微积分讲座---Z4.1 矢量的正交分解
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( 人教A版)空间向量的正交分解及其坐标表示课件 (共31张PPT)
答案：D
探究二 用基底表示向量 [典例 2] 空间四边形 OABC 中，M，N 是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，用向量 a，b，c 表示向量O→M，O→N，M→N. [解析] 如图，取 BC 中点 P，则 A，M，P，O，N，分别共线，连接 AP，OP. O→M＝O→A＋A→M＝a＋23A→P＝a＋23×12(A→B＋A→C) ＝a＋31(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) ＝a＋31b－13a＋31c－31a＝13a＋31b＋13c.
＝ xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量 p 的单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标， 记作 p＝(x，y，z) ．
[双基自测]
1．已知 A(3,2，－3)，则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( )
A．(－3，－2,3)
B．(－3,2，－3)
C．(－3,2,3)
D．(－3，－2，－3)
3．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点， 并且 PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量M→N，D→C的坐标．
解析：如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，且 PA⊥平面 ABCD， AD⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3，以{e1，e2，e3} 为基底建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为D→C＝A→B＝e2，
B.34，34，34 D.23，23，23
解析：如图，由已知O→G＝34O→G1 ＝34(O→A＋A→G1) ＝34[O→A＋13(A→B＋A→C)] ＝34O→A＋14[(O→B－O→A)＋(O→C－O→A)] ＝14O→A＋14O→B＋14O→C， 从而 x＝y＝z＝14. 答案：A
人教A版必修四平面向量的正交分解及坐标表示课件
新课
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
向量的合成与分解演示
向量的正交分解
如图，向量 i , j 是两个互相垂直的单位向量，
向量 a 与 i 的夹角是30°，且 a 4 ，以向量 i , j
为基底，向量 a 如何表示？
B
P
a
j
Oi
A
坐标系中向量的正交分解
y
D
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
y
1．以原点O为起点 y
a
A
作OA a，点A的
位置是唯一确定的 j
吗？由谁确定?
Oi
x
x
由 a 唯一确定.
y
axiyj y
a
A
OAxiyj
j
Oi
x
x
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
两者相同
向量 a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
练习1:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a(1,2)
•
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
(2)b(1,3)
. 解：B(1,2) y 3
2
ba
. A (1, 2 )
o -1
1
x
几何画板演示
练习2:
1.写 出 下 列 向 量 的 坐 标 ：
a i 3 j, b 2i 4 j, c 1 i j.
2
2 . 用 向 量 i、j表 示 下 列 向 量 ： a ( 2 , 1 ),
人教版B版高中数学必修4：向量的正交分解与向量的直角坐标运算_课件1
小结:
1.向量正交分解
即 a = a1 e1 +a2 e2
2.平面向量的坐标表示
向量坐标与表示向量的 有向线段的起点、终点 的坐标之间的关系
3.平面向量的坐 标运算
向量加法与减法 实数与向量的积
那么 e1= (1 , 0) e2= (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
B
a
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O e1
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点的坐标减去始点的坐标．
a - b (a1 b1, a2 b2 )
a
e2
b
O e1
x
两个向量和与差的坐标分别等于 这两向量相应坐标的和与差
2、已知 a (a1, a2 )和实数 ，求 的坐标 a
a (a1, a2 ) (a1, a2 )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘 原来的向量的相应坐标．
三、平面向量的坐标运算
1.已知a (a1, a2 ) ，b (b1,b2 ) ，求a + b，a - b．
解：a+b= (a1e1 a2e2 ) (b1e1 b2e2 )
y
C
(a1 b1)e1 (a2 b2 )e2
即 同理
a + b (a1 b1, a2 b2 )
二 、平面向量的坐标表示
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向
量 e1 、e2 作为基底,则任一向量 a ，
用这组基底可表示为
空间向量的正交分解及坐标表示PPT课件
3x y 1,
所以
x
y
2,
此方程组无解.
2x y 1.
所以 OA , OB , OC 不共面. 所以 OA , OB , OC 可构成空间的一个基底.
第16页/共42页
四、学后反思
1、知识点：
2、问题探究过程的思路剖析： [课下探究] 空间向量基本定理与课本95页“思考“栏目中 的第二问题有什么联系？你有何体会？
记作 p =(x,y,z)
PP k
i Oj
y
空间向量 p
i, j, k 为基底
P′
一一对应
x 有序实数组 (x, y, z)
p xi y j zk
第11页/共42页
练习. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以A为坐标原点，以 AB,AD,AA1为x轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设向量 ， ，为x轴、y轴、z轴正方向的单位向
23
2
1 OA 1 1 (OB OC ) 3 32
第14页/共42页
练习 .空间四边形OABC
中,OA=a,OB=b,OC=c
点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的
M
O中点,则 MN=(
).
(A)
1 2
a
－
2 3
b
+
1 2
c
(B)－
2 3
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
C N
(C)
1 2
a
+
12b －
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
平面向量的正交分解及坐标表示课件ppt文档
三维目标
2．过程与方法 通过学习向量的坐标表示及坐标运算法则的推导，培养学生演绎、归纳、猜想的能 力．通过坐标平面内的点和向量的类比，培养学生类比推理的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神， 增强学生应用知识的意识． (2)通过学习向量坐标及向量共线的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认 识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
新课导入
[导入一] 我们在学习平面直角坐标系时知道，平面内的任何一个点都可用一对实数(x，y)表示．通 过前面的学习我们知道，平面向量可以用有向线段来表示，因此，向量具有鲜明的几何 意义，既然如此，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？这种表示是否具有唯一 性？我们又将如何利用这一表示来进行向量的运算呢？
平面向量的正交分解及坐标表示课件
三维目标
1．知识与技能 (1)借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义，了解直角坐标系中平 面向量代数化的过程(几何表示——线性表示——坐标表示)，会写出直角坐标系内给定 的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量． (2)掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和数乘的坐标运算法则， 并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的终点的坐标减 去始点的坐标． (3)能准确表述向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步 培养学生的运算能力．
备课素材
(3)联系：向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原 点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同． 3．平面向量坐标运算 (1)在进行平面向量坐标运算时，应将平面向量用坐标表示出来，再根据向量的直角 坐标运算法则进行计算． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐 标减去起点坐标得到向量坐标． (3)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
矢量的标积和矢量的正交PPT课件
an1
a12 a22 an2
a1m
a2m
anm
(3.12)
9
2 矩阵的运算
相等 A = B, [aij] = [bij]
(3.13)
加法
A + B =C,
(3.14)
cij = aij + bij
数乘
A = C,
(对3.1易5纪) 律和结合律
cij = aij
A + B = B + A，A =A
f(x) 本征函数，k 本征值。
27
Schroedinger 方程
2 2m
2 ( x2
2 y 2
2 z 2
) (x,
y, z) V(x,
y,
z) (x,
y, z)
E (x,
y,
z)
2 [
2 (
2
2
) V (x, y, z)] (x, y, z) E (x, y, z)
2m x2 y2 z2
28
Schroedinger 方程的算符形式
b21
b22
b2k
c21
c22
c2k
an1
n2
anm
bm1
bm2
bmk
cn1
cn2
cnk
12
例1
1 0 1 A 0 1 0
2 1 B 0 1
1 0
2 1
AB
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
3 0
1 1
2 1
2 1 2
BA 0 1
1 0
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
0＝λ＋μ. 不共面．
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基 底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱 对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关 的判断．
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任 一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c 都叫作 基向量．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的 单位向量组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标 系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有 一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交 基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量 p ＝O→P，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即 存在一个有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这 样的分解称为空间向量的正交分解．
类型 2 用基底表示向量 [典例 2] 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，D 为 BC 的中点．试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
解：因为O→G＝O→A＋A→G，
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A， 又 D 为 BC 中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)， 所以O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A)＝O→A＋23×12 (O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G，
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基 底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱 对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关 的判断．
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任 一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c 都叫作 基向量．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的 单位向量组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标 系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有 一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交 基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量 p ＝O→P，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即 存在一个有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这 样的分解称为空间向量的正交分解．
类型 2 用基底表示向量 [典例 2] 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，D 为 BC 的中点．试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
解：因为O→G＝O→A＋A→G，
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A， 又 D 为 BC 中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)， 所以O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A)＝O→A＋23×12 (O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G，
工程计算巧用矢量正交分解法
从表 1 中两次均值可看出偏差很大，现将其进
行矢量正交分解，利用最佳中心法在 excel 表格中对
其进行公式运算，计算结果如表 2。表 2 的结果虚拟
了在这 8 个测点位置进行了加垫，计算出轴承座端
面本身不平度为 0.08 mm，如在实际加垫时对加垫
值进行适当的增减，紧固后其端面会有微量的弹性
变形，则不平度将会变小。
(Vol. 34. No.6)
Mechanical & Electrical Technique of Hydropower Station
77
ABSTRACTS
Research and practice of hydro turbine main shaft seal YAN Hai-xia, QIU Xue-jun, XIONG Jian-ping
摘 要：将矢量定义引用到工程计算中进行运用，推论出机组最佳中心法，进而将最佳中心法推广运用到推力轴承
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4.1信号分解为正交函数
知识点Z4.1
第四章 傅里叶变换与频域分析
矢量的正交分解
主要内容：
1.矢量正交、正交矢量集的定义 2.矢量的正交分解
基本要求：
1.掌握矢量正交、正交矢量集和矢量正交分解的基本概念 2.了解矢量正交分解对信号正交分解的启示
1
4.1信号分解为正交函数
第四章 傅里叶变换与频域分析
V V2 V2 V2
c3
V
cos3
V3
V V3 V3 V3
4
4.1信号分解为正交函数
第四章 傅里叶变换与频域分析
推广到n维空间:n维空间的任一矢量V，可以精确地表 示为n个正交矢量的线性组合， 即
V c1V1 c2V2 crVr cnVn 式中，Vi·Vj=0 (i≠j)，第 r 个分量的系数
Z4.1 矢量的正交分解
1.矢量正交
( 思考：基本信号？ Why？)
V2
复习：两矢量V1与V2正交，夹角为90°
两正交矢量的内积为零
90°
o
V1
V1 V2 V1 V2 cos 90 0
2.正交矢量集: 由两两正交的矢量组成的矢量集合。
2
4.1信号分解为正交函数 3. 非正交矢量的近似表示及误差
第四章 傅里叶变换与频域分析
c12V2 V1 cos
c12
V1 cos
V2
V1 V2 cos
V2 V2ຫໍສະໝຸດ V1 V2 V2 V2用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，则误差矢量
VeV1 c12V2
显然，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。
3
4.1信号分解为正交函数
cr
V Vr Vr Vr
思路：将矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：
在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，
使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
5
第四章 傅里叶变换与频域分析
4.矢量正交分解：任意N维矢量可由N维正交坐标系表示。
V2
c2V2
2 1
V c1V1 V1
V3 c3V3
c2V2 V2
V c1V1 V1
c1
V
cos1
V1
V V1 V1 V1
c2
V
cos2
V2
V V2 V2 V2
c1
V
cos1
V1
V V1 V1 V1
c2
V
cos2
V2
知识点Z4.1
第四章 傅里叶变换与频域分析
矢量的正交分解
主要内容：
1.矢量正交、正交矢量集的定义 2.矢量的正交分解
基本要求：
1.掌握矢量正交、正交矢量集和矢量正交分解的基本概念 2.了解矢量正交分解对信号正交分解的启示
1
4.1信号分解为正交函数
第四章 傅里叶变换与频域分析
V V2 V2 V2
c3
V
cos3
V3
V V3 V3 V3
4
4.1信号分解为正交函数
第四章 傅里叶变换与频域分析
推广到n维空间:n维空间的任一矢量V，可以精确地表 示为n个正交矢量的线性组合， 即
V c1V1 c2V2 crVr cnVn 式中，Vi·Vj=0 (i≠j)，第 r 个分量的系数
Z4.1 矢量的正交分解
1.矢量正交
( 思考：基本信号？ Why？)
V2
复习：两矢量V1与V2正交，夹角为90°
两正交矢量的内积为零
90°
o
V1
V1 V2 V1 V2 cos 90 0
2.正交矢量集: 由两两正交的矢量组成的矢量集合。
2
4.1信号分解为正交函数 3. 非正交矢量的近似表示及误差
第四章 傅里叶变换与频域分析
c12V2 V1 cos
c12
V1 cos
V2
V1 V2 cos
V2 V2ຫໍສະໝຸດ V1 V2 V2 V2用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，则误差矢量
VeV1 c12V2
显然，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。
3
4.1信号分解为正交函数
cr
V Vr Vr Vr
思路：将矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：
在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，
使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
5
第四章 傅里叶变换与频域分析
4.矢量正交分解：任意N维矢量可由N维正交坐标系表示。
V2
c2V2
2 1
V c1V1 V1
V3 c3V3
c2V2 V2
V c1V1 V1
c1
V
cos1
V1
V V1 V1 V1
c2
V
cos2
V2
V V2 V2 V2
c1
V
cos1
V1
V V1 V1 V1
c2
V
cos2
V2