矢量运算及微积分初步
大学物理矢量运算
chap0 矢量代数0.1矢量与标量一．标量定义：只有大小，没有方向的量。
表示：数字（可带正负号）。
加法：代数和。
二．矢量定义：既有大小，又有方向的量。
表示：0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量沿A A v:0 2）有向线段 矢量的方向方向矢量的模）矢量的大小长度:(:加法：平行四边形法则或三角形法则。
0.2矢量的合成与分解一．矢量的合成Av Av v C v B v Bv Cv Av Bv Cv Dv Ev 说明：)(B A B A vv v v −+=−BA C v v v +=BA C v v +=DC B A E v v v v v +++=A v Bv Cv Bv −Av Cv Bv二．矢量的分解把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。
1．矢量的分解Ø一般一个矢量有无穷多种分解法Av Cv B v A v xA v yA v CB A v v v +→yx A A A v v v +→2．矢量的正交分解z三．矢量和（差）的正交分量表示k A j A i A A z y x v vv v ++=v vv v k B j B i B B z y x ++=k B A j B A i B A B A z z y y x x v vv v v )()()(±+±+±=±0.3矢量的乘积定义：一.矢量乘以标量Am B v v=二.矢量的标积定义：性质：1）A B B A v v v v ⋅=⋅v θψcos AB B A =⋅=vv )],([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：zz y y x x B A B A B A B A ++=⋅vv 1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v三.矢量的矢积定义：==×=大小：)],([sin B A AB S BA S vv v v v θθ性质：⊥⊥满足右螺旋定则方向：,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(3）B A B A v v v v //0↔=×4）0=×A A v v矢量的标积的正交分量表示：0.4矢量函数的导数与积分一.矢量函数矢量A v与变量t 之间存在一定的关系，如果当变量t 取定某个值后，矢量A v有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则A v称为t 的矢量函数，即：)(t A A v v =二.矢量函数的导数定义tt A t t A t Adt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v vv −+==→→zv xy)(t A A v v =)('t t A A ∆+=v)()(t A t t A A v v v −+=∆∆O1）dtBd dt A d B A dt d vv v v ±=±)(2）dtAd m A dt dm A m dt d vv v +=)(B d A d d v v v v v v 性质三.矢量函数的积分定义v v v v B d v v，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt=则B v称为A v 的积分，记为：∫=dt A B v v性质1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(2）dt A m dt A m ∫∫=vv )( 常量）=m (3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅vv v v )(常量）=C r (r 矢量函数积分的正交分量表示k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×vv v v )(常量）=C (例题0-1 两矢量：k j i a v v v v−+=34，k j i b v v v v 543+−=，通过矢量运算求：求：（1）以a v 、b v为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；例0-2 两矢量函数：j i t a v v v2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。
矢量微分运算公式汇总
矢量微分运算公式汇总1.矢量的求导：设矢量f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t))，则它的导数为：df/dt = (df1/dt, df2/dt, df3/dt)2.矢量的积分：设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，则矢量场F(x,y,z)沿曲线C的积分为：∫F·dr = ∫(F·r'(t)) dt，其中r'(t)为r(t)的导数。
3.散度：设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，则它的散度为：div F = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z4.散度的运算公式：（1）若U和V是标量场，F和G是矢量场，则有：∇·(UF+VG)=U∇·F+V∇·G∇·(F×G)=G·(∇×F)-F·(∇×G)（2）若F是矢量场，Φ是标量场，则有：∇·(ΦF)=(∇Φ)·F+Φ∇·F5.旋度：设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，则它的旋度为：rot F = ∇×F = ( ∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y ) 6.旋度的运算公式：（1）若U和V是标量场，F和G是矢量场，则有：∇×(UF+VG)=U∇×F+V∇×G（2）若F是矢量场，Φ是标量场，则有：∇×(ΦF)=(∇Φ)×F+Φ∇×F7.保守场：若矢量场F是一个保守场，则存在标量场Φ，使得F=∇Φ。
在保守场下，散度和旋度之间满足如下关系：∇·(∇×F)=08.梯度：设标量场Φ(x,y,z)grad Φ = ∇Φ = (∂Φ/∂x, ∂Φ/∂y, ∂Φ/∂z)9.梯度的运算公式：若U和V是标量场，F是矢量场，则有：∇·(U∇V)=∇U·∇V+UΔV∇×(U∇V)=U∇×∇V=0∇·(F×G)=G·∇×F-F·∇×G∇×(F×G)=(∇·G)F-(∇·F)G+(G·∇)F-(F·∇)G以上是一些常见的矢量微分运算公式汇总，这些公式在向量分析的求解中起到了重要的作用。
学习大学物理必备数学知识
r
r
r
自矢矢 量量的BAr 的 末端末画端出画矢出量矢量 ，CBr，则再从就Cr矢是量 和A的Ar 始端的Br到合
矢量。
4
利用矢量平移不变性： r
d
A r
c
r
C
r
B a
r
B b
A
图4 两矢量相加的平行四边形法则
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：
r
C A2 B2 2AB cos arctan B sin
r B
•
r dA
dt
dt
dt
(4)
d
rr A B
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
26
2、矢量的积分：
设
r A
和
r B
均在同一平面直角坐标系内，且
r dB
Ar，
则有：dBr
r Adt
dt
r B
r Adt
r Axi
Ay
r j
dt
r
r
Axdt i Aydt j
r
的模，用符号 A 表示。
A
图1 矢量的图像表示
2
2、矢量平移的不变性：
r
r
把矢量 A在空间平移，则矢量 A的大小和方向都不
会因平移而改变。
r
r
A
A
r A
图2 矢量平移
3
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
r
c
所有矢量计算公式解析
所有矢量计算公式解析矢量计算公式解析。
矢量是物理学和工程学中经常出现的概念，它们可以用来描述物体的运动、力和速度等。
在矢量计算中，有一些常见的公式和运算规则，下面我们来逐个解析这些公式。
1. 矢量的加法和减法。
矢量的加法和减法是矢量计算中最基本的运算之一。
假设有两个矢量A和B，它们的加法和减法运算分别如下：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)。
A B = (Ax Bx, Ay By)。
其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量，Bx和By表示矢量B 在x和y方向上的分量。
通过这些公式，我们可以很容易地计算出两个矢量的和或差。
2. 矢量的数量积。
矢量的数量积又称为点积，它是矢量计算中另一个重要的运算。
假设有两个矢量A和B，它们的数量积运算如下：A·B = |A| |B| cosθ。
其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角。
通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的数量积，从而得到它们之间的关系。
3. 矢量的叉积。
矢量的叉积又称为向量积，它是矢量计算中另一个重要的运算。
假设有两个矢量A和B，它们的叉积运算如下：A×B = |A| |B| sinθ n。
其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角，n表示一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。
通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的叉积，从而得到它们之间的关系。
4. 矢量的分解。
在实际问题中，我们经常需要将一个矢量分解成两个分量矢量，以便进行更方便的计算。
假设有一个矢量A，它可以被分解成在x和y方向上的两个分量矢量Ax和Ay，分解公式如下：A = Ax + Ay。
其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量。
通过这个公式，我们可以将一个矢量分解成两个分量矢量，从而方便进行计算。
5. 矢量的单位化。
在矢量计算中，有时我们需要将一个矢量转化为单位矢量，以便进行更方便的计算。
矢量运算基础与微积分初步
矢量运算基础
第二种情况，对矢量点乘积分：
如 : 变力沿曲线作功，
元功dW
F
dr
Fxdx Fydy
Fz dz
总功W
F
dr
Fx dx
Fy dy
Fz dz
还有，对矢量叉乘积分，以后在电磁学里再讲。
微积分基础
(一）、导数的概念
引例：讨论物体作变速直线运动的速度问题
X
y
矢量运算基础
Ax Acos
Ay Acos
Az Acos
分别是A与X ,Y , Z 三个坐标轴的夹角
A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j (Az Bz )k
同一方向上的分量的运算如同标量一样。
不同方向上的分量不能合并同类项，要按矢量加法法 则叠加。
（一） 不定积分的概念
已知函数 f x ，如果存在一函数 F x ，使得
Fx f x
则称 F x 为 f x 的一个原函数。由于常数C的导数恒
等于零，因此，任意可积函数的原函数都有无穷多个。
原函数 F x又称 f x 的不定积分，记为：
F x f xdx C
i
dAy
j
dAz
k
dt dt
dt
dt
但一般 dA dA （除非定向运动。）
dt dt
如：速度的导数是加速度，速率的导数是加速度的切向
分量。
矢量运算基础
即：矢量的导数的模一般不等于矢量的模的导数
矢量的概念与运算法则
矢量的概念与运算法则矢量是物理学中一个重要的概念，它不仅在力学、电磁学等领域中有着广泛的应用，而且在计算机图形学、数据分析等领域中也扮演着重要的角色。
本文将介绍矢量的概念以及常见的运算法则。
一、矢量的概念矢量是一个有大小和方向的量，用箭头表示。
在二维空间中，矢量可以表示为一个有序的数对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，矢量可以表示为一个有序的数组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x 轴、y轴和z轴上的分量。
矢量的大小可以用长度来表示，即矢量的模。
在二维空间中，矢量的模可以通过勾股定理计算：|v| = √(x^2 + y^2)。
在三维空间中，矢量的模可以通过类似的方法计算：|v| = √(x^2 + y^2 + z^2)。
矢量的方向可以用角度来表示。
在二维空间中，矢量的方向可以通过与x轴的夹角来确定。
在三维空间中，矢量的方向可以通过与x、y和z轴的夹角来确定。
二、矢量的运算法则1. 矢量的加法矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。
在二维空间中，矢量的加法可以通过将两个矢量的分量相加来进行：v1 + v2 = (x1 + x2, y1 + y2)。
在三维空间中，矢量的加法可以通过类似的方法进行：v1 + v2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
2. 矢量的减法矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。
在二维空间中，矢量的减法可以通过将两个矢量的分量相减来进行：v1 - v2 = (x1 - x2, y1 - y2)。
在三维空间中，矢量的减法可以通过类似的方法进行：v1 - v2 = (x1 - x2, y1 - y2, z1 -z2)。
3. 矢量的数量积矢量的数量积又称为点积，表示为v1 · v2。
在二维空间中，矢量的数量积可以通过将两个矢量的对应分量相乘再相加来计算：v1 · v2 = x1 * x2 + y1 * y2。
矢量微分 规则 记忆
矢量微分规则记忆
记忆矢量微分规则可以帮助你在矢量微积分中进行计算和推导。
以下是一些常用的矢量微分规则：
1.线性性质：微分运算是线性的，即对于任意矢量场U 和V，
以及标量函数 f，有如下规则：
o d/dt (U + V) = dU/dt + dV/dt
o d/dt (fU) = df/dt U + f dU/dt
2.乘积法则：对于标量函数 f 和矢量场 U，有乘积法则：
o d/dt (fU) = (df/dt) U + f (dU/dt)
3.合成函数法则：对于复合函数，有链式法则（链式规则）：
o如果矢量场U 是标量函数g 的函数，而g 又是标量函数 f 的函数，则有 dU/dt = (dg/dt) (df/dg)
4.标量对矢量的偏导数：对于标量函数 f 关于矢量场 U 的偏
导数，可以分别对 U 的每个分量求偏导数：
o(∂f/∂U) = (∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j + (∂f/∂z) k
这些规则是矢量微分中常用的规则，可以帮助你进行向量值函数的微分运算。
记忆这些规则并理解其应用场景，可以在解决问题时更加高效和准确。
需要注意的是，矢量微分规则可能会因上下文和具体问题而有所变化和扩展。
因此，在应用时根据具体问题需求灵活运用。
矢量的定义和加减法运算法则
A=AaA=Ad y yy z zz
矢量表示为：冒=4A + Ayay + "
在直角坐标系下的矢量表示:
矢量：冒=4,+4句+AZ（：I z
+模的计算：1冒1= M+A； + A；
令单位矢量:
a=
A Ax .
4八 &八
a* + 0,
+
a
Z
Ml Ml Ml J Ml
=cos a a + cos pay + cosEz
第1章电磁学的数学基= 础
矢量分析
—,矢量的定义和表示
矢量的基_=|— 本运算'- 法则
h
F
—
三,矢量微分元：线11 = 元，面元，体元
111 标量场的梯度
五,矢量场的散度 六■矢量场的旋度
—■矢量的定义和表示
1. 标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度T、长度L等
2. 矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
例: 已知^点和因点对于原点的位置矢量为刁和方,
求：通过4点和3点的直线方程。 解:
在通过力点和3点的直线上，任取
一 点G对于原点的位置矢量为c, 则：
c — a = k (b — 1)
c = (1 — k)a + kb 其中：k为任意实数。
小结:
、矢量的定义和表示 、矢量的加减法运算法则
如：重力电场强度E、磁场强度可 等
3-矢量表示
—个矢量可以表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 矢量 表示为： A=\A\a
其中：| A |为矢量的模，表示该矢量的大小。 a为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
应当指出，函数 f(x) 的导数 f ´(x) 本身也是x的一 个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫函 数 y = f(x) 的二阶导数。
y f (x) d 2 y d ( dy ) d f (x) dx2 dx dx dx
19
2) 矢量积（叉积、外积） A B C 是一个轴矢量
大小：平行四边形面积
C A B ABsin (0 )
C
B A
精品课件
绪论
方向：右手螺旋
20
绪论
矢积的性质：
A B B A
A ( B C) A B AC
A A 0
A(BC) B( A•C) C( A• B)
精品课件
18
直角坐标系下的表示
因为Ｘ、Ｙ、Ｚ轴相互垂直，所以
i i 1; i j 0;
j j 1; i k 0;
k k 1 jk 0
A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
精品课件
R
D
C AB
R ABCD
精品课件
14
绪论
2) 矢量的数乘
大小
A
C
方向
C A 0 C平行于 A
0 C平行于－A
结合律： ( A) ( ) A 分配律： ( A B) A B
精品课件
15
绪论
3) 矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 e1和e2 则 平面内的任一矢量可以分解为：
矢量的混合积 结果为平行六面体的体积 （A B) • C (C A) • B (B C) • A
(B A) • C
精品课件
21
直角坐标系下的表示（右手系）
z
z
右手系
左手系
y
x
x
i j k; j i k; i i 0;
y
jk i k j i j j 0
精品课件
9
一单位
A
A
A
A
矢量的图示
等矢量
负矢量
矢量平移（大小和方向不变），矢量不变
A
A
A
B
B
B
精品课件
10
•矢量的模与单位矢量
矢量的大小称为矢量的模，用 A 或 A 表示
矢量 eA ，其模为１、方向与 A 相同，称为 A 单位矢量
A AeA
精品课件
11
直角坐标系
z
i
k j
y
模：A Ax2 Ay2 Az2
A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
精品课件
17
•矢量的积
绪论
1) 标量积（点积、内积） 两个矢量的点积为一标量。
A B AB cos 为A与B的夹角
若B为单位矢， A B为A在B方向的投影
交换律： A• B B • A 分配律： A• ( B C) A• B A •C
x i 、 j、 k 为Ｘ、Ｙ、Ｚ方向的单位矢量。
精品课件
12
矢量运算基本规律
绪论
矢量结合法则 1) 矢量加法：遵从平行四边形定则
交换律： A B B A
结合律： A (B C) ( A B) C
精品课件
13
简化为
C AB
B
A
A
B C AB
矢量合成的三角形法则
f (x) f (x0 ) , x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
精品课x件 x0
x x0
24
2）导数的定义
定义 设函数 y f (x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f (x0 x) f (x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数
A A1e1 A2 e2
常用 e1e2 称为正交分解
三维空间中应有3个不共面的矢量
精品课件
16
•矢量在直角坐标系下的表示 （二维推广到三维）
y
Ay
A
A Axi Ay j
Ax x
模： A Ax2 Ay2
A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j
三维： A Axi Ay j Azk
y f (x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
数 y f (x)在点 x0处的导数, 记为y xx0 ,
dy dx
或
x x0
df (x) dx
, x x0
精品课件
25
即
y
x x0
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f (x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
k i j i k j k k 0
精品课件
22
A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
( AyBz AzBy )i ( AzBx AxBz ) j ( AxBy AyBx )k
写成行列式
i
j
k
A B Ax Ay Az Bx By Bz
精品课件
23
4. 导数
y
1）问题的提出——切线问题
如图, 如果割线MN绕点M旋 转而趋向极限位置MT,直线 MT就称为曲线C在点M处的 切线.
极限位置即
o
y f (x)
N
CM
x0
T
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为
tan y y0 x x0
精品课件
27
4）由定义求导数 步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
依此类推，可以定义高阶导数。
精品课件
26
3）导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) y 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)
o
y f (x)
T M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
矢量分析、微积分 知识初步
精品课件
绪论
3. 矢量 矢量
•矢量和矢标量理和标量
普通物理中的物理量大致分为两类：标量和矢量 标量：只有大小（一个数和一个单位）的量，
例如：质量、长度、时间、密度、能量、温 度等。 矢量：既有大小又有方向的量，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电 场强度等。