氢原子中电子云的概率分布

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氢原子的波函数

氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schrödinge r方程可以精确求解。

能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。

为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示：r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。

x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。

图8-3 直角坐标转换成球极坐标表8-1氢原子的一些波函数及其能量cos cossin sinsin sin* A1、A2、A3、B均为常数为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道” (atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。

例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。

而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1 和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。

1s电子具有的能量是-2.18³10-18J。

氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如ψ2s(r,θ,φ)、(r,θ,φ)等，相应的能量是-5.45³10-19J。

要解出薛定谔方程的ψ和E，必须要满足一定的条件，才能使解是合理的，因此，在求解过程中必需引进n , l , m三个量子数。

这三个参数的取值和组合一定时，就确定了一个波函数。

三个量子数的取值限制和它们的物理意义如下：常用符号n表示。

它可以取非零的任意正整数，即1，2，3 …n 。

它决定电子在核外空间出现概率最大的区域离核的远近，并且是决定电子能量高低的主要因素。

14.10量子物理之氢原子的电子云图和概率密度等值面图

对于4d态电子，当m = 0时，概率密度分为上下双峰，上下还有两包，左右还有四双包。彩色电子云图分上下左右八片，上下的中间两片比较鲜艳。概率密度的等值面是六个曲面，上下四个是封闭曲面，中间两个是环面。
对于4d态电子，当m = ±1时，概率密度分为对称的四峰和四包。彩色电子云图分为四角对称的八片。概率密度的等值面是上下四个分立的环面。
对于4f态电子，当m =±2时，概率密度分为上下左右四峰和左右两包。彩色电子云图分上下左右六片，上下四片比较鲜艳。概率密度的等值面是三个曲面，上下两个是封闭曲面，中间一个是环面。
对于4f态电子，当m = ±2时，概率密度分为对称的四峰，与m = ±1的3d态电子类似。彩色电子云图分为四角对称的四片。概率密度的等值面是上下两个分立的环面，其形状与3d态(m = ±1)电子的概率密度形状相似。
MATLAB可视化大学物理学
第十四章结束湖南大学物电院子，当磁量子数m = 0时，概率密度曲面形成上下双峰，峰顶比较圆。上下两片电子云是双峰的投影，等值线分别围绕着两个峰。概率密度的等值面是两个分立的闭合曲面，由此可知：上下两片电子云是分立。
对于2p态电子，当m = ±1时，概率密度曲面分为左右双峰。在彩色电子云图中，左右两片电子云是双峰的投影。概率密度的等值面是中间空心的环面，左右两片电子云是绕z轴联成一体的。
对于4p态电子，当m = 0时，概率密度除了上下双峰之外，还有四个波包，比m = 0的3p态电子多两个波包。彩色电子云图分为上下六片，相邻的波峰和波包是分开的，等值线分别围绕着各自的波峰和波包。概率密度的等值面是上下六个分立的闭合曲面。
对于4p态电子，当m = ±1时，概率密度分为左右双峰和四个波包，比m = ±1的4p态电子多一对波包。彩色电子云图分为左右对称的六片。概率密度的等值面是三个空心的环面，环面层层相套，三个环面是相似的。

化学物质的电子云分布

化学物质的电子云分布化学物质的电子云分布是指在化学反应或分子结构中，电子在分子空间中的位置与分布情况。

电子云是指由电子构成的电子云层，是电子存在的空间范围。

在化学中，电子云的分布决定了化学物质的性质和反应过程。

一、原子的电子云分布在一个原子中，电子云以不同的方式存在。

以氢原子为例，氢原子只有一个电子，其电子云可以用一个球形的概念来表示，这个球称为原子轨道或电子云层。

根据量子力学的理论，氢原子的电子云层可以由一组三维空间的波函数描述，波函数的模的平方表示电子在空间中的概率分布情况。

除了氢原子外，其他元素的原子也存在着不同的电子云分布情况。

这是因为原子的电子数量不同，电子排布在不同的能级和轨道上。

不同的电子可以具有不同的自旋和角动量量子数，从而形成不同的轨道形状。

二、分子的电子云分布在分子化学中，原子通过共用或转移电子来形成化学键，从而构成分子。

分子中的电子云分布情况与原子的电子云分布有所不同。

在一个共价键中，两个原子通过共享电子对来连接在一起。

共价键形成时，原子核的吸引力会将电子云拉向原子中心，形成一个硬核-软云的电子分布。

在离子键中，原子通过转移电子的方式来形成化学键。

在这种情况下，电子云将集中在带电离子周围，形成一个带正电荷或带负电荷的离子。

这种分布情况使离子在空间中排列成特定的晶体结构，形成离子晶体。

三、分子中的共轭体系在有机化学中，共轭体系是指由不同的共轭双键或其他共轭键连接在一起形成的分子。

共轭双键是指分子中的两个双键相互靠近，从而形成一个共轭体系。

共轭体系中的电子云分布情况有别于普通分子，在共轭体系中，电子在整个体系中可以通过轨道的相互重叠传导。

由于电子云分布的特殊性，共轭体系通常具有较为稳定的共振结构和扩展的共轭体系。

共轭体系的存在使得分子具有特殊的光谱吸收和发射性质，对于分子的电子传导和光学性质起着重要的作用。

总结起来，化学物质的电子云分布是决定其性质和反应过程的重要因素。

原子和离子的电子云分布由其自身的原子轨道决定，而分子的电子云分布由分子内键的类型和形式决定。

电子云

电子云1简介电子云是物理学、化学中的一项概念。

电子云是近代对电子用统计的方法，在核外空间分布方式的形象描绘，它的区别在于行星轨道式模型。

电子有波粒二象性，它不像宏观物体的运动那样有确定的轨道，因此画不出它的运动轨迹。

不能预言它在某一时刻究竟出现在核外空间的哪个地方，只能知道它在某处出现的机会有多少。

为此，就以单位体积内电子出现几率，即几率密度大小，用小白点的疏密来表示。

小白点密处表示电子出现的几率密度大，小白点疏处几率密度小，看上去好像一片带负电的云状物笼罩在原子核周围，因此叫电子云。

在量子化学中，用一个波函数Ψ（x，y，z）表征电子的运动状态，并且用它的模的平方|Ψ|2值表示单位体积内电子在核外空间某处出现的几率，即几率密度，所以电子云实际上就是|Ψ|2在空间的分布。

研究电子云的空间分布主要包括它的径向分布和角度分布两个方面。

径向分布探求电子出现的几率大小和离核远近的关系，被看作在半径为r，厚度为dr的薄球壳内电子出现的几率。

角度分布探究电子出现的几率和角度的关系。

例如s态电子，角度分布呈球形对称，同一球面上不同角度方向上电子出现的几率密度相同。

p态电子呈8字形，不同角度方向上几率密度不等。

有了pz的角度分布，再有n=2时2p的径向分布，就可以综合两者得到2pz的电子云图形。

由于2p和3p的径向分布不同，2pz和3pz的电子云图形也不同。

2概念电子云就是用小黑点疏密来表示空间各电子出现概率大小的一种图形。

电子云出现的几率大小电子在原子核外很小的空间内作高速运动，其运动规律跟一般物体不同，它没有明确的轨道。

根据量子力学中的测不准原理，我们不可能同时准确地测定出电子在某一时刻所处的位置和运动速度，也不能描画出它的运动轨迹。

因此，人们常用一种能够表示电子在一定时间内在核外空间各处出现机会的模型来描述电子在核外的的运动。

在这个模型里，某个点附近的密度表示电子在该处出现的机会的大小。

密度大的地方，表明电子在核外空间单位体积内出现的机会多；反之，则表明电子出现的机会少。

§3-3氢原子量子理论电子的概率分布

§3-3 氢原子理论
电子的概率分布
一、电子概率的径向分布
d体积元内的概率应表示为
nlm
nlm
d
Rnl (r)Ylm ( ,) 2 r 2 sindrdd
Rnl (r) 2 r 2dr Ylm ( ,) 2 sindd
在半径为r到r+dr的球壳内发现电子的概率为
wnl (r)dr
π 0
2π 0
(r)]
0
（r为最概然半径）
可以证明，对于n-l-1 = 0 , n 1, 2,
这与玻尔理论中各能级所对应的圆形轨道半径公
式完全一致。
二、电子概率的角度分布
立体角d = sin d d内发现电子的概率为
wlm (,)d
0
Rnl
(r)Ylm (,)
2 r 2dr sin
d
d
Ylm (,) 2 sin d d = Ylm (,) 2 d
式中wlm (, )是电子出现在相应立体角内的概率
密度，称为电子概率的角度分布函数。
3
在上式中，由于
Ylm(,) 2 Nl2m[Plm (cos)]2 e-im eim Nl2m[Plm (cos)]2
与无关,所以角度分布函数wlm(,)是以z轴
Rnl (r)
2 r 2dr Ylm ( ,)
2
s in d d
Rn2l (r )r 2dr
式中wnl (r) Rn2l (r)r2 是电子出现在相应球壳内的概
率密度，称为电子概率的径向分布函数。
1
一些低量子数的径向概率分布曲线
2
对分布函数的一阶导数等于零求得
d dr
wnl
(r)
d dr

氢原子的能级与光谱.

氢原子的能级与光谱·爱因斯坦1905年提出光量子的概念后，不受名人重视，甚至到1913年德国最著名的四位物理学家(包括普朗克)还把爱因斯坦的光量子概念说成是“迷失了方向”。

可是，当时年仅28岁的玻尔，却创造性地把量子概念用到了当时人们持怀疑的卢瑟福原子结构模型，解释了近30年的光谱之谜。

§1 氢原子的能级与光谱一、玻尔的氢原子理论(一)玻尔的基本假设1.定态假设：原子只可能处于一系列不连续的能量状态E1, E2, E3,…。

处于这些状态的原子是稳定的，电子虽作加速运动，但不辐射电磁波。

2.频率条件：原子从某一定态跃迁至另一定态时，则发射(或吸收)光子，其频率满足玻尔在此把普朗克常数引入了原子领域。

(二)玻尔的氢原子理论 1.电子在原子核电场中的运动(1)基本情况：核不动；圆轨道；非相对论。

(2) 用经典力学规律计算电子绕核的运动·电子受力：·能量：得f f = - 14πε0 ( )Ze 2r 21 ε0 ( ) Ze2 r = m ( )υ2r1 2E = m υ2 - 1 4πε0 ( ) Ze2 r E = -Ze 28πε0r2.轨道角动量量子化条件玻尔假定：在所有圆轨道中，只有电子的角动量满足下式的轨道才是可能的。

玻尔引进了角动量的量子化。

3.轨道和速度 ·r n = n 2r 1 ,(玻尔半径) r 1= 0.529 Å· υn= υ1/n ，4πε0h 2 r 1 = ( me 2 )( ) 1 Z 4πε0hυ1 = Ze 2)可见, 随n↑⇒r n↑，υn↓4.能级---能量量子化将r n代入前面E式中，有n = 1,2,3,…)R：里德伯常数(见后)基态能量：E1= -13.6 eV可见，随n↑⇒E n↑，∆E n↓*玻尔的理论是半经典的量子论：对于电子绕核的运动，用经典理论处理；对于电子轨道半径，则用量子条件处理。

p14_10氢原子的电子云图和概率密度等值面图1

根据氢原子的薛定谔方程的解，求概率密度。 (1)为什么说用点的疏密表示的概率密度称为电子云图？ (2)氢原子的概率密度曲面是什么形状？彩色电子云图是如何分布的？通过氢原子最大概率密度的百分之一的等值曲面，说明概率密度的三维形状。
氢原子中的电子在体积元dV之中出现的概率为
wnlmdV = |ψnlm|2dV = |Rnl|2|Θlm|2|Φm|2dV，由于|Φm(φ)|2 = 1/2π，所以电子出现在原子核周围的概率密度为
w n lm (r ,,) |R n l(r )|22 1 π | lm ()|2 r 1 2w n l(r )w lm ()
wlm(θ) = |Θlm(θ)|2/2π是角向概率密度， wnl = |Rnl(r)r|2是径向概率密度。
当主量子数和角量子数确定之后，径向概率密度就
20确21/7定/1 了，磁量子数不同，概率密度的分布就不同。
7
2021/7/1
8
2021/7/1
9
2021/7/1
10
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11
2021/7/1
12
*{范例14.10} 氢原子的电子云图和概率密度等值面图
根据氢原子的薛定谔方程的解，求概率密度。 (1)为什么说用点的疏密表示的概率密度称为电子云图？ (2)氢原子的概率密度曲面是什么形状？彩色电子云图是如何分布的？通过氢原子最大概率密度的百分之一的等值曲面，说明概率密度的三维形状。
*{范例14.10} 氢原子的电子云图和概率密度等值面图
根据氢原子的薛定谔方程的解，求概率密度。 (1)为什么说用点的疏密表示的概率密度称为电子云图？ (2)氢原子的概率密度曲面是什么形状？彩色电子云图是如何分布的？通过氢原子最大概率密度的百分之一的等值曲面，说明概率密度的三维形状。

氢原子电子云分布的可视化分析

以及空间分布函数，并利用Ｍａｌｂ软件绘制了对应的分布图。分析结果表明，原子电子云的分ｔａ氢
布形状由径向和角度概率分布共同决定，电子云分布密度不均匀，以看出轨道的痕迹。此方法直可
（ａｕｔｆＳｉｎｅ， ’ ｎＵｎｖｒｉｙｏｃｎｌｇ， ’ ｎ７０４，ｉａＦｃｌｏｃｅｃｓＸｉａｉｅｓｔｆＴｅｈｏｏｙＸｉａ１０８Ｃｈｎ）ｙ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｗｉｈａｉａｈｂｓｒｃｏｎｅｔｏｆｗａｕｎｃｉｓｆｄｒｇｅｔｔｎａｍｔｔｅａｔａｔｃｃｐｉｎｏｖｅｆｔｏｎｏｒｈｙｏｎａｏｍｎｑｎｕｉｕａｔｍｍｅｈａｉｓｈｓｐａｅｕｅｔｈｅｒｄａｓｒｂｕｉｃｎｃ，ｔｉｐｒｓｇｇｓｓｔａｉｌｄｉｔｉｔｏｎ，ａｇｕａｉｔｉｉｎａｄｓｔａｓｒｂｕｎｌｒｄｓｒｂｕｔｏｎｐａｉｌｄｉｔｉ — ｔｏｕｎｔｏｎｏｄｒｇｅｔｍｌｃｒｎｉｌｄ，ａｄａｓｉｎｆｃｉｆｈｙｏｎａｏｅｅｔｏｃｃｏｕｎｌｏ，ＭａｌｂｓｔｒＳｕｓｄｔｏｈｉｔａｏｆｗａｅｉｅｏｐｌｔｔｅｒｃｒｅｐｄｉｇｄｓｒｂｉｈａｔ．Ｔｈｎａｙｉａｅｕｌｓｉｉａｅｔｔｔｅｄｉｔｉｔｏｔｅｎｓｏｏｒｓｏｎｎｉｔｉｕｔｏｎｃｒｓｅａｌｔｃｌｒｓｔｎｄｃｔｈａｈｓｒｂｕｉｎｐａｔｒｆ

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计算物理期中作业
题目：氢原子中电子云的概率分布
摘要：通过氢原子的波函数(,,)r ψθϕ求解氢原子中电子在(),θϕ方向
立体角 d Ω 中的概率密度，然后编程进行计算并画图给出氢原子角向电子云分布图，通过对比可以看出不同(,)l m 给出的角向电子云分布图呈现一定规律。

关键词：氢原子，概率密度，连带勒让德多项式
氢原子中电子在(),θϕ方向立体角 d Ω 中的概率为
2
2(,,)nlm d r r dr
ψθϕΩ⎰
2
2
20
(,)
()lm nl d Y R r r dr
θϕ+∞
=Ω⎰
2
(,)lm Y d θϕ=Ω
则立体角d Ω内的电子云角向概率密度为
2
2
2
(,)(cos )(cos )
m
im m
lm l l Y P e
P ϕθϕθθ==
连带勒让德多项式为
2/2()()(1)()
m m m l l P x x P x =-
则对勒让德多项式求m 次导数易得
()
()()m
m l l m
d P x P x dx
=
[]
/220(1)(22)!2!()!(2)!l m
k l k
m
l
k d l k x dx
k l k l k -=--=--∑
[]
()/220
(1)(22)!2!()!(2)!l m k l k m
l k l k x
k l k l k m ---=--=
---∑
得连带的勒让德多项式
[]
()/22/2
20
(1)(22)!()(1)2!()!(2)!
l m k m m l k m
l l k l k P x x x
k l k l k m ---=--=----∑
为求解氢原子角向电子云概率密度
2
(cos )
m
l P θ编程如下
程序
OPEN( 1, FILE='STAR.TXT')
WRITE(*,*)'请输入角量子数L和磁量子数M' READ(*,*)ZL,ZM
PI=3.141
DO T=0,PI,0.01
R=PPP(ZL,ZM,COS(T))**2
WRITE(1,*)R*COS(T),R*SIN(T)
ENDDO
END
FUNCTION PPP(ZL,ZM,X)
PPP=PP(ZL,ZM,X)*(1.0-X*X)**(ZM/2.0)
RETURN
END
FUNCTION PP(ZL,ZM,X)
IF(MOD((ZL-ZM),2).EQ.0) THEN
ZLL=ZL-ZM
ELSE
ZLL=ZL-ZM-1
ENDIF
PP=0
DO ZK=0,ZLL/2.0
PP=PP+P(ZL,ZM,ZK,X)
ENDDO
RETURN
END
FUNCTION P(ZL,ZM,ZK,X)
P=(-1)**ZK*F(2*ZL-2*ZK)/2**ZL/F(ZK)
! /F(ZL-ZK)/F(ZL-2*ZK-ZM)*X**(ZL-2*ZK-ZM) RETURN
END
FUNCTION F(ZN)
F=1.0
DO ZK=1.0,ZN
F=F*ZK
ENDDO
RETURN
END
图形结果
m变化的关系（图a）电子云的1/2剖面图随角量子数l和磁量子数
m
2
3
4
角量数l
（图b ）图a各图沿y轴的旋转立体图
图b的放大图
Y10
Y20
Y21
Y31
Y32
Y40
Y41
Y42
8
6
4
2
Y43
结论
定义m l -≡δ称之为差量子数。

观察图a （图b ）容易看出，沿图中箭头方向图形相近，规律如下：
（1）0≠m 差量子数δ相同时，氢原子中电子的角向概率密度
分布图相近。

其中...3,2,1,0...
3,2,1==δm 也就是说2lm Y 的图形和21),1(+-m l Y 的图形相近。

（2）2
0,l Y 的图形相当于把20,0Y 的图形沿赤道方向“勒”了l 个勒痕后的图形，l 是多少就有多少勒环，相应的突起就有1-l 个。

（3）21,l Y 的图形相当于把20,1-l Y 的图形沿z 轴进行了压缩后得到的。

有了以上三条规律任意
2,m l Y 的图形都可以画出。

参考文献
[1]曾谨言.量子力学卷（一）北京：科学出版社，2007。