半导体物理氢原子中电子的分布几率
大学物理中的电子结构原子与分子的电子分布
大学物理中的电子结构原子与分子的电子分布电子结构是大学物理中一个重要的概念，它涉及原子和分子中电子的分布。
通过理解电子结构，我们能够更好地解释物质的性质和化学反应的发生。
本文将详细介绍大学物理中电子结构原子与分子的电子分布。
一、原子的电子结构原子是物质的基本单位，由质子、中子和电子组成。
电子结构指的是电子在原子中的分布方式。
根据波尔模型，原子的电子分布可以用能级和轨道来描述。
1. 能级：根据量子力学理论，电子在原子中处于不同的能级。
能级越高，电子的能量越大。
能级由1开始，依次升高。
每个能级可以容纳不同数量的电子。
2. 轨道：在同一能级上，电子的分布遵循波粒二象性。
根据波动方程，电子在原子中的运动轨迹被称为轨道。
电子轨道包括s轨道、p轨道、d轨道和f轨道。
s轨道是最简单的轨道，形状类似球体；p轨道有三个方向，形状类似双花瓣；d轨道有五个方向，形状更加复杂；f轨道有七个方向，形状更加复杂。
3. 电子填充原则：根据电子填充原则，电子会首先填充低能级轨道。
每个轨道最多容纳一对电子，且电子自旋方向相反。
根据泡利不相容原理，每个轨道上的电子应尽可能地有不同的自旋。
二、分子的电子结构分子是由原子经过共价键或离子键结合而成的化合物。
分子的电子结构描述了分子中电子的分布方式和相互作用。
电子结构决定了分子的稳定性、化学性质和反应活性。
1. 共价键：共价键是指两个原子共享电子对。
共价键的形成需要原子轨道之间的重叠。
简单分子中，一般只存在σ键，即电子云中心轴上的重叠。
复杂分子中还存在π键，即电子云平行于核轴的重叠。
2. 原子轨道叠加：原子轨道的叠加会产生分子轨道。
当两个原子靠近时，原子轨道之间发生相互作用，形成分子轨道。
分子轨道可以分为成键分子轨道和反键分子轨道。
成键分子轨道比原子轨道能量低，而反键分子轨道比原子轨道能量高。
3. 电子云密度：分子中电子的分布不是均匀的，存在电子云密度的差异。
电子云密度高的地方称为电子密度高，表示电子云集中；电子云密度低的地方称为电子密度低，表示电子云稀疏。
半导体物理学刘恩科课后习题解答
半导体物理学第二章习题1. 实际半导体与理想半导体间的主要区别是什么？答：（1）理想半导体：假设晶格原子严格按周期性排列并静止在格点位置上，实际半导体中原子不是静止的，而是在其平衡位置附近振动。
（2）理想半导体是纯净不含杂质的，实际半导体含有若干杂质。
（3）理想半导体的晶格结构是完整的，实际半导体中存在点缺陷，线缺陷和面缺陷等。
2. 以As掺入Ge中为例，说明什么是施主杂质、施主杂质电离过程和n型半导体。
As有5个价电子，其中的四个价电子与周围的四个Ge原子形成共价键，还剩余一个电子，同时As原子所在处也多余一个正电荷，称为正离子中心，所以，一个As 原子取代一个Ge原子，其效果是形成一个正电中心和一个多余的电子.多余的电子束缚在正电中心，但这种束缚很弱,很小的能量就可使电子摆脱束缚，成为在晶格中导电的自由电子，而As原子形成一个不能移动的正电中心。
这个过程叫做施主杂质的电离过程。
能够施放电子而在导带中产生电子并形成正电中心，称为施主杂质或N型杂质，掺有施主杂质的半导体叫N型半导体。
3. 以Ga掺入Ge中为例，说明什么是受主杂质、受主杂质电离过程和p型半导体。
Ga有3个价电子，它与周围的四个Ge原子形成共价键，还缺少一个电子，于是在Ge 晶体的共价键中产生了一个空穴，而Ga原子接受一个电子后所在处形成一个负离子中心，所以，一个Ga原子取代一个Ge原子，其效果是形成一个负电中心和一个空穴，空穴束缚在Ga原子附近，但这种束缚很弱，很小的能量就可使空穴摆脱束缚，成为在晶格中自由运动的导电空穴，而Ga原子形成一个不能移动的负电中心。
这个过程叫做受主杂质的电离过程，能够接受电子而在价带中产生空穴，并形成负电中心的杂质，称为受主杂质，掺有受主型杂质的半导体叫P型半导体。
4. 以Si在GaAs中的行为为例，说明IV族杂质在III-V族化合物中可能出现的双性行为。
Si取代GaAs中的Ga原子则起施主作用； Si取代GaAs中的As原子则起受主作用。
电子在各量子态中的分布
k BT 范围内
第五章 金属电子论
§5.4 电子热容
π 2 (k BT ) 2 3 电子的平均能量为 E = E F + 5 4 EF
单位体积中自由电子气的总能量为
N N 3 π 2 (k B T ) 2 E = E = [ EF + ] V V 5 4 EF
对热容的贡献为： 对热容的贡献为
，
γ =
N 1 2m 3 / 2 ∞ E 1 / 2 dE 电子密度 n = = 2 ( 2 ) ∫0 ( E − µ ) / k BT V 2π ℏ e +1
式中的积分无法严格积出， 式中的积分无法严格积出，通常只能近似求解 可以看出 µ 与
n
和T有关 有关
µ ( n, T ) 针对某种金属 n 是一定的，所以 µ 是一定的，
2 π 2 nk B
∂E N π 2 kB T Ce = )V = 2 EF ∂T V 4
2
2 EF
=
π2
2
nk B
2
T ≈ γT EF
Ce
成正比， 与T成正比，且随 T → 0K , 成正比
Ce → 0
这与经典理论的结果完全不同。 这与经典理论的结果完全不同。
对于金属，除自由电子对热容有贡献外， 对于金属，除自由电子对热容有贡献外， 晶格振动对热容也有贡献， 晶格振动对热容也有贡献， 在低温度下，可用德拜理论，总的热容可表示为： 在低温度下，可用德拜理论，总的热容可表示为
解出 ：
ℏ2kF EF = 2m
2
其中
k F = (3π n)
2
1/ 3
N n= V
kF
称为费米波矢
电子的状态在 空间中都落在能量不同的等能面上 电子的状态在 k 空间中都落在能量不同的等能面上 对于自由电子气，其等能面都是球面 对于自由电子气， 其中能量等于费米能 的等能面称为费米面 其中能量等于费米能 E F 的等能面称为费米面 显然自由电子气的费米面为球面。 显然自由电子气的费米面为球面。 费米波矢 k F 就是球形费米面的半径 在绝对零度 费米面内所含有的全部量子态都被电子占满， 费米面内所含有的全部量子态都被电子占满， 费米面以外的状态全是空的
半导体物理复习梳理
第一章填空题：1、 写出三种立方单胞的名称：简立方，体心立方，面心立方；这三种单胞中所含的原子数分别是1，2，42、 在四面体结构的共价晶体中，四个共价键是以s 态和p 态波函数的线性组合为基础，构成了所谓的“杂化轨道”。
3、 金刚石型结构的结晶学原胞是立方对称的晶胞。
4、 闪锌矿结构的Ⅲ-Ⅴ族化合物和金刚石型结构一样，都是由两个面心立方晶格套构而成的，称这种晶格为双原子复式格子。
5、 纤锌矿型结构和闪锌型结构相接近，它也是以正四面体结构为基础构成的，但是它具有六方对称性。
6、 内壳层的电子，轨道交叠少，共有化运动弱，可忽略。
外层的价电子，轨道交叠多，共有化运动强，能级分裂大，被视为“准自由电子”。
7、 原来简并的N 个原子的s 能级，结合成晶体后分裂为N 个十分靠近的能级，形成能带(允带)，因N 值极大，能带被视为“准连续的”。
8、 Si 、Ge 具有一般晶体的共性，又有其特殊性：其能级分裂成能带时，存在轨道杂化。
9、 如图，当 时，形成稳定晶体，上下两带的状态数（各4N 个）不变,根据能量最小原理，低温下，下带填4N 个价电子是满的，称为满带或价带；而上带4N 个状态无电子是空的，称为导带；中间隔以禁带。
10、 在周期性势场内，电子的平均速度v 可表示为波包的群速度。
在能带极值附近的电子速度为：11、 半导体中电子在外加电场作用下，电子的加速度为：12、 半导体中除了导带上电子导电作用外，价带中还有空穴的导电作用。
对本征半导体，导带中出现多少电子，价带中相应地就出现多少空穴，导带上电子参与导电，价带上空穴也参与导电，这就是本征半导体的导电机构。
13、当磁场不变时，加高频电场Cw 垂直磁场，当电场频率B w =Cw 时，可观察到吸收峰，吸收峰的个数等于有效质量的个数。
14、 为了观察到明显的共振吸收峰, 要求半导体样品比较纯净, 而且一般是在低温下进行。
15、 右图为GaAs 的能带结构。
氢原子中电子云的概率分布
计算物理期中作业题目： 氢原子中电子云的概率分布摘要：通过氢原子的波函数(,,)r ψθϕ求解氢原子中电子在(),θϕ方向立体角 d Ω 中的概率密度，然后编程进行计算并画图给出氢原子角向电子云分布图，通过对比可以看出不同(,)l m 给出的角向电子云分布图呈现一定规律。
关键词：氢原子，概率密度，连带勒让德多项式氢原子中电子在(),θϕ方向立体角 d Ω 中的概率为22(,,)nlm d r r drψθϕΩ⎰2220(,)()lm nl d Y R r r drθϕ+∞=Ω⎰2(,)lm Y d θϕ=Ω则立体角d Ω内的电子云角向概率密度为222(,)(cos )(cos )mim mlm l l Y P eP ϕθϕθθ==连带勒让德多项式为2/2()()(1)()m m m l l P x x P x =-则对勒让德多项式求m 次导数易得()()()mm l l md P x P x dx=[]/220(1)(22)!2!()!(2)!l mk l kmlk d l k x dxk l k l k -=--=--∑[]()/220(1)(22)!2!()!(2)!l m k l k ml k l k xk l k l k m ---=--=---∑得连带的勒让德多项式[]()/22/220(1)(22)!()(1)2!()!(2)!l m k m m l k ml l k l k P x x xk l k l k m ---=--=----∑为求解氢原子角向电子云概率密度2(cos )ml P θ编程如下程序OPEN( 1, FILE='STAR.TXT')WRITE(*,*)'请输入角量子数L和磁量子数M' READ(*,*)ZL,ZMPI=3.141DO T=0,PI,0.01R=PPP(ZL,ZM,COS(T))**2WRITE(1,*)R*COS(T),R*SIN(T)ENDDOENDFUNCTION PPP(ZL,ZM,X)PPP=PP(ZL,ZM,X)*(1.0-X*X)**(ZM/2.0)RETURNENDFUNCTION PP(ZL,ZM,X)IF(MOD((ZL-ZM),2).EQ.0) THENZLL=ZL-ZMELSEZLL=ZL-ZM-1ENDIFPP=0DO ZK=0,ZLL/2.0PP=PP+P(ZL,ZM,ZK,X)ENDDORETURNENDFUNCTION P(ZL,ZM,ZK,X)P=(-1)**ZK*F(2*ZL-2*ZK)/2**ZL/F(ZK)! /F(ZL-ZK)/F(ZL-2*ZK-ZM)*X**(ZL-2*ZK-ZM) RETURNENDFUNCTION F(ZN)F=1.0DO ZK=1.0,ZNF=F*ZKENDDORETURNEND图形结果m变化的关系（图a）电子云的1/2剖面图随角量子数l和磁量子数m234角量数l（图b ）图a各图沿y轴的旋转立体图图b的放大图Y10Y20Y21Y31Y32Y40Y41Y428642Y43结论定义m l -≡δ称之为差量子数。
§3-3氢原子量子理论电子的概率分布
电子的概率分布
一、电子概率的径向分布
d体积元内的概率应表示为
nlm
nlm
d
Rnl (r)Ylm ( ,) 2 r 2 sindrdd
Rnl (r) 2 r 2dr Ylm ( ,) 2 sindd
在半径为r到r+dr的球壳内发现电子的概率为
wnl (r)dr
π 0
2π 0
(r)]
0
（r为最概然半径 ）
可以证明，对于n-l-1 = 0 , n 1, 2,
这与玻尔理论中各能级所对应的圆形轨道半径公
式完全一致 。
二、电子概率的角度分布
立体角d = sin d d内发现电子的概率为
wlm (,)d
0
Rnl
(r)Ylm (,)
2 r 2dr sin
d
d
Ylm (,) 2 sin d d = Ylm (,) 2 d
式中wlm (, )是电子出现在相应立体角内的概率
密度，称为电子概率的角度分布函数。
3
在上式中，由于
Ylm(,) 2 Nl2m[Plm (cos)]2 e-im eim Nl2m[Plm (cos)]2
与无关,所以角度分 布函数wlm(,)是以z轴
Rnl (r)
2 r 2dr Ylm ( ,)
2
s in d d
Rn2l (r )r 2dr
式中wnl (r) Rn2l (r)r2 是电子出现在相应球壳内的概
率密度，称为电子概率的径向分布函数。
1
一些低量子数的径向概率分布曲线
2
对分布函数的一阶导数等于零求得
d dr
wnl
(r)
d dr
半导体物理之平衡半导体
n型半导体：n0>p0 p型半导体：n0<p0
n0 p0 ni 2
非简并半导体的载流子浓度乘积只与本征材料有关
半导体物理与器件
本征载流子浓度
本征半导体：不含有杂质原子的半导体材料。本征半 导体中，载流子主要来源于本征激发。 本征半导体中导带电子浓度ni等于价带空穴浓度pi， 称为本征载流子浓度，用ni来表示 本征激发的过程同时产生一个电子和一个空穴 本征半导体的费米能级称为本征费米能级EFi。 在本征半导体中，电中性条件：no po
电子浓度 根据状态密度和分布函数的定义，我们知道电子浓度 的能量分布为：
n E gc E f F E
对应于该能量状态被的占 对应于该能量的状态密度 据几率 则整个导带范围内的电子浓度为：
Ec '
n0
Ec
g c E f F E dE
半导体物理与器件
EC EV kT NV EF ln 2 2 NC
kT NV 3 Emidgap ln Emidgap kT ln * 2 NC 4 mn
m p*
半导体物理与器件
当空穴有效质量大时，相对应价带有效状态密度大， 因而费米能级向导带偏移以保证导带电子与价带空穴 相等。相反亦然 * *
h
3
Ec EF 1/ 2 exp 0 exp d kT
半导体物理与器件
因而：
Ec EF exp kT Ec EF N c exp kT 2 mn kT n0 2 2 h
常温下（300K）：
指数项里的分子总 为负数，这保证了 指数项小于1，对应 于载流子浓度小于 状态密度的事实
半导体物理学(刘恩科第七版)课后习题答案
1．设晶格常数为 a 的一维晶格，导带极小值附近能量 Ec(k)和价带极大值附近 能量 EV(k)分别为： h 2 k 2 h 2 ( k k1 ) 2 h 2 k 21 3h 2 k 2 Ec= , EV (k ) 3m0 m0 6m0 m0 m0 为电子惯性质量，k1
1
在E ~ E dE空间的状态数等于k空间所包含的 状态数。 即d z g (k ' ) Vk ' g (k ' ) 4k ' dk 2( m m m ) 1 3 2 1 dz ' t t l ( E Ec ) 2 V g (E) 4 2 dE h 对于si导带底在100个方向，有六个对称的旋转椭球， 锗在（ 111）方向有四个，
解： （1）由
dE (k ) n 0 得 k dk a
（n=0，1，2…） 进一步分析 k ( 2n 1)
a
，E（k）有极大值，
E（k ) MAX k 2n
2 2 ma 2
a
时，E（k）有极小值
所以布里渊区边界为 k ( 2n 1)
a
2 2 ma 2
7. 锑化铟的禁带宽度 Eg=0.18eV，相对介电常数r=17，电子的有效质量
m* n =0.015m0, m0 为电子的惯性质量，求①施主杂质的电离能，②施主的弱束
缚电子基态轨道半径。
解：根据类氢原子模型：
* 4 * mn q mn E0 13.6 E D 0.0015 2 7.1 10 4 eV 2 2 2 m0 r 2(4 0 r ) 17
(2)能带宽度为 E（k ) MAX E ( k ) MIN (3）电子在波矢 k 状态的速度 v （4）电子的有效质量
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4.6.2 电子的角向几率分布 在θ→θ+dθ，φ→φ+dφ立体角内找到电子的几
率
R无论何值，在（θφ）附近立体角dΩ中找到 电子的几率密度为 l,ml ,
l,ml
d
0 l,ml ,nd
R Y r0 n,l l,ml
无论θ、φ如何，电子在r→r+dr中的几率密度为： ρn，l 几率dωnl=ρnl·dr ρnl－径向几率密度
nl r dr
nlml d 0
2 R 2 2 2 r 2 sindrdd
0
nl (r)dr
2
d
0
0
|
Rnl (r)Ylm
( ,)
|2
r2
s in drd
Rnl 2 (r)r 2dr
2
d
0
0
|
Ylm
(
,
)
|2
s in d
Rnl2 (r)r2dr
n,l
r
dn,l
dr
Rn,l 2 * r 2
例，求氢原子中1s态电子的径向几率密度及极值
R1,0 r
3
a2 0
r
2 e a0
1,0 r
R nl r
r 2
2
r
a e3 2
r a0
0
2
4
a03
2r
r 2e a0
③l=1
m=0
Y2 10
3
4
cos2
θ=0 │Y10│2=3/4π 最大（z轴） θ=π/2 │Y10│2=0 最小
4.7 正常塞曼效应
1效应产生前提：在外磁场作用下产生的效应 2说明：电子本身有一个势能，由于磁场的作用
给了电子一个附加能量，显然这个附加能量 与势能都会影响电子的分布 由于有附加能量，使原来的能级发生分裂 例：实验中观察到的谱线分裂 ① 以s态 p态 分裂为例
4.6 氢原子中电子的分布几率
r,, R
n,l,m r, , 2 R 2 2 2
d n,l,ml
Rn,l
2
l ,ml
2
ml
2 r 2 sindrdd
21
ml
2
ωnlm与Φ无关，即关于z轴具有旋转对称性，分两部分几率，径 向几率和角向几率分布。
4.6.1 电子的径向几率分布
1 在不同球壳内找到电子的几率
2
r 2drd
l ,ml
2
ml ,l
2
d
0
Rn,l
2 r 2dr
1
2
2 ml ,l d
l,ml
1
2
l,ml
2
2
Yl,ml
只与θ有关与 φ无关
ρlm的图像
①l=0
m=0
Y2 00
1
4
几率密度为球面常数
②l=1 ml=±1
Y2 11
3
8
sin2
θ=0 │Y1±1│2=0 最小
θ=π/2 │Y1±1│2=3/（8π） 最大
ห้องสมุดไป่ตู้
d1,0 dr
0
r
2r
e a0 1
r a 0
0
r=0 ρ10=0 ，r=∞ ρ10=0 ，r=a0 ρ10=4/(a0e4)
说明：氢原子的1s态电子出现在r=a0处单位 球壳内几率最大
2.ρnl的图像
①曲线的 峰值代表 几率最大 值
②峰值数 N=n-l 节点数 N`=n-l-1
3 与波尔理论比较 波尔模型中电子有确定的轨道，轨道半径rn=a0n2