三角形和性质(基础)知识讲解

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全等三角形的概念和性质(基础)知识讲解

A．
B．
C． D．如图，在 5 个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.
类型二、全等三角形的对应边，对应角如图，△ABN≌△ACM，∠B 和∠C 是对应角，AB 与 AC 是对应边，写出其他对应边和对应角.
如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.
DF 4cm ，求：（1） 1 的度数；（2） AC 的长．
E
F
A
C D
1
B
如图，已知 △ ABC 中， AB AC 10 厘米， BC 8 厘米，点 D 为 AB 的中点．（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， △BPD 与 △CQP 是否全等，
已知：△ABC≌△ADE，求证：∠BAE=∠DAC
顶点 C 与 B 对应，写出其他对应角及对应顶点． △ ABE 与 △ ACD 全等，D 与 E 对应，
ＡＤＭＮＥ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
如图 △ ABD ≌△ ACE ，试说明 EBD 与 DCE 的关系．
C
O B E
A 三、全等三角形性质
如图所示，Rt△EBC 中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以 B 为中心，将 Rt△EBC 绕点 B 逆时针旋转 90°得到△ABD，求∠ADB 的度数.AB=3cm，AC=8cm，求 DE 的长.
全等三角形的概念和性质
一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF，其中点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点；AB 和 DE，BC 和 EF，AC 和 DF 是对应边；∠A 和∠D，∠B 和∠E， ∠C 和∠F 是对应角.

三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质(基础)知识讲解三角形及其性质知识讲解三角形是几何学中最基本的图形之一，广泛应用于各个领域。

本文将对三角形及其性质进行详细的讲解。

一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段相互连接，构成一个封闭的图形。

三角形的名称通常是由连接它们的顶点表示，如ABC表示由线段AB、BC和CA所形成的三角形。

二、三角形的分类根据三角形的边长关系和角度关系，我们可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长分类(1)等边三角形：三条边的长度都相等。

每个内角都为60度。

(2)等腰三角形：两条边的长度相等。

顶角所对的两边相等。

(3)普通三角形：三条边的长度各不相等。

2. 根据角度分类(1)锐角三角形：三个内角都小于90度。

(2)直角三角形：一个内角为90度。

较长的边称为斜边，与直角所对的边称为直角边。

(3)钝角三角形：一个内角大于90度。

三、三角形的性质三角形具有以下一些重要的性质：1. 三角形的内角和定理三角形的所有内角之和等于180度。

即∠A + ∠B + ∠C = 180度。

2. 三角形的外角和定理三角形的外角等于与之相对的内角之和。

即∠D = ∠A + ∠B或∠D = ∠B + ∠C或∠D = ∠C + ∠A。

3. 三角形的角平分线三角形的角平分线是指从一个顶点出发，将相邻两边的夹角平分为两个相等的角。

三角形的角平分线相交于三角形的内心。

4. 三角形的中线三角形的中线是指连接一个顶点和对边中点的线段，三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。

5. 三角形的高线三角形的高线是指从一个顶点引垂线到对边上的垂足所形成的线段。

三角形的三条高线交于一点，该点被称为三角形的垂心。

6. 三角形的外心三角形的外心是指过三角形三个顶点的圆的圆心。

在任何非等边三角形中，外心都存在且唯一。

四、三角形的应用三角形的性质在实际应用中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 三角形的距离计算通过已知的边长和角度，可以使用三角函数来计算三角形之间的距离。

三角形的分类与性质(知识点总结)

三角形的分类与性质（知识点总结）三角形是几何学中的基本图形之一，其分类与性质是我们学习和掌握三角形知识的基础。

本文将对三角形的分类以及其相关性质进行总结，以帮助读者更好地理解和应用相关概念。

一、三角形的分类根据三角形的边长长短和角度大小，三角形可以分为以下几类：1.按边长分类：（1）等边三角形：三条边的长度相等。

（2）等腰三角形：两条边的长度相等。

（3）普通三角形：三条边的长度各不相等。

2.按角度大小分类：（1）锐角三角形：三个内角均小于90度。

（2）直角三角形：其中一个内角为90度。

（3）钝角三角形：其中一个内角大于90度。

3.根据边长和角度分类的组合：根据边长和角度的不同组合，可以得到以下三角形的特殊分类：（1）等边等角三角形：即正三角形，三个内角均为60度，且三条边长度相等。

（2）等腰直角三角形：拥有一个直角，且两条腰的长度相等。

（3）等腰锐角三角形：拥有两个锐角，且两条腰的长度相等。

（4）等腰钝角三角形：拥有一个钝角，且两条腰的长度相等。

二、三角形的性质除了分类外，三角形还有一些重要的性质值得我们关注和记忆：1.内角和：任意三角形的三个内角和等于180度。

2.角的关系：（1）锐角三角形中，三个内角的大小按大小顺序排列即可。

(如A<B<C)（2）直角三角形中，其中一个内角为90度，另外两个内角互为补角。

（3）钝角三角形中，其中一个内角大于90度，另外两个内角的和小于90度。

3.边的关系：（1）等边三角形的三条边长度相等。

（2）等腰三角形的两个底角（等腰三角形两腰之间的夹角）相等。

（3）等腰直角三角形中，两条腰的长度相等，且斜边是两腰长度的平方和的平方根。

4.勾股定理：勾股定理是直角三角形最重要的定理，描述了直角三角形斜边平方等于两直角边平方和的关系。

5.海伦公式：海伦公式用于计算任意三角形的面积，公式为：面积 = （p * (p - a) * (p - b) * (p - c)）的平方根，其中p为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三条边长。

自学初中数学资料-三角形的定义与性质(资料附答案)

自学资料一、三角形的定义与性质【知识探索】1．三角形外角的性质：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；第1页共44页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．2．三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．【说明】三角形任意两边的差小于第三边．【错题精练】例1．如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=42°，∠ACB=74°，则∠FDE=______．【解答】解：在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A=180°-42°-74°=64°在四边形AFDE中，∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=64°∴∠FDE=360°-90°-90°-64°=116°故答案为：116°【答案】116°例2．如图所示，在△ABC中，∠A=52°，若∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，得到∠D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，得到∠D2；依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，得到∠D5，则∠D5的度数是______．【解答】解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1=∠CBD1=12∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=12∠ACB，∴∠CBD1+∠BCD1=12（∠ABC+∠ACB）=12×128°=64°，第2页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∴∠BD1C=180°-1（∠ABC+∠ACB）=180°-64°=116°，2（∠ABC+∠ACB）=180°-96°=84°，同理∠BD2C=180°-34（∠ABC+∠ACB）=180°-124°=56°．依此类推，∠BD5C=180°-3132故答案为：56°．【答案】56°例3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，AB=3cm，BC=2.5cm，△ABD的面积为2cm2，求△ABC的面积．【答案】解：在△ABD中，∵S△ABD=12AB•DE，AB=3cm，S△ABD=2cm2，∴DE=43cm…（2分）过D作DF⊥BC于F．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∴DF=43第3页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训cm…（4分）在△BCD中，BC=2.5cm，DF=43cm∴S△BCD=12BC•DF=53(cm)2…（6分）∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，∴S△ABC=2+53=113(cm)2…（8分）例4．已知：如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC 的边AB、AC和CB的延长线于D、E、F．求证：∠F+∠FEC=2∠A．【答案】证明：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，∵∠ADE=∠BDF，第4页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，∵∠A=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．例5．问题1如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是______研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是______研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．猜想：______理由问题2研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是______．【解答】解：（1）根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；（2）由图形折叠的性质可知，∠CEA′=180°-2∠DEA′…①，∠BDA′=180°-2∠A′DE…②，①+②得，∠BDA′+∠CEA′=360°-2（∠DEA′+∠A′DE即∠BDA′+∠CEA′=360°-2（180°-∠A），故∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．证明如下：连接AA′构造等腰三角形，∠BDA′=2∠DA'A，∠CEA'=2∠EA'A，得∠BDA'-∠CEA'=2∠A，（4）如图④，由图形折叠的性质可知∠1=180°-2∠AEF，∠2=180°-2∠BFE，两式相加得，∠1+∠2=360°-2（∠AEF+∠BFE）即∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B），所以，∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．第5页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】∠BDA′=2∠A∠BDA′+∠CEA′=2∠A∠BDA′-∠CEA′=2∠A∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°例6．我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”概念理解：如图1，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为______，△AOB______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；（2）若∠ACB=80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．应用拓展：如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°-∠MON=30°，∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB为“和谐三角形”，故答案为：30；是；（2）证明：∵∠MON=60°，∠ACB=80°，∵∠ACB=∠OAC+∠MON，∴∠OAC=80°-60°=20°，∵∠AOB=60°=3×20°=3∠OAC，∴△AOC是“和谐三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴∠EFC=∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF=∠ADE，第6页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∵∠DEF=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD，∵AE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠B=∠BCD，∵△BCD是“和谐三角形”，∴∠BDC=3∠B，或∠B=3∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，∴∠B=36°或∠B=540°7．【答案】30°是【举一反三】1．如图所示，△ABC中，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30°，则∠BEC的度数是______．【解答】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD=65°+30°=95°，∠BEC=∠BDC+∠DCE=95°+30°=125°，故答案为125°．【答案】125°2．已知等腰三角形的周长为29，一边长为7，则此等腰三角形的腰长为______．【解答】解：若腰长为7，则底边=29-2×7=15，∵7+7＜15∴不能组成三角形第7页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训若底边为7，则腰长=（29-7）÷2=11故答案为11【答案】113．在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC、AD、CE的中点，且三角形ABC的面积等于4cm2，则三角形BEF的面积等于______cm2．【解答】解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，高相等；∴S△BEF=12S△BEC，同理得，S△EBC=12S△ABC，∴S△BEF=14S△ABC，且S△ABC=4cm2，∴S△BEF=1cm2，即阴影部分的面积为1cm2．故答案为：1．【答案】1第8页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训4．如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B′，C′，A′，且使BB′=AB，CC′=2BC，AA′=3AC．若S△ABC=1，那么S△A'B'C'是（）A. 15B. 16C. 17D. 18【解答】解：连接CB'，∵AB=BB'，∴S△BB'C=S△ABC=1，又CC'=2BC，∴S△B'CC'=2S△BB'C=2．∴S△BB'C'=3．同理可得S△A'CC'=8，S△A'B'A=6．∴S△A'B'C'=3+8+6+1=18．∴故选D．【答案】D5．如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E．（1）若∠B=35°，∠C=75°，求∠DAE的度数；（2）若∠B=α，∠C=β，且0°＜α＜β＜90°，试探究下列问题：①∠DAE=______（用含α、β的代数式表示）；②若点P为射线AD上任意一点（除点A、点D外），过点P作PQ⊥BC，垂足为Q（请在图2、图3中将图形补充完整），请用含α、β的代数式表示∠DPQ并说明理由．【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠C=75°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∵AD平分∠BAC，∠BAC=35°，∴∠DAC=12∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵∠C=75°，第9页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训∴∠EAC=90°-75°=15°，∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-15°=20°；（2）①∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=（180-α-β）°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=12（180-α-β）°=90°-12α-12β，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵∠C=β，∴∠EAC=90°-β，∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=（90°-12α-12β）-（90°-β）=12β-12α，故答案为：12β-12α；②如图，∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=12×（180°-α-β）=90°-12α-12β，∵∠ADC=180°-∠C-∠DAC=180°-β-（90°-12α-12β）=90°-12β+12α，∴∠QDP=∠ADC=90°-12β+12α，∵PQ⊥BC，∴∠PQD=90°，∴∠DPQ=90°-∠PDQ=90°-（90°-12β+12α）=1 2β-12α，即∠DPQ=12β-12α．【答案】12β-12α第10页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训6．（1）如图1，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC两个内角∠ABC、∠ACB的平分线．①若∠A=70°，求∠BDC的度数．②∠A=α，请用含有α的代数式表示∠BDC的度数．（2）如图2，BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线．若∠A=α，请用含有α的代数式表示∠BEC的度数．【答案】解：（1）①∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD+∠A=180°，∴2∠DBC+2∠BCD+∠A=180°，∴2（180°-∠BDC）+∠A=180°，∴∠BDC=90°+12∠A，∵∠A=70°，∴∠BDC=90°+12×70°=90°+35°=125°．②∠A=90°+12α．（2）∵BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线，∴∠EBC=12∠MBC，∠BCE=12∠BCM，∵∠CBM、∠BCN是△ABC的两个外角∴∠CBM+∠BCN=360°-（180°-∠A）=180°+∠A∴∠EBC+∠BCE=12（∠MBC+∠BCN）=12（180°+∠A）=90°+12∠A，在△DBC中，∵∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-（90°+12∠A）=90°-12∠A，且∠A=α，∴∠BEC=90°-12α．7．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C 不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是_______②当∠BAD=∠ABD时，求∠OAC；③当∠BAD=∠BDA时，求∠OAC．（2）如图2，若AB⊥OM，且D在线段OB上，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【解答】【答案】（1）①20∘②120∘③60∘（2）存在，x=20∘,30∘,50∘,125∘二、全等三角形【知识探索】1．能够重合的两个图形叫做全等形．两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形．两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角．【错题精练】例1．两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（）（1）这两个三角形一定全等；（2）这两个三角形不一定全等；（3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等；（4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等．A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种【解答】解：两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，满足SSA，但是SSA不能判定三角形的全等．但当相等的角是钝角时，这两个三角形全等．则说法正确的只有（2）（4）．故选：B．【答案】B例2．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．【答案】证明：（1）∵BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，∴△BEC≌△DEA（HL）；（2）∵△BEC≌△DEA，∴∠B=∠D．∵∠D+∠DAE=90°，∠DAE=∠BAF，∴∠BAF+∠B=90°．即DF⊥BC．例3．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=5cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．例4．如图，点F、G分别是正五边形ABCDE边BC、CD上的点，且BF=CG，AF与BG交于点H．（1）求证：△ABF≌△BCG（2）求∠AHG的度数．【答案】（1）证明：∵正五边形ABCDE，∴AB=BC，∠ABF=∠C，∴在△ABF和△BCG中AB=CB∠ABF=∠C BF=CGAB=CB∠ABF=∠CBF=CG，∴△ABF≌△BCG（SAS）；（2）解：∵△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠ABH=∠AHG，∴∠CBH+∠ABH=∠AHG=∠ABC=(5-2)180°5=108°．∴∠AHG=108°．例5．如图，点A、B、C在⊙O上，AĈ=CB̂．（1）若D、E分别是半径OA、OB的中点，如图1，求证：CD=CE．（2）如图2，⊙O的半径为4，∠AOB=90°，点P是线段OA上的一个动点（与点A、O不重合），将射线CP绕点C逆时针旋转90°，与OB相交于点Q，连接PQ，求出PQ的最小值．【答案】解：（1）连接CO．∵AĈ═CB̂，∴∠AOC=∠BOC，∵D、E分别是半径OA、OB的中点，∴OD=12OA，OE=12OB，∴OD=OE，在△ODC和△OEC中，∵OD=OE，∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴△ODC≌△OEC（SAS）∴CD=CE；（2）当CP⊥OA时，∵∠AOB=90°，∠PCQ=90°，∴∠CQO=90°，即CQ⊥OB．∵∠AOC=∠BOC，∴CP=CQ，当CP与OA不垂直时，如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，M、N为垂足．∵∠AOC=∠BOC，∴CM=CN，又∵∠AOB=90°，∴∠MCN=90°，∴四边形CMON是正方形，∵∠PCQ=90°，∴∠PCM=∠QCN，∴△PCM≌△QCN（AAS）∴CP=CQ，∴PQ=√2CP，∴当CP取得最小值即CM的长时，PQ有最小值，∴PQ=√2CP≥√2CM=CO=4，PQ的最小值为4．【举一反三】1．下列4个判断：①有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；②两个三角形的6个边．角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；其中正确判断的编号是______．【解答】解：①如图，△ABC与△ABC′中，AB=AB，AC=AC′，高AD相同，但是，△ABC与△ABC′不全等，，故选项错误；②设△ABC的三边长分别为AB=16AC=24，BC=36；△A′B′C′的三边长分别为A′B′=24A′C′=36，B′C′=54．由于△ABC与△A′B′C′的对应边成比例故△ABC∽△A′B′C′，从而它们有5个边角元素分别相等：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，AC=A′B′，BC=A′C′，但它们不全等；故该选项错误；③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，如图：△ABC和△ACD，的边AC=AC，BC=CD，高AE=AE，但△ABC和△ACD不全等，故选项错误；④可根据SSS证明△ABD≌△A′B′D′以及利用SAS证明△ABC≌△A′B′C′，故选项正确．故选④．【答案】④2．如图，△ABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH=∠DAC；（2）BH=AC；（3）如果BC=14，AH=2，AC=10，求HE的长度．【答案】解：（1）∵AD，BE是△ABC的高∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBH+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°∴∠DBH=∠DAC；（2）由（1）题已得∠DBH=∠DAC，∵在△BDH和△ADC中，∠BDH=∠A DC BD=AD∠DBH=∠DAC∠BDH=∠A DCBD=AD∠DBH=∠DAC，∴△BDH≌△ADC（ASA），∴BH=AC；（3）由（2）题已证△BDH≌△ADC，∴HD=DC（设长度为x）设AD=BD=y，∵BC=14，AH=2，AC=10∴x+y=14，y-x=2．解得x=6，y=8，∵12×AC×BE=12×BC×AD，∴10×BE=14×8，解得BE=11.2，∴HE=BE-BH=11.2-10=1.2．3．如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD，求证：∠BAP+∠BCP=180°．【答案】证明：如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PD⊥BC，∴PD=PE，在Rt△BPE和Rt△BPD中，BP=BP PE=PDBP=BPPE=PD，∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL），∴BE=BD，∵AB+BC=2BD，∴BE-AE+BD+CD=2BD，∴AE=CD，在△APE和△CPD中，AE=CDPD=PE∠AEP=∠CDP=90°PD=PE∠AEP=∠CDP=90°AE=CD，∴△APE≌△CPD（SAS），∴∠BCP=∠PAE，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠BAP+∠BCP=180°．4．已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，（1）求证：DE=DF．（2）连接BC，求证：线段AD垂直平分线段BC．【答案】解：（1）如图，连接AD ．在△ACD 和△ABD 中，AC=AB CD=BD AD=ADAC=AB CD=BD AD=AD∴△ACD ≌△ABD （SSS ）． ∴∠FAD=∠EAD ，即AD 平分∠EAF ．又∵DE ⊥AE ，DF ⊥AF ， ∴DE=DF ．（2）∵△ACD ≌△ABD （已证）． ∴DC=DB ，∴点D 在线段BC 的垂直平分线上．又∵AB=AC∴点A 在线段BC 的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线， ∴AD 垂直平分BC ．5．如图，AĈ是劣弧，M 是AC ̂的中点，B 为AM ̂上任意一点．自M 向BC 弦引垂线，垂足为D ，求证：AB+BD=DC ．【答案】证明：在CD 上取点N ，使CN=AB ，连接CM ，MN∵M 是AC ̂的中点， ∴AM̂=CM ̂， ∴AM=CM （等弧对等弦），又∵∠BAM=∠BCM ，在△ABM 和△CNM 中，{CN=AB∠BAM=∠BCMAM=CM，∴△ABM≌△CNM（SAS），∴BM=MN，∴△BMN为等腰三角形（BN为底），又∵MD⊥BN，∴D为BN中点（等腰三角形三线合一），∴BD=DN∴AB+BD=CD．三、等腰三角形【知识探索】1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形2．三边都相等的三角形叫做等边三角形．【说明】等边三角形的三边都相等，它是特殊的等腰三角形．【错题精练】例1．如图，△ABC的面积为1cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（）A. 0.4cm2B. 0.5cm2C. 0.6cm2D. 0.7cm2【解答】解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EB P BP=BP∠APB=∠EPB∠ABP=∠EB PBP=BP∠APB=∠EPB，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE，∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，∴S△PBC=12S△ABC=12×1cm2=0.5cm2，故选：B．【答案】B例2．如图，在△ABC中，AB=AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的直径；（2）若AB=8，∠C=60°，求阴影部分的面积；（3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．例3．如图钢架中，∠A=n°，依次焊上等长的钢条P1P2，P2P3，…，来加固钢架，若P1A=P1P2，要使得这样的钢条只能焊上4根，则n的取值范围是______．【解答】解：∵AP1=P1P2，P1P2=P2P3，P3P4=P2P3，P3P4=P4P5，∴∠A=∠P1P2A，∠P2P1P3=∠P2P3P1，∠P3P2P4=∠P3P4P2，∠P4P3P5=∠P4P5P3，∴∠P3P5P4=4∠A，∵要使得这样的钢条只能焊上4根，∴∠P5P4C=5∠A，由题意4n＜905n≥904n＜905n≥90，∴18≤n＜22.5，故答案为：18≤n＜22.5．【答案】18≤n＜22.5例4．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=3，ON=7，点P是直线OB 上的点，要使点P，M，N构成等腰三角形的点P有______个．【解答】解：过M作MM′⊥OB于M′，过N作NN′⊥OB于N′，∵OM=3，ON=7，∠AOB=45°，∴MN=4，MM′=OM×sin45°=32√2＜4，NN′=ON×sin45°=72√2＞4，MH=M′N′=4×sin45°=2√2＜4，所以只有一小两种情况：①以M为圆心，以4为半径画弧，交直线OB于P1、P2，此时△NP1M和△NMP2都是等腰三角形；②作线段MN的垂直平分线，交直线PB于P3，此时△MNP3是等腰三角形，即有3个点P符合，故答案为：3．【答案】3例5．如图，D和E分别是△ABC的边BC和AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则下列说法正确的是（）A. 当∠1为定值时，∠CDE为定值B. 当∠2为定值时，∠CDE为定值C. 当∠3为定值时，∠CDE为定值D. 当∠B为定值时，∠CDE为定值【解答】解：A∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∠ADC=∠1+∠B，∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠1+∠B-∠CDE，∵AD=AE，∴∠ADE=∠3=∠CDE+∠C=∠CDE+∠B，∴∠1+∠B-∠CDE=∠CDE+∠B，∴∠1=2∠CDE，∴当∠1为定值时，∠CDE为定值，故选：A．【答案】A例6．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是（）A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 不能确定【解答】解：本题分两种情况讨论：（1）当BD在三角形内部时，AB，∠ADB=90°，∵BD=12∴∠A=30°；（2）当BD在三角形外部时，AB，∠ADB=90°，∵BD=12∴∠DAB=30°，∠ABC=180°-∠DAB=30°=150°．故选：C．【答案】C例7．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有______个．【解答】解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个，故答案为：8【答案】8例8．等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长．【答案】解：在△ABC 中，AB=AC ，BD 是中线，设AB=x ，BC=y（1）当AB+AD=12时，则{x +12x =12y +12x =15，解得{x =8y =11．∴三角形三边的长为8、8、11；（2）当AB+AD=15时，则{x +12x =15y +12x =12，解得{x =10y =7．∴三角形三边的长为10、10、7经检验，两种情况均符合三角形三边关系定理因此这个三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．例9．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=30°，点D 从点B 出发，沿B→C 方向运动到点C （D 不与B ，C 重合），连接AD ，作∠ADE=30°，DE 交线段AC 于点E ，设∠BAD=x°，∠AED=y°．（1）当BD=AD 时，求∠DAE 的度数；（2）求y 与x 的关系式；（3）当BD=CE 时，求x 的值．【答案】解：（1）当BD=AD 时，∠B=∠BAD=30°，∵△ABC 等腰三角形，∴∠BAC=120°，∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90° （2）由题可知，∠BAD+∠DAE=120°即x+∠DAE=120 ∠AED+∠DAE=180°-∠ADE=150°即y+∠DAE=150 两式相减得y-x=30即y=x+30（3）由题可知，∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC 且∠B=∠ADE=30° ∴∠BAD=∠EDC=x 又∵∠B=∠C 和BD=CE ∴△ABD ≌△DCE∴CD=AB=AC∴△ACD为等腰三角形且∠C=30°∴∠DAE=75°∴x=∠BAC-∠DAE=120°-75°=45即x=45【举一反三】1．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为（）A. 70° B. 45° C. 36° D. 30°【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，，设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=180°−x2可得2x=180°−x，2解得：x=36°，则∠A=36°，故选：C．【答案】C2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B=∠C=36°，△ABC是等腰三角形，∵∠BAC=108°，AD、AE三等分∠BAC，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，∴∠DAC=∠BAE=72°，∴∠AEB=∠ADC=72°，∴BD=AD=AE=CE，AB=BE=AC=CD，∴△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，∴一共有6个等腰三角形．故选：D．【答案】D3．如图，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，已知AG⊥BD，AF⊥CE，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC的周长为______．【解答】解：由AG⊥BD，BD是∠ABC的角平分线，则在△ABD和△GBD中，BD=BD∠ADB=GDB∠ABD=∠GBD∠ABD=∠GBDBD=BD∠ADB=GDB，∴△ABD≌△GBD，∴AB=BG．即△ABG是等腰三角形，同理：△ACF也是等腰三角形．∴AB=BG，AC=CF，又∵AG⊥BD，AF⊥CE，∴E、D分别是AF和AG 的中点，∴ED是△AFG的中位线，∴FG=2DE，则△ABC的周长为：AB+BC+AC=BG+CG+BC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG，由BF=2，ED=3，GC=4，FG=2DE=6得△ABC的周长为30．故答案为：30．4．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，该等腰三角形的顶角等于______．【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=40°，∴∠A=50°，即顶角的度数为50°．②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=40°，∴∠BAD=50°，∴∠BAC=130°．故答案为50°或130°．【答案】50°或130°5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角为______．【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，由已知可知，∠ABD=30°，又BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∴∠A=60°，∴∠ABC=∠C=60°．当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，由已知可知，∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，∴∠C=∠ABC=30°．故答案为：60°或30°．【答案】60°或30°6．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上截取AE=AC，BD=BC．求证：∠DCE=45°．【答案】证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵AC=AE，BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=12（180°-∠B），∠ACE=∠AEC=12（180°-∠A），∴∠BCD+∠ACE=180°-12（∠A+∠B）=135°，∴∠DCE=∠BCD+∠ACE-∠ACB=135°-90°=45°．7．如图所示，△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于F，连接EF，求证：EF=BC．【答案】证明：∵CA=CB，∴∠B=∠A，又∵∠DCA=2∠FCA，∠DCA=∠A+∠B=2∠A，∴∠FCA=∠A．∴CF∥AB．又∵∠FCA=∠FEA（同弧所对的圆周角相等），∴∠FEA=∠B．∴BC∥EF．∴四边形CFEB为平行四边形．∴EF=BC．8．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE=105°．（1）求∠DAC的度数；（2）若⊙O的半径为3，求弧BC的长．【答案】解：（1）∵AB=AC，̂=AĈ，∴AB∴∠ABC=∠ACB，̂的中点，∵D为AĈ=CD̂，∴AD∴∠CAD=∠ACD，̂=2AD̂，∴AB∴∠ACB=2∠ACD，又∵∠DAE=105°，∴∠BCD=105°，×105°=35°，∴∠ACD=13∴∠CAD=35°；（2）∵∠DAE=105°，∠CAD=35°，∴∠BOC=80°，∴弧BC的长=80•π×32360=2π．1．等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A. 顶角B. 底角C. 顶角的一半D. 底角的一半【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，则AE平分∠BAC，∴∠2=12∠A，∵BD⊥AC，∴∠1+∠C=90°，又∠2+∠C=90°，∴∠1=∠2，∴∠1=12∠A，即等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故选：C．【答案】C2．如图，点D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中∠C所对的边是______；在△ACD中∠C所对的边是______；在△ABD中边AD所对的角是______；在△ACD中边AD 所对的角是______．【解答】解：在△ABC中∠C所对的边是AB；在△ACD中边AD所对的角是∠C；故答案为：AB；AD；∠B；∠C．【答案】ABAD∠B∠C3．如图，△ABC中，∠A=96°，D是BC延长线上的一点，∠ABC与∠ACD（△ACB的外角）的平分线交于A1点，则∠A1=______度；如果∠A=α，按以上的方法依次作出∠BA2C，∠BA3C…∠BA n C（n为正整数），则∠A n=______度（用含α的代数式表示）．【解答】解：∵∠ABC与∠ACD（△ACB的外角）的平分线交于A1点，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=∠A1CD=12∠ACD，∴∠A1=180°-（∠A1BC+∠A1CB）=180°-（12∠ABC+12∠ACD+∠ACB）=180°-[12∠ABC+12（∠ABC+∠A）+∠ACB]=180°-[∠ABC+∠ACB+12∠A]=180°-[180°-∠A+12∠A]=12∠A．∵∠A=96°，∴∠A1=48°．∵∠A=α，依此类推可知∠A n=12nα度．【答案】4812nα4．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，则α，β，γ三者之间的等量关系是______．【解答】解：由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【答案】γ=2α+β5．如图：将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由．（1）若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2；∠A与∠1之间的关系；（不必证明）（2）若折成图④，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式；（不必证明）（3）若折成图⑤，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式．（不必证明）【答案】解：延长BD、CE，交于点P；则△BCP即为折叠前的三角形，由折叠的性质知：∠DAE=∠DPE．图①中：连接AP；由三角形的外角性质知：∠1=∠DAP+∠DPA，∠2=∠EAP+∠EPA；则∠1+∠2=∠DAE+∠DPE=2∠DAE，即∠1+∠2=2∠A．图②中：由三角形的外角性质知：∠2=∠DPE+∠DAE=2∠DAE，即∠2=2∠A．图③中：∠1=2∠A，解法同图②．图④中：由三角形的外角性质，知：∠2=∠3+∠P，∠3=∠1+∠A，即∠2=∠P+∠1+∠A=2∠A+∠1，故∠2-∠1=2∠A．图⑤中：∠1-∠2=2∠A，解法同图④．故当点A落在四边形BCDE内部，∠1+∠2=2∠A．（1）图②中，∠2=2∠A；图③中，∠1=2∠A．（2）图④中，∠2-∠1=2∠A．（3）图⑤中，∠1-∠2=2∠A．6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．若△ABC的周长为35，BC=11，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AB，AC的长．【答案】解：∵AD是BC边上的中线，△ABD与△ACD的周长差为3，∴AB-AC=3，∵△ABC的周长为35，BC=11，∴AB+AC=35-11=24，∴AC+3+AC=24，解得：AC=10.5，∴AB=13.5．7．已知△ABC．（1）如图1，若P点为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，试说明：∠P=90°+12∠A；（2）如图2，若P点为∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试说明：∠P=12∠A；（3）如图3，若P点为外角∠CBD和∠BCE的角平分线的交点，试说明：∠P=90°-12∠A．【答案】证明：（1）∠P=180°-12∠ABC-12∠ACB=180°-12（180°-∠A）=90+12∠A（2）∠P=∠PCD-∠PBD=12∠ACD-12∠ABC=12∠A（3）∠P=180°-12∠CBD-12∠BCE=180°-12（∠CBD+∠BCE）=180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°-12（180°+∠A）=90°-12∠A．8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．【答案】解：PB+PC＞AB+AC．如图，在BA的延长线上取一点E，使AE=AC，连接EP，由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP=∠EAP，又AP是公共边，AE=AC，在△ACP与△AEP中，{AE=AC∠EAP=∠CAPAP=AP，∴△ACP≌△AEP（SAS），从而有PC=PE，在△BPE中，PB+PE＞BE，而BE=AB+AE=AB+AC，故PB+PE＞AB+AC，所以PB+PC＞AB+AC．9．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AĈ上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD．（1）试判断△CDE的形状，并加以证明．（2）若∠ABD=15°，AO=4，求DE的长．证明如下：如图1，连接AC、BC，则∠DAC=∠DBC，∵AB为直径，CO⊥AB，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，在△ADC和△BEC中{AD=BE∠DAC=∠EBCAC=BC∴△ADC≌△BEC（SAS），∴CD=CE，∠DCA=∠BCE，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∴∠DCA+∠ACE=90°，即∠DCE=90°，∴△CDE为等腰直角三角形；（2）如图2，连接OD，则∠AOD=2∠ABD=2×15°=30°，∵∠AOC=90°，∴∠DOC=60°，且OD=OC=OA=4，∴△OCD为等边三角形，∴CD=CE=OA=4，在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE=√CD2+CE2=√42+42=4√2．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为AĈ的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE=126°，则∠CAD等于（）A. 36°B. 42°C. 38°D. 27°【解答】解：∵AO⊥BC，且AO是⊙O的半径，∴AO垂直平分BC，∴AB=AC，即∠ABC=∠ACB，̂的中点，∵D是AC∴∠ABC=2∠DCA=2∠DAC，∴∠ACB=2∠DCA，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=∠DAE=126°，∴∠ACB+∠DCA=126°，即3∠DCA=126°，∴∠DAC=∠DCA=42°．故选：B．【答案】B11．一个等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为（）A. 72°或45°B. 45°或36°C. 36°或45°D. 72°或90°【解答】解：①设三角形底角为x，顶角为2x，则x+x+2x=180°，解得：x=45°，②设三角形底角为2x，顶角为x，则2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴2x=72°，综上所述，这个三角形底角为72°或45°，故选：A．【答案】A12．如图钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…至多需要8根加固钢架，若P1A=P1P2，则∠A的取值范围为______．【解答】解：设∠A=x，∴∠P2P1P3=2x，∴∠P3P2P4=3x，…，∠P8P9P7=8x，∴8x≤90°且9x＞90°，则10°≤∠A＜11.25°．故答案为：10°≤∠A＜11.25°．【答案】10°≤∠A＜11.25°13．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且AD=BD=BC，求∠A的度数；（2）如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE．①若∠EDM=84°，求∠A的度数：②若以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外），直接写出∠A的取值范围．【答案】解：（1）设∠A=x°，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠A=36°；（2）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得：∠A=21°；②∵以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外）∴E到射线AM的距离大于DE，∴90°≤∠EDM＜120°，14．在△ABC中，AB=AC．（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=______（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=______（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：______（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=30°，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠EDC=15°．（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=40°，∴∠BAD=∠CAD=40°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠EDC=20°．∠BAD）（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=12（4）仍成立，理由如下∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC=2∠EDC+∠C又∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠BAD=2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC=1∠BAD2【答案】15°20°∠BAD∠EDC=1215．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，（1）求证：FG⊥DE；（2）若BC=16，ED=4，求FG的长．（结果保留根号）【答案】（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，BC，∴在Rt△CEB中，EF=12在Rt△BDC中，FD=1BC，2∴FE=FD，∵G是ED的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，∴FG⊥DE；（2）解：由（1）得，EF=1BC=8，2∵FE=FD，G是ED的中点，∴EF=1ED=2，2在Rt△FGE中，FG=√EF2−EG2=4√15．。

三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质(基础）知识讲解【学习目标】1、理解三角形及与三角形有关得概念,掌握它们得文字、符号语言及图形表述方法、2、理解三角形内角与定理得证明方法;3、掌握并会把三角形按边与角分类4、掌握并会应用三角形三边之间得关系、5、理解三角形得高、中线、角平分线得概念，学会它们得画法、【要点梳理】要点一、三角形得定义由不在同一条直线上得三条线段首尾顺次相接所组成得图形叫做三角形、要点诠释:(1)三角形得基本元素:①三角形得边：即组成三角形得线段;②三角形得角:即相邻两边所组成得角叫做三角形得内角,简称三角形得角；③三角形得顶点:即相邻两边得公共端点、（2）三角形得定义中得三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”、(3)三角形得表示:三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C得三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABＣ”,注意单独得△没有意义；△ABC得三边可以用大写字母AB、BC、ＡC来表示，也可以用小写字母ａ、b、c来表示，边BＣ用a表示,边AC、AB分别用b、c 表示、要点二、三角形得内角与三角形内角与定理：三角形得内角与为180°、要点诠释:应用三角形内角与定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角得度数可以求出第三个角得度数;②已知三角形三个内角得关系,可以求出其内角得度数；③求一个三角形中各角之间得关系、要点三、三角形得分类１、按角分类:要点诠释:①锐角三角形：三个内角都就就是锐角得三角形；②钝角三角形：有一个内角为钝角得三角形、2、按边分类:要点诠释:①不等边三角形:三边都不相等得三角形；②等腰三角形:有两条边相等得三角形叫做等腰三角形,相等得两边都叫做腰,另外一边叫做底边，两腰得夹角叫顶角,腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等得三角形、要点四、三角形得三边关系定理:三角形任意两边之与大于第三边、推论:三角形任意两边之差小于第三边、要点诠释:(1)理论依据:两点之间线段最短、(2)三边关系得应用：判断三条线段能否组成三角形,若两条较短得线段长之与大于最长线段得长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形、当已知三角形两边长,可求第三边长得取值范围、(３)证明线段之间得不等关系、要点五、三角形得三条重要线段三角形得高、中线与角平分线就就是三角形中三条重要得线段,它们提供了重要得线段或角得关系，为我们以后深入研究三角形得一些特征起着很大得帮助作用，因此,我们需要类型一、三角形得内角与ﻩ1、证明:三角形得内角与为18０°、【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠Ｂ+∠C=180°、证法1:如图１所示，延长BC到Ｅ,作CD∥AB、因为AB∥ＣD(已作),所以∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠B=∠2（两直线平行,同位角相等)、又∠ACB+∠1+∠２=1８0°(平角定义),所以∠ACB+∠A＋∠Ｂ=１８０°(等量代换)、证法2：如图2所示,在ＢC边上任取一点D,作DE∥AB,交AＣ于E，DF∥AC,交AB于点F、因为DＦ∥ＡC（已作),所以∠1=∠C（两直线平行,同位角相等),∠2=∠DＥC（两直线平行,内错角相等)、因为DE∥AＢ（已作）、所以∠3=∠Ｂ,∠DEＣ=∠Ａ（两直线平行,同位角相等)、所以∠A=∠2(等量代换)、又∠1+∠2+∠3=180°(平角定义),所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换)、２、在△AＢC中,已知∠Ａ+∠Ｂ=80°,∠Ｃ=2∠B,试求∠A,∠B与∠Ｃ得度数、【思路点拨】题中给出两个条件:∠A＋∠B＝80°,∠C=2∠B,再根据三角形得内角与等于180°，即∠A+∠B+∠Ｃ＝180°就可以求出∠A,∠Ｂ与∠C得度数、【答案与解析】解:由∠A+∠B＝80°及∠A+∠Ｂ+∠C＝180°,知∠C=100°、又∵∠Ｃ＝2∠B,∴∠B=50°、∴∠A=80°－∠B＝80°-50°＝３0°、【总结升华】解答本题得关键就就是利用隐含条件∠Ａ＋∠B+∠C＝1８０°、本题可以设∠B=x,则∠A=8０°-x,∠C＝2ｘ建立方程求解、【变式】已知,如图,在△AＢC中,∠Ｃ=∠AＢC=2∠Ａ，BD就就是AC边上得高,求∠ＤBC 得度数、【答案】解:已知△ABC中,∠C=∠ＡＢＣ=2∠A设∠A＝x 则∠C=∠AＢC=２ｘx＋2x+2ｘ=180°解得:ｘ=36°∴∠C=2x＝72°在△BDC中, BD就就是ＡＣ边上得高,∴∠BDC=90°,,∴∠DBC=180°-9０°-72°＝１8°类型二、三角形得分类3、一个三角形得三个内角分别就就是75°、30°、75°，这个三角形就就是( )Ａ锐角三角形 B 等腰三角形 C 等腰锐角三角形【答案】C【变式】一个三角形中,一个内角得度数等于另外两个内角得与得2倍,这个三角形就就是( )三角形A 锐角B 直角Ｃ钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角与就就是1８0°以及已知条件,可以得到其中较大内角得度数为1２０°,所以三角形为钝角三角形、类型三、三角形得三边关系４、 (四川南充)三根木条得长度如图所示,能组成三角形得就就是()【思路点拨】三角形三边关系得性质,即三角形得任意两边之与大于第三边,任意两边之差小于第三边、注意这里有“两边”指得就就是任意得两边，对于“两边之差”它可能就就是正数,也可能就就是负数,一般取“差”得绝对值、【答案】D【解析】要构成一个三角形、必须满足任意两边之与大于第三边、在运用时习惯于检查较短得两边之与就就是否大于第三边、A、B、C三个选项中,较短两边之与小于或等于第三边、故不能组成三角形、D选项中,2cm+3ｃｍ>4cm、故能够组成三角形、【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形得简易方法就就是:①判断出较长得一边；②瞧较短得两边之与就就是否大于较长得一边，大于则能够成三角形,不大于则不能够成三角形、举一反三:【变式】判断下列三条线段能否构成三角形、（1) 3,４,5; （2) 3，５,9 ； (３) 5，５，8、【答案】(１)能; (2)不能; (3)能、5、若三角形得两边长分别就就是２与7,则第三边长c得取值范围就就是＿_＿_＿__、【答案】【解析】三角形得两边长分别就就是2与7，则第三边长c得取值范围就就是│2-7│<c<2+7,即5<ｃ<９、【总结升华】三角形得两边a、b，那么第三边ｃ得取值范围就就是│ａ-b│<c＜a+b、举一反三:【变式】(浙江金华）已知三角形得两边长为４，8，则第三边得长度可以就就是________(写出一个即可)【答案】５,注:答案不唯一,填写大于4,小于１2得数都对、类型四、三角形中重要线段６、(江苏连云港）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为４，9,12,如何求这个三角形得面积?”小明提示:“可通过作最长边上得高来求解、”小华根据小明得提示作出得图形正确得就就是()、【答案】C;【解析】三角形得高就就就是从三角形得顶点向它得对边所在直线作垂线,顶点与垂足之间得线段、解答本题首先应找到最长边,再找到最长边所对得顶点、然后过这个顶点作最长边得垂线即得到三角形得高、【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高,并且三条高所在得直线交于一点、这里一定要注意钝角三角形得高中有两条高在三角形得外部、【变式】如图所示,已知△ＡBC,试画出△ABC各边上得高、【答案】解:所画三角形得高如图所示、7、如图所示,CD为△AＢＣ得AＢ边上得中线，△BCD得周长比△ＡCD得周长大3cm,BC=8cm,求边ＡC得长、【思路点拨】根据题意,结合图形，有下列数量关系:①AD=BＤ,②△BCD得周长比△ACD得周长大3、【答案与解析】解:依题意:△BCD得周长比△AＣD得周长大3cm,故有:BC+CD+BD-(AC+ＣD+AD)=3、又∵CD为△ABC得AB边上得中线,∴AD=ＢＤ,即BC-ＡC=3、又∵BC=8，∴AC=5、答:ＡC得长为5ｃm、【总结升华】运用三角形得中线得定义得到线段ＡＤ＝BD就就是解答本题得关键，另外对图形中线段所在位置得观察,找出它们之间得联系,这种数形结合得数学思想就就是解几何题常用得方法、举一反三：【变式】如图所示,在△ABC中,D、E分别为BC、ＡＤ得中点,且，则为＿______＿、【答案】1一、选择题１、一位同学用三根木棒拼成如图所示得图形,其中符合三角形概念得就就是( )2、如图所示得图形中,三角形得个数共有()Ａ、1个B、2个C、３个D、４个3、任何一个三角形至少有( )个锐角Ａ、１Ｂ、2 C、3 Ｄ、不能确定４、已知三角形两边长分别为4 cｍ与９cm，则下列长度得四条线段中能作为第三边得就就是()Ａ、13 ｃm B、6 cｍC、5 cｍD、4cm5、为估计池塘两岸A、B间得距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得ＰA=16m,PB=12ｍ,那么AB间得距离不可能就就是( ）A、5m Ｂ、15m C、２0ｍD、28m第八题6、三角形得角平分线、中线与高都就就是（)A、直线B、线段Ｃ、射线Ｄ、以上答案都不对7、下列说法不正确得就就是()Ａ、三角形得中线在三角形得内部Ｂ、三角形得角平分线在三角形得内部Ｃ、三角形得高在三角形得内部D、三角形必有一高线在三角形得内部８、如图,AＭ就就是△ABC得中线,那么若用S1表示△ABM得面积，用Ｓ2表示△ＡＣＭ得面积,则Ｓ1与S2得大小关系就就是（)A、S1>Ｓ2B、S1<Ｓ2C、S1＝Ｓ2D、以上三种情况都有可能９、若△AＢC得∠A=60°，且∠B:∠C=2:１,那么∠B得度数为（)A、4０°B、80°C、60°D、１２0°二、填空题10、三角形得三边关系就就是＿_______,由这个定理我们可以得到三角形得两边之差____＿_＿_第三边,所以，三角形得一边小于_____＿_＿并且大于_＿__＿_＿_、１1、如果三角形得两边长分别就就是3 ｃｍ与6 cm,第三边长就就是奇数,那么这个三角形得第三边长为__＿___＿_ｃｍ、１2、已知等腰三角形得两边分别为4cm与７ｃm，则这个三角形得周长为_____＿__、１3、如图,ＡＤ就就是△ＡBC得角平分线,则∠___＿__=∠__＿___＝∠__＿____;BＥ就就是△ABC得中线,则＿_______＝＿__＿＿__＝_＿_____＿;ＣＦ就就是△ABC得高，则∠_＿_＿__＿＿＝∠_＿______=90°,ＣF_____＿_＿ＡB、14、如图,ＡＤ、AＥ分别就就是△ABC得高与中线,已知ＡD＝５ｃm,CE＝6cｍ,则△AＢＥ与△AＢC得面积分别为___＿＿＿___＿_＿_＿_＿、15、在△ABC中,（１）若∠A:∠B:∠C＝1：2:3,则∠A=＿___＿_＿,∠Ｂ＝＿_____＿,∠C=__＿____,此三角形为_______三角形；(2)若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为_＿_____＿三角形、三、解答题16、判断下列所给得三条线段就就是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，ａcm(0＜ａ<1０）;(2)ａ+1,ａ+2,ａ+3;(３)三条线段之比为2：3:5、17、如图,在△ABＣ中,∠BＡD＝∠CAD,AＥ＝CＥ,AG⊥BＣ,AD与BＥ相交于点F,试指出AD、AF分别就就是哪两个三角形得角平分线,BＥ、DE分别就就是哪两个三角形得中线?AG 就就是哪些三角形得高?１8题18、如图所示，已知AD,ＡＥ分别就就是ΔABＣ得中线、高，且AB=５cm,AC＝3cm,则ΔABD 与ΔACD得周长之差为多少,ΔABD与ΔACＤ得面积有什么关系、19、利用三角形得中线，您能否将图中得三角形得面积分成相等得四部分(给出3种方法）？。

三角形知识点总结完

三角形知识点全面总结1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL （RtA^RtA）2、等腰三角形的判定及性质性质：①两腰相等②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”）③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰【即：DE+DF=CP，（D为BC上的任意一点）】3、等边三角形的性质及判定定理性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

结论总结：①高二亘边【即： AD =巨AB 】 2 2②面积二三3边2【即：S=三3AB 2】4 A ABC 4 4、直角三角形的性质及判定性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④斜边中线等于斜边一半判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

”）5、线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形结论总结：直角三角形斜边上的高二直角边的乘积斜边（1）线段垂直平分线的性质及判定【即:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点人、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点乂、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段 AB 的垂直平分线。

三角形的特征与性质知识点总结

三角形的特征与性质知识点总结三角形是几何学中最基本的图形之一，其特征与性质是我们学习和应用几何学的基础。

本文将对三角形的特征与性质进行总结，并介绍其相关知识点。

一、三角形的定义与基本特征三角形是由三条线段构成的图形，它有三个顶点、三条边和三个内角。

三角形的基本特征包括：1. 三角形的边：三角形有三条边，用线段统一表示为AB、BC和CD。

2. 三角形的顶点：三角形有三个顶点，用大写字母A、B和C表示。

3. 三角形的内角：三角形有三个内角，用小写字母a、b和c表示。

二、三角形的分类根据三角形的特征和性质，我们可以将三角形分为以下几类：1. 根据边的长度分类：a. 等边三角形：三条边的长度相等，如ABC为等边三角形。

b. 等腰三角形：两条边的长度相等，如AB=AC的三角形。

c. 普通三角形：三条边的长度都不相等，如AB≠BC≠CA的三角形。

2. 根据角的大小分类：a. 直角三角形：其中一个内角为直角（90度），如∠A=90°的三角形。

b. 钝角三角形：其中一个内角为钝角（大于90度），如∠A>90°的三角形。

c. 锐角三角形：三个内角都为锐角（小于90度），如∠A、∠B 和∠C都小于90°的三角形。

三、三角形的性质三角形具有一些重要的性质，它们对于解决几何问题非常有用。

以下是一些重要的三角形性质：1. 三角形内角和性质：三角形的三个内角之和为180度，即a + b +c = 180°。

2. 三角形的外角性质：三角形的每个外角等于其对应内角的补角。

3. 三角形的边长关系性质：a. 三角形两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。

b. 两边之差小于第三边，即|AB - BC| < AC，|AC - BC| < AB，|AB - AC| < BC。

4. 三角形的角度关系性质：a. 在锐角三角形中，最大的角所对的边也最长，最小的角所对的边也最短。

相似三角形的性质与判定专题讲义(基础)(精)

相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理(一、相似三角形的性质:1、相似三角形的对应角 ,对应边。

2、相似三角形的对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于。

3、相似三角形对应周长的比等于。

4、相似三角形对应面积的比等于。

注意:在运用相似三角形的性质解题时,一定要确定好对应边、对应角;若果不能确定,则应当进行分类讨论。

(二、相似三角形的判定: 1、判定两个三角形相似的条件:(1平行截割: _____(2两角对应相等: (3两边夹: (4三边比:_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤:(1先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角 (2若只能找到一对对应角相等,则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。

(3若找不到相等的角,就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积,化等比;横找、竖找定相似;不相似,莫生气,等线等比来代替。

二、基础练习1.(2013•重庆已知△ABC ∽△DEF ,若△ABC 与△DEF 的相似比为3:4,则△ABC 与△DEF 的面积比为( A .4:3B .3:4C .16:9D .9:162.两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ,它们的面积之差为32cm 2,那么小三角形的面积为( A .10cm 2B .14cm 2C .16cm 2D .18cm 23.如图,已知△ABC ,AB=6,AC=4,D 为AB 边上一点,且AD=2,E 为AC 边上一点(不与A 、C 重合,若△ADE 与△ABC 相似,则AE=( A .2B .34C .3或43D .3或345.如图,D 、E 分别是AC ,AB 上的点,∠ADE =∠B ,AG ⊥BC 于点G ,AF ⊥DE 于点F.若AD =3,AB=5,求: (1AGAF;(2△ADE 与△ABC 的周长之比;ABCDEF三、重难点高效突破专题一:计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是:1、运用勾股定理计算;2、运用相似三角形对应边成比例计算;3、综合运用进行计算。

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三角形及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念 , 掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解三角形角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：① 三角形的边：即组成三角形的线段；② 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的角，简称三角形的角； ③ 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点•（2）三角形的定义中的三个要求： “不在同一条直线上” 、“三条线段”、“首尾顺次相接” . （3）三角形的表示：三角形用符号"△”表示，顶点为 A 、B 、C 的三角形记作"△ ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ ABC 的三边可以用大写字母 AB 、BC 、 AC 来表示，也可以用小写字母 a 、b 、c来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、 c 表示．要点二、三角形的角和三角形角和定理：三角形的角和为 180°．要点诠释：应用三角形角和定理可以解决以下三类问题： ① 在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ② 已知三角形三个角的关系，可以求出其角的度数； ③ 求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类1. 按角分类：三角形要点诠释：①锐角三角形：三个角都是锐角的三角形 ; ②钝角三角形：有一个角为钝角的三角形.2. 按边分类：不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：① 不等边三角形：三边都不相等的三角形；② 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角；③ 等边三角形：三边都相等的三角形•直角三角形斜三角形锐锐角三角形要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边•推论：三角形任意两边之差小于第三边• 要点诠释：（1 ）理论依据：两点之间线段最短•（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当已知三角形两边长, 可求第三边长的取值围. （3）证明线段之间的不等关系.要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：类型一、三角形的角和1证明：三角形的角和为180° .【答案与解析】解：已知：如图，已知△ ABC求证：/ A+Z B+Z C= 180证法1:如图1所示，延长BC到E,作CD // AB .因为AB // CD （已作），所以Z 1= Z A （两直线平行，错角相等），/ B= Z 2 （两直线平行，同位角相等）.又Z ACB+ Z 1 + Z 2=180。

（平角定义），所以Z ACB+ Z A+ Z B=180。

（等量代换）.证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE // AB，交AC于E, DF // AC，交AB 于点F.因为DF // AC （已作），所以Z仁Z C （两直线平行，同位角相等），Z 2= Z DEC （两直线平行，错角相等）.因为DE // AB （已作）.所以Z 3= Z B, Z DEC= Z A （两直线平行，同位角相等）.所以Z A= Z 2 （等量代换）.又Z 1 + Z 2+ Z 3=180。

（平角定义），所以Z A+ Z B+ Z C=180。

（等量代换）.2.在厶ABC中，已知Z A+ Z B= 80°,Z C = 2 Z B,试求Z A , Z B和Z C的度数.【思路点拨】题中给出两个条件：Z A+ Z B = 80°,Z C = 2Z B，再根据三角形的角和等于180°,即Z A+ Z B+ Z C = 180°就可以求出Z A , Z B和Z C的度数.【答案与解析】解：由Z A+ Z B= 80°及/ A+ Z B+ Z C = 180° ,知Z C= 100° . 又T Z C= 2Z B,••• Z B = 50°.••• Z A = 80° - Z B = 80° -50°= 30°.【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件Z A+ Z B+ Z C= 180 ° .本题可以设Z B = x,则Z A = 80° -x, Z C= 2x建立方程求解.【变式】已知，如图，在△ ABC中，Z C=Z ABC=2/ A, BD是AC边上的高，求Z DBC的度数.【答案】解：已知厶 ABC 中，/ C=Z ABC=ZA 设/A=x 则/C=Z ABC=2x x+2x+2x=180°解得：x=36°•••/ C=2x=72 在厶BDC 中, BD 是AC 边上的高，•••/ BDC=90 , , •••/ DBC=180 — 90° -72° =18°类型二、三角形的分类3. 一个三角形的三个角分别是 75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形 C等腰锐角三角形【答案】C【变式】一个三角形中，一个角的度数等于另外两个角的和的 2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角D 无法判断【答案】C【解析】利用三角形角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大角的度数为 120°，所以三角形为钝角三角形• 类型三、三角形的三边关系4.（）三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是（）2cm —— 2cm5cm -------------------------------------A2cm i3cm ----------------C【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边•注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值.【答案】DA 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边.故 2cm+3cm > 4cm .故能够组成三角形.【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形. 举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形•⑴ 3 , 4, 5; （2） 3 , 5, 9 ;（3） 5 , 5, 8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.5.若三角形的两边长分别是 _______________________ 2和7,则第三边长c 的取值围是【答案】5 c 95<c<9.【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值围是|a-b | <c<a+b.2cm ------------ 2cm 4cm ------------------------B 2cm ... .. ..-- ------------------4cm ■ ■ iD【解析】要构成一个三角形. 必须满足任意两边之和大于第三边.在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边. 不能组成三角形.D 选项中,【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值围是| 2-7 | <c<2+7,即举一反三：【变式】()已知三角形的两边长为4, 8,则第三边的长度可以是_______________________ (写出一个即可) 【答案】5,注：答案不唯一，填写大于4,小于12的数都对.类型四、三角形中重要线段6.()小华在中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4,9,12,如何求这个三角形的面积？”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解. ”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )•【答案】C;【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点.然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高. 【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点•这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部.【变式】如图所示，已知△ ABC，试画出厶ABC各边上的高.R ----------------- 1【答案】解：所画三角形的高如图所示.7.如图所示，CD ABC的AB边上的中线，△ BCD的周长比厶ACD的周长大3cm, BC=8cm，求边AC的长.【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD = BD，②△ BCD的周长比△ ACD的周长大3.【答案与解析】解：依题意：△ BCD的周长比厶ACD的周长大3cm,故有：BC+CD+BD -( AC+CD+AD ) = 3.又••• CD ABC的AB边上的中线，AD = BD，即BC-AC = 3.又T BC = 8 ,二AC = 5.答：AC的长为5cm.【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD = BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法. 举一反三：【变式】如图所示，在△ ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且S ^ABC 4，则S 阴影为如图所示的图形中，三角形的个数共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个D . 不能确定第八题6•三角形的角平分线、中线和高都是A •直线B •线段C .射线7.下列说法不正确的是（）A .三角形的中线在三角形的部 C .三角形的高在三角形的部 &如图，AM 是厶ABC 的中线，那么若用 S i 表示△ ABM 的面积，用 S 2表示△ACM 的面1. 、选择题一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是2. 3. ）个锐角4. (已知三角形两边长分别为） A . 13 cm B . 6 cmcm 和9 cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是 C . 5 cm D . 4 cm为估计池塘两岸 A 、B 间的距离，阳在池塘一侧选取了一点 P,测得PA = 16m , PB = 12m , 那么AB 间的距离不可能是（ A . 5mB . 15mC .5. )20mD .28m）D •以上答案都不对B .三角形的角平分线在三角形的部 D .三角形必有一高线在三角形的部任何一个三角形至少有（积，则S i 和S 2的大小关系是( ) A . S i > S 2 B . S i v S 2C . S i = S 2D .以上三种情况都有可能9.若△ ABC 的/ A = 60°，且/ B: / C = 2: 1，那么/ B 的度数为()A . 40°B . 80°C . 60°D . 120°二、填空题10•三角形的三边关系是 _______________ ，由这个定理我们可以得到三角形的两边之差 ______________________第三边，所以，三角形的一边小于 _________________ 并且大于 ___________ .11.如果三角形的两边长分别是 3 cm 和6 cm ,第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为 ___________ cm .12. 已知等腰三角形的两边分别为 4cm 和7cm ,则这个三角形的周长为 ___________________ .113. 如图，AD 是厶ABC 的角平分线，则/=Z= - / _______ ； BE 是厶ABC214. 如图，AD 、AE 分别是△ ABC 的高和中线，已知 AD = 5cm , CE = 6cm ，则△ ABE 和厶 ABC 的面积分别为 _________________________ .15. 在厶 ABC 中，(1)若/ A: / B: / C = 1: 2: 3，则/ A = ______________ ，/ B = __________ ，/ C =_________ ，此三角形为 __________ 三角形；(2)若/ A 大于/ B+ / C ,则此三角形为 ____________________ 三角形.三、解答题16.判断下列所给的三条线段是否能围成三角形(1) 5cm, 5cm, a cm(0v av 10);(2) a+1, a+2, a+3; (3)三条线段之比为 2:3:5.17.如图，在△ ABC 中，/ BAD =Z CAD , AE = CE , AG 丄 BC , AD 与 BE 相交于点 F , 试指出AD 、AF 分别是哪两个三角形的角平分线， BE 、DE 分别是哪两个三角形的中线？ AG 是哪些三角形的高？18.如图所示，已知 AD, AE 分别是△ ABC 的中线、高，且 AB= 5cm, AC = 3。