逻辑真值表法III
真值表推理规则证明方法
第四章数学命题的数学设计一、真值表1、否定（非）：, 设P为一个命题，称P为P的否定式，记作p，其真值表如2、合取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“与”把它们连接起来成为一个新命题“p与q”，记作qp∧。
真值表如下：3、析取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“或”把它们连接起来成为一个新命题“p或q”，记作qp∨。
真值表如下：4、蕴涵（如果、、、那么、、、）：设p,q表示两个命题，用“如果、、、那么、、、”把它们连接起来成为一个新命题“如果p,那么q”，记作qp→。
真值表如下：5、当且仅当（等价式）：设p,q 表示两个命题，把q p ↔称为p,q 的等价式，其真值表如下真值表的作用证明重言式、两个命题等价，解决逻辑推理问题 例1 q p q p ∨≡∧例2 q p q p ∨≡→其真值表如下：三、推理规则1、合取规则：p 为真q 为真, q p ∧也为真。
2、分离规则：q p →为真，p 为真，q 也为真（充分条件假言规则）。
3、全称命题为真，则特称命题也为真。
4、r p ,,→→→则r q q p 。
5、是恒真命题r p r q q p ↔→↔∧↔)()(。
6、q(T) (T) p q(T)p ↔7、qp p q q p ↔→→8、(T)p (T) )(q T q p →（否定规则）9、pq q p →→10、(T)q (T) )(p T q p ∨（选言规则）11、qqp p q p ∧∧或（联言规则）12、三段论：推理形式为如果M 是P,S 是M,那么S 是P 。
它的逻辑式为：)()()(P S M S P M →→→∧→。
由真值表可知：)()()(P S M S P M →→→∧→1≡是恒真命题。
凡是恒真命题（重言式）都可作为推理规则。
前面提到的分离规则1)(≡→∧→q p q p ，选言规则1)(≡→∧∨q p q p ，联言规则1)(≡→∧p q p ，也都是恒真命题。
分别证明如下：11)()(31)()()()(21)()()()()(1≡∨≡∨∨≡∨∧≡→∧≡∨∨∨≡∨∧∨≡→∧∨≡∨∨∨≡∨∧∨≡∧∨≡→∧→q p q p p q p p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p p q p q q p 、、、四、证明方法1、直接证明：直接从所给论题入手，以公理、定义、定理等为论据，运用逻辑推理规则来论证论题为真的证明方法。
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真值表什么是真值表真值表是逻辑学中用来描述逻辑命题或者布尔代数的一个工具，它列举了每个可能输入的所有输出结果。
真值表在逻辑电路设计、计算机科学和数学领域有着广泛的应用。
真值表的表示方法真值表的表示方法是使用表格展示逻辑命题的所有可能的输入和对应的输出结果。
通常，真值表的第一行是列标题，用来代表输入变量的名称；第一列是行标题，用来代表输入的各种可能情况；剩下的部分则是输出结果。
例如，一个简单的真值表如下所示：输入1 输入2 输出0 0 00 1 01 0 11 1 1在这个示例中，输入1和输入2是逻辑命题的两个输入变量，输出则代表根据输入变量的不同组合所对应的输出结果。
真值表的应用逻辑电路设计在逻辑电路设计中，真值表用于描述逻辑门的功能和行为。
逻辑门通常有与门（AND）、或门（OR）、非门（NOT）等，它们根据输入变量的情况输出特定的结果。
通过使用真值表，我们可以清楚地了解逻辑门的输入和输出之间的关系，从而更好地设计和优化逻辑电路。
布尔代数布尔代数是一种逻辑代数，它利用真值表来进行逻辑推理和运算。
在布尔代数中，使用不同的逻辑运算符如与、或、非等来组合和操作逻辑命题。
真值表能够帮助我们理解逻辑运算符的运算规则，并通过推理和转化，解决复杂的逻辑问题。
计算机科学真值表在计算机科学中也有着重要的应用。
比如，在编写程序时，使用逻辑运算符进行条件判断和逻辑操作是非常常见的。
在这种情况下，真值表可以帮助程序员理解不同的逻辑条件下程序的行为，并更好地进行程序设计和调试。
如何生成真值表生成真值表的方法很简单。
首先，根据逻辑命题的输入变量数量确定表格的列数，然后列出所有可能的输入情况，每种情况占据一行。
接下来，根据逻辑命题的逻辑运算规则，计算出每种输入情况下的输出结果，填写到对应的行和列中。
例如，对于一个有两个输入变量的逻辑命题而言，就需要列出4种可能的输入情况（每个变量有两种取值），然后根据逻辑运算规则计算出对应的输出结果，填写到真值表中。
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真值表什么是真值表？真值表是数理逻辑中的一种重要工具，用于展示或描述一个命题逻辑公式的所有可能的输入真值情况下的输出结果。
它可以直观地展示逻辑表达式的真假变化，并帮助我们理解和分析复杂的逻辑关系。
在计算机科学、数字电路设计和人工智能等领域，真值表也被广泛应用。
真值表的构成一个简单的真值表由多个列组成，每一列代表一个命题变量，最后一列代表整个命题逻辑公式的输出结果。
真值表的行数由命题变量的个数决定，每一行代表一种命题变量的真假组合。
对于n个命题变量的真值表，共有2^n 行。
真值表最常用的列数为n+1，其中n为命题变量的个数。
在真值表中，每个命题变量都有两种可能的取值，分别为真（1）和假（0）。
输出结果也只有两种情况，即真（1）和假（0）。
真值表的示例以下是一个简单的真值表示例，假设我们有两个命题变量A和B：A B A AND B0 0 00 1 01 0 01 1 1这个示例真值表展示了两个命题变量A和B进行逻辑与（AND）运算的结果。
可以看出，只有当A和B都为真时，A AND B 才为真，否则为假。
这符合逻辑与运算的规则。
另一个常见的逻辑运算是逻辑或（OR）运算，下面是一个两个命题变量A和B 的逻辑或运算的真值表示例：A B A OR B0 0 00 1 11 0 11 1 1可以观察到，只有当A和B中至少一个为真时，A OR B 才为真。
这也符合逻辑或运算的规则。
当命题变量的个数增加时，真值表会变得更大和更复杂。
但是，无论多少个命题变量，真值表的基本结构和原理都是一样的。
真值表的应用真值表作为一种逻辑工具，在计算机科学、数字电路设计和人工智能等领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，真值表可以用于验证和分析布尔代数表达式、逻辑电路电路设计以及计算机程序的逻辑正确性。
通过对真值表的分析和推导，我们可以确保我们的程序在各种输入情况下都能得到正确的输出。
在数字电路设计中，真值表可以帮助设计师分析和优化逻辑电路的功能和性能。
真值表的逻辑表达式
真值表的逻辑表达式首先我们来看一个简单的逻辑表达式：“A 与B”。
这个表达式中，A和B是两个逻辑命题，可以取真或假的值。
通过真值表可以列出其所有可能的取值情况：A |B | A 与 B--|---|------真|真 | 真真|假 | 假假|真 | 假假|假 | 假从上表可以看出，当A和B都为真时，逻辑表达式“A 与B”取真值；当A和B中有一个为假时，逻辑表达式取假值。
这说明逻辑与运算符的含义是：只有当所有逻辑命题都为真时，逻辑表达式才为真。
接下来我们来看一个更复杂的逻辑表达式：“A 或B”。
同样，通过真值表可以列出其所有可能的取值情况：A |B | A 或 B--|---|------真|真 | 真真|假 | 真假|真 | 真假|假 | 假从上表可以看出，当A和B中至少一个为真时，逻辑表达式“A 或B”取真值；只有当A和B都为假时，逻辑表达式取假值。
这说明逻辑或运算符的含义是：只要有一个逻辑命题为真，逻辑表达式就为真。
除了与和或这两种基本的逻辑运算符，还有非这一元逻辑运算符。
非运算符将逻辑命题的真值取反。
例如，我们来看一个逻辑表达式：“非A”。
同样，通过真值表可以列出其所有可能的取值情况：A | 非A--|----真|假假|真从上表可以看出，当A为真时，逻辑表达式“非A”取假值；当A 为假时，逻辑表达式取真值。
这说明非运算符的含义是：将逻辑命题的真值取反。
除了这些基本的逻辑运算符，还有其他一些复合运算符，如异或、蕴含等。
它们的运算规则可以通过真值表来展示，并在逻辑推理和电路设计等领域中得到广泛应用。
逻辑表达式的真值表不仅能够帮助我们理解逻辑关系，还能够用于验证逻辑推理的正确性。
通过列出逻辑表达式的所有可能取值情况，并进行逻辑运算，我们可以验证逻辑表达式是否符合我们的预期。
在日常生活中，逻辑表达式也有着广泛的应用。
例如，在计算机科学中，逻辑表达式被用于编写程序和设计电路。
在数学中，逻辑表达式被用于证明定理和推理推导。
逻辑运算真值表
逻辑运算真值表
逻辑运算真值表是一种用来表示逻辑运算的结果的表格。
真值表列出了逻辑运算中所有可能的输入和它们的对应输出。
下面是常见的三种逻辑运算真值表：
1. 与运算真值表（AND Truth Table）：
2. 或运算真值表（OR Truth Table）：
3. 非运算真值表（NOT Truth Table）：
在真值表中，通常用 0 表示 false（假），用 1 表示 true（真）。
例如，在 AND 运算真值表中，当 A 和 B 的值都为 1 时，A AND B 的值为 1，代表 A 和 B 同时为真。
而当 A 和 B 的值中有一个或
者两个都为 0 时，A AND B 的值为 0，代表 A 和 B 中有一个或两个都为假。
同样的道理，可以根据真值表来判断逻辑表达式的值。
真值表逻辑等价永真蕴涵
（10）(P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R
（11）(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R) ⇒ R （12）(P→Q)∧(R→S) ⇒ (P∧R)→(Q∧S ) （13）(PQ) ∧(QR) ⇒ (P R)
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永真蕴含的性质
• 设A、B、C是命题公式 （1）若A⇔B，则A⇒B，B⇒A； （2）若A⇒B， 则 PA⇒PB； PA⇒PB；（补充） PA⇒PB；（补充） (注意： AP⇒BP；AP⇒BP； PA⇒PB 或PA⇒PB 都不一定成立。）
设P1,…,Pn为命题A和B包含的所有命题变元。 A ⇔ B A为永真式 A为永假式
P … Pn A B
1
P … Pn A
1
P … Pn A
1
v v
v v v v
2 2 1 1
1 1 … 1
0 0 … 19 0
证明逻辑等价、永真（假）式 的方法（2）
方法二：命题演算 A⇔ B: A⇔ … ⇔ B A为永真式: A⇔ … ⇔1 A为永假式: A⇔ … ⇔0
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证明逻辑等价例
• 证明┐(PQ) ⇔ P▽Q 证明: 因为PQ ⇔ (P→Q)∧(Q→P) ┐(PQ)⇔ ┐((P→Q)∧(Q→P)) ⇔ ┐(P→Q) ∨ ┐(Q→P) ⇔ ┐(┐P∨Q)∨ ┐(┐Q∨P) ⇔ (┐┐P∧┐Q)∨(┐┐Q∧┐P) ⇔ (P∧┐Q)∨(Q∧┐P) ⇔ P▽Q
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永真蕴涵的证明方法（1）
欲证：AB • 方法一： 构造AB的真值表 • 方法二：利用等价演算证明 AB1 • 方法三：证明当A为真时，B必为真。 • 方法四：利用常用的等价公式和永真蕴涵 公式证明。 • 方法五：范式
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永真蕴含式例1（1）
逻辑学真值表及命题演算
回溯思考方法
1. 2. 3. 4.
A(BC) A D C(EF) DF
/E
(1)“回溯”思考，首先要考察待证结论与前提的关联性， 待证结论处在命题的后件，要获证必须基于对前件 C的肯定。 (2) C与前提1关联，要获取必须基于主联结关系的销去。 (3) 前提1的销去，取决于对前提2中条件A的否定。 (4) 要获取对A的否定，必须基于对后件D的否定，而后件 D的否定处在前提4之中，要获取 D必先分解前提4。
直接证明法：推导结论
1. (BD) 2. CD 3. AB 4. (EF)C 5. AF 6. A (5. 销去) 7. B (3.6.销去) 8. BD (1.7.等值) 9. D (7.8.销去) 10. C (2.9.销去) 11. (EF) (4.10.销去) 12. EF (11.等值) 13. F (5.销去) 14. E (12.13.销去)
否定式： ¬p 合取式：p∧q 析取式：p∨q 蕴涵式：p→q 等值式：p←→q
三、五种基本真值形式的真值表
• 定义，真值表是数理逻辑中用以定义命题 联结词并确定复合命题真或假的一种图表。 • T 表示“真”、F 表示“假” • 1、¬p p T F ¬p F T
2、 p∧q
p
T T F F
q
T F T F
（1）命题公式的性质判定
（2）推理形式有效性的判定 （3）命题公式之间关系的判定
重言式、矛盾式、可满足式的判定
• 1、重言式（又叫永真式）是指在一个命题形式 中不论其中的变项取什么值，该命题形式的值 总是真的。
• 如： p∨ ¬p
p T F ¬p F T p∨ ¬p T T
• 2、矛盾式（又叫永假式）是指在一个命 题形式中不论其中的变项取什么值，该命 题形式的值总是假的。 • 如： p∧ ¬p
命题公式真值表
1-4 真值表与等价公式
1.真值表
定义1-4.1 在命题公式中,对于分量指派真值的各种可能 组合,就确定了这个命题公式的各种真值情况,把它汇列成 表,就是命题公式的真值表.
例 2 构造下列命题公式的真值表: (1) P Q ; (3) ( P Q) P ; (5) ( P Q) (P Q) . (2) P Q ; (4) ( P Q) (P Q) ;
3.等价公式
定 义 1-4.2 给 定 两 个 命 题 公 式 A 和 B , 设
A 、 B 中的原子变元 , 如果给 P 1,P 2 ,… , P n 为出现于 A 与 B 的真值都相同, P 1,P 2 ,…, P n 任一组真值指派 ,
则称 A 和 B 是等价的(或逻辑相等),记作 A B .
1-4 真值表与等价公式
例 3 证明: P Q ( P Q) (Q P)
4.基本等价公式
对合律
(双否定)
P P
交换律
结合律
P Q Q P, P Q Q P
P (Q R) ( P Q) R , P (Q R) ( P Q) R P (Q R) ( P Q) ( P R) ,
1-3 命题公式与翻译
2、命题的翻译
练习 将下列命题符号化: (1)她既聪明又用功. (2)他虽聪明但不用功. (3)虽然这次语文考试的题目很难,但是王丽还是取得了好成绩. (4)张三或李四都可以做这件事. (5)一公安人员审查一起案件,事实如下,请将案件事实符 号化: 张三或李四盗窃了机房的一台电脑,若是张三所为,则作案 时间不能发生在午夜前;若李四的证词正确,则午夜时机房 的灯未灭; 若李四证词不正确,则作案时间发在午夜前; 午夜时机房的灯全灭了.
逻辑真值表怎么列出的_真值表是怎么画出来的
逻辑真值表怎么列出的_真值表是怎么画出来的
1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是
1.每项都只有三个因子
2.每个变量都是它的一个因子
3.每一变量或以原变量（Ａ、Ｂ、Ｃ）的形式出现，或以反（非）变量（Ａ、Ｂ、Ｃ）的形式出现，各出现一次
一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3时，最小项有23＝8个
2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：
（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项
1.卡诺图的引出
一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，此方格图称为卡诺图。
卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。
下面从讨论一变量卡诺图开始，逐步过渡到多变量卡诺图。
大家知道，n个变量的逻辑函数有2n个最小项，因此一个变量的逻辑函数有两个最小项。
逻辑函数的表示方法
0 00 0
0 01 1 010 1 100 1 101 0 011 0 110 0 111 1
F ABC ABC ABC ABC
3. 逻辑图表示方法
用与、或、非等逻辑符号表示逻辑函数中各变量之间的逻 辑关系所得到的图形称为逻辑图。
将逻辑函数式中所有的与、或、非运算符号用相应的逻辑符号 代替，并按照逻辑运算的先后次序将这些逻辑符号连接起来， 就得到图电路所对应的逻辑图
4 逻辑函数的建立及其表示方法
1. 真值表表示
逻辑抽象，列出真值表
开关状态表
开关 A 开关 B 灯
下
下
亮
下
上
灭
上
下
灭上上源自亮确定变量、函数，并赋值
开关: 输入变量 A、B 灯 : 输出变量 L
A、B: 向上—1 向下--0 L : 亮---1; 灭---0
楼道灯开关示意图
a
A
b B
c
d
～ 逻辑真值表
AB
L
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
例：有一T形走廊，在相会处有一路灯，在进入走廊的
A、B、C三地各有控制开关，都能独立进行控制。
任意闭合一个开关，灯亮；任意闭合两个开关，灯
灭；三个开关同时闭合，灯亮。设A、B、C代表三
个开关（输入变量）；Y 代表灯（输出变量）。
设：
开关闭合其状态为“1”断开为“0”;
灯亮状态为“1”，灯灭为“0”
例：已知某逻辑函数表达式为 L A B AB，试画出其逻辑图
A
1
&
B
1
≥1 L
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三、日常推理的應用
例1：如果積體電路板是用鑽石晶片做成的，那麼 電腦的運轉溫度會比較低。電腦的運轉溫度不 會比較低而且積體電路板是用鑽石晶片做成的。 因此，電腦的運轉溫度會比較低或者積體電路 板不是用鑽石晶片做成的。
請問：這是一個有效論證嗎？
提示：把這個論證的前提和結論翻譯成邏輯語 句，而後用真值表分析一下，看看它是不是有 效論證。
1.將論證符號化。 2.寫出符號化後的論證：前提與前提之間以豆號，
分隔，在最後一個前提和結論之間以 ∕∴分隔。 3.為符號化後的論證的前提和結論分別畫出真值表。 4.檢查有沒有在哪種邏輯可能性中「前提皆真而結
論為假」。
➢ 如果有，那麼這個論證是無效論證。 ➢ 如果沒有，那麼這個論證有效論證。
一、真值表法用於論證
T FF
T F T F TT F TT
F TF
F F T T TT F TT
T FF
T T F F TF T FF
三、日常推理的應用
H = 大學畢業生具備閱讀能力 C = 大學畢業生將可以跟別人競爭 W = 大學畢業生具備寫作能力
論證：~H → ~C, ~W → ~C ∕∴ ~H → ~W
H C W ~H → ~CFra bibliotek~W → ~C ∕∴ ~H → ~W
T T T F TF F TF
F TF
F T T T FF F TF
A 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 C 4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 E 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
二、真值表法的綜合概念
如果一個論證有不一致的前提，那麼這個論證 （無論其結論為何）必然是有效論證。
例如： ~F • M, ~(F M) ∕∴ ~M
如果一個論證只有一個前提，而這個前提是矛盾 句，那麼這個論證（無論其結論為何）必然是有 效論證。 例如： A • ~A ∕∴ ~B
如果一個論證的結論是套套邏輯，那麼這個論證 （無論其前提為何）必然是有效論證。 例如： B ∕∴ R ~R
二、真值表法的綜合概念
❖ 如果一個論證的前提是套套邏輯，結論也是一個 套套邏輯，那麼這個論證必然是有效論證。
❖ 如果一個論證的前提是套套邏輯，結論不是套套 邏輯，那麼這個論證必然是無效論證。
❖ 如果一個論證的結論是矛盾句（邏輯上必然為 假），那麼在以下兩種情況，這個論證有效：
1.前提裡至少有一個矛盾句。 2.前提不一致。
例1：A B ∕∴ ~A B
AB TT FT TF FF
AB T T F T
∕∴ ~A B F TT T TT F FF T TF
有效論證
例2： K ↔ ~L , ~(L • ~K) ∕∴ ~K L
一、真值表法用於論證
例3：p→q, q→r ∕∴ p→r
p q r p→q q→r p→r TTT T T T FTT T T T TFT F T T FFT T T T TT F T F F FTF T F T TF F F T F FFF T T T
一、真值表法用於論證
❖ 真值表法可以用來檢驗一個論證是有效論證， 還是無效論證。
❖ 真值表法考慮前提和結論在邏輯上的「所有可 能情況」。
❖ 真值表法判斷論證有效或無效的標準依賴的是 「語意」上的有效推論關係：在前提為真的所 有可能情況中，結論不可能為假。
一、真值表法用於論證
❖ 真值表法的檢驗步驟：
三、日常推理的應用
M = 積體電路板是用鑽石晶片做成的 C = 電腦的運轉溫度會比較低 論證：M → C , ~C • M ∕∴ C ~M
M C M→C TT T FT T TF F FF T
~C • M ∕∴ F FT F FF T TT T FF
C ~M TTF TTT FFF FTT
有效論證
有效論證
一、真值表法用於論證
例4：p→q, q→r ∕∴ p r
p q r p→q q→r p r TTT T T T FTT T T T TFT F T T FFT T T T TTF T F T FTF T F F TFF F T T FFF T T F
無效論證
一、真值表法用於論證
【練習題】：用真值表法判斷以下論證是有效論證 還是無效論證
B 2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34 35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63 D 8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63 F 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
三、日常推理的應用
例2：如果大學畢業生缺乏閱讀能力，那麼他們將 沒有辦法跟別人競爭。如果大學畢業生缺乏寫 作能力，那麼他們將沒有辦法跟別人競爭。因 此，如果大學畢業生缺乏閱讀能力，那麼他們 將缺乏寫作能力。
❖ 請問：這是一個有效論證嗎？
提示：把這個論證的前提和結論翻譯成邏輯語 句，而後用真值表分析一下，看看它是不是有 效論證。
例1：~A ~M ∕∴ ~ (A M)
無效
例2：~ (G • M) , M ~G ∕∴ ~G
有效
例3： A → (N Q) , ~ (N ~A) ∕∴ A→Q 有效
例4：~ (K S) , S→ ~ (R K) ∕∴ R ~S 無效
有趣的推理：讀心術Ⅰ
❖ 從1到63選一個數字，我可以說出你想的數字是什麼！