一次函数与一元一次方程、一元一次不等式(师院附中祁慧渊)

已知一次函数 y ax b(a、b是常数 , a 0) , x与y的部分对应 值如下表： x －2 －1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 －2 －4
x 1 那么方程 ax b 0 的解是_______, 不等式 ax b 0 的解 x 1 集是________。
收获： 解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为零时，求相应 的自变量的值. 解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大于(或小于) 零时, 求自变量相应的取值范围.
2.一次函数与二元一次方程组
已知函数y=• x+• • y=• x• 图象，则方程组 a b和 k 的
y ax b y kx 的解为_______．
y ax b
收获: 每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两 条直线,从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为 何值时两个函数值相等，以及这个值是多少；从“形”的 角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的横、纵坐标.
4 1. 在平面直角坐标系中，直线 l : y 3 x 4 分别交x轴、
y轴于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后 得到△A′OB′ （1）求直线A′B′的解析式； （2）若直线A′B′与直线 相交于点C，求△A′BC的面积。 l
可知：A（3，0），B（0，4） AOB 绕点O顺时针旋转90°,而得到AOB ,故 AOB A OB A(0,3), B(4,0) 设直线的解析式为y kx b(k 0, k , b 为常数 3 b的解析式为 y x3 解之得： 4k b 0 4
（2）由题意得： y 3 x 3
4 l : y x 4 分别交x轴，y轴于点A、B， 解：（1）由直线 3
b 3
4 y 4 x4 3
84 x 解之得： 25 y 12 25
C (
84 12 , ) 25 25
又 A B 7
S ACB
1 84 294 7 2 25 25
2．甲车从A地出发以60km/h的速度沿公路匀速行驶，0.5 小时后，乙车也从A地出发，以80km/h的速度沿该公路与 甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车。
请建立一次函数关系解决上述问题。 解：设乙车出发后x小时后，甲、乙两车离A地的路程分别 是y1 km 、 y2km 根据题意，得y1=60(x+0.5)=60x+30 , y2=80x . 当乙车追上甲车时，y1=y2, 60x+30=80x.
解：(1)设按优惠方法①购买需要y1元,按优惠方法 ②购买需要y2元 y1=(x-4)×5+20×4=5x+60; y2=(5x+20×4) ×0.9=4.5x+72.
(2)设y1=y2, ∴x =24时,选择优惠方法①,②均可;
设y1＞y2,即5x+60 ＞4.5x+72
∴x ＞24.当取x ＞24的整数时,选择优惠方法②;
（1）设表示轮船行驶过程的函数解析式y=kx， 当x=8时，y=160， ∴8k=160，k=20，即y=20x， 快艇行驶过程的函数关系式为y=40x-80． （2）由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇 在4小时内行驶了160千米，轮船速度为20千米/时，快艇 速度为40千米/时． （3）快艇出发2小时赶上轮船．
解这个方程,得x=1.5.
答：乙车出发后1.5小时追上甲车.
中考考点三：一次函数与方程、不等式综合应用
1. 某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1 个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律 按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价 5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支 （不少于4支）． （1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与 所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式； （2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠 方法购买比较便宜.
中考考点一:一次函数与一元一次不等式(组)
如图，已知函数 y1=2x+b 和 y2=ax-3 的图像交于 点 P(2， 5) ，则根据图像可得不等式 2 x b ax 3 的解集是 x 2 ．
y
y1 2 x b
y2 ax 3
x
2
-2 O 2 -2 P
中考考点二:一次函数与方程（组）
当取4≤x＜24的整数时,选择优惠方法①.
2. 今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多少不遇 旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农 机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机 共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机4台、3台、 2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩.现要求所有柴油 发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩. (1)设甲种柴油发电机数量为x台，乙种柴油发电机数量为y台. ①用含x、y的式子表示丙种柴油发电机的数量； ②求出y与x的函数关系式； (2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、 120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按 要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W最少？
4.如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销 售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象．下列 说法:①售2件时甲、乙两家售价一样;②买1件时 买乙家的合算;③买3件时买甲家的合算;④买乙家 的1件售价约为3元，其中正确的说法是（ D ） A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③
5 • .如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到 乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函 数图象和一次函数图象），• 据图象解答下列问题： 根 （1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式 （不要求写出自变量的取值范围）； （2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速 度分别是多少？ （3）问快艇出发多长时间赶上轮船？
结合近年中考试题分析，一次函数与方 程（组）、不等式内容考查主要有以下特点：
1. 命题方式为用函数观点解决方程（组）、 不等式问题；运用方程思想、不等式来解决 函数相关问题的考查，题型以填空、选择、 解答题为主.
2. 命题热点为一次函数与方程(组)、不等式 知识相融合的综合题目的考察.
1. 一次函数与方程、不等式
解：(1)①丙种柴油发电机的数量为10-x-y ② ∵4x+3y+2(10-x-y)=32 ∴y=12-2x (2)丙种柴油发电机为10-x-y=(x-2)台 W=130x+120(12-2x)+100(x-2) x 1 =-10x+1240
12 2 x 1 得：3≤x≤5.5 x 2 1 ∵x为正整数 ∴x=3,4,5 ∵W随x的增大而减少 ∴当x=5时 ，W最少为-10×5+1240=1190（元）
你让工人为你工作7天，给工人的 回报是一根金条.金条平分成相连的7段， 你必须在每天结束时给他们一段金条， 如果只允许你两次把金条弄断，你如何 给你的工人付费？
太原师院附中
祁慧渊
一次函数与方程、不等式的关系
中考考情调研 基础自主回顾 中考考点解析 反思归纳总结 知能达标训练
课标要求:
1. 能:运用一次函数知识解决方程(组)、 不等式的有关问题. 2. 会:分析一次函数与方程(组)、不等式 之间的联系、并建立适当数学模型解决实 际问题.
依题意解不等式组
泛 游 学 海 竞 逐 群 雄 一 朝 金 榜 题 名
前程似锦 勇 攀 书 山 甘 洒 汗 水 放 飞 心 中 梦 想
祝同学们中 考取得优异 成绩！
1．若不等式kx+b>0的解集为x>-2，则直线y=kx+b与x轴的 (-2,0) 交点为_____. 2．若直线y=x-2与直线y=-x+a相交于x轴，则直线y=-x+a不 第三象限 经过的象限是_____． 3．如图，直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2交 >-2 于点（-2，2），则当x____时，y1<y2