矢量的合成与分解
《大学物理》矢量运算
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。 表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
表示：粗体字母A 或 A ，其大小用 A 或 A 表示 。
A A A0
（3） A B Ax B x A y B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为 W F s Fcos s
3．矢量的叉乘
矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称为矢积（叉积）
大小: C ABsin
C A B
垂直于A 、 B 组成的平面， 方向: 指向用右手螺旋法则确定。
位移、速度等 的合成
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示？ 2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
4. 矢量叉乘的右手螺旋法则如何操作？
5. 已知： a与b 夹角为45 ， a 6, b 2 2 , 求 a 2b a 3b
2 2 Ax Ay Az2
Az
z
k
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
4．矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
y 已知 A、B，（如图）求 A B 、B 用平行四边形法则合成 C 解：先将 A A C A B 然后将 A、B 正交分解，其解析式为 O A Ax i Ay j B Bx i B y j
矢量知识
r i r j r k
矢量的有向线段表示方法： 矢量的有向线段表示方法： 作图时，用有方向的线段表示矢量。 作图时，用有方向的线段表示矢量。 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的方向表示矢量的方向。 线段的方向表示矢量的方向。
r A r B
矢量的一个重要性质－ 矢量的一个重要性质－矢量平移的不变性 把矢量在空间平移， 把矢量在空间平移，矢量的大小和方向 都不会因平移而改变。 都不会因平移而改变。
r r r B C 的方向垂直于A、 两矢量所决定的平
面，其指向由右手螺旋法则确定。 其指向由右手螺旋法则确定。
矢 量 矢 积 图 示 法
r C r C
r B
r C
θ
r A
v Ax、Ay、Az 表示矢量 A在直角坐标系三
个坐标轴的投影(坐标分量 ，可正可负。 个坐标轴的投影 坐标分量)，可正可负。 坐标分量 矢量大小与三个坐标分量的关系： 矢量大小与三个坐标分量的关系：
A= A + A + A
2 x 2 y
2 z
பைடு நூலகம்
r A方向由该矢量与三个坐标轴的夹角
(方向角 确定 方向角)确定 方向角
Cx = Ax + Bx
2 2 2 Cy = Ay + By C = Cx +Cy +Cz Cz = A + Bz z
r C
方向由三个方向角确定
( ) ( ) r r cosγ = cos( C • k) = C
r r cosα = cos C • i = Cx C r r cosβ = cos C • j = Cy C
z
C
物理中常见的矢量和标量
物理中常见的矢量和标量1.引言1.1 概述矢量和标量是物理学中常见的概念。
在物理学中，我们经常需要描述和测量物体的某些特性或属性，而这些特性或属性可以被分为两类：矢量和标量。
矢量是有大小和方向的量。
它们可以用箭头表示，箭头的长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。
例如，速度、力、位移和加速度等都是矢量量，它们除了有大小之外还有方向。
与此相反，标量是只有大小而没有方向的量。
标量只有数值大小，没有箭头来表示方向。
例如，时间、质量、温度和能量等都是标量量，它们只有一个数值大小而没有具体的方向。
矢量和标量在物理学中有着广泛的应用。
在运动学中，我们可以使用矢量来描述物体的运动状态，例如速度矢量可以告诉我们物体的速度和方向。
在力学中，矢量可以用来描述物体所受的力和力的作用方向。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量来描述。
总结起来，物理学中常见的矢量和标量分别指的是有大小和方向的量以及只有大小而没有方向的量。
它们在描述和测量物理现象中起着关键的作用。
在接下来的文章中，我们将详细讨论矢量和标量的定义、特点以及它们在物理学中的应用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍物理中常见的矢量和标量：第二部分将详细介绍矢量的定义和特点。
我们将从矢量的基本概念开始，解释什么是矢量以及它们的特点。
我们将探讨矢量的大小和方向，以及如何表示和运算矢量。
接着，第二部分将转向标量的定义和特点。
我们将解释什么是标量以及它们与矢量的区别。
我们将讨论标量的大小但没有方向的特点，并介绍一些常见的标量物理量。
第三部分将探讨矢量和标量在物理中的应用。
我们将以实际的例子来说明矢量和标量在物理学中的重要性和用途。
我们将讨论矢量和标量在运动学、力学和其他物理学领域中的应用，并解释它们如何帮助我们理解和描述物理现象。
最后，我们将在第三部分总结本文的主要内容和观点。
我们将强调矢量和标量在物理学中的作用，以及它们在解决物理问题时的重要性。
1.第一讲 运动基础 运动基础 运动的合成与分解
这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。
当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：
当运动参照系相对静止参照系作转动时，这一关系不成立。这一问题在牛顿运动定律中再做研究。
如果有一辆平板火车正在行驶，速度为 （脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为 ，那么汽车相对地面的速度为 ：
③瞬时速度等物理量是指某一时刻的，故它们的合成分解要讲究瞬时性，即必须取同一时刻的速度。
已知物体的分运动求合运动称为运动的合成，已知物体的合运动求分运动称为运动的分解，二者是两个互逆的过程，其实质上是个等效替代的过程。因此合运动和分运动还具有等效性。
例1．如图示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D。一根轻绳一端固定在C点，并绕过B和D，且BC段水平。当以恒定水平速度v拉绳上的自由端时，A沿水平面前进。求当跨过B的两端绳子的夹角为a时，A的运动速度。
1．矢量的合成与分解
矢量的合成与分解的基本方法是平行四边形定则，即两分量构成平行四边形的两邻边，合矢量为该平行四边形与两分量共点的对角线。由平行四边形法则又衍生出三角形法则，多个矢量的合成又可推导出多边形法则。
同一直线上的矢量的合成与分解可以简化为代数运算，由此，不在同一直线上的矢量的合成与分解一般通过正交分解法进行运算，即把各个矢量向互相垂直的坐标轴投影，先在各轴上进行代数运算之后，再进行矢量运算。
例1．在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B。当两球球心间的距离大于L时，A球以速度 做匀速运动，B静止。当两球球心间的距离的等于或小于L时，A球做加速度大小为2a的匀减速运动，同时B开始向右做初速度为零的匀加速运动，加速度为a，如图所示。欲使两球不发生接触，则必须满足什么条件？
矢量的合成法则
矢量的合成法则矢量是物理学中一个非常重要的概念，它可以用来描述物体的运动状态和力的作用方向。
在物理学中，矢量的合成法则是指两个或多个矢量相加或相减的规则。
通过矢量的合成法则，我们可以计算出合成矢量的大小和方向，从而更好地理解物体的运动和力的作用。
矢量的合成法则最基本的形式是几何法则，它可以用来计算两个矢量的合成。
假设有两个矢量a和b，它们的大小分别为|a|和|b|，方向分别为θ1和θ2。
那么它们的合成矢量可以用以下公式来表示：c = a + b。
其中c是合成矢量的大小，θ3是合成矢量的方向。
根据三角函数的性质，我们可以得到以下公式来计算合成矢量的大小和方向：c = √(a^2 + b^2 + 2abcos(θ2-θ1))。
θ3 = arctan((bsin(θ2) + asin(θ1))/(bcos(θ2) +acos(θ1)))。
通过这些公式，我们可以很容易地计算出两个矢量的合成。
这对于理解物体的运动和力的作用是非常重要的，因为在实际的物理问题中，往往会涉及到多个力的作用，而这些力往往是以矢量的形式存在的。
除了几何法则之外，还有另一种常用的矢量合成法则，那就是分解法则。
分解法则是指将一个矢量分解为两个或多个分量矢量，然后再将这些分量矢量相加或相减来得到合成矢量。
这种方法在实际的物理问题中也是非常常用的，因为它可以简化计算过程，使得问题更容易解决。
分解法则的基本思想是将一个矢量分解为与坐标轴平行的分量矢量，然后再将这些分量矢量相加或相减来得到合成矢量。
假设有一个矢量a，它的大小为|a|，方向为θ。
我们可以将这个矢量分解为与x轴和y轴平行的两个分量矢量ax和ay，它们的大小分别为|ax|和|ay|，方向分别为θx和θy。
那么它们的合成矢量可以用以下公式来表示：c = ax + ay。
其中c是合成矢量的大小，θ3是合成矢量的方向。
根据三角函数的性质，我们可以得到以下公式来计算合成矢量的大小和方向：c = √(ax^2 + ay^2)。
矢量的分解原理及应用
矢量的分解原理及应用1. 矢量的概念矢量是描述物理量的有向量，具有大小和方向两个属性。
在坐标系中，矢量可以用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
2. 矢量的分解原理矢量的分解是将一个矢量分解为两个或多个矢量的过程。
分解的目的是将一个复杂的矢量问题简化为若干个简单的矢量问题，从而更容易进行计算和分析。
矢量的分解原理可以总结为以下几个步骤： - 根据问题给出的条件和要求，确定需要分解的矢量和分解的方向。
- 将需要分解的矢量在坐标系中画出，并确定分解的方向。
- 根据几何图形的性质，根据需要分解的方向，确定分解的方法。
- 根据分解的方法，将矢量分解为两个或多个简单的矢量。
- 对分解后的简单矢量进行计算和分析。
3. 矢量的分解应用矢量的分解在物理学、工程学以及其他学科中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：3.1 速度分解在运动学中，速度可以用矢量表示，速度的分解可以将一个物体的速度分解为水平方向和垂直方向的速度。
这样可以简化问题的计算和分析，使得问题更加容易理解。
3.2 力的分解在力学中，力也可以用矢量表示，力的分解可以将一个复杂的力分解为若干个简单的力，从而便于问题的计算和分析。
例如，在斜面上滑动的物体受到的重力可以分解为垂直于斜面的力和平行于斜面的力，这样可以更好地理解物体在斜面上的行为。
3.3 矢量的合成与矢量的分解相反，矢量的合成是将两个或多个矢量合成为一个矢量的过程。
矢量的合成有两种常见的情况，即平行四边形法则和三角形法则。
矢量的合成在物理学、工程学中经常用于计算合力、合速度等问题。
3.4 其他应用矢量的分解还有很多其他的应用，例如在导航系统中，可以将速度矢量分解为东西向速度和南北向速度，以便更准确地确定位置；在力学中，可以将斜面上的力分解为法向力和切向力，以便更好地分析物体在斜面上的运动等。
4. 总结矢量的分解是将一个复杂的矢量分解为若干个简单的矢量的过程，具有重要的理论和应用价值。
高考物理总复习知识点分类总结-力的合成和分解
F 1F 2 力的合成和分解一、标量和矢量1．将物理量区分为矢量和标量体现了用分类方法研究物理问题的思想。
2．矢量和标量的根本区别在于它们遵从不同的运算法则：标量用代数法；矢量用平行四边形定则或三角形定则。
矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则）。
平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法。
一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果。
3．同一直线上矢量的合成可转为代数法，即规定某一方向为正方向。
与正方向相同的物理量用正号代入．相反的用负号代入，然后求代数和，最后结果的正、负体现了方向，但有些物理量虽也有正负之分，运算法则也一样．但不能认为是矢量，最后结果的正负也不表示方向如：功、重力势能、电势能、电势等。
二、力的合成与分解力的合成与分解体现了用等效的方法研究物理问题。
合成与分解是为了研究问题的方便而引人的一种方法．用合力来代替几个力时必须把合力与各分力脱钩，即考虑合力则不能考虑分力，同理在力的分解时只考虑分力而不能同时考虑合力。
1．力的合成（1）力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。
力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。
（2）平行四边形定则可简化成三角形定则。
由三角形定则还可以得到一个有用的推论：如果n 个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n 个力的合力为零。
（3）共点的两个力合力的大小范围是|F 1－F 2| ≤ F 合≤ F 1＋F 2（课件演示）（4）共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零。
【例1】物体受到互相垂直的两个力F 1、F 2的作用，若两力大小分别为53N 、５ N ，求这两个力的合力．解析：根据平行四边形定则作出平行四边形，如图所示，由于F 1、F 2相互垂直，所以作出的平行四边形为矩形，对角线分成的两个三角形为直角三角形，由勾股定理得：2222215)35(+=+=F F F N=10 N合力的方向与F 1的夹角θ为： 3335512===F F tg θ θ＝30° 点评：今后我们遇到的求合力的问题，多数都用计算法，即根据平行四边形定则作出平行四边形后，通过解其中的三角形求合力．在这种情况下作的是示意图，不需要很严格，但要规范，明确哪些该画实线，哪些该画虚线，箭头应标在什么位置等．【例2】如图甲所示，物体受到大小相等的两个拉力的作用，每个拉力均为200 N ，两力之间的夹角为60°，求这两个拉力的合力．解析：根据平行四边形定则，作出示意图乙，它是一个菱形，我们可以利用其对角线垂直平分，通过解其中的直角三角形求合力．320030cos 21==οF F N=346 N合力与F 1、F 2的夹角均为30°．点评：（1）求矢量时要注意不仅要求出其大小，还要求出其方向，其方向通常用它与已知矢量的夹角表示．（2）要学好物理，除掌握物理概念和规律外，还要注意提高自己应用数学知识解决物理问题的能力．2．力的分解（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。
力的合成与分解力的矢量运算
力的合成与分解力的矢量运算力的合成与分解力的矢量运算是物理力学中的重要概念。
在物体运动和静止的研究中，力的合成与分解力的矢量运算可以帮助我们更好地理解力的作用和相互作用。
一、力的合成力的合成是指将多个力合成为一个力的过程。
在物体上受到多个力的作用时，可以将这些力按照一定的方法合成为一个力，这个力被称为合力，合力的大小和方向根据所合成力的矢量运算得到。
在矢量运算中，力被表示为一个有大小和方向的箭头，箭头的长度表示力的大小，箭头的指向表示力的方向。
为了方便计算，通常使用画图的方法来合成力。
假设有两个力F1和F2作用在物体上，力F1的大小为F1，方向为θ1；力F2的大小为F2，方向为θ2。
根据力的合成原理，可以在一张纸上画出力F1和力F2的矢量图，然后将它们的起点连接起来，连接线的终点就是力的合力的方向。
通过测量画出的图形，可以计算出合力的大小。
二、力的分解力的分解是指将一个力拆分为多个力的过程。
在某些情况下，我们需要研究一个力在某个方向上的作用效果，这时就需要将该力分解为在垂直方向和平行方向上的两个力，分别进行研究和计算。
假设有一个力F作用在物体上，力的大小为F，方向为θ。
为了方便计算，我们可以将力F分解为平行于某个方向的力F1和垂直于该方向的力F2。
通过测量力的大小和角度，可以计算出力F1和力F2的大小。
力的分解在实际问题中常常被使用，例如斜面上的物体受到重力和斜面对其作用的力，可以将斜面对其作用的力分解为平行于斜面和垂直于斜面的两个力，进而研究物体在斜面上的运动状态。
三、矢量运算的数学表达式在力的合成和分解中，力被看作是可以相互叠加的矢量量，而矢量量既有大小又有方向。
因此，可以通过数学方法进行矢量运算的表达。
1. 合成力的数学表达式设力F1的大小为F1，方向为θ1；力F2的大小为F2，方向为θ2。
合力F的大小和方向可以通过以下公式计算：F = √(F1^2 + F2^2 + 2F1F2cos(θ1 - θ2))θ = A tan [(F1sinθ1 + F2sinθ2) / (F1cosθ1 + F2cosθ2)]其中，√表示开方，^2表示乘方，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数，θ表示力的合力方向的角度。
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矢量的合成与分解 Revised by Liu Jing on January 12, 2021
第一部分：矢量的合成与分
解
Ⅰ、矢量
定义：既有大小又有方向的物理量。
特点：矢量的合成与分解遵循平行四边形定则。
矢量的图示：带箭头的有向线段。
A
Ⅱ、矢量的合成
① 同方向矢量的合成：直接相加得到合矢量。
②
③
正弦定理：
21sin sin sin A A A
αβθ
== 余弦定理：A =知识点解析与应用（1）
1、 简述三角函数.
2、 一物体受到x 方向20N 的力和y 方向-30N 的力，求受到的合力.
3、（2009海南）两个大小分别为F 1和F 2（F 2<F 1）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F 满足（ ） A. 21F F F ≤≤ B.
121
2
22
F F F F F -+≤≤ C. 1212F F F F F -≤≤+ D. 222221212F F F F F -≤≤+
4、（2010天津河西质查）某物体在三个共点力F 1、F 2、F 3的作用下处于平衡状态，则下面的各图中正确的反映了这三个力的关系是（ ）
A B C
D
5、已知三个共点力的合力为零，则这三个力的大小可能为（ ）
A. 15N, 5N, 6N
B. 3N, 6N, 4N
C. 1N, 2N, 10N
D. 1N, 6N, 3N
6、如图所示，有五个力作用于同一点O
邻边和三条对角线.已知110F N =F F
F
F F
F 1
F 3 F 2
F 1
F 3
F 2
F 1
合力大小为 N.
7、物体受到两个相反的力的作用，F 1=8N ，F 2=10N ，当F 2由10N 逐渐减小到零的过程中，这两个力的合力的大小变化是（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 Ⅲ、矢量的减法
① 利用“平行四边形定则”或“三角形法则”把一个已知矢量A 分解
为两个分量：
②
轴
1
2、100N 的力与x 轴成α角，其y 方向的分量为60N ，求力的x 方向的分量及其方位角α.
3、分解一个力，若已知它的一个分力的大小和另一个分力的方向，且合力、分力不共线，则以下正确的是（ ）
A. 只有唯一一组解
B. 一定有两组解
C. 可能有无数组解
D. 可能有两组解 4、（2010北京西城区）F 1、F 2是力F 的两个分力，若F=10N ，则下列哪组力不可能是F 的两个分力（ ）
A. F 1=10N, F 2=10N
B. F 1=20N, F 2=20N
C. F 1=2N, F 2=6N
D. F 1=20N, F 2=30N
5、（2009海口模拟）关于合力与它的两个分力的关系，下列说法中正确的是（ ）
A. 合力和它的两个分力同时作用于物体上
B. 合力的大小一定等于两个分力大小的代数和
C. 合力一定大于它的任一个分力
D. 合力的大小可能等于某一个分力的大小
6、求下列作用于同一点的力的合力：30N ，东北方向；70N ，正南；50N ，西偏北30︒.
第二部分：物理原理与运动规律
Ⅰ、牛顿第一定律：
=0），总保持静止状态任何物体在不受任何外力作用的时候（F
合
或匀速直线运动状态（a=0）.
知识点解析与应用（1）
（1）如何对物体进行受力分析？
解析：分析顺序——重力，弹力，摩擦力（一重二弹三摩擦），再其他的力.
①重力一定有，先画好.
②弹力就是我们平时说的拉力、压力、支持力，但是一般要分析的是
压力和支持力.有没有压力和支持力，先看有没有接触的地方.有接触的地方才去分析是否有其他物体压着它，或者支持着它. 注意，物体受到压力的时候是因为别的物体压着它，不是它压别的物体.③摩擦力，还是看接触的地方，如果有弹力，才可能有摩擦力.有没有
摩擦力还要看接触面是否粗糙，有没有发生相对滑动或者有相对滑动的趋势.
④然后才分析题目是否有提到其他力.
1、画出图中球、杆、木块所受的弹力方向.（设各接触面光滑）
2、在甲、乙两图中，A、B之间一定有弹力的是图.
甲乙。