几何矢量-向量代数与空间解析几何
高等数学二第一章向量代数与空间解析几何
在 z 轴上, 则 x = y = 0
2.空间向量的坐标表示
(1)起点在原点的向量OM
z z
C
设点 M (x, y,z)
以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴 正向的单位向量, 称为基本单位 向量.
ok xi xA
j
M yB y N
OM = OA + AN +NM
a,
b
(起点同).
b
(a,b)
规定：
a
a,
b正向间位于0到之间的那个夹角为
a,
b
的夹角,
记(1)为若(aa,, bb)同或向(，b,则a) (a,b) 0
(2) (3)
若 若
a , a ,
bb不反平向行，，则则(a(a,b,b))(0,
有MC
=
1 2
(a
b)
MA
又
b
= MC a = BD
=
1 2
(a
2MD
b)
D
b
A
a
有MD
=
1 2
(b
MB = MD
a)
1 2
(b
a)
1 2
(a
b)
C M
B
(四) 向量在轴上的投影
1. 点在轴上投影
设有空间一点A及轴
A
u, 过A作u轴的垂直平面,
即: (4 0)2 (1 0)2 (7 z)2
(3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
解得:
z
07第七章向量代数与空间解析几何
y
O
z
x
a
图7－11
2 用坐标表示向量的线性运算
3.用坐标表示向量平行的充要条件
四、 用坐标表示向量的模和方向余弦
y
z
x
P
Q
R
图7－12
M2
M1
第二节 向量的乘法运算
F
s
图7-13
1. 数量积的定义
图7－14
B
a
b
O
2. 数量积性质
3 数量积的坐标表示式
重点 向量及其线性运算 向量的坐标表示式 向量的数量积与向量积 平面及空间直线的方程下面讨论一些特殊情况：三、 空间直线及其方程
1. 直线的一般方程
2. 直线的对称式方程与参数方程
O
y
M
z
x
s
图7-21
M0
四、平面与直线间的夹角
图7-22
l
n
l1
五、点到平面的距离公式
第四节 曲面与曲线
一、几种常见的曲面及其方程
1. 球面
一、 空间直角坐标系
z
x
y
图7—1
任意两条坐标轴确定的平面称为坐标面.由x轴和y轴，y轴和z轴，z轴和x轴所确定的坐标面分别叫做xOy面，yOz面和zOx面.三个坐标面把空间分隔成八个部分，每个部分称为一个卦限，依次叫第一至第八卦限.
Ⅶ
O
x
y
Ⅰ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
Ⅱ
Ⅲ
z
y
图7-23
z
x
O
M(x,y.z)
F(x,y)=0
D
M1(x,y,0)
z
x
向量代数与空间解析几何
（一）向量代数 1．知识范围 （1）向量的概念 向量的定义 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示法 向量的方向余弦 （2）向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘 （3）向量的数量积 二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件 （4）二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件 2．要求 （1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。 （2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算方法。 （3）掌握二向量平行、垂直的件。
解: AB = {3, 1, 2}
|AB|
解
解
实例
定义
两向量的数量积
数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：
证
数量积符合下列运算规律：
交换律：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分配律：
若 为数：
数量积的坐标表达式
设
数量积的坐标表达式
两向量夹角余弦的坐标表示式
解
证
4、两向量的向量积
实例
定义
（3）
例1 化简
解
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
与 平行且相等,
结论得证.
[3] 向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律：
结合律：
分配律：
按照向量与数的乘积的规定，
3. 向量的坐标
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
01
02
向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 的方向角：
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
由图分析可知
向量的方向余弦
向量代数和空间解析几何
向量代数和空间解析几何向量代数是一种利用矢量来表达物理量的数学方法，它是建立物理现象的关键，在计算中物理量的概念可以被准确的表达，这使得空间与时间的模型可以描述和表示。
空间解析几何是一种学科，旨在探索物体在空间中的几何表示，也是一种多维几何学，它有助于理解空间和时间的结构，及其在空间中的变换。
它也可以用来理解和描述空间结构的特点，并允许进行精确的计算。
向量代数由一系列的矢量方程给出，其中每个矢量由一组有序的数字组成，其中每个数字代表一维的大小和方向。
矢量的操作可以用来描述物体的运动，对于运动的测量和描述是建立物理现象的关键。
一个向量方程可以表述为空间中的实际值，并且可以将一个空间中的点映射到另一个空间中，也可以用来应用多维几何学。
空间解析几何可以用来解决各种物理问题，如定义物体表面，描述物体形状，表示曲线，计算物体之间的距离和它们在空间中的关系，以及解决方程等等。
它结合了向量代数、多维几何和数学的概念，使得计算机可以在空间中创造和模拟现实世界里的3D几何物体。
空间解析几何有多种用途，可以用来描述物体的几何形状，以及不带有曲线的平面，曲面，以及更复杂的三维空间形状。
它可以用来建立图像和数字地图，以及多维空间分析，可以用来描述复杂的三维物体，可以用来创建电脑模拟（CAD）和图形学技术，为进行机器人操作和智能控制等等作准备。
向量代数和空间解析几何的结合，被用来解决一系列的物理问题，这其中包括火箭发射，飞行器姿态控制系统，重力计算，飞行探测器以及机器人控制等等。
它们最重要的用途是用来模拟空间物体之间的碰撞，控制物理模型，以及快速而可靠地估算物体之间的位置关系，以此实现实时监控和精确控制。
向量代数和空间解析几何在各个领域都有着广泛的应用，从建筑设计，自动驾驶，空间探测，飞行模拟系统，机器人控制，虚拟现实等等，都离不开它们。
它们提供了关于物体在空间中的表示及其形状变换的精确方法，它们还可以用来计算物体之间的距离和它们在空间中的关系，从而在空间中建立有效的模型。
向量代数与空间解析几何
（1）结合律： (a) (a) ()a ； （2）分配律： ( )a a a ，(a b) a b ． 这里 a ，b 为向量， ， 为实数．
向量的加法运算以及向量的数乘运算统称为向量的线性运算．
1.2 向量的线性运算
设 a 0 ，与 a 同方向的单位向量记为 ea ，由数与向量乘积的定义有 a | a | ea ，
ea
a |a
|
．Hale Waihona Puke 上式表明一个非零向量除以它的模，结果是一个与原向量同方向的单位向量，
这一过程称为向量单位化．
由于向量 a 与 a 平行，因此我们常用数乘来说明两个向量的平行关系．
1.2 向量的线性运算
定理 1 设向量 a 0 ，那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实
本章先介绍向量的概念、性质与运算，然后建立空间直角坐标系，利用坐 标讨论向量的运算，进而研究空间中的平面、直线、曲面、曲线及其方程．
1.1 向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量，也称为矢量，如位移、速度、加速度、力、 力矩等．在数学上，通常用一条带箭头的线段来表示向量．例如，如图所示，以 A 为起点， B 为终点的向量记作 AB ，有时也用粗体字母或在字母上面加箭头来表示 向量，如 a 或 a ．
1.2 向量的线性运算
2．向量与数的乘法
向量 a 与实数 的乘积是一个向量，记为 a ，它的模是 a 的模的 | | 倍，即 | a || || a | ．它的方向为：当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时， a 0 ．这种运算称为向量的数乘．
1.2 向量的线性运算
特别地，当 a b 时，有 a a a ( a) 0 ．
高等数学第五章向量代数与空间解析几何
第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1 向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。
1．两点间距离设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()21221221221z z y y x x M M d -+-+-==2．中点公式设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。
方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。
常用有向线段表示向量。
A 点叫起点，B 点叫终点，向量。
模为1的向量称为单位向量。
2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为()z y x ,,。
记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量OM 可以表示为 zk yj xi ++= 称之为向量OM 的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x OM ,,=称zk yj xi ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。
称z y x ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。
记OM 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则222cos zy x x ++=α222c o s zy x y ++=β 222c o s zy x z ++=γ方向余弦间满足关系1cos cos 222=++γβαcoxγβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。
向量代数与空间解析几何12160PPT精品文档70页
刘春花(同学)1# 跳转到»倒序看帖打印字体大小: tT 刘春花发表于 2 小时前| 只看该作者[学习交流] 关于初中英语课堂上的小游戏(初一)I游戏, 字母, 看病在教学过程中，发现，要想一节课上得轻松，有趣，目标完成好，除开备课要认真之外，少不了“游戏”。
在游戏中，学生接受得快不说，还对所上的内容更印象深刻。
更重要的是：对英语有了兴趣。
前不久在其他**上看见许多小游戏，借鉴来，和大家一起分享下：字母教学抢读字母这是一个训练学生认读字母的游戏，教师将全班分成若干小组，然后逐个出示字母卡片，学生们举手抢答，教师让最先举手的学生读出该字母，读对的给该组记10分，最后得分最多的组为优胜。
抢答字母组将全班分成两个小组，并把两套字母卡片分别发给各组学生。
游戏开始，教师用中文说："乐谱的七个调"，"美国"，"圆心和半径"，"中华人民共和国"，持有这些字母卡片的学生应立即站起来并举起字母"ABCDEFG，"USA"，o，r"，"PRC"等，答得既快又准的组获胜。
看谁快这是一个训练学生听字母的游戏，将全班分成两组，一组学生持大写字母，另一组学生持小写字母，教师快速念字母，要求持有该字母的学生迅速站起来，最先站起来的人得两分，后站起来的得一分，没站出来的得零分，得分多的组获胜。
听音辨字母这是一个训练学生辨别字母的游戏。
教师可将读音易混的字母分别写在板上，如GJOW，等，共准备2～4套，同时将学生分成2～4个小组，每组抽一名学生到前面向全班站好，教师发给每人一套卡片(2～4张为宜)，游戏开始，教师念其中的一个字母，学生应立即找出并高举起该字母，先找对的得2分，后找对的得1分，没找对的不得分，最后得分多的组为优胜。
听音摘字母比赛这是一个训练学生听认字母能力的游戏，教师先把所学过的大小写字母写在卡片上，按大小写把卡片分成两组贴在黑板上，然后把学生分成两组。
向量代数与空间解析几何
空间解析几何的应用
空间解析几何在物理学中的应用
描述物体运动轨迹和方向
解释重力、电磁场等现象
用于研究光速、波的传播等
描述量子力学中的波函数
空间解析几何在计算机图形学中的应用
建模：利用空间解析几何构建三维模型实现复杂形状的描述和设计。
渲染：通过空间解析几何的方法实现光照、阴影、纹理等效果的渲染提高图像的真实感和质感。
动画：利用空间解析几何描述物体的运动轨迹和形态变化实现逼真的动画效果。
交互：利用空间解析几何的方法实现用户与三维场景的交互例如旋转、缩放、移动等操作。
空间解析几何在机器人学中的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
路径规划：基于空间解析几何的方法规划机器人的移动路径
机器人姿态描述：利用空间向量和矩阵表示机器人的姿态和位置
向量的向量积的坐标表示：向量=(1,2,3)向量b=(b1,b2,b3)则向量和向量b的向量积的坐标表示为×b=(2b3-3b2,3b1-1b3,1b2-2b1)。
向量的混合积的坐标表示：对于三个三维向量、b和c向量和向量b的混合积的坐标表示为(×b)·c其中"·"表示点乘。混合积的结果是一个标量其值等于三个向量的行列式值乘以三个向量的模长。
向量的模和向量的数量积的坐标表示
添加标题
向量的模坐标表示：向量=(x1,y1,z1)则向量的模为||=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)
向量的数量积坐标表示：向量=(x1,y1,z1)向量b=(x2,y2,z2)则向量和向量b的数量积为·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2
添加标题
向量的向量积和向量的混合积的坐标表示
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点的距离计算
例
设 P 在 x 轴上， 它到 P1 (0, 2,3) 的距离为到
点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
2 2 PP2 x 1 1 2
2 2
2
第九章
向量代数与空间解析几何
第一部分 向量代数
第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
这一章，我们为学习多元函数微积分学 作准备，介绍空间解析几何和向量代数。这 是两部分相互关联的内容。用代数的方法研 究空间图形就是空间解析几何，它是平面解 析几何的推广。向量代数则是研究空间解析 几何的有力工具。这部分内容在自然科学和 工程技术领域中有着十分广泛的应用，同时 也是一种很重要的数学工具。
Pxy ( x, y, z)
点的坐标轴对称
Pz ( x, y, z) z
特征：对应分量绝对值相等 对称轴所在分量符号相同
另外两个对应分量符号相反
P( x, y, z)
o
y
Px ( x, y, z)
x
Py (x, y, z)
点的中心对称
z
P( x, y, z)
o
P '( x, y, z )
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
z
R
M1
M2
d M1 M 2 ?
P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M1 P PN NM 2 ,
y
x
特征：对应分量绝对值相等，全部对应分量符号相反
点的对称性例题
例 说明（-1,2,3),(1,-2,3),(1,-2,-3)对称性 解：（-1,2,3),(1,-2,3)只有z分量相同，其余对应分量相反
故（-1,2,3),(1,-2,3) 关于z轴对称 （-1,2,3),(1,-2,-3) 对应分量相反 故（-1,2,3),(1,2,-3) 关于原点对称 （1,-2,3),(1,-2,-3)的x，y分量相同，其余对应分量相反 故（-1,2,3),(1,2,-3) 关于xoy对称
解 M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1
2
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
2
2
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
2 2
z
R
M1
M2
Q
o
P
N
y
x
2
M 1 P PN NM 2
2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
2 2
空间两点间距离公式
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
三、小结
空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
z
z 轴(竖轴)
Ⅲ
Ⅱ
• 坐标面 x轴以 角 2 (八个) • 卦限
yoz 面
o xoy面
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
x轴(横轴)
x
Ⅷ
Ⅴ
在直角坐标系下
有序数组 ( x, y, z ) 点 M (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、 空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系， 给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代 数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍 向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间 基本图类——平面，直线，常用的曲面和曲线。
§9.1 空间直角坐标系
一、空间点的直角坐标 二、空间两点间的距离
R(0,0, z )
1 1
z
B(0, y, z )
M
C ( x, o, z )
o
Q(0, y,0)
y
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
点的坐标面对称
z
Pyz ( x, y, z)
P( x, y, z)
Pxz ( x, y, z)
o
y
x
特征：对应分量绝对值相等 对称面所在两个对应分量符号相同 另一个对应分量符号相反．
(2)点 M 到 yoz 轴的距离为 ｜２｜＝２
(3)点 M 到点(1,0,-1)轴的距离为
(2 1) 2 (1 0) 2 (1 (1)) 2 2
点的距离计算
例 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) ,ห้องสมุดไป่ตู้O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
点的距离计算
例
已知点 M (2,1,1) ，
(1)求点 M 到 y 轴的距离．
(2)求点 M 到 yoz 面的距离．
(3)求点 M 到点(1,0,-1)点的距离．
解：(1)求点 M 到 y 轴的距离为 22 (1) 2 5
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、空间点的直角坐标
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
右手规则即以右手 • 坐标原点 握住 z 轴，当右手 • 坐标轴 的四个手指从正向 Ⅳ 度转向正向 y 轴 Ⅶ 时，大拇指的指向 就是 z 轴的正向.