矢量运算及微积分初步(2013-09-30)
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微积分、矢量

O
若函数
f (x) 在点 x0
附近有连续的导函数
f ′(x)
、f ′′(x) ,且 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) ≠ 0 , 处取极大值; 则 f ′′( x0 ) < 0 时 f (x ) 在 x0 处取极大值; 处取极小值。 f ′′( x0 ) > 0 时 f (x) 在 x0 处取极小值。
7 3 2 3 2 2 2 2 = x −5· x +C = x
(2e) x 2x ex x x +C = + C. dx 例6 ∫ 2 e dx =∫ (2e )x dx = 1+ ln 2 ln(2e)
1 + (x + x 2 ) 1+ x + x2 dx 例7 ∫ dx =∫ 2 2 x(1+ x ) x(1+ x ) 1 1 1 1 dx +∫ dx =∫ ( + )dx=∫ x 1+ x2 x 1+ x2 = arctan x +ln | x | +C .
∫ [f(x)+g(x)]dx=∫ f(x)dx+∫
g(x)dx.
性质2 求不定积分时, 性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子 可以提到积分号外面来, 可以提到积分号外面来,即
∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dx (k 是常数,k ≠0).
例4
∫
=∫
x( x2 −5)dx = ∫ ( x −5x )dx
2(1 − x2 ) 2x = ⋅ cos 。 2 2 2 (1 + x ) 1+ x
函数的极值点和极值: 函数的极值点和极值:
矢量初步

A Ax i Ay j Az k B Bx i B y j Bz k
,求:A B
解:1、
ii j j kk 1 i j jk ki 0
2、 A B A B A B A B x x y y z z
物理学
矢量初步
k i
颠倒次序加“-”
i j j k
物理学
练习: 2、已知: A Ax i Ay j Az k , k
矢量初步
j
i
求:
A B
B B x i B y j Bz k
i
j
k
ii j j k k 0 i j k ; j k i ;k i j
0
B
与 A
θ
A
90 则: c 0;A投影在 0 90 则: c 0,A投影在
问题: A B B A ?
正方向间的、不 B
B的 反 方 向 ; B的 正 方 向 。
物理学
矢量初步
练习:1、i、j、k 自身与相互间的点积;
2、已知:
3、叉积(矢积) A B C
C的方向与 A、B 都垂直, 且沿从A到B的右手螺旋钻 前进的方向;C = AB sinθ。
C
B
θ
A
问题:矢量 叉积满足 对易律吗?
A B B A
物理学
矢量初步
练习: 1、i、j、k 自身与相互间的叉积 (右手系)
ii j j kk 0 i j k; j k i; ki j
颠倒次序加“-”
A B ( Ay Bz Az B y )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax B y Ay Bx )k
矢量运算

矢量函数的积分 矢量函数的积分 如果矢量函数A(t)随时间变化,则它对时间的 随时间变化, 如果矢量函数 随时间变化 积分
B=
∫ = (∫ A
A ( t ) dt
x
dt i +
) (∫ A dt ) j + (∫ A dt )k
y z
= Bxi + B y j + Bzk
求矢量函数的积分实际上也是求它各个分量的 积分. 积分.
R
B
A
R = A+ B + C
加法满足 交换律: 交换律: 结合律: 结合律:
A + B = B + A A + (B + C ) = (A + B ) + C
两矢量相减 两矢量相减 其中 B 与
A B = A + ( B)
B
A A B B B
大小相等而方向相反
三,矢量的数乘
矢量与一实数相乘后仍是一矢量. 矢量与一实数相乘后仍是一矢量.
矢量的表示: 矢量的表示: 矢量的表示 1,作图表示:有指向的线段.线段的长 作图表示:有指向的线段. 度表示矢量的大小, 度表示矢量的大小,箭头所指的方向表示 矢量的方向. 矢量的方向. 书写表示: 2,书写表示:在字母的上加一箭头 矢量的大小:也叫矢量的模 矢量的大小:也叫矢量的模,表示为 矢量的大小 单位矢量:大小=1的矢量,用于表示 单位矢量:大小= 的矢量 的矢量, 单位矢量 矢量的方向. 矢量的方向. 因而有: 因而有:
λ A=C
大小 方向
C = λ A λ > 0 C 平行于 A λ < 0 C 平行于- A 平行于-
矢量的数乘满足 结合律: 结合律: 分配律: 分配律:
理论力学(矢量运算基本知识)

ai = i aix+ jaiy + kaiz 则有: Rx= aix
4.矢量的矢积 (1)定义: c = a × b
R = ai Rz= aiz
Ry= aiy
c
c a b sin a b
b a
6
(2)直角坐标中的解析表示
i a b ax bx
j ay by
k az bz
y
xE+2xA= c1
xB+(xB - xA) = c2
xC+(xC - xB) = c3
C
E
xD - xC =c4
D
x
18
对上述各式微分得:
2 dxB - dxA = 0 dxD - dxC = 0
dxE + 2 dxA = 0
2 dxC - dxB = 0
8dxD = -d xE
8vD= - vE 8aD= - aE aE = 2 vE =10 aE = 2
18 5
14
二.绪论
1.理论力学的研究对象
(1)机械运动
(2)质点,质点系,刚体和多刚体系统
(3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论
2.理论力学的学习目的 3.理论力学的研究方法 4.理论力学的学习方法
15
例题2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块A和B
的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块A的加速度. 解:
理 论 力一.矢量运算的基本知识 1.单位矢量 2.矢量的加法 3.矢量的标积 4.矢量的矢积 5.矢量的导数
2
二.绪论
1. 理论力学的研究对象 2. 理论力学的学习目的 3. 理论力学的研究方法 4. 理论力学的学习方法
矢量运算及微积分初步

h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
应当指出,函数 f(x) 的导数 f ´(x) 本身也是x的一 个函数,因此我们可以再取它对x的导数,这叫函 数 y = f(x) 的二阶导数。
y f (x) d 2 y d ( dy ) d f (x) dx2 dx dx dx
19
2) 矢量积(叉积、外积) A B C 是一个轴矢量
大小:平行四边形面积
C A B ABsin (0 )
C
B A
精品课件
绪论
方向:右手螺旋
20
绪论
矢积的性质:
A B B A
A ( B C) A B AC
A A 0
A(BC) B( A•C) C( A• B)
精品课件
18
直角坐标系下的表示
因为X、Y、Z轴相互垂直,所以
i i 1; i j 0;
j j 1; i k 0;
k k 1 jk 0
A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
精品课件
R
D
C AB
R ABCD
精品课件
14
绪论
2) 矢量的数乘
大小
A
C
方向
C A 0 C平行于 A
0 C平行于-A
结合律: ( A) ( ) A 分配律: ( A B) A B
精品课件
15
绪论
3) 矢量的分解 在一个平面内,若存在两个不共线的矢量 e1和e2 则 平面内的任一矢量可以分解为:
矢量的混合积 结果为平行六面体的体积 (A B) • C (C A) • B (B C) • A
附录 矢量与微积分初步

2、矢量平移的不变性:
把矢量 A 在空间平移,则矢量 A 的大小和方向都 不会因平移而改变。
A
A
A
图2 矢量平移
2019/9/13
2
附录:矢量与微积分
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则:
c
C
B
ABC
a
b
A
图3 两矢量相加的三角形法则
自矢量 A 的末端画出矢量 B ,再从矢量 A 的始端 到矢量 B 的末端画出矢量 C ,则 C 就是 A 和 B
2019/9/13
14
附录:矢量与微积分
若函数在某一区间内各点均可导,则在该区间内每一点都有函 数的导数与之对应,则导数也成为自变量的函数,称为导函数。
f'xlim ylim fx xfx
x x 0 x 0
x
tan y
f x
x
f'xlimylimtan
附录:矢量与微积分
A B A x i A y j A z k B x i B y j B z k
利用 i j k ,i k j,i i 0 ,
AxBykAxBzj AyBziAyBxk AzBxjAzByi
AyBzAzBy i AzBxAxBz j AxByAyBx k
uv'
u'vuv' v2
v0
y f u,u x ,y为x的复合函数 y f x
dy dy du dx du dx
2019/9/13
17
附录:矢量与微积分
若 y f x 的导数 f ' x 对 x 可导,
把矢量 A 在空间平移,则矢量 A 的大小和方向都 不会因平移而改变。
A
A
A
图2 矢量平移
2019/9/13
2
附录:矢量与微积分
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则:
c
C
B
ABC
a
b
A
图3 两矢量相加的三角形法则
自矢量 A 的末端画出矢量 B ,再从矢量 A 的始端 到矢量 B 的末端画出矢量 C ,则 C 就是 A 和 B
2019/9/13
14
附录:矢量与微积分
若函数在某一区间内各点均可导,则在该区间内每一点都有函 数的导数与之对应,则导数也成为自变量的函数,称为导函数。
f'xlim ylim fx xfx
x x 0 x 0
x
tan y
f x
x
f'xlimylimtan
附录:矢量与微积分
A B A x i A y j A z k B x i B y j B z k
利用 i j k ,i k j,i i 0 ,
AxBykAxBzj AyBziAyBxk AzBxjAzByi
AyBzAzBy i AzBxAxBz j AxByAyBx k
uv'
u'vuv' v2
v0
y f u,u x ,y为x的复合函数 y f x
dy dy du dx du dx
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17
附录:矢量与微积分
若 y f x 的导数 f ' x 对 x 可导,
第一次课-矢量运算

• 诺贝尔物理学奖得主、德国科学家 马克斯.玻恩所言:“与其说是因为 我发表的工作里包含了一个自然现 象的发现,倒不如说是因为那里包 含了一个关于自然现象的科学思想 方法基础。”
自20世纪中叶以来,在诺贝尔化学奖、生物及医学奖, 甚至经济学奖的获奖者中,有一半以上的人具有物理学 的背景;——这意味着他们从物理学中汲取了智慧,转 而在非物理领域里获得了成功。
——反过来,却从未发现有非物理专业出身的科学家问 鼎诺贝尔物理学奖的事例。这就是物理智慧的力量。
难怪国外有专家十分尖锐地指出:没有物理 修养的民族是愚蠢的民族!
二、物理学基本框架
三、物理世界的层次与数量级
1、 物理世界的质量层次与数量级(单位:千克) 电子 10-30 人体 质子 10-27 火箭 分子 10-22 金字塔 病毒 10-13~ 10-19 海水 蚂蚁 10-4 月球
欢迎同学们假期归来!
自我介绍
姓名:陈小艺 毕业院校:山东师范大学 研究方向:信息光学 联系方式:ss_chenxy@
大 学 物 理
绪
论
一、什么是物理学
物理学(PHYSICS)是研究物质世界最基 本的结构、最普遍的相互作用、最一般的运 动规律及所使用的实验手段和思维方法的自 然科学。简称物理。
102
地球
106
太阳
1010
银河系
1021
1023
已知的宇宙
1025
1030
1041
1053
2、 物理 世界的时 间层次与 数量级( 单位:秒 )
Z0 和W +或W-粒子的寿命 不稳定粒子的寿命 可见光的辐射周期 常见声音的周期 市电的周期 钟摆的周期 一天的周期 一年的周期 人类文明史 古人类至今 恐龙灭绝至今 地球的年龄 宇宙的年龄 质子的寿命
微积分初步ppt课件

设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切 线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式: ex 1 x(当x 很小时) 证明 令f (x) e x,取x0 0, x x,
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地,可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ,求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号,确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
(1)n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题:已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1,求过点1,2的
切线方程.
积分学问题: 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式: ex 1 x(当x 很小时) 证明 令f (x) e x,取x0 0, x x,
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地,可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ,求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号,确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
(1)n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题:已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1,求过点1,2的
切线方程.
积分学问题: 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
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y
jk i k j i
j j 0
k i j i k j
k k 0
22
A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
( AyBz AzBy )i ( AzBx AxBz ) j ( AxBy AyBx )k
d(sin x) cos xdx
d(cosx) sin xdx
d (e x ) e xdx
d(ln x) 1 dx x
ⅱ°函数和、差、积、商的微分法则
17
•矢量的积
绪论
1) 标量积(点积、内积) 两个矢量的点积为一标量。
A B AB cos 为A与B的夹角
若B为单位矢, A B为A在B方向的投影
交换律: A• B B • A 分配律: A• ( B C) A• B A •C
18
直角坐标系下的表示
因为X、Y、Z轴相互垂直,所以
割线MN的斜率为
tan y y0 x x0
f (x) f (x0 ) , x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
24
2)导数的定义
定义 设函数 y f (x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f (x0 x) f (x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
lim C C h0 h
0.
即 (C) 0.
28
5)导数的运算
ⅰ°和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它
y f (x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
数 y f (x)在点 x0处的导数, 记为y xx0 ,
dy dx
或
x x0
df (x) dx
, x x0
25
即
y
x x0
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f (x0 )
其它形式
o
y f (x)
T M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
27
4)由定义求导数 步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x
矢量分析、微积分 知识初步
绪论
3. 矢量 矢量
•矢量和矢标量理和标量
普通物理中的物理量大致分为两类:标量和矢量 标量:只有大小(一个数和一个单位)的量,
例如:质量、长度、时间、密度、能量、温 度等。 矢量:既有大小又有方向的量,并有一定的运算规则,
例如:位移、速度、加速度、角速度、力矩、电 场强度等。
19
2) 矢量积(叉积、外积)
A B C 是一个轴矢量
大小:平行四边形面积
C A B ABsin (0 )
C
B
A
绪论
方向:右手螺旋
20
绪论
矢积的性质:
A B B A
A ( B C) A B AC
35
绪论
2)微分的定义
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作 dy xx0 或 df ( x0 ), 即dy xx0 A x.
记作dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫"微商".
37
绪论
3)微分的求法
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
ⅰ°基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
15
绪论
3) 矢量的分解 在一个平面内,若存在两个不共线的矢量 e1和e2 则 平面内的任一矢量可以分解为:
A A1e1 A2 e2
常用 e1e2 称为正交分解
三维空间中应有3个不共面的矢量
16
•矢量在直角坐标系下的表示 (二维推广到三维)
y
Ay
A
Ax x
A Axi Ay j
A
B C AB
矢量合成的三角形法则
R
D
A
C B
R ABCD
14
绪论
2) 矢量的数乘
大小
A
C
方向
C A 0 C平行于 A
0 C平行于-A
结合律: ( A) ( ) A 分配律: ( A B) A B
A A 0 A(BC) B( A•C) C( A• B)
矢量的混合积 结果为平行六面体的体积 (A B) • C (C A) • B (B C) • A (B A) • C
21
直角坐标系下的表示(右手系)
z
z
右手系
左手系
y
x
x
i j k; j i k; i i 0;
9
一单位
A
A
A
A
矢量的图示
等矢量
负矢量
矢量平移(大小和方向不变),矢量不变
Hale Waihona Puke A A A
B
B
B
10
•矢量的模与单位矢量
矢量的大小称为矢量的模,用 A 或 A 表示
矢量
eA
,其模为1、方向与
A
相同,称为
A
单位矢量
A AeA
11
直角坐标系
z
(sin
x)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
33
例4 求函数 y ln sin x 的导数. 解: y ln u, u sin x.
dy dy du dx du dx
1 cos x u
们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也
可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[
u( v(
x)] x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
应当指出,函数 f(x) 的导数 f ´(x) 本身也是x的一 个函数,因此我们可以再取它对x的导数,这叫函 数 y = f(x) 的二阶导数。
y f (x) d 2 y d ( dy ) d f (x) dx2 dx dx dx
依此类推,可以定义高阶导数。
26
3)导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) y 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)
cos x sin x
cot x
例5 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解: dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1)9 2x 20x( x 2 1)9 .
34
绪论
5. 微分
1)问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
i
k j
y
x i 、 j、 k 为X、Y、Z方向的单位矢量。
12
矢量运算基本规律
绪论
矢量结合法则 1) 矢量加法:遵从平行四边形定则
交换律: A B B A 结合律: A (B C) ( A B) C
13
简化为
C AB
B
A
设边长由x0变到x0 x,
x0
正方形面积 A x02,
x 0 x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A
x
2 0
x (x)2
x
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.