【配套K12】[学习]2018高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末总结练习 苏教版选修1-2
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入本章概览素材
第3章 数系的扩充与复数的引入本章概览内容提要本章的主要内容是复数的有关概念，复数代数形式的运算以及数系的扩充等.1.数集的扩充过程是自然数集（N ）→整数集（Z ）→有理数集（Q ）→实数集（R ）→复数集（C ）.数集的每一次扩充，都使数集本身能适合更多种代数运算.2.形如a+bi 的数叫做复数，其中a 、b ∈R ，i 2=-1.当b=0时为实数，当b ≠0时为虚数，当b ≠0且a=0时为纯虚数. 全体复数所组成的集合称为复数集，记为C ，即C={z |z =a+bi,a,b ∈R }.3.任一复数z =a+bi （a 、b ∈R ）和复平面内的一点Z (a,b)对应，且是一一对应；任一复数z =a+bi （a 、b ∈R )与它对应的点所在平面内的一个向量对应（O 是坐标原点），且也是一一对应.4.引进i 2=-1后，复数的四则运算就可按实数的运算法则同样地进行，并且也满足关于加法、减法的运算律.复数的加、减、乘、除（除数不为0）运算的结果仍是复数.5.本章中的常用结论（1）共轭复数的常用性质：设z =a+bi （a 、b ∈R ），则①z +z =2a;②z -z =2bi （纯虚数或零）；③（z ）=z .（2）共轭复数的代数运算： ①2121z z z z +=+(可推广到任意有限个复数相加的情形)；②2121z z z z -=-；③2121z z z z ⋅=⋅（可推广到任意有限个复数相乘的情形）；④n n )z (z =；⑤2121z z )z z (=（z 2≠0）.（3）共轭复数与模的关系： z z =|z |2=|z |2.(4)判断一个复数是纯虚数，可以从下面几个方面去思考：①实部为0且虚部不为0，则z 为纯虚数；②z +z =0且z ≠0,则z 为纯虚数；③若z 为虚数，则z -z 为纯虚数；④若z ≠0且|z -a|=|z +a|(a ∈R +)，则z 为纯虚数；⑤若z 为纯虚数，则可得z =ki （k ∈R 且k ≠0）.（5）判断一个复数是实数，可从如下几个方面思考：①z 的虚部为0，则z ∈R ;②z =z ⇔z ∈R ;③z +z ∈R ;④z z =|z |2∈R ;⑤z 1、z 2为纯虚数，则z 1·z 2∈R .学法指导我们把一个数集连同相应的运算及结构叫作一个数系.本章内容——复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充.数系扩充的过程体现了数学发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.在本模块中，将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.在有关复数内容的学习过程中，切实注意：1.复数的定义；2.复数相等的概念及其充要条件；3.复数的运算法则.。
全国通用高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义学
（全国通用版）2018-2019版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1。
2 复数的几何意义学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。
2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3。
掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义知识点三复数的模复数z＝a＋b i(a，b∈R）,对应的向量为错误!，则向量错误!的模r叫做复数z＝a＋b i的模,记作|z|或｜a＋b i|.由模的定义可知：｜z|＝｜a＋b i|＝r＝错误!（r≥0,r∈R）．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．（√)2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．（×)3．若|z1｜＝|z2|,则z1＝z2.( ×)类型一复数与复平面内的点的关系例1 实数x分别取什么值时,复数z＝（x2＋x－6)＋(x2－2x－15）i对应的点Z在：(1)第三象限；（2）直线x－y－3＝0上．考点复数的几何意义题点复数与点对应的关系解因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．(1）当实数x满足错误!即当－3<x〈2时，点Z在第三象限．（2）z＝x2＋x－6＋（x2－2x－15）i对应点Z（x2＋x－6，x2－2x－15),当实数x满足（x2＋x－6)－（x2－2x－15)－3＝0,即当x＝－2时,点Z在直线x－y－3＝0上．引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在:(1)虚轴上;（2）第四象限．解（1）当实数x满足x2＋x－6＝0，即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．（2）当实数x满足错误!即当2〈x<5时，点Z在第四象限．反思与感悟按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 在复平面内，若复数z＝（m2－m－2）＋（m2－3m＋2）i(m∈R）的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.考点复数的几何意义题点复数与点对应的关系解若复数z的对应点在虚轴上,则m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0。
2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末整合提升优质课件 新人教A版选修2
『规律方法』 先设出z的代数形式z＝bi(b∈R，b≠0)，然
．
专题二 ⇨利用复数相等的条件解题
对于两个复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规 di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔
『规律方法』 掌握常见的复平面上的点的轨迹方程的复 活运用模的几何意义及复数运算的几何意义，通过数形结合， 直观、形象的特点，可简化对问题的处理．
• 一、选择题
• 1．若复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，其中i为虚数 的虚部为( )
• A．－2
B．2
• C[．解析－] 2i由Dz．＝523＋－i 140ii＝53＋－140ii33＋＋44ii
典例 8 已知关于 x 的方程 x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R) (1)求实数 a，b 的值； (2)若复数 z 满足| z －a－bi|＝2|z|，求 z 为何值时，|z|有最小值 [解析] (1)将 b 代入题设方程，整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝ ＝0，且 a－b＝0，解得 a＝b＝3． (2)设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8． ∴点 Z 在以(－1,1)为圆心，2 2为半径的圆上．画图可知， ＝ 2．
[解析] (1)|z－(2＋2i)|表示单位圆上的点到点(2,2)的距离，由 |z－(2＋2i)|min＝2 2－1， |z－(2＋2i)|max＝2 2＋1． (2)由图(2)可知∠AEB＝45°，
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入本章整合课件新人教B版选修1_2
(3)复数的加法、减法的几何意义的实质就是平行四边形法则和 三角形法则. 由减法的几何意义知|z-z1|表示复平面上两点Z,Z1间的距离. (4)复数形式的基本轨迹. ①当|z-z1|=r时,表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心, 半径为r的圆;单位圆为|z|=1. ②当|z-z1|=|z-z2|时,表示以复数z1,z2的对应点为端点的线段的垂 直平分线.
应用复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+1+i|的最值. 提示:利用复数的几何意义对条件和所求结论分别给出几何解释, 借助于几何意义求出最值. 解:|z+i|+|z-i|=2表示复数z的对应点Z与点A(0,-1),B(0,1)的距离之 和为2,而|AB|=2,所以条件表示以A,B为端点的线段,而|z+1+i|=|z-(1-i)|表示点Z到点C(-1,-1)的距离,因而,问题的几何意义是求线段AB 上的点到C点的距离的最大值与最小值,如图,易见 |z+1+i|max=|BC|= 5,|z+1+i| min=|AC|=1.
5
4 5
1 3 -2+ 2 i 1
1 3 25 -2+ 2 i
2 = 2 -2+
3 i 2
=-1 + 3i.
-2 3+i 2 (2) + 1+2 3i 1-i
2 006
(- 2 3 + i)i 21 003 = + (1 + 2 3i)i (- 2i)1 003 (- 2 3 + i)i 1 = − 1 003 i- 2 3 i
用此结论可使一些特殊的计算过程 )
4
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末整合提升(三)课件 新人教A版选修1-2
领悟整合 数形结合思想在几何意义中的应用
复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数 学思想方法
(1)复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可 以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复 数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等 式(组)求解．
(2)复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复 数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表 示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要 改变．
x2－3x－3＞0， ① 虚部为 0，所以log2（x－3）＝0， ②
x－3＞0. ③ 由②得 x＝4，经验证满足①③式． 所以当 x＝4 时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为
x2－3x－3＞0， ① 0，所以log2（x－3）≠0， ②
x－3＞0. ③
由①得
x＞3＋2
21或
x＜3－2
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问 题的依据．
[提醒] 求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身 有意义．
题型二 复数的四则运算
例3 (1)设 i 是虚数单位，－z 是复数 z 的共轭复
数，若 z·－z i＋2＝2z，则 z＝
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
(2)已知复数 z1＝2－3i，z2＝（32＋＋2i）i 2，则zz12等于
A．－1
B．1
C．－i
D．i
解析 由 m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，∴m＝1 且 n＝ 1.则mm＋ －nnii＝11＋ －ii＝（1＋2 i）2＝i.
答案 D
3．已知 i 是虚数单位，复数 z＝(1＋ai)(1－2i)(a∈R)
【数学】高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末复习提升3苏教版选修12
【关键字】数学数系的扩充与复数的引入章末复习提升31．单数的概念(1)虚数单位i；(2)单数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)单数的实部、虚部、虚数与纯虚数．2．单数集3．单数的四则运算若两个单数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；(4)除法：＝＝＋i(z2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于单数的情况；(6)特殊单数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.4．共轭单数与单数的模(1)若z＝a＋bi，则＝a－bi，z＋为实数，z－为纯虚数(b≠0)．(2)单数z＝a＋bi的模|z|＝，且z·＝|z|2＝a2＋b2.5．单数的几何形式(1)用点Z(a，b)表示单数z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量O表示单数z＝a＋bi(a，b∈R)，Z 称为z在复平面上的对应点，单数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)．(2)任何一个单数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.6．单数加、减法的几何意义(1)单数加法的几何意义若单数z1、z2对应的向量、不共线，则单数z1＋z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的单数．(2)单数减法的几何意义单数z1－z2是连接向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的单数.题型一 分类讨论思想的应用当单数的实部与虚部含有字母时，利用单数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x ＋yi 没有说明x ，y ∈R 时，也要分情况讨论．例1 已知单数z ＝＋(a2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当z 为实数时，则有∴∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有∴∴a ≠±1且a ≠6，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有∴∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．跟踪演练1 当实数a 为何值时，z ＝a2－2a ＋(a2－3a ＋2)i.(1)为实数； (2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)单数z 对应的点在直线x －y ＝0上．解 (1)z ∈R ⇔a2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，则即故a ＝0.(3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2a ＞0，a 2－3a ＋2＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，或a ＞2，a ＜1，或a ＞2，∴a ＜0，或a ＞2.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．(4)依题设(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0，∴a ＝2.题型二 数形结合思想的应用数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图．∵OA ∥BC ，OC ＝BA ，∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎪⎨⎪⎧ 21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋(－4)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－3，y 2＝4.∵OA ≠BC ，∴x 2＝－3，y 2＝4(舍去)，故z ＝－5.跟踪演练2 已知复数z 1＝i(1－i)3.(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解 (1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆半径)＝22＋1.题型三 转化与化归思想的应用在求复数时，常设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，把复数z 满足的条件转化为实数x ，y 满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．例3 已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2.又z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数， ∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．跟踪演练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i.又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i 2＝－1.在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z )；(2)(1±i)2＝±2i；(3)设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(n ∈N *)等；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12±32i 3＝－1； (5)作复数除法运算时，有如下技巧： a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i)i (b －a i)i ＝(a ＋b i)i a ＋b i＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化． 例4 计算：(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)； (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2014. 解 (1)方法一 (1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i. 方法二 原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2014＝(－23＋i)i (1＋23i)i＋(2－2i )1007 ＝(－23＋i)i i －23－1i 1007＝i －1－i ＝i －i ＝0. 跟踪演练4 计算：(2＋i)(1－i)21－2i ＋(1－i)－(1＋i)2i 5－1－i 20151－i. 解 (2＋i)(1－i)21－2i ＋(1－i)－(1＋i)2i 5－1－i 20151－i＝(2＋i)·(－2i)1－2i ＋(1－i)－2i i －1＋i 1－i＝2－4i 1－2i ＋1－3i i －(1＋i)22＝2－(i ＋3)－i ＝－1－2i.高考对本章考查的重点1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋b i(a，b∈R)的结构形式．3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
[配套K12]2017-2018版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．了解数系的扩充过程.2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点)3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念并能够进行简单应用．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 复数的有关概念及复数相等的充 要条件阅读教材P 50～P 51“思考”以上内容，完成下列问题． 1．复数(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C 表示． 3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0.1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【解析】 2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 【答案】 D2．已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.【解析】 由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2m －5n ＝3n ，3＝－m ＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－8，n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.【答案】 －10 教材整理2 复数的分类阅读教材P 51“思考”以下至“例”题以上内容，完成下列问题． 1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝，虚数b⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：图311判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．( ) (3)两个虚数不能比较大小．( )【解析】 (1)错误．若b ＝0，则z ＝a ＋b i 为实数． (2)错误．当a ＝－1时，(a ＋1)i 不是纯虚数． (3)正确．【答案】 (1)× (2)× (3)√[小组合作型](1)①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0 B．1C．2 D．3(2)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【精彩点拨】首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．【自主解答】(1)①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i, 其实部是0，所以③为真命题．【答案】(1)A (2)B正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答.[再练一题]1．(1)给出下列复数：2＋3，0.618，i2,5i＋4，2i，其中为实数的是________．(2)给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________． 【解析】 (1)2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数．(2)因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；故答案为1.【答案】 (1)2＋3，0.618，i 2 (2)1已知复数z ＝a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【精彩点拨】 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解．【自主解答】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，a 2－7a ＋6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，a ＝6或a ＝1，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式等式或不等式组，求解参数时，注意考虑问题要全面.[再练一题]2．已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？ 【解】 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.(1)12z 1＝z 2，实数x ＝________，y ＝________.(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．【精彩点拨】 (1)根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解； (2)设出方程的实数解，代入原式整理为a ＋b i ＝0(a ，b ∈R )的形式解决．【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝6.【答案】 －9 6 (2)设a 是原方程的实根， 则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0，所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3m ＝0，所以m ＝112.【答案】112 －12应用复数相等的充要条件时，要注意：必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方程组利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.[再练一题]3．(1)适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0，且y ＝3 B ．x ＝0，且y ＝－3 C ．x ＝5，且y ＝3D ．x ＝3，且y ＝0(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值为________．【解析】 (1)由复数相等的条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.【答案】 (1)A (2)11或－715[探究共研型]探究1 若a 【提示】 不成立．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．探究2 若(a －2)＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？ 【提示】 b ＝0，a >2.已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．【精彩点拨】 两复数若能比较大小，则两复数的虚部都为零．只需满足一复数的实部大于另一复数的实部．【自主解答】 因为x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋3＋(y 2－1)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，x 2－2x －4>0，解不等式x 2－2x －4>0，得x >1＋5或x <1－ 5.所以实数x ，y 的取值范围分别是{x |x <1－5或x >1＋5}，{y |y ＝－1}．实数属于复数，但复数不一定是实数，因此实数的有些性质不适用于复数，如实数能比较大小，而复数中只有等与不等的关系，不能比较大小.只有当两个复数都是实数时才能比较大小.换言之，若两个复数能比较大小，则它们必为实数，即若a ＋b i>c ＋da ，b ，c ，d ∈R，则⎩⎪⎨⎪⎧a >c ，b ＝d ＝0.[再练一题]4．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，求实数x 的值． 【解】 ∵z >0，∴z ∈R .∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∵z >0，∴3x －1－x >0.对于不等式3x －1－x >0，x ＝1适合，x ＝3不适合． ∴x ＝1.1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32i 的虚部为( ) A ．2B ．－32C ．2－32D ．0【解析】 由复数定义知C 正确． 【答案】 C2．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩(∁S B )＝∅D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C【解析】 集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁S A )∪(∁S B )＝C 正确．【答案】 D3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )【导学号：81092036】A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4【解析】 由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4. 【答案】 C4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0，求实数m 的值为________． 【解析】 ∵(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0， ∴(m 2－1)＋(m 2－2m )i 是实数，且符号为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞0，解得m ＝2.【答案】 25．若x ∈R ，试确定实数a 的值，使等式3x 2－a2x ＋(2x 2＋x )i ＝1＋10i 成立．【解】 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x ＝1， ①2x 2＋x ＝10. ②由②得x ＝2或x ＝－52，分别代入①得a ＝11或a ＝－715.学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．复数－2i 的实部与虚部分别是( ) A ．0,2 B ．0,0 C ．0，－2D ．－2,0【解析】 －2i 的实部为0，虚部为－2. 【答案】 C2．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1或－2D ．1或2【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，得a ＝2.【答案】 B3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b ＋(a －2)i ＝1＋i ，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由b ＋(a －2)i ＝1＋i ，得b ＝1，a ＝3，所以a ＋b ＝4. 【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小；②若z 1和z 2都是虚数，且它们的虚部相等，则z 1＝z 2；③若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 必为纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R ，且d ≠0)，因为b ＝d ，所以z 2＝c ＋b i.当a ＝c 时，z 1＝z 2，当a ≠c 时，z 1≠z 2，故②错误；③当a ＝b ≠0时，(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数，当a ＝b ＝0时，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0是实数，故③错误，因此选A.【答案】 A5．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 因为复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a －3≠0⇔a ＝±2, 所以“a ＝2”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．【答案】 A 二、填空题6．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________． 【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i ，实部为－3，故应填3－3i. 【答案】 3－3i7．若x 是实数，y 是纯虚数，且(2x －1)＋2i ＝y ，则x ，y 的值为________.【导学号：81092037】【解析】 由(2x －1)＋2i ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝0，2i ＝y ，∴x ＝12，y ＝2i.【答案】 x ＝12，y ＝2i8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成； ②满足x 2＝－1的数x 只有i ； ③形如b i(b ∈R )的数不一定是纯虚数；④复数m ＋n i 的实部一定是m .其中正确说法的个数为________．【解析】 ③中，b ＝0时，b i ＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m ，n 不一定为实数，故①②④错误．【答案】 1三、解答题9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时：(1)复数z 是零；(2)复数z 是纯虚数．【解】 (1)∵z 是零，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m m －＝0，m 2＋2m －3＝0， 解得m ＝1. (2)∵z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m m －＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0.综上，当m ＝1时，z 是零；当m ＝0时，z 是纯虚数．10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．【解】 因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知，m ＝1或m ＝2. [能力提升] 1．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1或3B ．{a |a >3或a <－1}C ．{a |a >－3或a <1}D ．{a |a >3或a ＝－1} 【解析】 由已知可以得到a 2>2a ＋3，即a 2－2a －3>0，解得a >3或a <－1，因此，实数a 的取值范围是{a |a >3或a <－1}．【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π4(k ∈Z ) 【解析】 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )． 【答案】 D3．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x 2－3x －，log 2x 2＋2x ＋＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >4或x <－1，x ＝0或x ＝－2.∴x ＝－2.【答案】 －24．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值.【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝2 2. ∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2。
18版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末复习课
2 2 a ＋ b |z|＝|a＋bi|＝_________(a，b∈R).
2.复数的几何意义
→ ＝(a，b)(a，b∈R)是 复数z＝a＋bi与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量OZ
一一对应关系. 3.复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (a±c)＋(b±d)i (ac－bd)＋(bc＋ad)i
解答
(2)z为虚数. 解 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
2 x －3x－3>0， 所以log2x－3≠0， x－3>0，
3＋ 21 解得 x> 2 且 x≠4.
3＋ 21 所以当 x> 2 且 x≠4 时，z 为虚数.
解答
类型二
复数的运算
例2
z－5i 已知 z 是复数，z－3i 为实数， 为纯虚数(i 为虚数单位). 2－i
若不存在，说明理由.
解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，
且a2－4≠0，得a无解， ∴不存在实数a，使z为纯虚数.
解答
反思与感悟
(1) 正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念 ( 如实数、虚数、 纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提. (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
解答
类型三
数形结合思想的应用
例3
2 2 在复平面内，设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数 z ＋z 对应的点位于
一 第________ 象限.
解析
2 2 2 2 z ＋z ＝1＋i＋(1＋i)
2 ＝ ＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i， 1＋i
2017-2018版高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充教案 苏教版选修1-
3.1数系的扩充和复数的引入【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。
教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线.自主学习合作探究成果展示精讲点拨巩固提高小结与作业1、【自主学习】(课前完成)阅读教材《§3.1.1 数系的扩充与复数的概念》内容，思考：(1) 你对数的发展的了解(2) 由得你有，何困惑？(3)方根2-=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？(4)虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？(5)复数的有关概念？(6)实数集R与复数C的关系？2、【合作探究】探究任务一：数系的扩充过程。
问题1：回顾归纳从小学到昨天为止数系的扩充过程。
2017_2018版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3_1数系的扩充学案苏教版选修1_2
3.1 数系的扩充学习目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一 复数的概念及代数表示思考1 方程x 2＋1＝0在实数范围内有解吗？思考2 若有一个新数i 满足i 2＝－1，试想方程x 2＋1＝0有解吗？1．复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做______________，满足i 2＝________.全体复数所组成的集合叫做__________，记作C . 2．复数的表示复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的____________，a 与b 分别叫做复数z 的________与________．知识点二 复数的分类思考1 复数z ＝a ＋b i 在什么情况下表示实数？思考2 实数集R 和复数集C 有怎样的关系？1．复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0， b ≠0当a ＝0时为纯虚数2．集合表示：知识点三 复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，规定a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是________________．类型一 复数的基本概念例1 下列命题中，正确命题的个数是________． ①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根．反思与感悟 (1)正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的真假性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的真假性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)复数的实部与虚部的确定方法首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部． 跟踪训练1 若复数z ＝3＋b i>0(b ∈R )，则b 的值是________． 类型二 复数的分类例2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 把例2中的“z ”换成“z ＝lg m ＋(m －1)i”，分别求相应问题．类型三复数相等例3 已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1,3}，若M∩P＝{3}，求实数m的值．反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．1．在2＋7，27i,0,8＋5i ，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为________．2．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是____________． 3．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝__________. 4．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R )是纯虚数，则x ＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是________．5．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．答案精析问题导学 知识点一 思考1 没有．思考2 有解，但不在实数范围内． 1．虚数单位 －1 复数集 2．代数形式 实部 虚部 知识点二 思考1 b ＝0. 思考2 R C . 1．实数 虚数 知识点三a ＝c 且b ＝d题型探究 例1 0解析 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题． ③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0也成立，所以③是假命题．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④是假命题． ⑤－1的平方根为±i，所以⑤是假命题． 跟踪训练1 0解析 只有实数才可比较大小，既然有z ＝3＋b i>0，则说明z ＝3＋b i 是实数，故b ＝0. 例2 解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2.跟踪训练2 解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数．(2)当m －1≠0且m >0时，即m >0且m ≠1时，复数z 是虚数．(3)当lg m ＝0且m －1≠0时，此时无解，即无论实数m 取何值均不能表示纯虚数． 例3 解 由题设知3∈M ， ∴(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3. 根据复数相等的定义，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4或m ＝－1，m ＝6或m ＝－1，∴m ＝－1.跟踪训练3 解 ∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3. 达标检测 1．2解析 27i ，(1－3)i 是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i 是虚数．2．2－2i解析 2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2， ∴所求的复数z ＝2－2i. 3．2＋i解析 由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，即1＋x i ＝y ＋2i ，根据两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴x ＋y i ＝2＋i.4．③解析 当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错．5．解 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，即a ≠±1且a ≠6.∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6且a ≠±1.∴不存在实数a 使z 为纯虚数．。
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第3章数系的扩充与复数的引入
章末总结
知识点一复数的基本概念
复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答．
例1设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；
(2)z是实数；(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．
知识点二复数的四则运算
1．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.
2．在高考中，本章考查的热点是复数的运算，尤其是复数的乘除运算，其中渗透着复数的模，共轭复数等概念，熟练掌握运算法则，熟悉常见的结果是迅速求解的关键，一般以填空题的形式考查．
例2已知z
1＋i
＝2＋i，则复数z＝__________.
例3已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，求复数z.
知识点三 复数问题实数化
复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，依据是复数相等的充要条件．
例4 设存在复数z 同时满足下列条件：
(1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限；
(2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )．求a 的取值范围．
知识点四 复数的几何意义
1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的运算的几何意义．复数的几何意义体现了用几何图形的方法研究代数问题的数学思想方法．
2．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z 与Z 1之间的距离．
例5 在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA
→对应的复数为( )
A ．1－2i
B ．－1＋2i
C ．3＋4i
D ．－3－4i
例6 已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应
的点的轨迹是什么？
章末总结
答案
重点解读
例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m －＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得m ＝3. ∴当m ＝3时，z 是纯虚数．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，
得m ＝－1或m ＝－2. ∴当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －，m 2－2m －2>0，
m 2＋3m ＋2>0，
得－1<m <1－3或1＋3<m <3.
∴当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，复数z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限． 例2 1－3i
解析 ∵z
1＋i
＝2＋i ， ∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，
∴z ＝1－3i.
例3 解 设z ＝b i (b ∈R ，b ≠0)，
则(z ＋2)2－8i ＝(2＋b i)2－8i ＝(4－b 2)＋(4b －8)i ，
∵(z ＋2)2－8i 为纯虚数，∴4－b 2＝0且4b －8≠0.
∴b ＝－2.∴z ＝－2i.
例4 解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i.
由(1)知，x <0，y >0，
又z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )，
故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ，
即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 消去x ，整理，得4(y －1)2＝36－a 2，
∵4(y －1)2≥0，∴36－a 2≥0，∴－6≤a ≤6.
又2x ＝a ，而x <0，∴a <0，∴－6≤a <0.
所以a 的取值范围为[－6,0)．
例5 D [∵AB →对应复数2＋i ，BC →对应复数1＋3i ，
∴AC →对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i ，
∴CA →对应的复数是－3－4i.]
例6 解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，
－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，
∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．
设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－a 2－2a ＋
消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)．
∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，
方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．。