高等数学向量代数与空间解析几何习题
高等数学(同济第七版)第八章课后答案
a -c.
l)3 A = -(1IH + Ill）一；）＝ － 卡 － c.
4
一、《高等数学》｛第七版）下00习�全解
言。 ．
D4r1 =
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(
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b
BD4)
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a
－ c.
a,i 4.已知l网点M 1 (0.l.2）利l M2 (1. -l. 0）.试用卢I生 f,T; .-t< ,1�式表不，：.， :,, .11 ， 叫戊
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3
2
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二
yOz
面
( 2) 111 ("O揭 β＝！！刘lβ＝0 ， 攸向；，t与 ） 4·111 la］向.JliJI'β＝0知。＝β＝ 旦 2 ． 伙向没if'i自于宫和h和I J'轨，且II与z都Ii平行，
向量代数与空间解析几何习题详解
坐标平面所围成； （ 3 ） z = 0, z = a(a > 0) , y = x,x 2 + y 2 = 1 及 x
z x 2 y 2 , z 8 x 2 y2 所围 .
0 在 第 一 卦 限 所 围 成 ；（ 4 ）
解：（1 ）平面 3x 4 y 2z 12 0 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；
，化为 y
1
3 cos t (0 t 2 ) ；
2
99
z 3 sin t
x 1 3 cos
（ 2） y 3 sin
(0
z0
2 ).
x a cos 6、 求螺旋线 y a sin 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程 .
zb
x2 y2 解：
z0
a2
z y a sin
z x a cos
；
b；
b.
x0
y0
第六章 向量代数与空间解析几何
习 题 6—3
1、 已知 A(1,2,3) ， B(2, 1,4) ，求线段 AB 的垂直平分面的方程 .
解 ：设 M ( x, y, z) 是所求平面上任一点，据题意有 | MA | | MB |,
x 12 y 2 2 z 32
x 2 2 y 12 z 4 2,
化简得所求方程 2x 6 y 2 z 7 0 .这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程
6、 设平面过原点及点 (1,1,1) ，且与平面 x y z 8 垂直，求此平面方程 .
解： 设所求平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过点 (1,1,1) 知平 A B C D 0, 由
r 平面过原点知 D 0 ， Q n {1, 1,1},
A B C 0 A C, B 0 ，所求平面方程为
第六章向量代数与空间解析几何(424).
4、设有三向量
B—
4
r rr
b、c满足关系a
1, 2,1点关于原点对称点是
1,2, 1
B 1,
2,
、向量a与三坐标轴的夹角分别为
A cos cos cos 1
C cos2cos2
cos2
、两个非零向量a和b平行，则
A其必要条件是a b0
C充分必要条件是a b
）；
r
0时必有
）；
）；
1,
2,
1,2,1
、选择题
第六章
向量代数与空间解析几何
习题
1、向量a与三坐标轴的夹角分别为
，则
);
A cos cos cos 1
B cos2
cos2
cos2
C cos2
cos2
cos2
f 2D cos
2cos
2
COS
2、两个非零向量a和b平行，则
()；
r r r
A其必要条件是a b 0
其必要条件是
r r
C充分必要条件是a b0
垂直的平面
y z0
相交，试求它们的交线在
xoy坐标平面上的投影方程。
五、证明题
r
已知a 3,
r
2, a
习题
」、选择题
ir
1、已知a =2，
rJ—r r
b =J2,ago 2,则
）；
B2^2
2、二次曲面z
笃与平面z h相截,b
其截痕是空间中的
（）；
A抛物线
B双曲线
C椭圆
直线
3、直线L1:x
2y
间的夹角为
，则
2
cos2
空间解析几何与向量代数三
高等数学（ B ）—向量代数与空间解析几何练习题及解答1、 已知 M 11,2,3 ， M 2 0,1, 2 ，M 1M 2 的坐标式？ M 1M 2 ？与 M 1M 2 平行的单位向量？方向余弦？[解]：1） M 1M 20 1,1 2, 2 31,1,5M 1M 2 21 222)1 5 273） cosx 2 x 1 1,cosy 2 y 1 1,cosz 2 z 1 5M 1M 227 M 1M 227M 1M 2274）与 M 1M 2 平行的单位向量为：cos ,cos ,cos1 , 1 , 5 。
272727x 1y z 1 x y 1z 2 2、 设直线n4与直线1平行，求 n,m 。
2m3[解 ] ： s 12,n,4 , s 2 m,1,3 ，因为两直线平行，r m 1 n 1 p 1 2 n 4 4 3 所以 l 1 / /l 2s 1 / / s 2s 1s 2。
m 2n 2 p 2n, m2m 1 333Ax y 2z 1 与平面： 3x y z3垂直，求 A 。
、 已知平面：[解 ] ： n 1A,1, 2 , n 2 3, 1,1 ，因为两平面垂直，所以12n 1 n 2 n 1 n 2 0 A 1 A 2 B 1B 2 C 1C 2 0 A 3 1 1 210 A14、 已知平面x 1 y z 1 : x By 3z 1 0 与直线4垂直，求 B ， m 。
m6[ 解 ]： n 1,B, 3 , s m,4,6 ，因为垂直，所以有n/ / s n s 0m4 6 。
1BB2, m 235、 求由 a 1,2,3 , b 1,2,4 为邻边组成的平行四边形的面积。
[ 解] ：由两向量叉积的几何意义知：以a ，b 为邻边组成的平行四边行的面积S a bi j k86, 43,222,7,4a b 123，因为124故 S a b22269 。
7426、求以A x1, y1, z1, B x2, y2, z2, C x3 , y3, z3为顶点的三角形面积。
(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。
在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。
向量代数与空间解析几何习题册
向量代数与空间解析几何习题6-1 向量及其线性运算一、填空题1、已知点A（-4，-2，1），B（1，-5，-3），C（-1，0，0），D（1，0，2），E（0，0，3），则点B（1，-5，-3）在第________卦限，点_______为zox坐标面上的点，点_______为x轴上的点，点_______既在yoz坐标面上也在zox坐标面上；2、点P（-3，2，-1）关于xoy坐标面的对称点是_______，关于yoz面的对称点是_______，关于zox 坐标面的对称点是_______，关于x的对称点是_______，关于y轴的对称点是_______，关于z轴的对称点是_______，关于原点的对称点是_______。
二、已知A（1，0，2）、B（4，5，10）、C（0，3，1）、D（2，-1，-6）和→→→→-+=kjim45求：1、向量→→→→-+=mCDABa34在三坐标轴上的投影及分向量；2、→a的模；3、3、→a的方向余弦；4、与→a平行的两个单位向量；5、求A与C两点之间的距离。
三、已知两向量→a=（λ，5，-1），→b=（3,1,μ）平行，求λ,μ的值。
四、从点A（2,-1,7）沿→→→→-+=kjja1298的方向取|→AB|=34，求点B的坐标。
五、如果平面上一个四边形的对角全互相平分，试用向量知识证明它是平行四边形。
习题6-2 向量的数量积 向量积一、是非题1、0=•→→b a ，则→a =→0或→→=0b ；2、→→→=⨯0b a ，则→a =→0或→→=0b ；3、若→→→→•=•c a b a 且→→≠0a ，则→b =→c ；4、若→→≠0a ，→→≠0b 则2222a b a b a b →→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+•= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 5、若→→≠0a ，→→≠0b ，→→≠0c 且→→→→⨯=⨯c b c a 则→a =→b ；6、→→→→•=•b a b a =→→→→•=•b b a a ；7、→→→→⨯=⨯a b b a ；8、向量→→⨯b a 既垂直于→a 也垂直于→b 。
本科高等数学练习题(II)(含答案)
dxdy
D
. . .
dxdy
D
3．设 D ( x, y) x y 1 , 且 y 0 ，则
2 2
dxdy
D
4． 6．
0
4 0
dy ydx
0
2
. . . .
5． 7． 9．
12．已知三点 A(1,3,4) 、B(2,1,1)、C (3,1,1) , 则BA与BC 的夹角 ABC 13．过点 A(1, 0 , 2 ) 且与向量 a 2i 7 j k 垂直的平面方程是 14．过点 A(1,1,2) 且与平面 2 x y z 7 0 平行的平面方程是 15．过点 A(1,1,2)、B(0,1,3) 的直线方程是 16．过点 M (4,1,0) 且与直线 . . . .
.
x2 y 3
13．设 z x ln( xy ) ，求
z z 2 z 2 z 2 z 、 、 、 、 . x y x 2 y 2 xy
14．设 z y ( ) ln( 2 x y ) ，其中 (u ) 有二阶连续导数，求
x y
2z . xy
xy
.Байду номын сангаас
则 x2 1，
z y (2,1)
2
.
4． 设 z xe
xy 2
， 则
z y (1,2)
y
.
5 ． 设 z xy l n ( x y ) ，则
2
z y (1,2)
.
6 ． 设 f ( x, y ) e x ， 则
f x (1,1)
2 3
(完整版)高等数学第七章向量
第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 空间直角坐标系§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法一、判断题。
1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。
（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。
（ ） 3． 任二向量b a ,=.则a =b 同向。
( ) 4． 若二向量b a ,+,则b a ,同向。
（ ）5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b，则b a ,反向。
（ ）6． 若ca b a +=+,则c b =( ) 7． 向量ba ,满足=，则ba ,同向。
（ ） 二、填空题。
1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。
4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。
6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。
三、选择题。
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //OA 且21a ，OC =b ，则AB = （A ）21b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有（A+（B+-（C+<-（D+>-三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。
四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。
六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
高等数学下章节自测题(不含答案)
( x, y)→(0,1)
x2 + ( y −1)2
∫ 4、 F (x, y) =
xy sin t 0 1+ t 2 dt
，则
∂2F ∂x2
|(0,2) =
5、
u
=
(
x
)
1 z
在
(1,1,1)
的梯度为
y
二、解下列各题（每题 10 分，共 40 分）
3 / 18
1、设
z
=
x
x
y
，求
∂z ∂x
,
∂z ∂y
Σ
C、 − 3 π B、0 C、 3 π
2
2
D、 2 π
3
4、曲面 Σ 是上半球面：x2 + y2 + z2 = 1，Σ1 是 Σ 在第一卦限部分，则( )
7 / 18
C、 ∫∫ xds = 4∫∫ xds
Σ
Σ1
C、 ∫∫ zds = 4∫∫ zds
Σ
Σ1
B、 ∫∫ yds = 4∫∫ yds
Σ
Σ1
D、 ∫∫ xyzds = 4∫∫ xyzds
Σ
Σ1
5、设
f
有连续导数，I
=
∫∫
Σ
1 y
f
( x )dydz y
+
1 x
f
( x )dzdx + y
zdxdy
其中 Σ
是曲面
y = x2 + z2, y = 8 − x2 − z2 所围立体表面外侧，则 I = ( )
A、 4π B、8π
2、设
x2
+
z2
=
yϕ (
第4章向量代数与空间解析几何练习题_3
3．母线平行于轴, 准线为的柱面的方程是
_____________________．
4．顶点在原点且经过圆的圆锥面的方程是
________________________．
5．经过, 且与曲面相切的平面的方程是____________．
三、计算题与证明题
1．一动点到定点的距离是它到的距离的两倍, 程．
复习题四
一、选择题
1．将下列列向量的起点移到同一点,
终点构成一个球面的是
()
（A）平行于同一平面的单位向量；（B）平行于同一直线的单位
向量；
（C）平行于同一平面的向量； （D）空间中的所有单位向 量．
2．下列叙述中不是两个向量与平行的充分条件的是
(
)
（A）； （B）与的内积等于零；
（C）对任意向量有混合积； （D）与的坐标对应成比例．
3．设向量的坐标为, 则下列叙述中错误的是( )
（A）向量的终点坐标为； （B）若为原点,且, 则点的坐标为；
（C）向量的模长为；（D） 向量与平行．
4．行列式的值为( )
（A） 0 ； （B） 1 ； （C） 18 ； （D） ．
5．对任意向量与, 下列表达式中错误的是( )
（A）与； （B） 与；
（C）与； （D） 与．
5．原点到平面的距离是( )
（A） ； （B） ； （C） ； （D） 1．
二、填空题
1．垂直于向量且到点的距离为5的平面的方程是 ______________________或者__________________________．
2．经过原点与且平行于向量的平面的方程是_________________． 3．平面与三坐标轴分别交于点（A）、（B）、（C），则Δ（A） （B）（C）的面积为_________________． 4．一动点移动时与及坐标平面等距离，则该点的轨迹方程为 ________________． 5．通过轴和点的平面的方程是________________________．