2-第6章统计量及其抽样分布练习题
统计学第6章统计量及其抽样分布
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16
2. T统计量
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～ (μ,σ2 )
n
的一个样本，
X
1 n
n i 1
Xi
(Xi X )2 s 2 i1
n 1
则 T(X) ~t(n1)
S/ n
称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。
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F分布
定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服 从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：
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8
中心极限定理
设从均值为，方差为2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时， 样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、 方差为σ2/n的正态分布。
当样本容量足够大时
(n≥30)，样本均值的抽样
分布逐渐趋于正态分布
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9
标准误差
标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异
1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本 均值的离散程度
因此，估计这100名患者治愈成功的比 例在85%至95%的概率为90.5%
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22
6.5 两个样本平均值之差的分布
设
X
1
是独立地抽自总体
X1 ~N(1,12)
的一个容量
为n1的样本的均值。 X 2 是独立地抽自总体
X2 ~N(2,22)的一个容量为n2的样本的均值，则有
E (X 1X 2)E (X 1) E (X 2)12
2. 样本均值的标准误差小于总体标准差
3. 计算公式为
x
n
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10
【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总 体中随机抽取容量为n=49的样本。要求：
第6章-统计量及其抽样分布
对应于每个数值的相对出现频数排成另一列， 由此，全部可能的样本统计量值形成了一个概 率分布，这个分布就是我们想要得到的抽样分 布。
样本均值的抽样分布 与中心极限定理
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
样本均值的抽样分布
所有样本均值的均值和1.0 1.5 4.0 16
2.5 m
n
(xi mx )2
s
2 x
i 1
M
M为样本数目
(1.0 2.5)2
(4.0 2.5)2
s2
0.625
16
n
1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n
从检查一部分得知全体。
复习 抽样方法
抽样方式
概率抽样
非概率抽样
简单随机抽样 整群抽样
多阶段抽样
分层抽样 系统抽样
方便抽样 自愿样本 配额抽样
判断抽样 滚雪球抽样
6.2.1 抽样分布 (sampling distribution)
1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布
2. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推 断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
抽样分布的形成过程 (sampling
distribution)
应用统计练习与作业2010(外)
听懂课了吗？ A. 全部明白 建议：
B. 明白大部分
C. 明白小部分
D. 都不明白
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第 8 章 假设检验
8.1 某电池厂生产的某号电池，历史资料表明平均发光时间为 1000 小时，标准差为 80 小时。在最近生产的产品中抽取 100 个电池，测得平均发光时间为 990 小时。若给定显 著性水平为 0.025，问新生产的电池发光时间是否有明显的降低？
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4.4 一种产品需要人工组装，现有两种可供选择的组装方法。为检验哪种方法更好，随 机抽取 6 名工人，让他们分别用两种方法组装，测试在相同的时间内组装的产品数量。 得到第一种组装方式组装的产品平均数量是 127 件，标准差为 5 件。第二种组装方式组 装的产品数量（单位：件）如下： 129， 130，131，127，128，129。要求：
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4.8 Metropolitan Research 有限公司是一家消费者研究组织，它设计调查，对消费者所使 用的大量的产品和服务进行评估。在某一项研究中，Metropolitan 调查消费者对底特律某 一个主要制造商所生产的汽车的性能的满意程度。分发给该制造商所生产的一种最大型 号小汽车用户的调查表表明，许多人抱怨该车刚开始传动系统不佳。为了更好地了解传 动系统的问题，Metropolitan 采用由底特律地区一个修理企业所提供的实际传动系统的维 修记录为样本。下表数据是 50 辆汽车传动系统出现故障时所行驶的实际里程的数据：
大学 概率复习题
第一章 概率论的基本概念 1. 若事件B A ,满足21)|(,31)|(,41)(===B A P A B P A P ，则)(B A P = .2. 若事件B A ,满足7.0)(,4.0)(==B A P A P ，且5.0)|(=B A P ，则)|(A B P = .3. 设有两个相互独立事件A 与B 发生的概率分别为1p 和2p ，则两个事件恰好有一个发生的概率为4．()0.3P A =，()0.5P B =，若A 与B 相互独立，则()P AB = _.5．设B A ,为两个互不相容的事件，且()()0,0>>B P A P ，则 正确． A . ()1=AB P ； B . ()0=B A P ； C . B A =； D . Φ=-B A ．6. 设有10件产品，其中有3件次品，从中任取3件，则3件中有次品的概率为( ) A.1201 B.247 C.2417 D.40217、盒中放有红、白两种球各若干个，从中任取3个球，设事件A=“3个中至少有1个白球”，事件B=“3个中恰好有一个白球”，则事件B -A =A ．“至少2个白球”B ．“恰好2个白球”C ．“至少3个白球”D ．“无白球”8. A ，B 为两个事件，若B A ⊂，则下列关系式正确的是 ． A . )()(B P A P >； B . ()()P A P B ≤； C . 1)()(=+B P A P ； D . ()()P B P A >.9. 设甲袋中装有n只白球，m只红球，乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任取一个球放入乙袋中，再从乙袋中任意取出一只球．求：（1）从乙袋中取到白球的概率是多少？（2）若从乙袋中取到的是白球，则先前从甲袋中取到白球的概率是多少？10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”．由于通讯系统受到干扰，当发出信号“0”时，收报台未必收到信号“0”，而是以概率0.8和0.2收到信号“0”和“1”；同样，当发出信号“1”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“1”和“0”．求：（1）收报台收到“0”的概率；（2）当收报台收到信号“0”的时候，发报台确是发出信号“0”的概率．11. 某射击小组有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人。
贾俊平《统计学》课后习题及详解(统计量及其抽样分布)【圣才出品】
第6章 统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？ 答：（1）设是从总体中抽取的容量为的一个样本，如果由此样本构造一个函数，不依赖于任何未知参数，则称函数是一个统计量。
（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。
为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。
（3）统计量是样本的一个函数。
由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。
2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？12n X X X ，，…，X n 12()n T X X X ，，…，12()n T X X X ，，…，1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故、是统计量，、不是统计量。
3．什么是次序统计量？答：设是从总体中抽取的一个样本，称为第个次序统计量，它是样本满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值…，时，其由小到大的排序中，第个值就作为次序统计量的观测值，而称为次序统计量，其中和分别为最小和最大次序统计量。
4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。
统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。
5．什么是自由度？答：统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的变量的个数。
数理统计教程课后重要答案习题
第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N(),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20.(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以 统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322adx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα， 得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。
习题解答 - 第六章 数理统计基本概念
么值时， η 服从 χ 分布？并给出自由度。
2
解答：因 ξ1 ,L , ξ 4 是 N (0, 2 ) 的一个样本，所以 a (ξ1 − 2ξ 2 ) 与 b (3ξ3 − 4ξ 4 ) 相互独立，
2
且由例 3.16 可知它们分别服从 N (0, 20a ) 、 N (0,100b) ，要使 η 服从 χ 分布，只要
_ _
σ2
n
, E (S 2 ) = σ 2 。 （1）因
ξ
B(k , p) ， 则 E (ξ ) = μ = kp, D (ξ ) =
_
_
_
σ2
n
_
=
kp(1 − p ) ， E ( S 2 ) = σ 2 = kp(1 − p ) ； n =
（2）因 ξ
π (λ ) ，则 E (ξ ) = μ = λ , D(ξ ) =
i =1
10
N (0, 0.32 ) ，所以 ξ 0.3
N (0,1) ，即从中抽取的容量为 10 的样本，去
10 10
我们有
∑ (ξ 0.3)2
i =1
10
χ 2 (10) ，所以 0.05 = P{∑ ξ 2 > λ} = P{∑ (ξ / 0.3) 2 >
i =1 i =1
λ
0.09
}
查表可知
_ 1 1 11 [∑ ni ⋅ xi2 − n( x) 2 ] = (8 ⋅ 02 + 5 ⋅12 + 7 ⋅ 32 + 3 ⋅ 42 + 2 ⋅ 62 − 25 ⋅ 22 ) = ， 3 24 n −1 _ 1 n − 1 2 24 11 b2 = [∑ ni ⋅ xi2 − n( x) 2 ] = s = ⋅ = 3.52 n n 25 3
贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第6章 统计量及其抽样分布【圣才出品】
第6章 统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？答：（1）设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的容量为n 的一个样本，如果由此样本构造一个函数12()n T X X X ，，…，，不依赖于任何未知参数，则称函数12()n T X X X ，，…，是一个统计量。
（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。
为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。
（3）统计量是样本的一个函数。
由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。
2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故1T 、2T 是统计量，3T 、4T 不是统计量。
3．什么是次序统计量？答：设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的一个样本，()i X 称为第i 个次序统计量，它是样本12()n X X X ，，…，满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值12X X ，，…，n X 时，其由小到大的排序(1)(2)()()i n X X X X ≤≤≤≤≤……中，第i 个值()i X 就作为次序统计量()i X 的观测值，而(1)(2)()n X X X ，，…，称为次序统计量，其中(1)X 和()n X 分别为最小和最大次序统计量。
4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。
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第六章 统计量及其抽样分布
练习题
一、填空题（共10题，每题2分，共计20分）
1．简单随机抽样样本均值X 的方差取决于_________和_________，要使X 的标准差降低到原来的50％，则样本容量需要扩大到原来的_________倍。
2. 设1217,,,X X X L 是总体(,4)N μ的样本，
2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________。
3．若(5)X t :，则2X 服从_______分布。
4．已知0.95(10,5) 4.74F =，则0.05(5,10)F 等于___________。
5．中心极限定理是说：如果总体存在有限的方差，那么，随着_________的增加，不论这个总体变量的分布如何，抽样平均数的分布趋近于_____________。
6. 总体分布已知时，样本均值的分布为_________抽样分布；总体分布未知，大样本情况下，样本均值的分布为_________抽样分布。
7. 简单随机样本的性质满足_________和_________。
8.若(2,4)X N :，查分布表，计算概率(X 3)P ≥=_________。
若(X )0.9115P a ≤=，计算a =_________。
9. 若12~(0,2),~(0,2),X N X N 1X 与2X 独立，则2212X X +（）/2服从______分布。
10. 若~(16,4)X N ，则5X 服从___________分布。
二、选择题（共10题，每题1分，共计10分）
1．中心极限定理可保证在大量观察下 ( )
A ． 样本平均数趋近于总体平均数的趋势
B ． 样本方差趋近于总体方差的趋势
C ． 样本平均数分布趋近于正态分布的趋势
D. 样本比例趋近于总体比例的趋势
2．设随机变量()(1)X t n n >:，则21/Y X =服从 ( ) 。
A. 正态分布
B.卡方分布
C. t 分布
D. F 分布
3．某品牌袋装糖果重量的标准是（500±5）克。
为了检验该产品的重量是否符合标准，现从某日生产的这种糖果中随机抽查10袋，测得平均每袋重量为498克。
下列说法中错误的是（ ）
A. 样本容量为10 B .抽样误差为2
C. 样本平均每袋重量是统计量
D. 498是估计值
4．设总体均值为100，总体方差为25，在大样本情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都是服从或近似服从( )
A. (100/,25)N n
B. N
C. (100,25/)N n
D. (100,N
5、设2(0,1),(5),X N Y χ::且X 与Y 独立，则随机变量_________服从自由度为5的t 分布。
（ ）
A. /X Y
B. 5/Y X
C. /X /6. 已有样本12,,n X X X L ，以下样本函数中，不是统计量的是（ ） A. (10)/X σ- B. 12min(,,)n X X X L
C. 110n X --
D. 11T X =
7. 下列不是次序统计量或其函数的是 （ ）
A. 中位数
B.均值
C. 四分位数
D. 极差
8． 在一个饭店门口等待出租车的时间分布左偏，均值为12分钟，标准差为3分钟。
若从饭店门口随机抽取100名顾客并记录他们等待出租车的时间，则该样本均值的分布服从（ ）
A ． 正态分布，均值为12分钟，标准差为分钟
B ． 正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟
C ． 左偏分布，均值为12分钟，标准差为分钟
D. 左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟
9. 设总体比例为， 从该总体中抽取容量为100的样本，则样本比例的标准差为（ ）
A. B.
C. D.
10. 大样本的样本比例的抽样分布服从（ ）
A. F 分布 分布 C. 正态分布 D. 卡方分布
三、判断题（共10题，每题1分，共计10分）
1．所有可能样本平均数的方差等于总体方差。
（ ）
2、从全部总体单位中按照随机原则抽取部分单位组成样本，只可能组成一个样本。
（ ）
3、设2~(0,)X N σ，则对任何实数,a b 均有：22~(,)aX b N a b a σ++。
（
） 4、样本方差就是样本的二阶中心距。
（ ）
5、设随机变量X 与Y 满足X N(0,1), Y 2()n χ, 则//X Y n 服从自由度
为n 的t 分布。
（ ）
6．2212(), ,, , ?()X N Y N σμσμ～～，则2212(0, , ) X Y N σσ-+～（ ） 7. 充分统计量包含了样本中关于未知参数的所有信息。
（ ）
8. 当样本12,,n X X X L 来自正态分布2(),N μσ，则X 是μ的充分统计量。
（ ）
9. 通过反复从总体中抽样，可用随机模拟法获取统计量的渐近分布。
（ ）
10. 卡方分布的极限分布为正态分布。
（ ）
四、解答题（共6题，每题10分，共计60分）
1．从正态总体2(52,6.3)N 中随机抽取容量为36的样本，要求：
（1）求样本均值x 的分布；
（2）求x 落在区间（,）内的概率；
（3）若要以99%的概率保证|52|2x -<，试问样本量至少应取多少
2．甲、乙两家水泥厂生产水泥，甲厂平均每小时生产100袋水泥，且服从正态分布，标准差为25袋；乙厂平均每小时生产110袋水泥，也服从正态分布，标准
差为30袋。
现从甲、乙两厂各随机抽取5小时计算单位时间的产量，出现乙厂比甲厂单位时间产量少的概率为多少
3. 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量得其服从标准差 1.5σ=盎司的正态分布。
随机抽取这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，计算样本均值偏离总体均值不超过盎司的概率。
4.从下列总体分布中各抽取容量为n 的简单随机样本，分别求样本均值x 的渐进分布。
（1）二点分布(1,)b p ；（2）泊松分布()P λ；（3）均匀分布(,)U a b ；（4）二项分布(,)b n p 。
5. 设从两个方差相等且互相独立的正态总体中分别抽取容量为10与20的样本，
若其样本方差分别为21s 和22s ，求2212
(/2)P s s >。
6. 126,,Z Z Z L 表示从标准正态总体中随机抽取的容量为6的样本，求常数b ，使得621(b)0.95i i P Z =≤=∑。