平面向量的线性运算 PPT
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高考数学专题复习《平面向量的概念及线性运算》PPT课件
向量
模等于 1
的向量
a
向量为±|a|
名称
相等的
向量
定 义
备 注
大小 相等 、方向 相同
的向量
两个向 如果两个 非零 向量的方向 相同或相反 ,则
量平行 称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向
两向量只有相等或不相
等,不能比较大小
规定零向量与任一向量
平行(共线)
(共线)
量共线
相反
给定一个向量,把与这个向量方向 相反 、大 零向量的相反向量仍是
.
,而且λa的方向如下:
,
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= 0
.
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
(2)数乘向量的定义说明
如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
(3)数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,
一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
D.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的
中点为D,则下列结论正确的是(
A.G 是△ABC 的三条中线的交点
B. + + =0
C. =2
D. =
)
答案 ABC
解析 对于 A,△ABC 三条中线的交点就是重心,故 A 正确;对于 B,根据平行四
(4)数乘向量的运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律
一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有
(1)λ(μa)= (λμ)a ;(2)λa+μa= (λ+μ)a
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
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A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
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(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
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4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
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2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
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3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.
平面向量的概念及线性运算(课堂PPT)
3
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0， 零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ． （7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识 典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别
高考一轮第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算ppt
返回
返回
1．下列给出的命题正确的是
A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个
(
)
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向 相同的向量
D．相等的向量必是共线向量
答案： D
返回
2．如右图所示，向量a－b等于 A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
(
)
C．e1－3e2
返回
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 盘锦模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 M、N、P 三点共线，O 为坐标原点，且 ON ＝ a15 OM ＋a6 OP (直线 MP 不过点 O)，则 S20 等于 ( A．10 C．20 B．15 D．40 )
求两个
加法 向量和 的运算
(1)交换律：a＋b＝
三角形 法则
b＋a .
(2)结合律：(a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) .
平行四边形 法则
返回
向量
运算
定义 求a与b的相反
法则(或几何意义)
运算律
减法
向量－b的和的
运算叫做a与b 的差 三角形 法则
返回
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b” ¿ “a＋2b＝0”， 所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案： A 返回
5．(2012· 南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB ＝ 2e1－8e2， CB ＝e1＋3e2， CD ＝2e1－e2.
高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件1
【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 、 相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。
向量线性运算的坐标表示PPT课件
x1y2 x2 y1 0 由此得到，对非零向量a、 b，设 a (x1, y1),b (x2, y2 ),
当 0 时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0． （7．9）
交叉相乘差为零
巩固知识 典型例题
例4 设 a (1,3),b (2,，6)判断向量a、 b是否共线．
创设情境 兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考 探索新知
设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b ，有 x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
当 0时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0．
运用知பைடு நூலகம் 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)； （3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
(1)a＋b=(-1,4)、 a－b=(-3,2)、−2 a＋3 b=(7,-3) (2)a＋b=(-3,-3)、 a－b=(5,3)、−2 a＋3 b=(-14,-9) (3)a＋b=(2,2)、 a－b=(-4,2)、−2 a＋3 b=(11,-4)
巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) －3 a，
(3) 3 a－2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
当 0 时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0． （7．9）
交叉相乘差为零
巩固知识 典型例题
例4 设 a (1,3),b (2,，6)判断向量a、 b是否共线．
创设情境 兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考 探索新知
设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b ，有 x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
当 0时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0．
运用知பைடு நூலகம் 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)； （3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
(1)a＋b=(-1,4)、 a－b=(-3,2)、−2 a＋3 b=(7,-3) (2)a＋b=(-3,-3)、 a－b=(5,3)、−2 a＋3 b=(-14,-9) (3)a＋b=(2,2)、 a－b=(-4,2)、−2 a＋3 b=(11,-4)
巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) －3 a，
(3) 3 a－2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
第六章第1讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
相同
相反
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
交换律： ______;结合律： ___________
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
减法
求两个向量差的运算
_
续表
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
【对点训练】
1.(2023·四川成都七中诊断)如图， 是圆 的一条直径， ， 为半圆弧的两个三等分点，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.连接 （图略），因为 ， 是半圆弧的三等分点，所以 ，且 ，因此 .
√
2.在四边形 中，若 ，且 ，则四边形 为( )
×
（3）若向量 与向量 是共线向量,则 , , , 四点在一条直线上.( )
×
（4）当两个非零向量 , 共线时,一定有 ,反之成立.( )
√
2.(2022·新高考卷Ⅰ)在 中，点 在边 上， .记 , ，则 ( )
A. B. C. D.
√
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形
解析：选C.因为 ，所以四边形 是平行四边形.又 ，所以平行四边形 的对角线相等，因此该四边形是矩形.故选C.
√
3.(2023·河南八市联考改编)在等腰梯形 中， ，点 是线段 的中点，若 ，则 _ _， __.
解析：取 的中点 ，连接 （图略），则由题意可得 ，且 .因为 ，所以 ， .
√
√
解析：选 选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误；B选项，因为 与 共线，且有公共点 ，所以 ， ， 三点在同一条直线上，所以B正确；C选项，当 且方向相反时，即使 ，也不能得到 ，所以 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误；D选项， ， ， ， 是不共线的点， ，即模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以D正确.
相反
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
交换律： ______;结合律： ___________
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
减法
求两个向量差的运算
_
续表
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
【对点训练】
1.(2023·四川成都七中诊断)如图， 是圆 的一条直径， ， 为半圆弧的两个三等分点，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.连接 （图略），因为 ， 是半圆弧的三等分点，所以 ，且 ，因此 .
√
2.在四边形 中，若 ，且 ，则四边形 为( )
×
（3）若向量 与向量 是共线向量,则 , , , 四点在一条直线上.( )
×
（4）当两个非零向量 , 共线时,一定有 ,反之成立.( )
√
2.(2022·新高考卷Ⅰ)在 中，点 在边 上， .记 , ，则 ( )
A. B. C. D.
√
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形
解析：选C.因为 ，所以四边形 是平行四边形.又 ，所以平行四边形 的对角线相等，因此该四边形是矩形.故选C.
√
3.(2023·河南八市联考改编)在等腰梯形 中， ，点 是线段 的中点，若 ，则 _ _， __.
解析：取 的中点 ，连接 （图略），则由题意可得 ，且 .因为 ，所以 ， .
√
√
解析：选 选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误；B选项，因为 与 共线，且有公共点 ，所以 ， ， 三点在同一条直线上，所以B正确；C选项，当 且方向相反时，即使 ，也不能得到 ，所以 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误；D选项， ， ， ， 是不共线的点， ，即模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以D正确.
第一讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
2025年高考一轮总复习
第五章 平面向量与复数
第一讲 平面向量的概念 及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量 相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才 能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.
第五章 平面向量与复数
第一讲 平面向量的概念 及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量 相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才 能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.
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OP与 OA、OB 的关系如何？
O
OP
1 2
(OA
OB)
A PB
向量的加、减、数乘运算统称为向量的 线性运算，对于任意向量a、b，以及任 意实数λ、x、y，λ(xa±yb）可转化为 什么运算？
λ(xa±yb）=λxa±λyb.
理论迁移
例1 计算 （1）（－3）×4a；
（2）3（a＋b）－2（a－b）－a； （3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.
若向量a（a≠0）与b共线，则一定存 在实数λ，使b=λa成立吗？
综上可得向量共线定理：向量a（a≠0） 与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ， 使b=λa. 若a＝0，上述定理成立吗？
若存在实数λ，使 AB BC，则A、B、 C三点的位置关系如何？
AB BC A、B、C 共线
如图，若P为AB的中点，则
a
－a －a －a
P NMO
OP （－a）＋（－a）＋（－a）
向量a＋a＋a和（－a）＋ （－a）＋（－a）分别如何简化其表示
形式？ a＋a＋a记为3a，
（－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.
向量3a和－3a与向量a的大小和方向有
什么关系？ a
aa a
－a －a －a
OA B C
P NMO
2
设a为非零向量，那么 a和 a3还是向2 量吗？它们分别与向量a有什么关系？
2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据.
a
2
2a
3a
一般地，我们规定：实数λ与向量a的积 是一个向量，这种运算叫做向量的数乘. 记作λa，该向量的长度与方向与向量a 有什么关系？ （1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时,λa与a方向相同； λ<0时,λa与a方向相反； λ=0时,λa =0.
探究四:向量的数乘运算性质
你认为－2×（5a），2a＋2b， (3 2)a可分别转化为什么运算？
例2 如图，已知任意两个非零向量a，
b，试作 OA =a＋b， OB =a＋2b， OC =a＋3b.你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
3b
B
b a
A、C 共线
小结作业
1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量， 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义，向量除以非零实数就 是数乘向量.
两个向量的差还是一个向量吗？
向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b 的差向量，求两个向量的差的运算叫做
向量的减法，对于向量a，b，c，若a+c ＝b，则c等于什么？
a+c＝ b c = b －a
探究三：向量的数乘运算及其几何意义 已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋ a和（－a）＋（－a）＋ （－a）？
B
探究二：向量减法的含义
思考1：两个相反向量的和向量是什么？ 向量a的相反向量可以怎样表示？
－a 思考2：－a的相反向量是什么？零向量 的相反向量是什么？
－（－a）=a
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
在实数的运算中，减去一个数等于加上这个
数的相反数.据此原理，向量a－b可以怎样理
解？
定义：a－b＝a＋（－b）.
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按 原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量 表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
A
BC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
CA
-2× (5a)= -10a ；
2a ＋ 2b = 2(a+b)；
(3＋ 2 )a =3a＋ 2 a.
一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa)， (λ＋μ) a，λ(a＋b)分别等于什么？
λ(μa)=(λμ) a ； (λ＋μ) a =λa ＋μa； λ(a＋ b)=λa＋λb.
对于向量a（a≠0）和b，若存在实数 λ，使b=λa，则向量a与b的方向有 什么关系？
平面向量的线性运算
1.向量、平行向量、相等向量的含义分 别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和 方向是如何反映的？什么叫零向量和单 位向量？
3.两个实数可以相加，从而给数赋予了 新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面 上，那是没有多大意义的.我们希望两个 向量也能相加，拓展向量的数学意义， 提升向量的理论价值，这就需要建立相 关的原理和法则.