重庆市第一中学2019届高三下学期4月高考模拟考试数学(理)带答案
2019届重庆市第一中学高三下学期4月月考数学(理)试题(解析版)
2019届重庆市第一中学高三下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．设集合2{log 1}A x x =≤，集合2{|20}B x x x =+-<，则A B U 为（ ） A ．(0,1) B ．(2,2]-C ．(,2]-∞D ．(2,1)-【答案】B【解析】先通过解不等式得出集合,A B ，然后再求A B U . 【详解】由2log 1x ≤得，02x <≤，即(]0,2A =. 由220x x +-<得，21x -<<，即()2,1B =-. 所以(]2,2A B =-U 故选：B 【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题. 2．已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（ ）A ．2B C ．14D 【答案】A【解析】由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z . 【详解】由2019450433i i i i ⨯+==-=. 所以由()2201913z ii +=+得：()213z i i -=+即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||2z == 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3．设函数31log (1),1()1,12x x x f x x -->⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩…，则(1)f =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】根据函数的表达式直接将(1)f 的值代出可求出答案. 【详解】由函数的表达式有111(1)12f -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.4．已知第一象限内抛物线24y x =上的一点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12，则点Q 的坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．D ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】设()(),0,0Q x y x y >>，根据抛物线的定义以及题目条件可得12x x +=，从而求出Q 点的坐标. 【详解】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-.设()(),0,0Q x y x y >>，则点Q 到y 轴的距离为x ，点Q 到准线的距离为1x +. 根据抛物线的定义有：点Q 到焦点的距离为1x +. 又点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12. 所以12x x +=，得1x = ，则2y = 即(1,2)Q 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义的运用，属于基础题.5．我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（ ）A ．得到橘子最多的诸侯比最少的多12个B ．得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人C ．得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12D ．所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24 【答案】D【解析】根据题意，设5人分得的橘子数目从小到大依次为12345,,,,a a a a a ,由等差数列的通项公式可得5113(51)12a a a =+⨯-=+，进而由等差数列的前n 项和公式可得1555602a a S +=⨯=, 解可得1a 的值，分析各个选项即可得答案． 【详解】根据题意，设5人分得的橘子数目从小到大依次为12345,,,,a a a a a ，则这5个数组成以3为公差的等差数列.所以5113(51)12a a a =+⨯-=+ 又5个人共分60个橘子，则有1555602a a S +=⨯=,即1524a a +=. 所以111224a a ++=，解得：16a =所以这5个人分得的橘子数分别为：6，9，12，15，18. 由此可得选项A ，B ，C 正确.选项D. 所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为27，故D 错误. 故选：D 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式的应用，关键是建立等差数列的模型，分析其首项与公差，属于基础题．6．已知实数,x y 满足不等式组4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则23z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．3-C ．1D ．13【答案】A【解析】通过实数,x y 满足约束条件直接画出此二元一次不等式组表示的平面区域；平移目标函数23z x y =-，观察分析即可求出z 的最小值. 【详解】由不等式组4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩作出平面区域：将目标函数23z x y =-化为：233z y x =-. 要求23z x y =-的最小值，即求直线233zy x =-的截距的最大值.由图可知直线233zy x =-过点(2,2)A 时截距最大，z 值最小.即z 的最小值为：2- 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划的应用，考查计算能力与作图能力，以及表达式的几何意义．属于基础题. 7．为计算111123234567S =++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i ≥【答案】C 【解析】由1(1)(2)S S i i i =+++，根据循环，将选项中的条件代入逐一判断，从而判断出选项. 【详解】A ：5?i >，则运算出的结果为1111123234567678S =++⋯++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故错误.B: 5?i <,则1i =时就结束，得到1123S =⨯⨯，故错误.C ：4?i >，则5i =时结束，结果为111123234567S =++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯，正确.D ：4?i ≥，则4i =时结束，结果为111123234456S =++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯,故错误. 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题.8．某校为高一两个班，高二两个班，高三两个班招聘了甲、乙等6位班主任，若随机安排他们每人担任一个班的班主任，则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是（ ） A ．1124B ．38C ．512D ．15【答案】D【解析】根据所有的分配方案有66A 种，其中甲、乙两人恰好在同一年级的分配方案有124324C A A ⨯⨯ ，从而求得甲、乙两人恰好在同一年级的概率．【详解】将这6个人随机安排他们每人担任一个班的班主任的分配方案有66A 种. 其中甲、乙两人恰好在同一年级的分配方案有124324C A A ⨯⨯.则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是1243246615C A A P A ⨯⨯== 故选：D 【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．9．如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，图中粗线的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．12πB ．283π C ．16πD ．263π 【答案】B【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体是由一个圆柱上叠放一个底面半径相同的圆锥的一半构成的几何体，由此求出几何体的体积． 【详解】根据三视图，该几何体是由一个圆柱上叠放一个底面半径相同的圆锥的一半构成， 圆锥、圆柱的底面半径为2，高都为2， 所以体积为11284242233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，属于中档题． 10．已知α为象限角，且满足sin 2cos 1a a +=，则22sin cos 2sin cos αααα⋅=-（ ）A ．6-B ．6C ．1223-D ．1223【答案】A【解析】由sin 2cos 1a a +=两边平方可以求出tan a 的值，然后将22sin cos 2sin cos αααα⋅-分子、分母同时除以2cos a 转化为tan a 的式子可求解. 【详解】α为象限角，则cos 0α≠ .由sin 2cos 1a a +=两边平方得：22sin 4sin cos 4cos 1αααα++=.即24sin cos 3cos 0ααα+=，所以4sin 3cos αα=-. 所以3tan 4α=-. 22223sin cos tan 462sin cos 2tan 13214αααααα-⋅===---⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式及应用，考查运算能力，属于中档题．11．四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB =，该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，,E F 分别是棱,AB CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为6，则该球的表面积为（ ） A ．3π B ．9πC ．12πD ．18π【答案】D【解析】把四棱锥补成正四棱柱，根据正四棱柱的对角线长等于球的直径求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算． 【详解】由四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD .则可以把四棱锥补成正四棱柱，则四棱锥的外接球是正四棱柱的外接球， 所以正四棱柱的对角线长等于球的直径,设球的半径为R .,E F 分别是棱,AB CD 的中点，直线EF 6.所以底面ABCD 截球所得圆的直径等于直线EF 被球面所截得的线段长. 由ABCD 为正方形，所以AC 也为底面ABCD 截球所得圆的直径.所以AC =.由ABCD 为正方形，则AB =又2PA AB =，所以PA =因此PC ===所以2PC R = ，即R =所以球的表面积为24182ππ⎛= ⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用正四棱柱的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键．属于中档题12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()(0)f x f x f --=，当[0,2]x ∈时，()x x f x e =，关于x 的不等式21()2()02f x a f x a ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭在[100,100]x ∈-上有且只有100个整数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．211,2e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．2313,2e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．211,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2313,2e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】判断出函数()f x 的周期性，得出不等式在[0,2]上有1个整数解，再根据()f x 在[0,2]上的单调性得出1个解为1，列出不等式组求出a 的范围． 【详解】 由条件由00(0)0f e==.又(4)()(0)f x f x f --=，则(4)()0f x f x --= 又()f x 为偶函数，即()()f x f x =-.所以有(4)()f x f x -=-，则()f x 为周期为4T = 的周期函数.当[0,2]x ∈时，()x x f x e =,则1()xx f x e -'= 所以()f x 在[0,1) 上单调递增，在(1,2] 上单调递减.当[0,2]x ∈时,22(2)f e =, 10()(1)f x f e≤≤=. 由()f x 为偶函数，则当[2,2]x ∈-时，10()f x e≤≤.又()f x 为周期为4T = 的周期函数，所以10()f x e ≤≤由21()2()02f x a f x a ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭有()1()()202f x f x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭.则1()02f x -<，所以()20f x a +>. 所以21()2()02f x a f x a ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭在[100,100]x ∈-上有且只有100个整数解.即()20f x a +>在[100,100]x ∈-上有且只有100个整数解. 所以()20f x a +>在一个周期[2,2]-上有且只有2个整数解 由()f x 为偶函数，所以()20f x a +>在[0,2]上有且只有1个整数解 所以(2)2(1)f a f ≤-<，即2112a e e-<≤ 故选：C 【点睛】本题考查了函数的单调性的判断，函数周期的应用，根据整数解的个数求参数范围，属于难题．二、填空题13．设(1,2)a =r ，(1,)λ-=r b ，若//a b r r ，则a b ⋅=r r______. 【答案】5-【解析】先由向量平行求出参数λ的值，然后再利用向量的数量积的坐标公式求数量积. 【详解】由(1,2)a =r ，(1,)λ-=r b ，//a b r r.则1(1)20λ⨯--⨯=，解得：2λ=- .所以(1,2)=--rb ，则1(1)2(2)5a b ⋅=⨯-+⨯-=-r r故答案为：5- 【点睛】本题考查向量的平行的应用和求向量的数量积，属于基础题. 14．若对任意0x >，224xa x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围为______.【答案】1[,)2+∞【解析】由224x a x x ≤-+恒成立，只需求出224xx x -+的最大值，再由214242x x x x x=-++-，结合均值不等式可求出最大值，得到答案.【详解】 设2()24xf x x x =-+. 对任意0x >，224xa x x ≤-+恒成立.即max ()a f x ≥.211()42422x f x x x x x ==≤=-++-(当且仅当2x =时取等号） 所以12a ≥ 故答案为：1[,)2+∞【点睛】本题考查根据不等式恒成立求参数范围和根据均值不等式求最大值，属于基础题.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为12(c,0),F (c,0)(c 0)F ->，过点(3,0)M c 作该双曲线渐近线的垂线，垂足为P ，若||5OP b =，则双曲线C 的离心率为______.【解析】根据双曲线的几何性质有2(,0)F c 到双曲线的一条渐近线的距离为b ，由三角形相似可以求出||PM 的长，然后在直角三角形OPM 中，33tan 55PM b b POM a PO b ∠==== ，从而可以求出离心率. 【详解】2(,0)F c 到双曲线的一条渐近线0ay bx -=的距离为：d b ==如图过2F 作2F N OP ⊥ 交OP 于N 点，则2//NF MP .由2ONF OPM ≅△△ 可得，22133OF NF c OM PM c === 所以3MP b =,又||5OP b =.在直角三角形OPM 中，33tan 55PM b b POM a PO b ∠==== 即35b a =，所以229341125c b e a a ==+=+= 故答案为：345. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质和求离心率，属于中档题.16．已知n S 是各项为正数的数列{}n a 的前n 项和，且211n n n n a a S a a S -=+，则n S =______.【答案】122n +-【解析】先求出1a 的值，然后消去n S 得到数列{}n a 的递推关系()122n n a a n -=≥，可得{}n a 为等比数列，从而可求解n S . 【详解】当1n =时，321111a a a a -=+，解得：12a =(10a =或-1舍)则222n n n n a S a S -=+，即()()()1211n n n n S a a a +=+-因为0n a >，所以22n n S a =-……当2n ≥ 时，1122n n S a --=-……由—得()1222n n n a a a n -=-≥，即12n n a a -=所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列 所以()12122212n n nS +-==--故答案为：122n +-. 【点睛】本题考查根据含n a 和n S 的递推关系求通项和等比数列的前n 项和，属于难题.三、解答题17．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，设3C π=且1sin sin sin sin 442b A Cc A B a ππ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的大小；（2）已知函数()sin(3),,124f x x A x ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的值域. 【答案】(1)12π; (2) 1[,1]2【解析】(1)由正弦定理将边化为角的正弦再利用两角和的正弦的公式展开可得到)2sin cos sin cos 1B C C B -=，然后由两角和的正弦公式逆用结合角的范围可求解.(2)由（1）可得到()f x 的解析式，根据角的范围可求值域. 【详解】(1)由条件1sin sin sin sin 442b A Cc A B a ππ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有： 1sin sin sin sin sin sin sin 442B AC C A B A ππ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0A π<<，所以sin 0A ≠， 则1sin sin sin sin 442B C C B ππ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即22221sin cos sin cos 22222B C C C B B ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2sin cos sin cos 1B C C B -=即()2sin 2B C -= 由3C π=,则203B π<<,33B C ππ-<-<.所以4B C π-=,4B C π-=.7412B C ππ=+=所以712312A ππππ=--= (2)由（1）可知()sin(3)12f x x π=+当,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，53,3126x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦则1sin(3)1212x π≤+≤ 所以函数()f x 的值域为1[,1]2. 【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦公式的应用，考查三角函数求值域，属于基础题. 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面111A AC C ⊥底面ABC ，四边形11AAC C 为菱形，ABC V 是边长为2的等边三角形，160A AC ︒∠=，点O 为AC 的中点.（1）若平面11A B C 与平面ABC 交于直线l ，求证：//l AB ； （2）求二面角11C A B C --的余弦值. 【答案】(1) 证明见解析； （25 【解析】（1）由条件有11//A B 平面ABC ，根据线面平行的性质可证.（2）先证明1A O ⊥平面ABC ，然后建议空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1） 证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，11A B ⊄平面ABC .所以11//A B 平面ABC ，且11A B ⊆平面11A B C 平面11A B C I 平面=ABC l 所以11//l A B ，所以//l AB .（2）由四边形11AAC C 为菱形，且160A AC ︒∠=所以1A BC V 为等边三角形且点O 为AC 的中点.. 则1A O AC ⊥，又侧面111A AC C ⊥底面ABC . 面111A A C C I 底面ABC AC =. 所以1A O ⊥平面ABC .又ABC V 是等边三角形，且点O 为AC 的中点.. 则BO AC ⊥.所以1||||3OA OB ==. 以1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,所以())()((110,0,0,3,0,0,0,1,0,3,,3O BC C A设面11A BC 的一个法向量为()111,,n x y z =r. (()1113,0,3,0,2,0BA AC =-=u u u r u u u u r则11100BA n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v vu u u u v v ，即11133020x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 取()1,0,1n =r设面1A BC 的一个法向量为()222,,m x y z =u r.()()13,0,3,3,1,0BA BC =-=-u u u r u u u r则100BA m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v ，即111133030x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取()1,3,1m =u r所以5cos ,525n m n m n m⋅===⨯⋅r u rr u r r u r . 所以二面角11C A B C --的余弦值为5. 【点睛】本题考查利用线面平行的性质证明线线平行和利用向量法求二面角，属于中档题. 19．某公司生产一种新产品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图.（1）用每组区间的中点值代表该组数据，估算这批产品的样本平均数x 和样本方差的2s ；（2）从指标值落在[215,235]的产品中随机抽取2件做进一步检测，设抽取的产品的指标在[225,235]的件数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布()2,N μσ，μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，若产品质量指标值大于236.6，则产品不合格，该厂生产10万件该产品，求这批产品不合格的件数. 15012.2=，()0.683P X μσμσ-<<+=，(22)0.954P X μσμσ-<<+=，(33)0.997P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）200x =，2150s = ；（2）分布列见解析，25EX =（3）150 【解析】（1）利用频率分布直方图中的数据求出样本的平均数和方差.（2）先分别求出指标值落在[215,235]和[225,235]的产品件数，再得X 的取值为0，1，2，分别计算其概率，得出分布列和数学期望.(3)先计算出产品质量指标值大于236.6的概率，再求解产品的件数. 【详解】 （1）1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）指标值落在[215,235]的产品有()1000.080.0210⨯+=件. 产品的指标在[225,235]的件数为1000.022⨯=. 所以X 的取值为0，1，2()2821028045C P X C === , ()118221016145C C P X C ⋅===,()222101245C P X C === 所以X 的分布列为X 的数学期望28161182012454545455EX =⨯+⨯+⨯== (3)由（1）可知2150σ=，则12.2σ== 则这种产品的质量指标值服从正态分布()2200,12.2N产品质量指标值大于236.6的概率为()()10.9970.003236.6322P X P X u σ->=>+== 所以生产10万件该产品不合格的件数：50.003101502⨯= 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题和正态分布中的相关计算，解题时应利用直方图进行简单的计算，是中档题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴长为4，1F ，2F 分别为椭圆C 的左，右焦点，点E 是椭圆C 上的任意一点，12F F E △面积的最大为3，且取得最大值时12F EF ∠为钝角.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆222:()0O x y r r +=>，点M 为圆O 上任意一点，过点M 的切线分别交椭圆C 于,P Q 两点，且0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求r 的值.【答案】（1）2214x y += （2）255 【解析】(1)由条件2a =，当点E 在短轴的端点1B (或2)B 时，12F F E △的面积最大得max 1232S c b =⨯⨯=，又当12F F E △的面积取得最大值时12F EF ∠为钝角得 c b >，可解出椭圆方程.(2)分切线的斜率存在和不存在两种情况计算，由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y += 方程联立代入结合直线l 与圆O 相切计算可得答案. 【详解】(1)设()1,0F c -，()()2,00F c c >短轴的端点分别为12,B B .由椭圆的长轴为4，则2a =.当点E 在短轴的端点1B (或2)B 时，12F F E △的面积最大，则max 1232S c b =⨯⨯= ……当12F F E △的面积取得最大值时12F EF ∠为钝角. 即1145F B O ∠>o，所以11tan 1cF B O b∠=>，即c b >…………… 又2224a b c =+= ………由解得：1,3b c ==所以椭圆方程为：2214x y +=.(2)设圆O 上过点M 的切线为直线l .当直线l 的斜率不存在时，:l x r =±，则,,P r Q r ⎛⎛±± ⎝⎝ 由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即22104r r ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：245r =.当直线l 的斜率存在时，设y kx m =+ 由直线l 与圆O相切得：r =即：222(1)m r k =+.设()()1122,,,P x y Q x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()222148440k x kmx m +++-= 则2121222844,1414km m x x x x k k --+=⋅=++ 由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=所以()()12120x x kx m kx m +++=，即()()22121210kx xkm x x m ++++=所以()22222448101414m km k km m k k --+⋅+⋅+=++即222544014m k k--=+，则22544m k --. 由222(1)m r k =+得()()2225141r kk +=+.所以245r =. 综上所述r. 【点睛】本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，考查方程联立韦达定理的舍而不求的思想方法，属于难题.21．已知函数()ln 2(,)x f x axe b x x a b R =--∈. （1）讨论0a =时，函数()f x 的单调性；（2）若2b =，函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0b ≥ 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当0b < 时，()f x 在(0,)2b-上单调递增，在(,)2b -+∞上单调递减. （2）20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】(1)当0a =时，求出函数()f x 的导函数()f x '，讨论()0f x '>和()0f x '<，对b 进行讨论即可. (2)分离参数得方程()()2ln 0xx x a x xe+=>有两个根，设函数()()2ln ()0xx x g x x xe+=>，讨论()g x 的单调性，从而可得到答案. 【详解】(1) 当0a =时，()ln 2f x b x x =--，则()2()20b x b f x x x x+'=--=-> 当0b ≥ 时，()0f x '≤ 在(0,)+∞上恒成立，则此时()f x 单调递减.当0b < 时，由()0f x '<，即20x b +>，得2b x >- 由()0f x '>，即20x b +<，得02b x <<-. 综上所述，当0b ≥ 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当0b < 时，()f x 在(0,)2b -上单调递增，在(,)2b-+∞上单调递减.. (2) 函数()f x 有两个零点，即方程()()2ln 0xx x a x xe+=>有两个根. 设()()2ln ()0xx x g x x xe+=> 则()()()()()()()()22212[11ln ]2[11ln ]21ln 1]()x x x x x xe e x x x x x x x x x x x g x x e x e xe ⎛⎫+-++ ⎪+-++-++-⎝⎭'===设()ln 1h x x x =+-，则1()10h x x'=+> 所以()h x 在()0,∞+ 上单调递增且(1)0h =.所以当1x > 时，()0h x >;当01x << 时. ()0h x <.所以当1x > 时，()0g x '< ，()g x 在()1,+∞上单调递减. 当01x << 时，()0g x '>,()g x 在()0,1上单调递增. 因此2()(1)g x g e≤=. 又当1x > 时，()2ln ()0xx x g x xe+=>且x →+∞时，()0g x →. 111112(ln )2(1)1()011e ee e e g e e e e e+-+==< 方程()()2ln 0xx x a x xe +=>有两个根.则20(1)a g e<<=所以函数()f x 有两个零点实数a 的取值范围是20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的含参数的单调性的讨论和根据函数的零点个数求参数的范围问题，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线22:(1)(2)9C x y -++=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程； （2）直线()3p R πθ=∈与直线l 交于点M ，与曲线C 交于,P Q 两点，求||||||OM OP OQ ⋅⋅的值.【答案】(1) 曲线C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ-+-=,直线l 的普通方0y +-=.(2)3【解析】(1)利用极坐标和平面直角坐标的互化公式222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+= 直接进行计算.(2)将3πθ=代入真线l 的极坐标方程可得||OM 的值，将3πθ=代入曲线C 的极坐标方程可得||||OP OQ ⋅的值，从而得出答案.【详解】(1)由曲线22:(1)(2)9C x y -++=，得222440x y x y +-+-=所以曲线C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ-+-=.由直线l 的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos cos sin 33ππρθρθ+=所以直线l 0y +-=.(2)将3πθ=代入直线l 的极坐标方程可得2sin 3πρ=得ρ= .所以||OM =将3πθ=代入曲线C 的极坐标方程可得()2140ρρ--=.设,P Q 两点的极坐标分别为12,,,33ππρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则12||||4OP OQ ρρ⋅==.所以||||||OM OP OQ ⋅⋅=4==【点睛】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化和极坐标的几何意义的应用，属于中档题. 23．已知函数()|1|f x ax =-.（1）当1a =时，解不等式1()||2f x x -…； （2）若(1)f M ≤，(2)f M ≤，求证：13M ≥. 【答案】(1) 3|4x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭(2) 证明见解析. 【解析】（1）利用零点分段的方法分段打开绝对值，从而解不等式.（2）由条件有1a M -≤，12a M -≤，然后用绝对值的三角不等式可证明结论.【详解】（1）当1a =时，()|1|f x x =-，由1()||2f x x -…，则1|1|||2x x --… 即解不等式1|||1|2x x --≥，由101210111x x x x x x -≤⎧⎪--=-<<⎨⎪≥⎩所以当0x ≤时，0112x ≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩，显然无解. 当1x ≥时，1112x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩ ，得1x ≥ 当01x <<时，011212x x <<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得：314x ≤< 所以不等式1()||2f x x -…的解集为3|4x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭（2）由(1)f M ≤，(2)f M ≤，即1a M -≤，12a M -≤ 所以()()32211222121M M M a a a a =+≥-+-≥---=所以31M ≥，即13M ≥【点睛】本题考查利用零点分段法解含绝对值的不等式和利用绝对值的三角不等式证明不等式，属于中档题.。
2019届重庆一中高三下学期高考适应性考试理科数学试卷【含答案及解析】
试卷【含答案及解析】
姓名班级分数
题号
-二二
三
总分
得分
一、选择题
1.已知集合人=対丁=1口(1—胡,B=帥=严｝，贝则A|e=()
A「B•"一
C-JI
D:
2.在等比数列；「中，•二"
A.丄
R1
C.
B.复数的共轭复数-
D•复数
已知 是-.-I所在平面内一点，^，现将一粒黄豆随机撒
一上.内，则黄豆落在内的概率是（）
第2题【答案】
C
【解析】
试题分析：因为码二码匹二口/，所以码=1 ,又因为电=匕*所沿=+』气~^q'-右，故选C.
第3题【答案】
C
【解析】
PT1,(1+,)1亠,f ]「
试题分析：真心口古)：)(]/)+,所次在复平面内对应的点为:在第四 象限内J所加理 其共範复数址二H,所则鴨当二严7』”为;対纯虚数时
22I丄丿2
t二0一b=・*f所以匚正确』z=J扌]〔扌]=匸所以11错误，刼毎・
.1B.丄
C.-
*
7.一个四面体的三视图都是等腰直角三角形，如图所示，则这个几何体四个表面中最小
的一个表面面积是（）
A.八B. JC
D.二
8.下面程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程 序框图（图中“梗MOD””表示也除以冲的余数），若输入的BE分别为495,135,则输出的=（）
求证：对于的图象上不同两点I..，讥J-，存在唯一的
I'，使直线V卜的斜率等于：*.
22.选修4-1:几何证明选讲
如图，已知圆:是二，的外接圆，.上-三，，、门 是三，边上的高,二两是圆'的直径•过点.作圆’的切线交 「 的延长线于点
重庆市第一中学2021届高三下学期4月月考(理)数学试题
8．某校为高一两个班，高二两个班，高三两个班招聘了甲、乙等6位班主任，若随机安排他们每人担任一个班的班主任，则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是（）
A． B． C． D．
9．如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，图中粗线的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
（2）若 ， ，求证： .
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先通过解不等式得出集合 ，然后再求 .
【详解】
由 得， ，即 .
由 得， ，即 .
所以
故选：B
【点睛】
本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题.
2．A
【分析】
由 先求出复数 ，然后再求 .
【详解】
由 .
所以由 得：
即 ，故：
参考数据： ， ， ， .
20．已知椭圆 ，长轴长为4， ， 分别为椭圆 的左，右焦点，点 是椭圆 上的任意一点， 面积的最大为 ，且取得最大值时 为钝角.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知圆 ，点 为圆 上任意一点，过点 的切线分别交椭圆 于 两点，且 ，求 的值.
21．已知函数 .
（1）讨论 时，函数 的单调性；
A．得到橘子最多的诸侯比最少的多12个
B．得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人
C．得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12
D．所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24
6．已知实数 满足不等式组 ，则 的最小值为（）
A． B． C．1D．13
7．为计算 ，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（）
重庆市第一中学2019届高三下学期4月月考（理）数学试题
重庆市第一中学2019届高三下学期4月月考(理)数学试题(解析版)
2019年重庆一中高2019级高三下期月考理科学数学一、选择题1.设集合2{log 1}A x x =≤，集合2{|20}B x x x =+-<，则A B U 为（ ）A. (0,1)B. (2,2]-C. (,2]-∞D. (2,1)- 【答案】B【分析】先通过解不等式得出集合,A B ，然后再求A B U .【详解】由2log 1x ≤得，02x <≤，即(]0,2A =.由220x x +-<得，21x -<<，即()2,1B =-.所以(]2,2A B =-U故选：B【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（ ）A. B. C. 14 D. 【答案】A【分析】由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z .【详解】由2019450433i i i i ⨯+==-=.所以由()2201913z i i +=+得：()213z i i -=+即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||2z == 故选：A【点睛】本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3.设函数31log (1),1()1,12x x x f x x -->⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩…，则(1)f =（ ）A. 0B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【分析】根据函数的表达式直接将(1)f 的值代出可求出答案. 【详解】由函数的表达式有111(1)12f -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.4.已知第一象限内抛物线24y x =上的一点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12，则点Q 的坐标为（ ）A. (1,2)-B. (1,2)C.D. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】设()(),0,0Q x y x y >>，根据抛物线的定义以及题目条件可得12x x +=，从而求出Q 点的坐标.【详解】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-.设()(),0,0Q x y x y >>，则点Q 到y 轴的距离为x ，点Q 到准线的距离为1x +.根据抛物线的定义有：点Q 到焦点的距离为1x +.又点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12. 所以12x x +=，得1x = ，则2y =即(1,2)Q故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的运用，属于基础题.5.我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（ ）A. 得到橘子最多的诸侯比最少的多12个B. 得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人C. 得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12D. 所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24。
重庆市2019届高三学业质量调研抽测4月二诊理科数学试题(解析版)
高2019届高三学生学业调研抽测（第二次）理科数学试题卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】根据已知求解出，再计算出模长.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数的运算求得，属于基础题.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求得结果.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出两个集合，属于基础题.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数单调性可得，再利用作为临界值可得，，从而得到三者之间的关系. 【详解】可知：本题正确选项：【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题，关键是能够利用函数的单调性进行判断，属于基础题.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可.【详解】解：因为，所以因为与的等差中项为，，所以，即，所以故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.5.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则【答案】B【解析】【分析】结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可.【详解】解：选项A中可能，A错误；选项C中没有说是相交直线，C错误；选项D中若相交，且都与平面平行，则直线与平面所成角相等，但不平行，D错误.故选：B.【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性可排除和两个选项，再根据时，的符号，可排除选项，从而得到正确结果.【详解】定义域为为定义在上的奇函数，可排除和又，当时，，可排除本题正确选项：【点睛】本题考查函数图像的判断，解决此类问题的主要方法是利用奇偶性、特殊值、单调性来进行排除，通过排除法得到正确结果.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】将的变化规律整理为数列的形式，求解出数列的通项，根据求解出输出时的取值.【详解】将每次不同的取值看做一个数列则，，，…，则，则当时，；当时，即时，，输出结果本题正确选项：【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果，由于循环次数较多，可以根据变化规律，利用数列的知识来进行求解.8.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将化简为，根据对称轴可求得；通过平移得到；依次代入各个选项，判断其单调性，从而得到结果.【详解】将代入可得：又，可得：当时，，不单调，可知错误；当时，，单调递增，可知正确；当时，，单调递减，可知错误；当时，，不单调，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的单调性问题，主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅助角公式、对称轴方程、三角函数平移等知识准确求解出的解析式.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果.【详解】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”则，则本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（）A. 9B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解的最小值，由位置关系可知当与圆心共线时取最小值.【详解】由渐近线方程可知设双曲线右焦点为由双曲线定义可知：则则只需求的最小值即可得到的最小值设圆的圆心为，半径则本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线中的最值问题，关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化，再根据圆外点到圆上点的距离的最值的求解方法得到所求最值.11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解出面积后，利用三棱锥的体积，构造方程，求解出点到底面的距离，从而可知的长度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积.【详解】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离由为球直径可知：则球的半径球的表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面垂直的关系构造直角三角形.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过函数解析式可判断出关于对称，可知取最小值时，与相切且；利用导数求解切线斜率，求解出，从而可得函数最小值.【详解】当时，，则由此可知，关于对称又最小值为，即，此时则此时函数图象如下图所示：此时与相切于当时，设，则又，可得则本题正确选项：【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够通过解析式判断出函数的对称性，从而借助导数的几何意义求得参数的值，进而得到函数最值.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，，根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则______．【答案】375【解析】【分析】求解出，利用求解出，进而求得结果.【详解】由题意：则：本题正确结果：【点睛】本题考查回归直线方程问题，关键是明确回归直线必过，利用此点可求解得到结果.14.若实数满足不等式组，则的最大值为_____．【答案】16【解析】【分析】先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值.【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点A处取得最大值解得点所以最大为4所以的最大值为16故答案为：16.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.15.已知点是抛物线上不同的两点，且两点到抛物线的焦点的距离之和为6，线段的中点为，则焦点到直线的距离为______．【答案】【解析】【分析】通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果.【详解】设，由抛物线定义可知：，则又为中点，则抛物线方程为则：，两式作差得：则直线的方程为：，即点到直线的距离本题正确结果：【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和斜率之间的关系.16.已知数列，对任意，总有成立，设，则数列的前项的和为______．【答案】【解析】【分析】利用求得，从而可得，则每两项作和，通过裂项相消的方式求得结果.【详解】当且时，由……①得：……②①②得：当时，综上所述：则：则的前项和为：本题正确结果：【点睛】本题考查数列裂项相消法求和，关键是能够通过的前项和求得数列的通项公式，从而得到的通项公式，根据的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的面积；（2）若，求的值. 【答案】(1)4(2) 【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得的正余弦的值；利用向量数量积求得，从而可求面积；（2）利用余弦定理求得的正余弦值，利用两角和差公式求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，的面积为（2），，即【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题，关键是能够熟练应用正余弦定理处理边角关系式.18.有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：获利亏损产品：获利亏损注：（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.【答案】(1) (2) 当时，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，丙应选产品投资；当时，丙应选产品投资.【解析】【分析】（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率，可求得；又可得，由此可得的范围；（2）分别求出投资，两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品.【详解】（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则，，，又，且，（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，，丙应选产品投资；当时，，丙应选产品投资.【点睛】本题考查概率统计中的独立事件的概率、数学期望的应用问题.在以期望值作决策依据进行选择时，关键是分别求解出数学期望，依据大小关系来确定结果.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，已知，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）分别证得，，从而证得平面，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用法向量夹角求得结果. 【详解】（1）证明：连接，取的中点为，连接在菱形中，，为正三角形在中，，，由勾股定理知为等腰直角三角形，即平面又平面平面平面（2）解：如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系则，，，，，，设平面的法向量为，则，且即，令，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，则二面角的平面角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题，关键是能够建立起空间直角坐标系，通过法向量夹角的余弦值求得二面角平面角的正弦值，属于常规题型.20.已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.（1）求椭圆方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】（1）通过点到直线的距离、离心率和的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用可得；再利用，根据弦长公式可求得，得到；利用表示出点坐标，代入椭圆可得，从而可求得的范围.【详解】（1）由题意得：，即又，，即，椭圆的方程为（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，由得：由，得：（*），，结合（*）得：从而，点在椭圆上整理得：即或【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中参数取值范围的求解问题，关键是能够利用直线与椭圆相交于不同两点且弦长得到的取值范围；再通过向量的坐标运算，可得到关于与的关系，进而可求得结果.21.已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点即的图像与函数的图像有交点即在有解，即在上有解设，，则当时，为减函数；当时，为增函数，即（2），在上存在两个极值点，且且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，设点，已知，求实数的值.【答案】（1）直线:，曲线:（2）【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数t得直线的一般方程，在曲线的极坐标方程为中先两边同乘，得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由，，列方程求出答案.【详解】解：（1）因为直线的参数方程为消去t化简得直线的普通方程：由得，因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入得即，则，，∴，∴∴∵，∴，满足∴【点睛】本题考查了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)将不等式零点分段可得不等式的解集为.(2)将不等式转化为，可得实数的取值范围是.试题解析：解：（1）当时，，∴等价于或或，解得或或，即.∴不等式的解集为.（2）∵，∴，不等式，∴，∴实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
重庆市第一中学2019届高三下学期4月高考模拟考试理科综合附答案
秘密★启用前理科综合测试试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Pb 207第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关细胞的叙述，不正确的是A．酵母菌细胞代谢和遗传的控制中心位于细胞核B．洋葱根尖分生区细胞中含有遗传物质的结构有细胞核、线粒体和叶绿体C．磷脂和蛋白质是肺炎双球菌必不可少的有机物D．叶肉细胞渗透吸水或失水与液泡中的细胞液浓度有关2.端粒酶是一种由催化蛋白和RNA模板组成的酶，可合成染色体末端的DNA。
研究表明端粒酶对肿瘤细胞的永生化是必须的，因此端粒酶可作为抗肿瘤药物的良好靶点。
下列相关叙述，错误的是A．端粒酶是一种逆转录酶，能延长端粒B．抑制癌细胞中端粒酶活性可控制癌细胞的增殖C．显微观察肿瘤切片，所有肿瘤细胞的染色体数目相同D．目前有手术切除、放疗和化疗等手段治疗癌症3.下列说法不正确的是A．睾丸内初级精母细胞、次级精母细胞都有同源染色体联会配对成四分体现象B．根据系谱分析推算后代遗传病的再发风险率属于遗传咨询范畴C．镰刀形贫血症不属于内环境稳态被破坏导致的疾病D．“肺炎双球菌转化实验”和“噬菌体侵染细菌实验”不都用到同位素标记法4.下列关于生物群落的叙述中，正确的是A．北极冻土苔原生态系统的抵抗力和恢复力稳定性都较高B．西北干旱地区的典型草原经足够长时间的演替后一定能形成森林C．毀林开荒、围湖造田可以改变群落演替的方向D．群落演替中新出现的物种都是生物进化的结果5.下列关于人体内环境稳态的叙述，正确的是A．细胞中有机物的氧化放能是人体热量的主要来源B．激素不能提供能量，与机体的能量代谢没有关系C．血浆渗透压的大小主要与HCO3-的含量有关D．人体内环境的成分有血红蛋白、血糖、生长激素、抗体等6.下列有关植物激素和人工合成的类似化学物质的叙述不正确的是A．用适宜浓度秋水仙素和生长素类似物处理二倍体植物幼苗，均可使染色体加倍B．高浓度的生长素抑制植物生长，可能是因为其诱导了乙烯的合成C．光照、温度等环境因子的变化，可引起植物激素合成的变化，进而对基因组表达进行调节D．同一部位的细胞可能含多种不同的植物激素，共同配合调节植物的生命活动7.下列有关说法中正确的是A．在海轮外壳镶嵌锌块能减缓轮船的腐蚀B．通过物理变化能从海水中提取氯化钠、溴单质C．利用维生素C的酸性能缓解人体内亚硝酸盐中毒D．按1.1°错开两层石墨烯能形成一种有机常温超导材料8.N A表示阿伏伽德罗常数，下列叙述正确的是A．1 mol 氨基（-NH2）含有9N A个电子B．1mol 2,2-二甲基丁烷中含有2N A个甲基C．标准状况下，22.4L SO2完全反应时，转移2N A个电子D．1mol乙酸乙酯在碱性条件下水解后，溶液中存在N A个CH3COO—9.洗发水是否合格，需要检测二噁烷含量。
重庆市一中2019届高三下学期4月模拟考试理综试题含答案
重庆市一中2019届高三下学期4月模拟考试理综试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Pb 207第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关细胞的叙述，不正确的是A．酵母菌细胞代谢和遗传的控制中心位于细胞核B．洋葱根尖分生区细胞中含有遗传物质的结构有细胞核、线粒体和叶绿体C．磷脂和蛋白质是肺炎双球菌必不可少的有机物D．叶肉细胞渗透吸水或失水与液泡中的细胞液浓度有关2.端粒酶是一种由催化蛋白和RNA模板组成的酶，可合成染色体末端的DNA。
研究表明端粒酶对肿瘤细胞的永生化是必须的，因此端粒酶可作为抗肿瘤药物的良好靶点。
下列相关叙述，错误的是A．端粒酶是一种逆转录酶，能延长端粒B．抑制癌细胞中端粒酶活性可控制癌细胞的增殖C．显微观察肿瘤切片，所有肿瘤细胞的染色体数目相同D．目前有手术切除、放疗和化疗等手段治疗癌症3.下列说法不正确的是A．睾丸内初级精母细胞、次级精母细胞都有同源染色体联会配对成四分体现象B．根据系谱分析推算后代遗传病的再发风险率属于遗传咨询范畴C．镰刀形贫血症不属于内环境稳态被破坏导致的疾病D．“肺炎双球菌转化实验”和“噬菌体侵染细菌实验”不都用到同位素标记法4.下列关于生物群落的叙述中，正确的是A．北极冻土苔原生态系统的抵抗力和恢复力稳定性都较高B．西北干旱地区的典型草原经足够长时间的演替后一定能形成森林C．毀林开荒、围湖造田可以改变群落演替的方向D．群落演替中新出现的物种都是生物进化的结果5.下列关于人体内环境稳态的叙述，正确的是A．细胞中有机物的氧化放能是人体热量的主要来源B．激素不能提供能量，与机体的能量代谢没有关系C．血浆渗透压的大小主要与HCO3-的含量有关D．人体内环境的成分有血红蛋白、血糖、生长激素、抗体等6.下列有关植物激素和人工合成的类似化学物质的叙述不正确的是A．用适宜浓度秋水仙素和生长素类似物处理二倍体植物幼苗，均可使染色体加倍B．高浓度的生长素抑制植物生长，可能是因为其诱导了乙烯的合成C．光照、温度等环境因子的变化，可引起植物激素合成的变化，进而对基因组表达进行调节D．同一部位的细胞可能含多种不同的植物激素，共同配合调节植物的生命活动7.下列有关说法中正确的是A．在海轮外壳镶嵌锌块能减缓轮船的腐蚀B．通过物理变化能从海水中提取氯化钠、溴单质C．利用维生素C的酸性能缓解人体内亚硝酸盐中毒D．按1.1°错开两层石墨烯能形成一种有机常温超导材料8.N A表示阿伏伽德罗常数，下列叙述正确的是A．1 mol 氨基（-NH2）含有9N A个电子B．1mol 2,2-二甲基丁烷中含有2N A个甲基C．标准状况下，22.4L SO2完全反应时，转移2N A个电子D．1mol乙酸乙酯在碱性条件下水解后，溶液中存在N A个CH3COO—9.洗发水是否合格，需要检测二噁烷含量。
2019届重庆市第一中学校高三下学期第三次月考数学(理)试题(含答案解析)
2019届重庆市第一中学校高三下学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足(1)1z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．32【答案】C【解析】先求出复数z,再求|z|得解. 【详解】由题得21(1)2,||11(1)(1)2i i iz i z i i i ++====∴=--+ 故选C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．已知集合{|A x y ==，2{|230,}B x x x x Z =--<∈，则()RC A B =I （ ） A ．{1} B ．{2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}【答案】C【解析】先化简集合A,B ，再求()R C A B I 得解. 【详解】由题得A={x|x ＜1},B={x|-1＜x ＜3，x ∈Z}={0,1,2}, 所以{|1}R C A x x =≥， 所以()={1,2}R C A B I . 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．若，，，则实数，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求出a,b,c 的范围，再比较大小即得解. 【详解】 由题得，，所以a>b>c. 故选：A 【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的单调性的应用，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．下列说法正确的是（ ）A ．设m 为实数，若方程22112x y m m+=--表示双曲线，则m ＞2．B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+2x +3＜0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0”D ．命题“若x 0为y ＝f （x ）的极值点，则f ’（x ）＝0”的逆命题是真命题 【答案】B【解析】根据双曲线的定义和方程判断A ，复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义判断B ，特称命题的否定是全称命题判断C ，逆命题的定义以及函数极值的性质和定义判断D. 【详解】对于A ：若方程表示双曲线，则()()120m m --<，解得2m >或1m <，故A 错误； 对于B ：若p q ∧为真命题，则p ，q 同时为真命题，则p q ∨为真命题，当p 真q 假时，满足p q ∨为真命题，但p q ∧为假命题，即必要性不成立，则“p q ∧为真命题”是“p q ∧为真命题”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++≥”，故C 错误；对于D ：命题“若0x 为()y f x =的极值点，则()0f x '=”的逆命题是：“若()0f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，此逆命题为假命题，比如：在()3f x x =中，()23f x x '=，其中()00f '=，但0x =不是极值点，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题． 5．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B【解析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.6．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了 B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了【答案】B【解析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾； ③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.7．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在ABC ∆内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可得解. 【详解】 由题得1,=,22ABC ABC aS ah S h S S ∆∆=∴=矩形矩形. 所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积. 而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一，所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一， 故该点落在标记“盈”的区域的概率为14， 故选C ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题 8．将函数2()23)sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值可能为（ ） A ．6π B ．23π C ．2π D ．3π 【答案】D【解析】先化简函数的解析式，再平移得到函数2sin(22)6y x πϕ=+-，再根据函数的对称性得解. 【详解】由题得(x)23sin cos cos23sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x π=-=-=-，将函数2()23)sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到2sin[2()]2sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-，由题得2,,()6223k k k Z ππππϕπϕ-=+∴=+∈, 当k=0时，=3πϕ.故选D 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查函数奇偶性的应用，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论： ①若m 、n 互为异面直线，m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ②若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β； ③若n ⊥α，m ∥α，则n ⊥m ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ∥m ，则n ∥β． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①③【答案】D【解析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解． 【详解】对于①，由面面平行的判定定理可得，若m 、n 互为异面直线，m ∥α，n ∥β，则α∥β或相交，又因为m ∥β，n ∥α，则α∥β，故①正确；对于②，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β或α∥β或α，β相交，故②错误， 对于③，若n ⊥α，m ∥α，则n ⊥m ；故③正确，对于④，若α⊥β，m ⊥α，n ∥m ，则n ∥β或n ⊂β，故④错误， 综上可得：正确的是①③， 故选D ． 【点睛】本题考查了线面、面面的位置关系，考查了线面垂直、平行的判定及性质定理的应用，属中档题．10．在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且a =(sin )sin C B B A =，BC 边上的高为h ，则h 的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【解析】先化简已知得c 2sin()3B π=+，再求出1sin(2)62h B π=-+，再利用三角函数求h 最大值得解. 【详解】(sin )sin C B B A =+，(sin )(sin )B B a B B =+⋅=+所以c 2sin()3B π=+.所以1h csinB 2sin()sinB 2sinB(sinB )32B B π==+= 所以1sin(2)62h B π=-+, 所以当B=3π时，h 取最大值32. 故选C 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个. A ．71 B ．66C ．59D ．53【答案】A【解析】根据题意，分析可得四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，据此分5种情况讨论，依次求出每种情况下大于2017的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案． 【详解】根据题意，四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况， 则分5种情况讨论：①、四个数字为0、1、3、6时，千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有2612⨯=个“完美四位数”，②、四个数字为0、1、4、5时，千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有2612⨯=个“完美四位数”，③、四个数字为0、1、2、7时，千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况，此时有6511+=个“完 美四位数”，④、四个数字为0、2、3、5时，千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有1863=⨯个“完美四位数”，⑤、四个数字为1、2、3、4时，千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有1863=⨯个“完美四位数”，则一共有121211181871++++=个“完美四位数”， 故选：A ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，分类讨论注意做到不重不漏．12．设[]x 表示不大于实数x 的最大整数，函数2ln [ln ]1,0()(1),0xx x x f x e ax x ⎧-->=⎨+≤⎩，若关于x 的方程()1f x =有且只有5个解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,)e -∞-C ．(,1]-∞-D ．(,]e -∞-【答案】A【解析】根据分段函数的解析式，先讨论当x ＞0时，函数零点的个数为三个，再讨论当x≤0时，函数的零点的个数为2个，利用导数结合数形结合分析得解. 【详解】首先，确定在x ＞0上，方程f(x)=1的解.{0,1,2,3,4,}n ∈L 时，在(1)(1)[,)n n n n x e e e x e -+--+-∈≤<上，， (1)ln n x n -+≤<-，所以由取整意义有[lnx]=-(n+1), 又222ln (1),n x n <≤+22()31,n n f x n n ∴+<≤++即在(1)[,)n n x ee -+-∈上，恒有22()31,n nf x n n +<≤++221(x)1n 3,n n f n +-<-≤+取n=0,1()10f x -<-≤，令11,()1,x e f e --==此时有一根1x e -=， 当n≥1时，恒有f(x)-1＞1， 此时在(1)[,)n n x e e -+-∈上无根.在1[,)nn x e e+∈上，1n n e x e +≤<，ln 1[ln ]n x n x n ≤<+=，，又222ln 1n x n ≤<+（），221()(1)1,n n f x n n ∴--≤<+--所以在1[,)nn x e e+∈上，恒有221()n n f x n n --≤<+，222()11n n f x n n ∴--≤-≤+-.n=1时，在2[,e e ）上，有2f -≤≤（x)-11, n=2时，在23,)e [e 上， 有0()15,f x ≤-<()1,f x ∴=即2ln 11,x n --=2ln 2,,n x n x e+=+=所以此时有两根，32,.x e =x=e 这样在+∞（0，）上，f(x)=1, 有三根，132123,,x e x e -==x =e 在(,0]f(x)e (1),xx ax ∈-∞=+上， 显然(0)1,f =有一根4=0x ，所以在-0∞（，）上，f(x)=1有且仅有一根， →∞又x -时，由“洛必达法则” -lim ()lim (1)0.x x x f x e ax →∞→-∞=+=-0∴∞在（，）上，f(x)是先增后减，(1),0x ax a ''++f (x)=e f (x)=得101a x a a+=-<⇒<-或a ＞0. 1--)()a f x a +∞又在（，上，单调递增，()0f x '∴>即1e ()0,01,a aa a a +-⋅->⇒<<-又1.a ∴<-故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.二、填空题13．若实数，满足约束条件，则的最大值是________．【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：可变形为，表示斜率为的直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，．【点睛】本题考查简单的线性规划问题.14．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =r ，1322b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，则(2)a b b +⋅=r r r________．【答案】52【解析】先由题意求出b r ，得到a b ⋅r r，进而可求出结果.【详解】因为13,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，所以1b =r ，又向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =r ，则1cos 32b a b a π=⋅=r r r r ，所以21(2)52222a b b a b b +⋅=⋅+=+=r r r r r r .故答案为52【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，熟记概念与运算法则即可，属于常考题型.15．在(0)na x a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有项的系数和为256，则含6x 的项的系数为_________． 【答案】8.【解析】根据已知求出n=8和a=1,再求含6x 的项的系数. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以n=8.因为所有项的系数和为256， 所以81+a)256,1a =∴=（.设81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为8821881()r r r r r r T C x C x x --+==，令8-2r=6,所以r=1.所以含6x 的项的系数为188C =.故答案为：8 【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数的求法，考查二项式系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．已知抛物线C ：24(0)y mx m =>与直线0x y m --=交于A 、B 两点（A 、B 两点分别在x 轴的上、下方），且弦长8AB =，则过A ，B 两点、圆心在第一象限且与直线50x y +-+=相切的圆的方程为____________． 【答案】22(1)(4)24x y -+-=.【解析】先求出圆的半径为1,4），即得圆的方程. 【详解】联立直线和抛物线的方程得2260,x mx m -+=由题得1，所以m=1.所以2610,x x -+=解之得A(3(3B ++--,所以AB 的垂直平分线方程为y=-x+5, 因为圆心在AB 的垂直平分线上， 所以设圆心（t,-t+5）,因为AB的垂直平分线和直线50x y +-+=平行，因为两平行线间的距离为d ==所以圆的半径为因为点A (3++在圆上，所以22)(3)24,(05)t t t +-=<<（， 所以t=1.所以圆心为（1,4），所以圆的方程为22(1)(4)24x y -+-=. 故答案为：22(1)(4)24x y -+-= 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题17．已知数列{}n a 满足：()*111,2n n n a a n N a +≠=-∈，数列{}n b 中，11n n b a =-，且124,,b b b 成等比数列； （1）求证：{}n b 是等差数列；（2）n S 是数列{}n b 的前n 项和，求数列{1nS }的前n 项和n T ． 【答案】(1)证明见解析 (2)21n nT n =+． 【解析】（1）根据递推式构造出111111n n a a +=+--，即11n n b b +=+，可得证；（2）先根据等差数列的前n 项和公式，求出n S ，可得1nS ，再运用裂项求和的方法可得解. 【详解】（1）证明：()*111,2n n n a a n a +≠=-∈N ，可得11111n n n na a a a +--=-=， 所以111111n n a a +=+--，因为11n n b a =-，所以得11n n b b +=+，所以{}n b 是公差为1的等差数列；（2）124,,b b b 成等比数列，可得2214b b b =，可得()()211113b b b +=+，解得11b =，即21(1)22n n nS n n n +=+-=，可得12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则前n 项和11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭L 122111nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 所以21n nT n =+. 【点睛】本题考查根据递推式证明数列是等差数列，等差数列的前n 项和,以及运用裂项相消法求数列的和的方法，在证明数列是等差数列时，需构造等差数列的定义式，属于中档题. 18．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。
重庆市第一中学2019届高三下学期4月高考模拟考试数学(理)(含答案)
A. ,1
B. ,e
C. ,1
D. ,e
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生必须做答。第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
x y 1，
13.
若实数
x，y
满足约束条件
C2 的方程.
21．已知函数
f
x
x
e2
x
，其中 e
为自然对数的底数.
4
（1）设函数 gx x 1f 'x（其中 f 'x为 f x的导函数），判断 gx在 1,上的
单调性；
（2）若函数 F x l(二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，
需求量/个 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150
天数
15
25
30
20
10
（1）当 x 135 时，若 X 130 时获得的利润为T1 ， X 140 时获得的利润为T2 ，试比较T1 和T2 的
大小；
（2）当 X 130 时，根据上表，从利润 T 不少于 570 元的天数中，按需求量分层抽样抽取 6 天， （ i ）求此时利润 T 关于市场需求量 x 的函数解析式，并求这 6 天中利润为 650 元的天数； （ ii ）再从这 6 天中抽取 3 天做进一步分析，设这 3 天中利润为 650 元的天数为 ，求随机变量
x
y
1，则 z
x 2 y 的最大值是_____.
x 0，
14.
已知平面向量 a,b 的夹角为 ，且 a 3
重庆市一中2019届高三数学下学期4月模拟考试试题文
重庆市一中2019届高三数学下学期4月模拟考试试题文注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名考号填写在答题卡上；2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3.考试结束后，将答题卡交回。
一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=( )A． B． C． D．2.已知复数满足（是虚数单位），则=( )A． B． C． D．3.“为真命题”是“为真命题”( ) 的条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.若，，，则实数的大小关系为（）A. B． C． D．5.已知直线，直线为，若则 ( )A．或 B．C． D．或6.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（）A． B． C． D．7.设函数，则（）A.为的极大值点 B．为的极小值点C.为的极大值点 D．为的极小值点8.设实数满足约束条件，则的取值范围是( )A. B． C. D．9.执行右面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（）A． B． C． D．10.将函数图像向左平移个单位后图像关于点中心对称，则的值可能为（）A．B． C． D．11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( )A. B. C. D.12.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A. B. C. D.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的渐近线方程是 .14.平面向量的夹角为，且，则____15.已知是等差数列，，且．若，则的前项和 .16.给出下列4个命题：①若函数在在上有零点，则一定有；②函数既不是奇函数又不是偶函数；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④若函数满足条件则的最小值为．其中正确命题的序号是： . (写出所有正确命题的序号)三．解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分12分）中，内角对应的边分别为，满足.（Ⅰ）已知求与的值；（Ⅱ）若且求.18.（本小题满分12分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）19.（本小题满分12分）如图，是边长为的等边三角形，四边形为正方形，平面⊥平面.点分别为棱上的点，且，为棱上一点，且.（Ⅰ）当时，求证：∥平面；（Ⅱ）已知三棱锥的体积为，求的值.20.（本小题满分12分）如图，是离心率为的椭圆的左、右顶点，是该椭圆的左、右焦点，是直线上两个动点，连接和，它们分别与椭圆交于点两点，且线段恰好过椭圆的左焦点. 当时，点恰为线段的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断以为直径的圆与直线位置关系，并加以证明．21.（本小题满分12分）设函数，对于，都有成立.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：（其中是自然对数的底数）.选考题：共10分。
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秘密★启用前数学（理科）测试试题卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足(1)1z i i -=+（i 是虚数单位），则||z =A ．0B ．12C ．1D ．322. 已知集合{}1A x y x==-，{}2230B x x x x Z =--<∈，，则()R C A B I = A ．{}1 B ．{}2 C ．{}21， D ．{}321，， 3. 若4log 3=a ，4.06.0=b ，2log 21=c ，则实数c b a ，，的大小关系为A. c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．c a b >>4. 下列说法正确的是A . 设m 是实数，若方程12122=-+-my m x 表示双曲线，则2>m ．B.“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的充分不必要条件． C . 命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”． D . 命题“若0x 为()x f y =的极值点，则()00'=x f ”的逆命题是真命题． 5. 执行右边的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是 A ．5≤i B ．6≤i C ．7≤i D ．8≤i 6. 在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论。
甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师 （第5题） 看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对 了，有且只有一人说对了。
”请问下列说法正确的是A .甲说对了B . 甲做对了 C. 乙说对了 D. 乙做对了 7. 割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以 盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。
右图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法。
在ABC ∆内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为 A.21 B. 31C. 41 D. 51开始否是输出S 结束1i i =+0,1S i ==-12i S S =+8. 将函数()()1sin 22sin sin 322-+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x x f ππ的图像向左平移ϕ（0>ϕ）个单位长度后，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值可能为A ．6πB ．32πC ．2πD ．3π9. 已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论： ①若m 、n 互为异面直线，ββαα//,//,//,//n m n m ，则βα//； ②若n m ⊥，α⊥m ，β//n ，则βα⊥； ③若n α⊥，α//m ，则n m ⊥；④若βα⊥，α⊥m ，m n //，则β//n . 其中正确的是A. ①②B.②③C. ③④D. ①③10. 在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且3=a ，A B B C sin )cos 3(sin sin 3+=，BC 边上的高为h ，则h 的最大值为A ．21 B ．1 C ．23D ．211. 若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字 0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个 A. 71 B. 66 C. 59 D. 5312. 设[]x 表示不大于实数x 的最大整数，函数()[]()⎩⎨⎧≤+>--=0,10,1ln ln 2x ax e x x x x f x，若关于x 的方程()1=x f 有且只有5个解，则实数a 的取值范围为A. ()1,-∞-B. ()e -∞-,C. (]1,-∞-D.(]e -∞-,第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答。
第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 若实数y x ，满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =-的最大值是_____. 14. 已知平面向量,的夹角为3π1=a ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21，则()=⋅+2_____. 15. 在()0>⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x a x n的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有项的系数和为256，则含6x的项的系数为______.16. 已知抛物线()04:2>=m mx y C 与直线0=--m y x 交于A 、B 两点（A 、B 两点分别在x 轴的上、下方），且弦长8=AB ，则过B A ，两点、圆心在第一象限且与直线0345=+-+y x 相切的圆的方程为______.三．解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（一）必考题：共60分17. 已知数列{}n a 满足：111,2n n n a a a +≠=-()*∈N n ，数列{}n b 中，11n n b a =-，且124b b b ，，成等比数列. (1)求证：数列{}n b 是等差数列；(2)若n S 是数列{}n b 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。
根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表。
该蛋糕店一天制作了这款蛋糕X （N X ∈）个，以x （单位：个，100150,x x N ≤≤∈）表示当天的市场需求量，T （单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润. 需求量/个 [)100,110[)110,120[)120,130[)130,140[]140,150天数1525302010（1）当135x =时，若130X =时获得的利润为1T ，140X =时获得的利润为2T ，试比较1T 和2T 的大小； （2）当130X =时，根据上表，从利润T 不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天，（i ）求此时利润T 关于市场需求量x 的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；（ii ）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,4=AB 060=∠DAB ,PD AP ⊥,,32=AP4=BP ,M 为AD 的中点.（1）求证：平面BPM ⊥平面APD ；（2）若点N 在线段BC 上，当直线PN 与平面PMC 所成角的正弦值为86时，求线段BN 的长.20. 已知点()1,0-D ，过点D 作抛物线()02:21>=p py x C 的切线l ，切点A 在第二象限.（1）求切点A 的纵坐标；（2）有一离心率为22的椭圆2C :()012222>>=+b a b ya x 恰好经过切点A ，设切线l 与椭圆2C 的另一交点为点B ，记切线l 、OA 、OB 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若k k k 421=+，求椭圆2C 的方程.21．已知函数()42xe xf x -=，其中e 为自然对数的底数. （1）设函数()()()x f x x g '1+=（其中()x f '为()x f 的导函数），判断()x g 在()+∞-,1上的单调性； （2）若函数()()()41ln +-+=x af x x F 在定义域内无零点，试确定正数a 的取值范围.(二）选考题：共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:2cos .3C πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求1C 与2C 交点的直角坐标；（2）若直线l 与曲线1C ,2C 分别相交于异于原点的点,M N ,求||MN 的最大值.23．设函数()2121f x x x =-++.（1）若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤-，求实数m 的取值范围；（2）若m 是（1）中的最大值，且正数b a ,满足m b a =+，证明：122≥+ab b a .数学（理科）答案一．选择题CCABB ACDDC AA 二．填空题 13. 2 14. 5215. 16. ()()244122=-+-y x 三．解答题17. 解：（1）1111111121111111=---=----=---=-++n n n n nn n n n a a a a a a a b b∴数列{}n b 是公差为1的等差数列；（2）由题意可得()()311121,4122+=+=b b b b b b 即 ，所以11=b()21n +=∴n n S ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=∴1112121n n n n n S 12111211131212112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-⨯=n n n n n T n Λ 18.（1）130X =时，65051301=⨯=T 元；140X =时, 6605351351=⨯-⨯=T 元 ， ∴21T T >； （2）（i ）当130X =时，利润8390,100130=650130150x x T x -≤<⎧⎨≤≤⎩，当5708390570,130T x x ≥-≥≤<时，即即120 ，又570650>，所以利润T 不少于570元时，需求量150120≤≤x ，共有60天 ， 按分层抽样抽取，则这6天中利润为650元的天数：3216=⨯， （ii ）由题意可知=0123ξ，，，,其中()20103633===C C P ξ, ()2091361323===C C C P ξ,()2092362313===C C C P ξ ,()20133633===C C P ξ . 故ξ的分布列为P 012 3ξ201209 209 201()2320132092209=⨯+⨯+=∴ξE 19. （1）证明：由题意易得AD BM ⊥,且32=BM ，在APD Rt ∆中，()232422=-=PD ,060=∠∴PDA ,2=∴PM , 在PMB ∆中，222BP BM PM =+,MB PM ⊥∴ 又M PM AD =⋂，APD BM 面⊥∴, 又BPM BM 面⊂∴，∴平面BPM ⊥平面APD（2）由（1）可知APD BM 面⊥ ， 所以以点M 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，则()()，3,1,0,0,0,0P M (),0,4,32C()0,,32a N 设()40≤≤a ，则()3,1,32--=a PN ，()3,1,0=MP ,()0,4,32=,设平面PMC 的一个法向量为()z y x ,,=()1,3,21,3,204320300-==-==⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z y x y x z y MP m ，所以，则令由()()2433136cos ,4311213a m PN a ---∴==+++-+u r u u u r ， 解得2=a 或8=a （舍） 故2=BN20.解：（1）设切点),(00y x A 则有，p x y 2200=由切线l 的斜率为，p x k 0=得l 的方程为，p x x p x y 2200-=又点)1,0(-D 在l 上所以px 212=即，10=y 所以点A 的纵坐标.10=y（2）由（1）得)1,2(p A -，切线斜率，p k 2-=设),(11y x B ，切线方程为1-=kx y由22=e 得2122=a c 又222b a c -=，所以222b a =所以椭圆方程为122222=+by b x ，由⎩⎨⎧=+-=222221b y x kx y 得0224)21(222=-+-+b kx x k 22102102122,214k b x x k k x x +-=+=+∴又因为k k k 421=+，即k b kk k b k kk x x x x k x x kx x kx x x x y x y x x y x y 4122212-22142)(2)1()1(222210011010011010011100=--=++-=+-=-+-=+=+解得22=b ，所以4222==b a .所以椭圆方程为12422=+y x 21.解：（1）因为错误!未找到引用源。