB ? 0
M AB ? M AC ? 0
等截面杆件的刚度方程
? 杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角 θA、θB ，弦转角φ＝Δ/l 都以
顺时针为正。 ②杆端弯矩以绕杆件顺时针为正； 对结
2
24
12kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓
24
M反对称
72
24
12kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓
72
A P
i
C
B EI=∞
il
D
P
2Pl/5
M图
Pl/5
2Pl/5
写出图示结构的位移法典型方程并求出全部系数。
20 kN/m
10 kN
4 m
4m
2m
Z2
Z2 ? 1 6i l
Z1
20 kN/m
基本体系 4m
k21? 1 ? k22 ? 2 ? F2P ? 0
?F 11、F 21(k11、k21) ── 基本体系在Δ1(=1)单
独作用时，附加约束1、2中产生的约束力 矩和约束力；
?F 12、F 22(k12、k22) ── 基本体系在Δ2(=1)
单独作用时，附加约束1、2中产生的约 束力矩和约束力；
?F 1P、F 2P── 基本体系在荷载单独作用时，
如何将结构拆成杆件？
转角位移方程的叠加？（结点位移单独，荷载单独）
F 1=0 F 2=0
位移法基本方程的含义：基 本体系在结点位移和荷载共同 作用下，产生的附加约束中的 总约束力( 矩) 等于零。实质上 是平衡条件。
F1=0 F2=0
F1P
k11? 1 ? k12 ? 2 ? F1P ? 0
F2P
（1）远端为固定支座
MAB ?A
?
EI l
（2）远端为铰支座
MAB ?A
?
EI l
（3）远端为定向支座
MAB
?A
EI
l
近端看位移，远端看支座
MBA
M M
AB BA
? ?
4i? A ? 2i? A ?
6i l 6i l
? ?
? ?? ? ? ??
M AB
?
3i?
A
?
3i l
?
MBA M AB ? i? A
1.23P 3P 4.23P
4.23P 3P
1.23P
M图
支座移动时的力法计算特点：
1）柔度系数计算同前；基本体系的支座位移产生自 由项Δ1c。自由项 ΔiC=－∑FRk·ck
2）内力全由多余未知力引起
3）内力与杆件刚度的绝对值有关。
图示结构B支座下沉4 mm，各杆EI= 2.0×105 kN·m2，用力法计 算并作M图。
1、基本未知量的选取
1、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移：
C
D
标准矩形框架 = 结 构 的层 数A
B
?2 ?1
非标准矩形框架 = 铰结体系的自由度
直接刚度法计算步骤可归纳如下：
1）确定基本未知量； 2）由转角位移方程（及表 7-1），写出各杆端力表达式； 3）在结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，
?? ?
M P ? Fip ??
7）按 M=∑M i·Δi+M P 叠加最后弯矩图。
一、奇数跨 §7-6 对称结构的计算
(1) 对称荷载
I2
I1
I1
qE B
A l/2
(2) 反对称荷载
P
P
B
C E
PB
E 反弯点
A
D
A
l/2
二、偶数跨
(1) 对称荷载
(2) 反对称荷载 P
I
q
q
C
C
M=Q=0
P
P
I
4m
B
6m
△=4 mm
第7章
位移法
相对于力法，大部分情况计算更 为简单。
位移法
直接刚度法
典型方程法
直接通过转角位移方程建立杆 通过加约束建立基本体系，利
件刚度方程。
用叠加原理建立基本方程。
位移法的要点：
（1）基本未知量是独立结点位移； （2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；
求解的基本思路：
A?
+
P
P/2
P/2
I2
I1
I1 =
力法习题课
1.用 力 法 计 算 并 作 出 图 示 结 构 的 M 图 。 E = 常 数 。
P 2I
I
I
6m
2I
I
I
6m
8m
? 11 ? 704 (3EI ), ? 1P ? 104 P EI
X1 ? ?0.443P
X1
P/2
P/2
1.77P
1.77P
基本体系
附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
k11
Δ1 Δ1=1
k21
× Δ1
k12
× Δ2
Δ2=1
k22
典型方程法计算步骤如下：
1）确定基本未知量；
2）确定位移法基本体系；
3）建立位移法典型方程； 4）画单位弯矩图、荷载弯矩图 ; 5) 由平衡求系数和自由项； 6）解方程，求基本未知量；
Mi ?
kij
在结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程； 4）解方程，求基本未知量； 5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到 杆端力； 6）按杆端力作弯矩图。
位移法的基本体系
Δ2
Δ1
Δ1
基本结构
Δ2
Δ1
Δ1
基本体系
区别：增加了与基本未知量相应的人为约束，从 而使基本未知量由被动位移变成可控制的主动位 移。
对称性利用的要点：
1、任意荷载可分解为对称荷载和反对称荷载； 2、选取对称的基本体系，并取对称力和反对称力作为基本未知量；
3、对称荷载作用下，只算对称力；
4、反对称荷载作用下，只算反对称力。
如果我们看到对称结构，无论什么荷载都转化为 对称和反对称。
例6-5：
P
P/2
P/2 P/2
P/2
I2
I1
I1 = M ? 0