矢量的合成与分解
《大学物理》矢量运算
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。 表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
表示：粗体字母A 或 A ，其大小用 A 或 A 表示 。
A A A0
（3） A B Ax B x A y B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为 W F s Fcos s
3．矢量的叉乘
矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称为矢积（叉积）
大小: C ABsin
C A B
垂直于A 、 B 组成的平面， 方向: 指向用右手螺旋法则确定。
位移、速度等 的合成
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示？ 2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
4. 矢量叉乘的右手螺旋法则如何操作？
5. 已知： a与b 夹角为45 ， a 6, b 2 2 , 求 a 2b a 3b
2 2 Ax Ay Az2
Az
z
k
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
4．矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
y 已知 A、B，（如图）求 A B 、B 用平行四边形法则合成 C 解：先将 A A C A B 然后将 A、B 正交分解，其解析式为 O A Ax i Ay j B Bx i B y j
矢量知识
r i r j r k
矢量的有向线段表示方法： 矢量的有向线段表示方法： 作图时，用有方向的线段表示矢量。 作图时，用有方向的线段表示矢量。 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的方向表示矢量的方向。 线段的方向表示矢量的方向。
r A r B
矢量的一个重要性质－ 矢量的一个重要性质－矢量平移的不变性 把矢量在空间平移， 把矢量在空间平移，矢量的大小和方向 都不会因平移而改变。 都不会因平移而改变。
r r r B C 的方向垂直于A、 两矢量所决定的平
面，其指向由右手螺旋法则确定。 其指向由右手螺旋法则确定。
矢 量 矢 积 图 示 法
r C r C
r B
r C
θ
r A
v Ax、Ay、Az 表示矢量 A在直角坐标系三
个坐标轴的投影(坐标分量 ，可正可负。 个坐标轴的投影 坐标分量)，可正可负。 坐标分量 矢量大小与三个坐标分量的关系： 矢量大小与三个坐标分量的关系：
A= A + A + A
2 x 2 y
2 z
பைடு நூலகம்
r A方向由该矢量与三个坐标轴的夹角
(方向角 确定 方向角)确定 方向角
Cx = Ax + Bx
2 2 2 Cy = Ay + By C = Cx +Cy +Cz Cz = A + Bz z
r C
方向由三个方向角确定
( ) ( ) r r cosγ = cos( C • k) = C
r r cosα = cos C • i = Cx C r r cosβ = cos C • j = Cy C
z
C
矢量的合成与分解
矢量的合成与分解 Revised by Liu Jing on January 12, 2021第一部分：矢量的合成与分解Ⅰ、矢量定义：既有大小又有方向的物理量。
特点：矢量的合成与分解遵循平行四边形定则。
矢量的图示：带箭头的有向线段。
AⅡ、矢量的合成① 同方向矢量的合成：直接相加得到合矢量。
②③正弦定理：21sin sin sin A A Aαβθ== 余弦定理：A =知识点解析与应用（1）1、 简述三角函数.2、 一物体受到x 方向20N 的力和y 方向-30N 的力，求受到的合力.3、（2009海南）两个大小分别为F 1和F 2（F 2<F 1）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F 满足（ ） A. 21F F F ≤≤ B.121222F F F F F -+≤≤ C. 1212F F F F F -≤≤+ D. 222221212F F F F F -≤≤+4、（2010天津河西质查）某物体在三个共点力F 1、F 2、F 3的作用下处于平衡状态，则下面的各图中正确的反映了这三个力的关系是（ ）A B CD5、已知三个共点力的合力为零，则这三个力的大小可能为（ ）A. 15N, 5N, 6NB. 3N, 6N, 4NC. 1N, 2N, 10ND. 1N, 6N, 3N6、如图所示，有五个力作用于同一点O邻边和三条对角线.已知110F N =F FFF FF 1F 3 F 2F 1F 3F 2F 1合力大小为 N.7、物体受到两个相反的力的作用，F 1=8N ，F 2=10N ，当F 2由10N 逐渐减小到零的过程中，这两个力的合力的大小变化是（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 Ⅲ、矢量的减法① 利用“平行四边形定则”或“三角形法则”把一个已知矢量A 分解为两个分量：②轴12、100N 的力与x 轴成α角，其y 方向的分量为60N ，求力的x 方向的分量及其方位角α.3、分解一个力，若已知它的一个分力的大小和另一个分力的方向，且合力、分力不共线，则以下正确的是（ ）A. 只有唯一一组解B. 一定有两组解C. 可能有无数组解D. 可能有两组解 4、（2010北京西城区）F 1、F 2是力F 的两个分力，若F=10N ，则下列哪组力不可能是F 的两个分力（ ）A. F 1=10N, F 2=10NB. F 1=20N, F 2=20NC. F 1=2N, F 2=6ND. F 1=20N, F 2=30N5、（2009海口模拟）关于合力与它的两个分力的关系，下列说法中正确的是（ ）A. 合力和它的两个分力同时作用于物体上B. 合力的大小一定等于两个分力大小的代数和C. 合力一定大于它的任一个分力D. 合力的大小可能等于某一个分力的大小6、求下列作用于同一点的力的合力：30N ，东北方向；70N ，正南；50N ，西偏北30︒.第二部分：物理原理与运动规律Ⅰ、牛顿第一定律：=0），总保持静止状态任何物体在不受任何外力作用的时候（F合或匀速直线运动状态（a=0）.知识点解析与应用（1）（1）如何对物体进行受力分析？解析：分析顺序——重力，弹力，摩擦力（一重二弹三摩擦），再其他的力.①重力一定有，先画好.②弹力就是我们平时说的拉力、压力、支持力，但是一般要分析的是压力和支持力.有没有压力和支持力，先看有没有接触的地方.有接触的地方才去分析是否有其他物体压着它，或者支持着它. 注意，物体受到压力的时候是因为别的物体压着它，不是它压别的物体.③摩擦力，还是看接触的地方，如果有弹力，才可能有摩擦力.有没有摩擦力还要看接触面是否粗糙，有没有发生相对滑动或者有相对滑动的趋势.④然后才分析题目是否有提到其他力.1、画出图中球、杆、木块所受的弹力方向.（设各接触面光滑）2、在甲、乙两图中，A、B之间一定有弹力的是图.甲乙。
矢量的合成与分解的讨论
为多大？
【解析】以 m 为研究对象，其受力如图所示，将系统加速度分解到垂直斜面、
竖直方向，由牛顿第二定律，有
mg may
解得
ay g
则有
a
ay
tan
g
tan
，
ax
ay
/ cos
g cos
则由牛顿第二定律，有
对 m：
FN
max
mg cos
对整体： F (M m)a (M m)g tan
FN
B.两线上的拉力大小 F1＝F2＝1.9 N C.将 B 水平右移，使 M、A、B 在同一直线上，此时两线上的拉力大小 F1＝1.225 N，F2＝1.0 N D.将 B 移到无穷远处，两线上的拉力大小 F1＝F2＝0.866 N
【解析】可将重力分解到 MA、NA 方向，然后在 MA、NA 方向应用平衡条件，则很容易就确定出各 种情况下 F1、F2 的数值了。
d
，若
v
船＜v
水，则以
v
水的末
端为圆心、v 船为半径作圆弧，可知合速度 v 的末端在圆弧上移动，当 v 船⊥v 时，θ取最大值，此时有
sin
v船 v水
，则渡河航程最短为 l
d sin
v水 v船
d
。
【例 5】如图所示，在倾角为θ的固定粗糙斜面上，一个质量为 m 的物体在拉
力 F 的作用下沿斜面向上做匀加速直线运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，为使物体加速度大小
利用三角形定则合成，得到矢量合成的多边形定则。
F4
F
2
F
F合
F3 F合
F2
F2
F
F1
F1
【例 4】小船1 渡河合速度——渡河航程问题
物理中常见的矢量和标量
物理中常见的矢量和标量1.引言1.1 概述矢量和标量是物理学中常见的概念。
在物理学中，我们经常需要描述和测量物体的某些特性或属性，而这些特性或属性可以被分为两类：矢量和标量。
矢量是有大小和方向的量。
它们可以用箭头表示，箭头的长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。
例如，速度、力、位移和加速度等都是矢量量，它们除了有大小之外还有方向。
与此相反，标量是只有大小而没有方向的量。
标量只有数值大小，没有箭头来表示方向。
例如，时间、质量、温度和能量等都是标量量，它们只有一个数值大小而没有具体的方向。
矢量和标量在物理学中有着广泛的应用。
在运动学中，我们可以使用矢量来描述物体的运动状态，例如速度矢量可以告诉我们物体的速度和方向。
在力学中，矢量可以用来描述物体所受的力和力的作用方向。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量来描述。
总结起来，物理学中常见的矢量和标量分别指的是有大小和方向的量以及只有大小而没有方向的量。
它们在描述和测量物理现象中起着关键的作用。
在接下来的文章中，我们将详细讨论矢量和标量的定义、特点以及它们在物理学中的应用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍物理中常见的矢量和标量：第二部分将详细介绍矢量的定义和特点。
我们将从矢量的基本概念开始，解释什么是矢量以及它们的特点。
我们将探讨矢量的大小和方向，以及如何表示和运算矢量。
接着，第二部分将转向标量的定义和特点。
我们将解释什么是标量以及它们与矢量的区别。
我们将讨论标量的大小但没有方向的特点，并介绍一些常见的标量物理量。
第三部分将探讨矢量和标量在物理中的应用。
我们将以实际的例子来说明矢量和标量在物理学中的重要性和用途。
我们将讨论矢量和标量在运动学、力学和其他物理学领域中的应用，并解释它们如何帮助我们理解和描述物理现象。
最后，我们将在第三部分总结本文的主要内容和观点。
我们将强调矢量和标量在物理学中的作用，以及它们在解决物理问题时的重要性。
力的合成与分解力的矢量性质
力的合成与分解力的矢量性质力的合成与分解是物理学中的重要概念，它与力的矢量性质密切相关。
在这篇文章中，我们将探讨力的合成与分解的基本原理以及力的矢量性质的应用。
首先，我们来了解力的合成与分解。
力的合成是指将多个力合并为一个力的过程。
当物体受到两个或多个不同方向的力作用时，它们可以被视为由多个力合成的结果。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在它上面的合力成正比。
因此，力的合成是通过将多个力的矢量相加，来得到它们的合力的矢量。
这可以用几何方法或代数方法来表示和计算。
在几何方法中，我们可以使用力的矢量图形来表示。
假设有两个力，F1和F2，它们作用在物体上，且角度分别为θ1和θ2。
我们可以将它们的矢量表示在一个共同的坐标系中。
将它们的起点放在一个点上，并将它们的长度和方向按照比例绘制出来。
然后，从第一个矢量的尾部绘制一个新的矢量，它从该点延伸到第二个矢量的尾部。
这条连接两个矢量的矢量就是它们的合力。
可以使用三角法或平行四边形法来求得合力的大小和方向。
除了几何方法，我们还可以使用代数方法来计算合力。
假设F1和F2分别是两个力的大小，它们的方向可以用角度θ1和θ2表示。
我们可以将力的矢量分解为水平和垂直分量，然后对它们进行代数求和。
通过使用三角函数，我们可以求得水平和垂直分量的数值，然后将它们相加得到合力的大小和方向。
接下来，让我们来讨论力的分解。
力的分解是将一个力分解为两个或多个部分力的过程。
通过分解一个力，我们可以了解它对物体的不同方向的作用。
这在分析复杂的力系统时非常有用。
力的分解可以采用几何方法或代数方法进行。
在几何分解中，我们可以使用力的矢量图形来表示。
假设我们有一个力F，它的角度是θ。
我们可以将它的矢量表示在一个坐标系中，并绘制一个垂直于该矢量的参考线。
然后，我们可以沿着参考线的方向绘制一个垂直于力F的矢量，它的长度等于力F的投影。
这个垂直矢量被称为力F的分力。
同样，我们可以沿着矢量的方向绘制一个与力F 平行的矢量，它的长度等于力F的投影。
1.第一讲 运动基础 运动基础 运动的合成与分解
这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。
当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：
当运动参照系相对静止参照系作转动时，这一关系不成立。这一问题在牛顿运动定律中再做研究。
如果有一辆平板火车正在行驶，速度为 （脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为 ，那么汽车相对地面的速度为 ：
③瞬时速度等物理量是指某一时刻的，故它们的合成分解要讲究瞬时性，即必须取同一时刻的速度。
已知物体的分运动求合运动称为运动的合成，已知物体的合运动求分运动称为运动的分解，二者是两个互逆的过程，其实质上是个等效替代的过程。因此合运动和分运动还具有等效性。
例1．如图示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D。一根轻绳一端固定在C点，并绕过B和D，且BC段水平。当以恒定水平速度v拉绳上的自由端时，A沿水平面前进。求当跨过B的两端绳子的夹角为a时，A的运动速度。
1．矢量的合成与分解
矢量的合成与分解的基本方法是平行四边形定则，即两分量构成平行四边形的两邻边，合矢量为该平行四边形与两分量共点的对角线。由平行四边形法则又衍生出三角形法则，多个矢量的合成又可推导出多边形法则。
同一直线上的矢量的合成与分解可以简化为代数运算，由此，不在同一直线上的矢量的合成与分解一般通过正交分解法进行运算，即把各个矢量向互相垂直的坐标轴投影，先在各轴上进行代数运算之后，再进行矢量运算。
例1．在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B。当两球球心间的距离大于L时，A球以速度 做匀速运动，B静止。当两球球心间的距离的等于或小于L时，A球做加速度大小为2a的匀减速运动，同时B开始向右做初速度为零的匀加速运动，加速度为a，如图所示。欲使两球不发生接触，则必须满足什么条件？
矢量的合成法则
矢量的合成法则矢量是物理学中一个非常重要的概念，它可以用来描述物体的运动状态和力的作用方向。
在物理学中，矢量的合成法则是指两个或多个矢量相加或相减的规则。
通过矢量的合成法则，我们可以计算出合成矢量的大小和方向，从而更好地理解物体的运动和力的作用。
矢量的合成法则最基本的形式是几何法则，它可以用来计算两个矢量的合成。
假设有两个矢量a和b，它们的大小分别为|a|和|b|，方向分别为θ1和θ2。
那么它们的合成矢量可以用以下公式来表示：c = a + b。
其中c是合成矢量的大小，θ3是合成矢量的方向。
根据三角函数的性质，我们可以得到以下公式来计算合成矢量的大小和方向：c = √(a^2 + b^2 + 2abcos(θ2-θ1))。
θ3 = arctan((bsin(θ2) + asin(θ1))/(bcos(θ2) +acos(θ1)))。
通过这些公式，我们可以很容易地计算出两个矢量的合成。
这对于理解物体的运动和力的作用是非常重要的，因为在实际的物理问题中，往往会涉及到多个力的作用，而这些力往往是以矢量的形式存在的。
除了几何法则之外，还有另一种常用的矢量合成法则，那就是分解法则。
分解法则是指将一个矢量分解为两个或多个分量矢量，然后再将这些分量矢量相加或相减来得到合成矢量。
这种方法在实际的物理问题中也是非常常用的，因为它可以简化计算过程，使得问题更容易解决。
分解法则的基本思想是将一个矢量分解为与坐标轴平行的分量矢量，然后再将这些分量矢量相加或相减来得到合成矢量。
假设有一个矢量a，它的大小为|a|，方向为θ。
我们可以将这个矢量分解为与x轴和y轴平行的两个分量矢量ax和ay，它们的大小分别为|ax|和|ay|，方向分别为θx和θy。
那么它们的合成矢量可以用以下公式来表示：c = ax + ay。
其中c是合成矢量的大小，θ3是合成矢量的方向。
根据三角函数的性质，我们可以得到以下公式来计算合成矢量的大小和方向：c = √(ax^2 + ay^2)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一部分：矢量的合成与分解
Ⅰ、矢量
定义：既有大小又有方向的物理量。
特点：矢量的合成与分解遵循平行四边形定则。
矢量的图示：带箭头的有向线段。
A
Ⅱ、矢量的合成
①
同方向矢量的合成：直接相加得到合矢量。
② 反方向矢量的合成：相互抵消，剩余的便是合矢量。
③
不在同一直线上矢量的合成：遵循平行四边形定则（或三角形法则）。
在三角形中的计算方法：
正弦定理：21sin sin sin A
A A
αβθ
==
余弦定理：
A =
知识点解析与应用（1）
1、 简述三角函数.
sin θ= cos θ=
tan θ= cot θ=
2、 一物体受到x 方向20N 的力和y 方向-30N 的力，求受到的合力.
3、（2009海南）两个大小分别为F 1和F 2（F 2<F 1）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F 满足（ ）
A. 21F F F ≤≤
B.
121
2
22
F F F F F -+≤≤ C. 1212F F F F F -≤≤+ D. 22222
1212F F F F F -≤≤+
4、（2010天津河西质查）某物体在三个共点力F 1、F 2、F 3的作用下处于平衡状态，则下面的各图中正确的反映了这三个力的关系是（ ）
A B C D
5、已知三个共点力的合力为零，则这三个力的大小可能为（ ） A. 15N, 5N, 6N B. 3N, 6N, 4N C. 1N, 2N, 10N D. 1N, 6N, 3N
6、如图所示，有五个力作用于同一点O ，表示这 五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条
邻边和三条对角线.已知110F N =，则这五个力的 合力大小为 N.
F 3 F 2 F 1 F 3 F 2 F 1
F 3 F 2 F
1 F 3 F
2 F 1
7、物体受到两个相反的力的作用，F1=8N，F2=10N，当F2由10N逐渐减小到零的过程中，这两个力的合力的大小变化是（）
A. 逐渐变小
B. 逐渐变大
C. 先变大后变小
D. 先变小后变大
Ⅲ、矢量的减法
Ⅳ、矢量的分解
①利用“平行四边形定则”或“三角形法则”把一个已知矢量A分解为两个分量：
②
12123cos cos sin sin X Y all F F F F F F F F αβ
αβ=-=+-=
tan Y X
F
F θ=， θ是all F 与x 轴的方位角.
知识点解析与应用（2）
1、求图中矢量F 在x 和y 轴方向的分量.
x F =
y F =
2、100N 的力与x 轴成α角，其y 方向的分量为60N ，求力的x 方向的分量及其方位角α.
3、分解一个力，若已知它的一个分力的大小和另一个分力的方向，且合力、分力不共线，则以下正确的是（）
A. 只有唯一一组解
B. 一定有两组解
C. 可能有无数组解
D. 可能有两组解
4、（2010北京西城区）F1、F2是力F的两个分力，若F=10N，则下列哪组力不可能是F 的两个分力（）
A. F1=10N, F2=10N
B. F1=20N, F2=20N
C. F1=2N, F2=6N
D. F1=20N, F2=30N
5、（2009海口模拟）关于合力与它的两个分力的关系，下列说法中正确的是（）
A. 合力和它的两个分力同时作用于物体上
B. 合力的大小一定等于两个分力大小的代数和
C. 合力一定大于它的任一个分力
D. 合力的大小可能等于某一个分力的大小
6、求下列作用于同一点的力的合力：30N，东北方向；70N，正南；50N，西偏北30 .
第二部分：物理原理与运动规律
Ⅰ、牛顿第一定律：
任何物体在不受任何外力作用的时候（F 合=0），总保持静止状态或匀速直线运动状态（a=0）.
知识点解析与应用（1）
（1）如何对物体进行受力分析？
解析：分析顺序——重力，弹力，摩擦力（一重二弹三摩擦），再其他的力. ① 重力一定有，先画好.
② 弹力就是我们平时说的拉力、压力、支持力，但是一般要分析的是压力和支持力.有
没有压力和支持力，先看有没有接触的地方.有接触的地方才去分析是否有其他物体压着它，或者支持着它. 注意，物体受到压力的时候是因为别的物体压着它，不是它压别的物体.
③ 摩擦力，还是看接触的地方，如果有弹力，才可能有摩擦力.有没有摩擦力还要看接
触面是否粗糙，有没有发生相对滑动或者有相对滑动的趋势. ④ 然后才分析题目是否有提到其他力.
1、画出图中球、杆、木块所受的弹力方向.（设各接触面光滑）
2、在甲、乙两图中，A 、B 之间一定有弹力的是 图.
甲 乙。