理论力学习题汇总第六章分析力学学生版
理论力学 陈立群 第6章动习题解答
第六章 刚体的平面运动 习题解答6-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以角速度Oω绕O 轴匀速转动，如图所示。
如r AC BC OC ===，并取C 为基点，求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
解：AB 杆作平面运动，设0=t 时，0=ϕ，则t 0ωϕ=。
选AB 杆上的C 点位基点，建立平移坐标系y x C ''-，在图示坐标系中，AB 杆在固定坐标系xy O -的位置由坐标),,(ϑC C y x 确定，所以AB 杆的平面运动方程为：t r x C 0cos ω=，t r y C 0sin ω=，t 0ωϕθ==.6-2 杆AB 的A 端沿水平线以等速v 运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为R ，如图所示。
如杆与水平线的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。
解： 解法一：杆AB 作平面运动。
选取A 为基点，由速度基点法CA A C v v v +=， 作图示几何关系，图中v v A =，解得θθsin sin v v v A CA ==，A B 杆的角速度为 θθωcos sin 2R v AC v CA ==（逆时针）.解法二：在直角三角形△ACO 中， xR =ϑsin 上式对时间求导，得x xR 2cos -=ϑϑ 其中，ϑ,R x v x== ，解得A B 杆的角速度为 Rv ϑϑϑcos sin 2-= ，（负号表示角速度转向与ϑ角增大的方向相反，即逆时针）6-3 半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮转动，如图所示。
如曲柄OA 以等角加速度α绕O 轴转动，当运动开始时，角速度0=O ω，转角0=ϕ。
求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。
解：动齿轮作平面运动。
建立与曲柄OA 固结的转动坐标系题6-1图题 6-2图题6-3图ξη-O ，和在动齿轮的A 点建立平移坐标系y x A ''-，如图所示，从图中可见，因动齿轮和固定齿轮间没有滑动，所以存在关系ϑϕr R =小轮半径AM 相对平移坐标系y x A ''-，也即固定坐标系得转角为)1(r R A +=+=ϕϑϕϕ, 而 221t αϕ=，可得小轮平面运动方程为)21cos()(2t r R x A α+=， )21sin()(2t r R y A α+=.6-4 图示机构中，已知10.OA =m ，10.BD =m ，10.DE =m ，310.EF =m ；4=OA ωrad/s 。
理论力学简明教程第六章答案
第六章 分析力学滔滔长江东逝水，浪花淘尽英雄。
达朗贝尔，拉格朗日，哈密顿等许多前贤相聚于此“力学论剑”，其“冲击波”使非线性问题也不攻自破。
长江后浪推前浪，你或许在此能够加倍“忘乎因此‘。
微分方程将叱咤风云。
[要点分析与总结]1虚功原理：（平稳时）理想条件下，力学系的平稳条件是各质 点上的主动力所作的虚功之和为零：10ni i i W F r δδ==•=∑用广义坐标来表述：310n ii i x W F q q ααδδ=∂==∂∑ 2达朗贝尔原理（动力学下的虚功原理）： 1()0ni i i i i W F m r r δδ==-•=∑〈析〉r δ，W δ均是在时刻未转变（0dt =）时所假想的量，而广义坐标a q 能够是角度，长度或其它的独立的坐标变量。
3拉格朗日方程()d T TQ dt q q ααα∂∂-=∂∂ (1,2,3,,)a s =在保守力下，取拉氏数 L T V =-方程为：()0d L L dt q q αα∂∂-=∂∂ 假设拉氏数中L 不显含广义坐标q β，那么：0Lq β∂=∂ 即 循环积分： Lp const q ββ∂==∂ 4微振动非线性系统在小角度近似下，对拉氏方程的应用 5哈密顿函数与正那么方程 （1） 哈密顿函数1(,,)sH p q t L p q ααα==-+∑式中T Lp q q ααα∂∂==∂∂为广义坐标动量 （2） 正那么方程Hq P Hp q H Lt tαααα∂=∂∂=-∂∂∂=-∂∂ (1,2,3,,)a s =假设哈氏函数H 中不显含广义坐标q β，那么：0Hp q ββ∂=-=∂ 即：循环积分 Tp const q ββ∂==∂ 在稳固条件下（H 中不显含t ），12sp q T ααα==∑那么有能量积分：H T V =+6泊松括号1[,]()sG H G HG H q p p q ααααα=∂∂∂∂=-∂∂∂∂∑ 7哈密顿原理与正那么变换 （1）哈密顿原理保守力系下：210t t Ldt δ=⎰概念：21t t S Ldt =⎰为主函数（3） 正那么变换通过某种变数的变换，找到新的函数*H ，使正那么方程的形式不变（相当于坐标变换）。
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。
试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=（2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。
作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。
则角速度杆AB 为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：RvR v A A ==ωR v R v B B 22==ωB A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。
试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。
hv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===习题6-1图ABCv 0hθ习题6－2图PωABv CABCv ohθ习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图v A = vv B = v ωAωB习题6-6图习题6-6解图解：杆BC 的瞬心在点P ，滚子O 的瞬心在点D BDv B ⋅=ωBPBD BP v B BC ⋅==ωω ︒︒⨯=30sin 27030cos 36012 rad/s 8=PC v BC C ⋅=ωm/s 87.130cos 27.08=︒⨯=6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
理论力学-第6章
刚体的平面运动—— 刚体各点到 某一固定平面的距离保持不变。 6.1 刚体平面运动方程及运动分解 6.2 平面图形上各点的速度分 析 6.3 平面图形上各点的加速度分析 6.4 运动学综合应用举例
6.1 刚体平面运动方程及运动分解
刚体平面运动的力学模型
刚体的平面运动 —刚体上处于同一平面内各点到某一 固定平面的距离保持不变。
x A r cos t y A r sin t
r xP rcosωt l1 1 ( sinωt ) 2 , l r (l -l1 ) yP sinωt l
y
2. 连杆上P点的运动方程
xP yP
x
r xP rcosωt l1 1 ( sinωt ) 2 , l r (l -l1 ) yP sinωt l
广义坐标－确定物体在参考系
中位置的独立变量：
q=(xA,yA, )
自由度－确定物体在参考系中位置
所需要的广义座标数：N
平面运动刚体的自由度
N＝3 刚体平面运动方程
3个独立变量随时间变化的 函数，即为刚体平面运动方程：
x A f1 (t ) y A f 2 (t )
f 3 (t )
特
点
刚体上平行于固定平面的 所有平面具有相同的运动规律； 这些平面上的对应的点具有相
同运动轨迹、速度和加速度。
刚体平面运动的力学模型－平面图形
平面图形－在刚体上作平行于 固定平面的平面，这样的平面与 刚体轮廓的交线所构成的图形。 平面图形上的任意直线－这一 直线的运动可以代表平面图形的 运动，也就是刚体的平面运动。
y´
y vBA v B
平面图形－S 定系－Oxy 基点－A 平移系－Ax´y´ vA 平面图形的角速度－ x´ 基点速度－ vA B点的相对速度－ vBA B点的绝对速度－ vB
【最新试题库含答案】《理论力学》第六章作业答案
vC?vD?O1A??0.1?5?0.5m/s
nnaC?aD?O1A?2?0.1?52?2.5m/s2
ττaC?aD?O1A??0.1?2?0.2m/s2
6-2如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC上有一圆弧形轨道，其半径R=100mm，圆心O1在导杆BC上。曲柄长OA=100mm，以等
解：起重机为研究对象，坐标系如图示，受力为一空间平行力系，平衡方程为：
?
Z?0 N
x
A
?N
C
B
?N
C
?G?P?0
A
?m?m
?N
?0 ?N?0 N
A
?MC?(N
B
?NB)?MD?0
y
?AD?N
B
?DB?G?0.5m?P?4m?0
C
A
?8.33kN N?78.33kN N?43.34kN
6-4水平轴上装有两个凸轮，凸轮上分别作用已知P力=800N和未知力F；如轴
《理论力学》第六章作业答案
：
篇一：理论力学第六章习题
6-1用图示三脚架ABCD和绞车E从矿井中吊起重30kN的30的重物，△ABC
为等边三角形，三脚架的三只脚及绳索DE均与水平面成60o角，不记架重；求当重物被匀速吊起时各叫所受的力。
解：铰链D为研究对象，坐标系如图示，受力分析为一空间汇交力系，O为D
角速度??4rad/s绕O轴转动。设t=0时，??0，求导杆BC的运动规律以及曲柄与水平线的夹角??30?时，导杆BC的速度和加速度。
图6-17
xO1?2OAcos??2Rcos?t?2?0.1?cos4t?0.2cos4tm
?O1??0.8sin4tm/s??30?时x?O1??0.4m/ sx
理论力学(刘又文 彭献)答案第6章
∑ ∑ 二．动能：T = 1 2
mivi2 ,
T
=
1 2
mvC2
+
1 2
mi vr2i
平移刚体： T平移
=
1 2
mvC2
定轴转动刚体： T定转
=
1 2
JOω 2
平面运动对称刚体： T平面
=
1 2
mvC2
+
1 2
JCω 2
FT
C mg
图 6.6
8．如图 6.7 所示，物块 A 质量为 m1 ，杆 AB 质量为
×
1 2
×
G2 g
R2
⋅ω 2
+ G1Rϕ
sinθ
。
对吗？
C
G1
α
R OM
G2
图 6.13
答：不对。此处多计算了重力的功。如果把重力视为外力，则右边不能再有 重力势能，若右边计入重力势能，则左边不再有重力的功。
187
16．如图 6.14 所示，物 A 重为 G1 ，物 B 重为 G2 ，且 G1 > G2 ，不计摩擦。 设由静止开始，A 下降 h 时各速度如图，由动能定理，有
k (δ
2
−
δ
2 S
)
− Gδ
T2 = 0
由机械能守恒，有T1 + V1 = V2 。对吗？
ω
δs δ
I G
II
图 6.16
答：不对。因为在同一问题中，每种势力场的零点位置虽可任取，但一种力 场只能有一个零点。此处重力场和弹性力场分别取了两个不同的零点而导致错 误。
19．如图 6.17 所示，细绳长 l，悬吊重球 M 于 O 点，O1 为铁钉，OO1 = h, 保证 M 能绕过 O1 的最小ϕ 角应使势能满足：
理论力学练习册及答案
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
再取动点杆O1C上C点，动系固连套筒B上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理:
作加速度图。
取 方向投影，得：
取 方向投影，得：
第八章 刚体平面运动
8-1.已知图示机构滑块B，沿水平方向按规律SB=0.01t2+0.18t m移动，通过连杆AB带动半径R＝0.1 m的轮子沿水平方向只滚不滑。求当t=1 s时，点A和点C在图示位置的速度和加速度。
解：当 时，
由于杆AB作瞬时平动，且P为轮C
的速度瞬心，故有：
8-2.曲柄OA=17 cm，绕定轴O转动的角速度ωOA=12 rad/s，AB=12 cm，BD=44 cm，滑块C、D分别沿着铅垂与水平滑道运动，在图示瞬时OA铅垂，求滑块C与D的速度。
2、研究滑块A运动副，求 ,
3、分别作套筒o运动副、滑块A运动副
加速度图，
4、研究杆BE，作O、A加速度图，
5、分别列O、A点加速度投影式求解
7-7.圆盘半径OA=r，可绕其边缘上一点A转动，从而带动直杆BC绕B点转动，AB=3r，且直杆与圆盘始终相切，当圆盘中心运动到AB连线上时，圆盘转动的角速度为ω，角加速度为ε，求此瞬时直杆BC的角速度和角加速度。
8-5.滑块B、D在铅直导槽中滑动，通过连杆BA及CD与轮子A相连，各连接处都是光滑铰链。轮A放在水平面上，AB=10 cm，CD=13 cm。在图示瞬时，即轮心A至两铅垂导槽的距离均为8 cm时，可在水平面上自由滚动的轮子，其轮心速度νA=30 cm/s，方向水平向右。求此时滑块D的速度。
《理论力学》第六章作业答案
《理论力学》第六章作业答案如果不做书中所附的习题，就等于处宝山而空返。
——华罗庚。
1 [习题6-2]半圆形凸轮以匀速s mm v /10=沿水平方向向左运动，活塞杆AB 长l 沿铅直方向运动。
当运动开始时，活塞杆A 端在凸轮的最高点上。
如凸轮的半径mm R 80=，求，求活塞活塞B 的运动方程和速度方程.解：活塞杆AB 作竖向平动。
以凸轮圆心为坐标原点，铅垂向上方向为x 轴的正向，则由图中的几何关系可知，任一时刻，B 点的坐标，即活塞B 的运动方程为:)(64)()(cos 22222cm t l vt R l Rvt R R l R l x B -+=-+=-⋅+=+=ϕ活塞B 的速度方程为:)/(646422122s cm t t t t dt dx v B B --=--==[习题6-4]点M 以匀速率u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ωϕ=规律绕O 转动。
当0=t 时，M 在O 点，求其在任一瞬时的速度及加速度的大小。
解: ut r =，t ωϕ=。
设任一瞬时，M 点的坐标为),(y x M ，则点M 的运动方程为：t ut r x ωϕcos cos ==, tut r y ωϕsin sin ==速度方程为：速度方程为：t t u t u t ut t u t ut dt ddt dxv x ωωωωωωωsin cos )sin (cos )cos (-=⋅-+===t t t u t t u t u v x ωωωωωωcos sin 2sin )(cos 222222⋅-+=t t u t u t ut t u t ut dt ddt dyv y ωωωωωωωcos sin cos sin )sin (+=⋅⋅+===t t t u t t u t u v y ωωωωωωcos sin 2cos )(sin 222222⋅++=2222)(t u u v v y x ω+=+任一瞬时,速度的大小为:22222)(1)(t u t u u v v v y x ωω+=+=+=加速度方程为:)sin cos (t t u t u dt ddt dv a xx ωωω-==]cos sin [)sin (ωωωωωωω⋅⋅+⋅-⋅-⋅=t t u t u t ut t u t u ωωωωcos sin 22--=t t t u t t u t u a x ωωωωωωωcos sin 4cos )(sin 4322222222⋅++=)cos sin (t t u t u dtd dt dv a yy ωωω+==ωωωωωωω⋅-⋅+⋅+⋅⋅=)sin (cos [cos t t u t u t ut t u t u ωωωωsin cos 22⋅-=t t t u t t u t u a y ωωωωωωωcos sin 4sin )(cos 4322222222⋅-+=222222)(4t u u a a y x ωω+=+任一瞬时,速度的大小为:2222222)(4)(4t u t u u a a a y x ωωωω+=+=+=[习题6-14] 电动绞车由带轮Ⅰ和Ⅱ及鼓轮Ⅲ组成如图电动绞车由带轮Ⅰ和Ⅱ及鼓轮Ⅲ组成如图6-426-426-42所示，鼓轮Ⅲ和带轮所示，鼓轮Ⅲ和带轮Ⅱ刚连在同一轴上。
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3．如图所示平面系统中，圆环内放置的直杆 AB 可自由运动，圆环在水平面上 作纯滚动，则该系统的自由度数为 （ ） B A．3 B．1 C．4 D．2
· A
4．试确定下述体系的自由度。 A．3 B．1 C．4
（ D．2
）
o·
·
A
·
（ C.. 1
A
B
5. 图示平面机构的自由度数为 A.. 3 B.. 2
） D.. 4
D
B
§6.2 虚功原理
C
1．受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是，此力学体系的诸主动力在任意 虚位移中所作的元功之和等于零，这个关系叫 。
2．长为 2 R 的刚性轻杆 AB 两端分别固定质量分别为 mA 2m 、 mB m 的光滑 小球，杆和球放在半径为 R 的光滑凹槽内。求平衡时杆与水平方向的夹角 。
y D
C vC
B
vA φ A
x
§6.4 哈密顿正则方程
1. 试写出哈密顿正则方程： 。 2．一半径为 R 质量为 m2 的均质定滑轮，在此滑轮上绕过一条不可伸长的绳， 一端系一质量为 m1 的法码，另一端与一轻弹簧相连，弹簧倔强系数为 k，下端 固定， 设绳与滑轮之间无滑动， 试用拉格朗日方程或正则方程求法码的振动周期。 3. 试用哈密顿正则方程求出单摆的运动微分方程。 4．质量为 m，半径为 r 的小球，在半径为 R 的球形容器内无滑动地滚动，初位 置由角 0 确定，如图所示. 用哈密顿正则方程求解以下问题： (1) 为任意角时，小球受到容器的反作用力 N 和摩擦力 f. (2) 小球的微振动周期.
§6.3 拉格朗日方程
1. 拉氏函数中 某一广义坐标，则称此广义坐标为 2. 试写出基本形式的拉格朗日方程 3．试写出保守力系的拉格朗日方程 4. 请用拉氏函数写出广义动量表达式： 5.以下不能算出广义动量的表达式是 A． p C． p 。 （ ） 。 。 。
L q
B． p
T q V q
H q
D． p
6. 假设地球用平面极坐标系表示行星运动的拉氏函数 （ ） 1 2 1 2 2 mM 1 2 1 2 2 mM mr G mr G A． L mr B． L mr 2 2 2 2 r r C． L
4 c 2 2r 2 l c
r
A
o
B
x
mg
y
5. 如图，长度同为 l 的轻棒四根，光滑地连成一菱形 ABCD. AB、AD 两边支于 同一水平线上相距为 2a 的两根钉上， BD 间则用一轻绳连接， C 点上系一重物 W。 设 A 点上的顶角为 2α，试用虚功原理求绳中的张力 T。
L p q H q p
Hale Waihona Puke C3. 试由哈密顿原理导出正则方程。 4．在光滑桌面上的轻弹簧，弹性系数为 k ，一端固定，另一端连一质量为 m 的 质点，用哈密顿原理给出质点的运动微分方程。 5．试由拉格朗日方程导出在保守力系作用下的哈密顿原理。 6. 质量为 M 、半径为 r 的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳， 绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为 m 的重物。设圆柱体只滚不滑，并且 圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。 求圆柱的加速度 a1 ， 物体的加速度 a2 及绳中张 力T 。 解：
3. 均匀杆 OA，重 P1，长为 l1，能在固定平面内绕固定铰链 O 转动。此杆的 A 端，用铰链连接另一重为 P2、长为 l2 的均匀杆 AB。在 AB 杆的 B 端加一水平力 F。求平衡时此二杆与水平线所成的角度 α 及 β。
4. 半径为 r 的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗 内，一端则在碗外，在碗内的长度为 c，试证棒的全长为
即 R kmv ，其中 k 为常数， m 为物块的质量，v 为物块的速度，试求物块的运
动规律。 9. 行星齿轮机构如图所示。曲柄 OA 带动行星齿轮Ⅱ在固定齿轮Ⅰ上滚动。已 知曲柄的质量为 m1 ，且可认为是均匀杆。齿轮Ⅱ的质量为 m 2 ，半径为 r，且可认 为是匀质圆盘。至于齿轮Ⅰ的半径则为 R。今在曲柄上作用一不变的力矩 M。如 重力的作用可以略去不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动方程。
13．质量为 m，半径为 r 的小球，在半径为 R 的球形容器内无滑动地滚动，初位 置由角 0 确定，如图所示. 用拉氏方程求解以下问题：
(1) 为任意角时，小球受到容器的反作用力 N 和摩擦力 f. (2) 小球的微振动周期。
14. 长为 2a ，质量为 m 的均质杆 AB，A 端与光滑水平面接触，杆在重力作用下 从竖直位置被自由释放而倒下. 请用拉氏方程求杆落地瞬间的角速度。
r
C
O
C
a1
x
B
a2
7. 一内壁光滑的细管在水平面内绕通过其一端的竖直轴以匀角速 转动. 管内 有一质量为 m 的质点，它被系在轻弹簧的末端，弹簧的另一端固定在转轴上. 弹 簧的劲度系数为 k ，原长为 l0 . 试用哈密顿原理求质点的运动微分方程.
§6.5 泊松括号
1.试用泊松括号写出哈密顿正则方程
，
。
§6.6 哈密顿原理
1. 试写出哈密顿原理的数学表达式 。哈密顿原理就是用 变分法中求稳定值的办法来挑选真实轨道，并由此来确定力学体系的运动规律。 2. 以下各式错误的是 （ ） A
L ，B p q H ，D p q
10．半径为 c 的匀质圆球，自半径为 b 的固定圆球的顶端无初速度的滚下，试由 5 拉格朗日方程证明动球球心下降的切向加速度为 a g sin ． 7 11. 试利用基本形式的拉格朗日方程推导保守力下的拉格朗日方程。 12. 如图所示，一长为 l 的刚性杆 AO，质量为 m ，可绕固定光滑转轴 O 自由转 动，杆相对于转轴 O 的转动惯量为 I，O 点到质心 C 的距离为 a，A 端与弹性系 数为 k 的轻弹簧下端光滑连接，弹簧的另一端固定在天棚上，杆平衡时正好处于 水平状态， 并且弹簧处于竖直状态。 1)， 请用虚功原理给出平衡时弹簧的伸长量； 2)，今拉杆偏离于平衡位置一微小角度后松开，杆将做微振动，请用保守系的拉 格朗日方程计算杆的振动周期。
第六章 分析力学
§6.1 约束和广义坐标
1．试确定下述体系的自由度 （1）在固定铅垂面内运动的双摆（图 a） （2）在平面内沿直线作纯滚动的轮（图 b） ； 。
2.如图所示平面机构，其广义坐标可选为 A. x B 和 θ C. θ
Y
（
）
B. y A 和 θ D. x B 和 y A
A θ O B X
1 2 1 2 2 mM mr G 2 mr 2 2 r
D． L
1 2 1 2 2 mM mr G 2 mr 2 2 r
7. 以平面极坐标为广义坐标，试用拉格朗日方程（保守力系）求出行星运动的 微分方程。 8．物块 P 自高 h 处以速度 v0 水平抛出，空气阻力可视为与速度的一次方成正比，