理论力学 第6章
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理论力学第六章-
• （二）理想约束和虚功原理
作用在质点上的力F与质点任一虚位移 δ的r
标积，称为此力在虚位移中的虚功
δ W F F ' δ r
虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能 量转化过程与之联系。对于处于平衡状态 的体系，作用在各质点上的力（主动力和 约束力）所做的虚功之和为0
若体系中各个约束力所做的虚功之和等 于零，则这种约束称为理想约束
n
F'
δri
0
i1
◆光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约 束，受这些约束的质点，约束力恒与相应 的虚位移垂直! ◆如两个质点（研究对象）被不可伸长的 轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表 面光滑相互接触，或无滑相互接触的约束， 固定点约束等。
虚功原理：受理想约束的力学系统，保持 平衡的必要条件是作用于该系统的全部主 动力在任意虚位移中的虚功之和为零
s1pqLs1qLqL
称为哈密顿函数(或哈密顿量)，是广义坐 标和广义动量的函数。
• （三）虚功原理的广义坐标表述和广义 力
xixi(q 1,q2, ,qs,t)
则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位 移之间的存在关系
δxi s1qxi δqxti δt
(i1,2, ,3n)
δt 0
代入虚功原理的表达式可得
δW
3n i 1
Fi
s 1
r i r iq ,t 1 ,2 , ,s
ri
dri dt
s
ri
1q
q
ri t
ri q
ri q
d dt q r i s1q 2 riqq t 2q ri
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
![理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]](https://img.taocdn.com/s3/m/63fd0a4dbe1e650e53ea9909.png)
解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
理论力学(第6章)
t 已知：O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm ， 18 t2 求： va , aa s BM
π
加速度合成定理的矢量形式向 直角坐标轴x、y上投影，得：
π aax a a cos 6.67cm / s 2 6 π n n aay ar ae sin 20cm / s 2 6
绝对：大圆周（半径R）
相对：沿OA的直线运动 牵连：定轴转动（绕o轴）
2.速度分析 v a ve 大小 ? 方向 √
ve va 2Rω cos
vr
OM√?√ Nhomakorabeavr ve tan 2 R ω sin ω t
6.3 牵连运动为平移时点的加速度合成定理
点的加速度合成定理：
解：（1） 动点：取顶杆AB的A点 动系：固连在凸轮上。 绝对运动：沿AB竖直方向 的平移。 相对运动：A点沿凸轮边 缘的圆周运动。 牵连运动：动系凸轮沿水 平面向右平移。
已知:
v0
30
2.速度分析
va ve vr
由几何关系可以得到：
3 vB vA v tan 30 v 3
例6-5 平面机构中直杆O1A、O2B平行且等长，分别 绕O1、O2轴转动，直杆的A、B连接半圆形平板，动 点M沿半圆形平板ABD边缘运动，起点为点B。已知 π t， O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm ， 18 t2 。 s BM
求：当 t 3s 时， 动点M的绝对速度 和绝对加速度。
方向竖直向上
例6-2 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固 定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆 O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距 离OO1=l。 B 求： O ① 曲柄在水平位 A 置时摇杆的角 速度 1 。 ② 滑块A对于摇 杆 的相对角 O1 速度
理论力学第6章
第6章
6.1 非惯性系惯性力 6.2 达朗贝尔惯性力
惯性力
FI
m
6.2.1 质点的惯性力
ma=F+N
令
F+N-ma=0
称为达朗贝尔惯性力
N
F
FI= - ma
ma
简称为：惯性力
6.2.2 刚体惯性力系的简化
刚体由无数个质点构成，若对每点去施加惯性力其难度则
不难想象。因此，对于刚体的惯性力系，则应设法将其简化。
2、刚体定轴转动
FIi mi ai mi ri
F mi a mi ri
n Ii n i
2
M Ix M x FIi M x FIit M x FIin
mi ri cos i zi (mi ri 2 sin i zi )
一、惯性力系主矢
FIR FIi mi ai
mi FIi
C
ai aC
对于质量不变的质点系：
m a ma
i i
C
所以，惯性力系的主矢为：
FIR m aC
与质点系的运动形式无关！！！
二、惯性力系主矩及简化结果 1、刚体平移
惯性力系向点O简化.
i
FIi
ri C
O
aC
rC
M IO ri FIi ri (mi aC ) ( mi ri ) aC mrC aC M IC 0 惯性力系向质心简化.
只简化为一个力
FIR maC
平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的惯性力， 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与 加速度方向反向。
由
6.1 非惯性系惯性力 6.2 达朗贝尔惯性力
惯性力
FI
m
6.2.1 质点的惯性力
ma=F+N
令
F+N-ma=0
称为达朗贝尔惯性力
N
F
FI= - ma
ma
简称为：惯性力
6.2.2 刚体惯性力系的简化
刚体由无数个质点构成，若对每点去施加惯性力其难度则
不难想象。因此，对于刚体的惯性力系，则应设法将其简化。
2、刚体定轴转动
FIi mi ai mi ri
F mi a mi ri
n Ii n i
2
M Ix M x FIi M x FIit M x FIin
mi ri cos i zi (mi ri 2 sin i zi )
一、惯性力系主矢
FIR FIi mi ai
mi FIi
C
ai aC
对于质量不变的质点系：
m a ma
i i
C
所以，惯性力系的主矢为：
FIR m aC
与质点系的运动形式无关！！！
二、惯性力系主矩及简化结果 1、刚体平移
惯性力系向点O简化.
i
FIi
ri C
O
aC
rC
M IO ri FIi ri (mi aC ) ( mi ri ) aC mrC aC M IC 0 惯性力系向质心简化.
只简化为一个力
FIR maC
平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的惯性力， 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与 加速度方向反向。
由
理论力学第6章
6.1 点的合成运动基本概念
z
x
大梁不动时
y
o
动
点？
定参考系？
z
y x
动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？
牵连运动？
O
6.1 点的合成运动基本概念
动
点？
定参考系 ？ 动参考系 ？
绝对运动 ？
相对运动 ？
牵连运动 ？
6.1 点的合成运动基本概念
◆ 运动的相对性 ： 物体对于不同的参考系，运动各
va ve v r
注意点： ＊ 牵连运动是刚体(动系)的运动； 牵连速度是动系（刚体）上一 点(该瞬时与动点相重合的点) 的速度。 ＊速度合成定理适用于任何形式的牵连运动，任意的相对运动。 ＊ v a v r v e 为矢量式，符合平行四边形法则，其 对角线为 va
＊矢量
va .vr .ve 满足“6-4=2”即可求两个未知量。
P'1
PP 相对轨迹 2 P 1P 1 牵连点运动轨迹
PP' 绝对位移 PP2 相对位移 P1 P1 牵连点的位移
zP(P1)
A
Dt
A
y
x
O
6.2
点的速度合成定理
B
P2
B
P'
va vr
PP' PP2 va lim v r lim Dt 0 Dt Dt 0 Dt P1 P1 ve lim Dt 0 Dt PP' P1 P1 P1P ' PP' P1 P1 P1P ' lim lim lim Dt 0 Dt Dt 0 Dt Dt 0 Dt
O1
w
O2
j
A
理论力学第六章
2
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
理论力学课件第6章
lim MM lim MM1 lim M1M
t0 t
t0 t
t0 t
根据点的速度定义，动点 M 在瞬时t 的绝对速度为
va
lim
t 0
MM t
它的方向沿绝对轨迹 MM 的切线。
相对速度
vr
lim
t 0
M1M t
它的方向沿在 M 点处相对轨迹AB 的切线。
牵连速度
ve
lim
t0
MM1 t
同样，它的方向沿曲线 MM1 的切线。 由上述关系，便可得到 va ve vr （6-4）
式（6-4）表示：动点的绝对速度等于动点的牵连速度与相对速度
的矢量和，这就是点的速度合成定理，即动点的绝对速度 va 可由它 的牵连速度 ve 与相对速度vr 构成的平行四边形的对角线来确定，如
图6-3所示。该平行四边形称为速度平行四边形。
度为 ve 。同样由速度合成定理有 va ve vr （b）
现以 aa 表示动点的绝对加速度。根据动点的加速度定义，则动点
的绝对加速度 aa 可写成
aa
lim va va t0 t
（6-5）
将式（a）和式（b）均代入（6-5）式并整理，得到
aa
lim (ve
t 0
vr) (ve t
vr )
本章内容
1 点的合成运动的概念 2 点的速度合成定理
3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 4 牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
第一节 点的合成运动的概念
引例 图6-1（a）所示的沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上的点 M ， 对于固结在地面上的坐标系来说，其轨迹是旋轮线，但是对于固结在车 厢上的坐标系来说，其轨迹则是一个圆；又如，图6-1（b）所示的等速
理论力学PPT课件第6章 动能定理
碰撞：运动物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或 解除约束）时，其运动速度发生急剧变化的现象称为碰撞。
2020年2月10日
36
对接碰撞
2020年2月10日
37
2020年2月10日
38
2020年2月10日
39
2020年2月10日
40
2020年2月10日
？这与碰撞 有关系吗 41
2020年2月10日
47
一、 碰撞的特征和基本假定
1. 碰撞的特征：物体的运动速度或动量在极短的 时间内发生极巨的改变。碰撞时间之短往往以千分 之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大， 作用力的数值也非常大。
碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值 很大的力称为碰撞力；由于其作用时间非常短促， 所以也称为瞬时力。
2R R
2
R2
1 2 kR2
WgA-B W zA zB WR
2020年2月10日
10
4.外力对平面运动刚体的功
dW Fie dri
O ri
ri rc ri
rC
vi vc ω ri
Fn
dri drc d ri
vi
2
3. 柯尼希定理
T
1 2
mvC2
1 2
mi
vi2r
2020年2月10日
15
（1）平移刚体的动能
T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
T＝ 1 2
mvC2
1 2
JC 2
2020年2月10日
36
对接碰撞
2020年2月10日
37
2020年2月10日
38
2020年2月10日
39
2020年2月10日
40
2020年2月10日
？这与碰撞 有关系吗 41
2020年2月10日
47
一、 碰撞的特征和基本假定
1. 碰撞的特征：物体的运动速度或动量在极短的 时间内发生极巨的改变。碰撞时间之短往往以千分 之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大， 作用力的数值也非常大。
碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值 很大的力称为碰撞力；由于其作用时间非常短促， 所以也称为瞬时力。
2R R
2
R2
1 2 kR2
WgA-B W zA zB WR
2020年2月10日
10
4.外力对平面运动刚体的功
dW Fie dri
O ri
ri rc ri
rC
vi vc ω ri
Fn
dri drc d ri
vi
2
3. 柯尼希定理
T
1 2
mvC2
1 2
mi
vi2r
2020年2月10日
15
（1）平移刚体的动能
T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
T＝ 1 2
mvC2
1 2
JC 2
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dt dt2
角加速度表征角速度变化的快慢
代数量：当 ω与 α同号时，转动为加速； 当 与 ω同号α时，转动为减速
匀速转动 ω =常量
匀变速转动
d 0
dt
0 t
α =常量
ω ω0 αt
0
ω0t
1 2
αt
§ 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
转动刚体上任一点作圆周运动（轨迹已知）， 用自然法 点的运动方程
大小： rsin R v
方向： 右手定则
绕定轴转动的刚体上任一 点的速度矢量等于刚体的角 速度矢量与该点矢径的矢量 积
加速度
ar dvr d r rr
ddtr
dt
rr r
drr
dt
dt
r rr r vr
α r α r sin θ ω v ω v
α R
ω 2 R
处于啮合中的两个定轴齿轮的 角速度与两齿轮的齿数成反比（或 与两轮的啮合圆半径成反比）
内啮合
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
大轮带动小轮
z1 z2
1 2
i12 1
加速
小轮带动大轮
减速
外啮合 内啮合
2.带轮传动
① 啮合条件
r11 vA vA vB vB r22
② 传动比
齿轮做定轴转动 送料机的杆
运动方程
转角： 单位:弧度(rad)
代数量：逆时针“ + ”， 顺时针“ - ”
f t
刚体绕定轴转动的运动方程
具有一个自由度
角速度和角加速度
角速度： ω d
dt
单位：rad/s
角速度表征刚体转动的快慢和方向
代数量：刚体逆时针转动时为正
角加速度： d d2 & && 单位：rad/s2
方向：tanθ
at an
Rα Rω2
α ω2
v Rω
αR
α2 ω4
tanθ
α ω2
结论： 1.在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加 速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成 正比。 2.在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径 间的夹角都有相同的值。
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转 动方程 t 2 4t，单位为弧度。求 t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速 度。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s 时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
r vA
r aB
r dvB dt
r dvA dt
r aA
平动刚体上各点具有相同的速度和加速度
刚体平移→点的运动
刚体平移→点的运动
只要知道其上一点的运动规律、轨迹、速度、加 速度，其他点都相同
例如：
B
A AB杆作平动，A点和B点 运动规律完全相同。
§ 6-2 刚体绕定轴的转动
定义 刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。 特点：转轴是一根固定不动的直线，凡是不在转轴 上的点都在垂直于轴的平面内做圆周运动。圆心位 于转轴上。
角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小：
d
dt
作用线：沿轴线滑动矢量
指向：右手螺旋定则
r
r
k
角加速度矢量
r
dr
d
r k
r
k
dt dt
1.角速度矢量和角加速度 矢量均为滑动矢量。 2.当二者方向相同时，刚 体越转越快；当二者方向 相反时，刚体越转越慢。
绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度：v r
第六章 刚体的简单运动
第六章 刚体的简单运动
§ 6-1 刚体的平行移动 § 6-2 刚体绕定轴的转动 § 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度 § 6-4 轮系的传动比 § 6-5 以矢量表示角运动和角加速度
以矢积表示点的速度和角加速度
目标要求
⑴ 掌握平行移动刚体和定轴转动刚体的运动特 征。
⑵ 正确分析定轴转动刚体的转动方程、角速度 和角加速度及转动刚体内各点的速度和加速度。
ar r rr r vr d rr r vr
dt
15 2
π
75
3
r i
200
r j
r 75k
• 作业： • 习题 6-4 6-6
[例]车细螺纹时，如果车床主轴的转速 n0 300 r/min , 要求主轴在转两圈后立即停车以便很快反转。设停车 过程是匀变速转动，求停车过程中主轴的角加速度。 解：停车前，已知转速，可以求角速度。
⑶ 初步了解用矢积表示点的速度和加速度。
§ 6-1 刚体的平行移动
定义
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始 位置，这种运动称为平行移动，简称平移。
运动方程 rA rB BA
平动刚体上任意点具有相同的轨迹
速度和加速度
因为 所以
uuur
d AB
0
dt
r vB
r drB dt
r drA dt
a at an
at r —— M点切向加速度 an v ( r) —— M点法向加速度
例6-1
已知：刚体绕定5 sin
πt
r i
5cos
πt
r j
5
3kr。
2
2
求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及
加速度矢。
解：
rrr 10 3i 15 j 10k
s R
速度
v s& R& R
方向：沿圆周的切线而 指向转动的一方
加速度
切向加速度：
at
dv dt
s
Rα
方向：沿切向方向，指向由角加速度的符号决定
法向加速度：an
v2 ρ
1 Rω2
R
Rω2
方向：与速度垂直并指向轴线
加速转动
减速转动
全加速度：α αt2 αn2 R2α2 R2ω4 R α2 ω4
因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
因为 上式两边求一阶及二阶导数，则得
因此
§ 6-4 轮系的传动比
1.齿轮传动
外啮合
内啮合
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
正号：主动轮与从动轮转向相同 （内啮合）； 负号：转向相反（外啮合）
外啮合
主轴转两圈 主轴转动两圈后停止
负号表示 的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。
例6-3
一矢量 绕a z轴以角速度 ω转动，若 的a大小始终保持不变 求：da
dt
解： 将矢量的端点A看成是绕z轴作定轴转动刚体上的一点 rA a
从而
da dt
drA dt
vA
ω rA
ω
a
i12
1 2
r2 r1
两轮的角速度与其半径成反比
[例]下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿 数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减 速箱的总传动比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3。
解：求传动比： 则有：
§ 6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
角加速度表征角速度变化的快慢
代数量：当 ω与 α同号时，转动为加速； 当 与 ω同号α时，转动为减速
匀速转动 ω =常量
匀变速转动
d 0
dt
0 t
α =常量
ω ω0 αt
0
ω0t
1 2
αt
§ 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
转动刚体上任一点作圆周运动（轨迹已知）， 用自然法 点的运动方程
大小： rsin R v
方向： 右手定则
绕定轴转动的刚体上任一 点的速度矢量等于刚体的角 速度矢量与该点矢径的矢量 积
加速度
ar dvr d r rr
ddtr
dt
rr r
drr
dt
dt
r rr r vr
α r α r sin θ ω v ω v
α R
ω 2 R
处于啮合中的两个定轴齿轮的 角速度与两齿轮的齿数成反比（或 与两轮的啮合圆半径成反比）
内啮合
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
大轮带动小轮
z1 z2
1 2
i12 1
加速
小轮带动大轮
减速
外啮合 内啮合
2.带轮传动
① 啮合条件
r11 vA vA vB vB r22
② 传动比
齿轮做定轴转动 送料机的杆
运动方程
转角： 单位:弧度(rad)
代数量：逆时针“ + ”， 顺时针“ - ”
f t
刚体绕定轴转动的运动方程
具有一个自由度
角速度和角加速度
角速度： ω d
dt
单位：rad/s
角速度表征刚体转动的快慢和方向
代数量：刚体逆时针转动时为正
角加速度： d d2 & && 单位：rad/s2
方向：tanθ
at an
Rα Rω2
α ω2
v Rω
αR
α2 ω4
tanθ
α ω2
结论： 1.在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加 速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成 正比。 2.在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径 间的夹角都有相同的值。
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转 动方程 t 2 4t，单位为弧度。求 t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速 度。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s 时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
r vA
r aB
r dvB dt
r dvA dt
r aA
平动刚体上各点具有相同的速度和加速度
刚体平移→点的运动
刚体平移→点的运动
只要知道其上一点的运动规律、轨迹、速度、加 速度，其他点都相同
例如：
B
A AB杆作平动，A点和B点 运动规律完全相同。
§ 6-2 刚体绕定轴的转动
定义 刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。 特点：转轴是一根固定不动的直线，凡是不在转轴 上的点都在垂直于轴的平面内做圆周运动。圆心位 于转轴上。
角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小：
d
dt
作用线：沿轴线滑动矢量
指向：右手螺旋定则
r
r
k
角加速度矢量
r
dr
d
r k
r
k
dt dt
1.角速度矢量和角加速度 矢量均为滑动矢量。 2.当二者方向相同时，刚 体越转越快；当二者方向 相反时，刚体越转越慢。
绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度：v r
第六章 刚体的简单运动
第六章 刚体的简单运动
§ 6-1 刚体的平行移动 § 6-2 刚体绕定轴的转动 § 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度 § 6-4 轮系的传动比 § 6-5 以矢量表示角运动和角加速度
以矢积表示点的速度和角加速度
目标要求
⑴ 掌握平行移动刚体和定轴转动刚体的运动特 征。
⑵ 正确分析定轴转动刚体的转动方程、角速度 和角加速度及转动刚体内各点的速度和加速度。
ar r rr r vr d rr r vr
dt
15 2
π
75
3
r i
200
r j
r 75k
• 作业： • 习题 6-4 6-6
[例]车细螺纹时，如果车床主轴的转速 n0 300 r/min , 要求主轴在转两圈后立即停车以便很快反转。设停车 过程是匀变速转动，求停车过程中主轴的角加速度。 解：停车前，已知转速，可以求角速度。
⑶ 初步了解用矢积表示点的速度和加速度。
§ 6-1 刚体的平行移动
定义
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始 位置，这种运动称为平行移动，简称平移。
运动方程 rA rB BA
平动刚体上任意点具有相同的轨迹
速度和加速度
因为 所以
uuur
d AB
0
dt
r vB
r drB dt
r drA dt
a at an
at r —— M点切向加速度 an v ( r) —— M点法向加速度
例6-1
已知：刚体绕定5 sin
πt
r i
5cos
πt
r j
5
3kr。
2
2
求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及
加速度矢。
解：
rrr 10 3i 15 j 10k
s R
速度
v s& R& R
方向：沿圆周的切线而 指向转动的一方
加速度
切向加速度：
at
dv dt
s
Rα
方向：沿切向方向，指向由角加速度的符号决定
法向加速度：an
v2 ρ
1 Rω2
R
Rω2
方向：与速度垂直并指向轴线
加速转动
减速转动
全加速度：α αt2 αn2 R2α2 R2ω4 R α2 ω4
因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
因为 上式两边求一阶及二阶导数，则得
因此
§ 6-4 轮系的传动比
1.齿轮传动
外啮合
内啮合
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
正号：主动轮与从动轮转向相同 （内啮合）； 负号：转向相反（外啮合）
外啮合
主轴转两圈 主轴转动两圈后停止
负号表示 的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。
例6-3
一矢量 绕a z轴以角速度 ω转动，若 的a大小始终保持不变 求：da
dt
解： 将矢量的端点A看成是绕z轴作定轴转动刚体上的一点 rA a
从而
da dt
drA dt
vA
ω rA
ω
a
i12
1 2
r2 r1
两轮的角速度与其半径成反比
[例]下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿 数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减 速箱的总传动比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3。
解：求传动比： 则有：
§ 6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度