理论力学第六章-
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理论力学 第六章
根据平行四边形法则，将各力依次两两合成，FR为最后 的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量表达式为
n
FR Fi i 1
汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力 的矢量和确定，作用线通过汇交点。
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.1 几何法
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
❖结 论
6.1.1 几何法
平面汇交力系合成的结果是一个合力， 它等于原力系中各力的矢量和，合力的 作用线通过各力的汇交点。
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
cos(FR
, i)
FRx FR
,
cos(FR ,
j)
FRy FR
,
cos(FR
, k)
FRz FR
合力作用线过汇交点。
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
汇交力系平衡的充分必要条件
汇交力系的合力为零
各力在三个坐标轴上的 投影代数和分别等于零
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6.3 空间任意力系的简化
6.3.2 力系向一点简化·主矢和主矩
设刚体上作用一任意力系F1、F2、…、Fn。 任选一点O称为力系的简化中心。依据力的平移定理， 将力系中诸力向O点平移。
得到作用于O点的一汇交力系F 1、F 2、…、F n和一力 偶系M1、M2、…、Mn 。
Theoretical Mechanics
n
n
FR Fi i 1
汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力 的矢量和确定，作用线通过汇交点。
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.1 几何法
Theoretical Mechanics
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6.1 汇交力系的简化与平衡
❖结 论
6.1.1 几何法
平面汇交力系合成的结果是一个合力， 它等于原力系中各力的矢量和，合力的 作用线通过各力的汇交点。
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
cos(FR
, i)
FRx FR
,
cos(FR ,
j)
FRy FR
,
cos(FR
, k)
FRz FR
合力作用线过汇交点。
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6.1 汇交力系的简化与平衡
6.1.2 解析法
汇交力系平衡的充分必要条件
汇交力系的合力为零
各力在三个坐标轴上的 投影代数和分别等于零
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6.3 空间任意力系的简化
6.3.2 力系向一点简化·主矢和主矩
设刚体上作用一任意力系F1、F2、…、Fn。 任选一点O称为力系的简化中心。依据力的平移定理， 将力系中诸力向O点平移。
得到作用于O点的一汇交力系F 1、F 2、…、F n和一力 偶系M1、M2、…、Mn 。
Theoretical Mechanics
n
第六章---理论力学
M (F ) 0 F 0 平 ②二矩式： F 0 M (F ) 0 M (F ) 0 衡 ③三矩式： M (F ) 0 M (F ) 0 M (F ) 0
y o x A B A B C
①一矩式： Fx 0
M x F 0, M y F 0, M z F 0
力对点之矩矢在通过该 点的任意轴上的投影等 于力对于该轴之矩。
|MO(F)| cosγ = Mz(F)= [MO(F) ]z
C LY
系 列 一
理论力学 2、力对坐标轴之矩的解析表达式 由于 F=Fxi+Fyj+Fzk ， r=xi+yj+zk
i j y Fy k z Fz
z MO(F)
B F
k O i x j
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fy F Fx , cos , cos z F F F
3、空间力沿坐标轴的分解表达式 F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk
C LY
系 列 一
理论力学
例6-1 长方体上作用有三个力,F1 =500N, F2=1000N, F3=1500N, 方向及尺寸 如图所示，求各力在坐标轴上的投影。
系 列 一
FRz FR
理论力学 四、空间汇交力系平衡的充要条件
平衡充要条件是：力系的合力为零，
FR=∑F =0
几何法平衡的充要条件是力系的力多边形自行封闭。 解析形式表示的平衡充要条件为：
∑Fx =0, ∑Fy =0, ∑Fz =0
即力系中所有各力在三个坐标轴的每个坐标轴上的投影的代数和均为零。
C LY
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
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解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
理论力学精品课程第六章空间力系
首先，我们需要明确力的合成和分解的基本原理。然后，根据题目给出的条件，我们可 以将一个力分解为若干个分力，或者将若干个分力合成为一个合力。通过这些操作，我
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
感谢您的观看
THANKS
航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
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航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
理论力学第6章
6.1 点的合成运动基本概念
z
x
大梁不动时
y
o
动
点？
定参考系？
z
y x
动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？
牵连运动？
O
6.1 点的合成运动基本概念
动
点？
定参考系 ？ 动参考系 ？
绝对运动 ？
相对运动 ？
牵连运动 ？
6.1 点的合成运动基本概念
◆ 运动的相对性 ： 物体对于不同的参考系，运动各
va ve v r
注意点： ＊ 牵连运动是刚体(动系)的运动； 牵连速度是动系（刚体）上一 点(该瞬时与动点相重合的点) 的速度。 ＊速度合成定理适用于任何形式的牵连运动，任意的相对运动。 ＊ v a v r v e 为矢量式，符合平行四边形法则，其 对角线为 va
＊矢量
va .vr .ve 满足“6-4=2”即可求两个未知量。
P'1
PP 相对轨迹 2 P 1P 1 牵连点运动轨迹
PP' 绝对位移 PP2 相对位移 P1 P1 牵连点的位移
zP(P1)
A
Dt
A
y
x
O
6.2
点的速度合成定理
B
P2
B
P'
va vr
PP' PP2 va lim v r lim Dt 0 Dt Dt 0 Dt P1 P1 ve lim Dt 0 Dt PP' P1 P1 P1P ' PP' P1 P1 P1P ' lim lim lim Dt 0 Dt Dt 0 Dt Dt 0 Dt
O1
w
O2
j
A
理论力学第六章
2
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
理论力学PPT课件第6章 动能定理
碰撞：运动物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或 解除约束）时，其运动速度发生急剧变化的现象称为碰撞。
2020年2月10日
36
对接碰撞
2020年2月10日
37
2020年2月10日
38
2020年2月10日
39
2020年2月10日
40
2020年2月10日
？这与碰撞 有关系吗 41
2020年2月10日
47
一、 碰撞的特征和基本假定
1. 碰撞的特征：物体的运动速度或动量在极短的 时间内发生极巨的改变。碰撞时间之短往往以千分 之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大， 作用力的数值也非常大。
碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值 很大的力称为碰撞力；由于其作用时间非常短促， 所以也称为瞬时力。
2R R
2
R2
1 2 kR2
WgA-B W zA zB WR
2020年2月10日
10
4.外力对平面运动刚体的功
dW Fie dri
O ri
ri rc ri
rC
vi vc ω ri
Fn
dri drc d ri
vi
2
3. 柯尼希定理
T
1 2
mvC2
1 2
mi
vi2r
2020年2月10日
15
（1）平移刚体的动能
T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
T＝ 1 2
mvC2
1 2
JC 2
2020年2月10日
36
对接碰撞
2020年2月10日
37
2020年2月10日
38
2020年2月10日
39
2020年2月10日
40
2020年2月10日
？这与碰撞 有关系吗 41
2020年2月10日
47
一、 碰撞的特征和基本假定
1. 碰撞的特征：物体的运动速度或动量在极短的 时间内发生极巨的改变。碰撞时间之短往往以千分 之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大， 作用力的数值也非常大。
碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值 很大的力称为碰撞力；由于其作用时间非常短促， 所以也称为瞬时力。
2R R
2
R2
1 2 kR2
WgA-B W zA zB WR
2020年2月10日
10
4.外力对平面运动刚体的功
dW Fie dri
O ri
ri rc ri
rC
vi vc ω ri
Fn
dri drc d ri
vi
2
3. 柯尼希定理
T
1 2
mvC2
1 2
mi
vi2r
2020年2月10日
15
（1）平移刚体的动能
T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
T＝ 1 2
mvC2
1 2
JC 2
理论力学第六章点的运动学.
d d ds an v v dt ds dt
又 d 1 n dS
an
v2
n an
v2
an是一个沿主法线正方向 的矢量，指向曲率中心 。
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
dv v2 a a a n a a n n n dt
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
6-3 自然法 3、曲率 (1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
一.运动方程、轨迹
矢径是点的单值连续函数，
r xi yj zk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t ), y f 2 ( t ), z f 3 ( t )
——以直角坐标表示的点的运动方程 上式消去t,即为点的轨迹方程：f ( x , y , z ) 0
6
6-2 直角坐标法
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
t dv k dt v0 v 0 v ln kt , v v0 e kt v0 v
dx 3、 由 v v0e kt dt
又 d 1 n dS
an
v2
n an
v2
an是一个沿主法线正方向 的矢量，指向曲率中心 。
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
dv v2 a a a n a a n n n dt
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
6-3 自然法 3、曲率 (1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
一.运动方程、轨迹
矢径是点的单值连续函数，
r xi yj zk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t ), y f 2 ( t ), z f 3 ( t )
——以直角坐标表示的点的运动方程 上式消去t,即为点的轨迹方程：f ( x , y , z ) 0
6
6-2 直角坐标法
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
t dv k dt v0 v 0 v ln kt , v v0 e kt v0 v
dx 3、 由 v v0e kt dt
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• （二）理想约束和虚功原理
作用在质点上的力F与质点任一虚位移 δ的r
标积，称为此力在虚位移中的虚功
δ W F F ' δ r
虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能 量转化过程与之联系。对于处于平衡状态 的体系，作用在各质点上的力（主动力和 约束力）所做的虚功之和为0
若体系中各个约束力所做的虚功之和等 于零，则这种约束称为理想约束
n
F'
δri
0
i1
◆光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约 束，受这些约束的质点，约束力恒与相应 的虚位移垂直! ◆如两个质点（研究对象）被不可伸长的 轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表 面光滑相互接触，或无滑相互接触的约束， 固定点约束等。
虚功原理：受理想约束的力学系统，保持 平衡的必要条件是作用于该系统的全部主 动力在任意虚位移中的虚功之和为零
s1pqLs1qLqL
称为哈密顿函数(或哈密顿量)，是广义坐 标和广义动量的函数。
• （三）虚功原理的广义坐标表述和广义 力
xixi(q 1,q2, ,qs,t)
则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位 移之间的存在关系
δxi s1qxi δqxti δt
(i1,2, ,3n)
δt 0
代入虚功原理的表达式可得
δW
3n i 1
Fi
s 1
r i r iq ,t 1 ,2 , ,s
ri
dri dt
s
ri
1q
q
ri t
ri q
ri q
d dt q r i s1q 2 riqq t 2q ri
δ r δ xi δ y j δ zk
δx，δy，δ，z 为 δr沿坐标轴方向的投影，
称为坐标的变分，与微分运算规则完全 一致
• 虚位移和实位移的区别与联系
虚位移和实位移都必须满足 约束条件！虚位移是在时间 没有变化，即dt=0时所设 想的位移，并不曾发生，有 无穷多个可能性；而实位移 则是在dt>0时间内发生的 真实位移
n
δW Fδri 0
i1
在直角坐标系Oxyz中有
n FixδxFiyδyFizδz 0
i1
◆虚功原理是分析力学中解决静力学问题 的基本原理，提供了解决各类力学体系 （质点、质点组、刚体等）静力学问题的 统一方法，有很大的普适性
◆对虚功原理不是用静止的观点去解决静 力学问题，而是采用变动的观点，在变动 （虚位移）中寻找平衡的条件
i1
得到
i n1s1F i q r i m iri q r i δq0
定义广义力
Q
n i1
Fi
ri q
s1Qi n1miriqr i δq0
由于s 个广义i坐n1 m 标ir的i 变qr分i 各Q自独立，得到
若某一广义坐标q 在拉格
朗日函数中不出现，则有
L 0 q
根据拉格朗日方程可得
d dt
L q
0
则其所对应的第一积分为
L q
p
Const.
在体系的拉格朗日函数 L内不出现的广义 坐标，称为该体系的循环坐标，其所对应 的第一积分为该循环坐标的广义动量积分
§6.4 拉格朗日方程的应用
q 表示，如果系统有s个自由度，就需要 s 个广义坐标，称为拉格朗日广义坐标
q1,q2, ,qs或 q1 ,2, ,s
力学体系中每个质点的直角坐标都可以 表示为广义坐标的函数，其变换关系称 为坐标变换方程
xixi(q 1,q2, ,qs,t)
(i1,2, ,3n)
如果选用 xA,yA,作,为广义坐标
qs1qriq rti qd drti
ddtri s1qri qrti
δri
s
1
ri q
δq
将坐标变分代入虚功原理
n
δW
F i miri δri 0
d dt q L q L 0 1,2, ,s
受理想约束的有势系的拉格朗日方程
• 循环坐标和广义动量积分
拉格朗日函数对广义速度的偏导数，称 为力学系的广义动量
p
L q
T q
若广义坐标 q为 线坐标，则 p是 线动量 若广义坐标 q为 角坐标，则 p是 角动量
d dt q T q T Q 1,2,,s
受理想约束的拉格朗日方程
• 有势系的拉格朗日方程 对于有势体系，广义力为
Q i n 1F i q r i i n 1 V r i q r i q V
则坐标变换方程为：
xA xA, yA yA,zA 0
xB xAlsincos, yB yAlsinsin,zB lcos
广义坐标对时间的导数称为与 该广义坐标对应的广义速度：
q
d dt
q
系统状态由广义坐标和广义速度共同描述
§6.2 虚功原理
• （一）实位移和虚位移
• 力学体系的约束可以表示为约束方程
若约束只是限制各质点的几何位置，则称 为几何约束
fx i,y i,z i,t 0 ,i 1 ,2 , ,n
若约束方程中还包含有速度变量，则称这 种约束为微分约束
fxi,yi,zi,xi,yi,zi,t0 i1,2,,n
例如：a)长为 l 的刚性轻杆，一端被光滑 铰链悬挂在 o 点，另一端与小球连接组成 球面摆，在直角坐标系小球约束方程为
◆虚功原理与牛顿力学不同，分析力学的 方法不是将注意力放在区分内力和外力上， 而是放在区分主动力和约束力上。虚功原 理只涉及到主动力（外力和内力中的）， 而未知的约束力不会在虚功原理中出现。 这是此原理的突出优点。
◆对虚功原理中所说的主动力所做虚功之 和为零，是对任意的虚位移而言的，不是 针对特殊的虚位移。
则拉格朗日方程变为
ddtqTqT QqV
V q
0
移项整理得
ddtT q VT q V0
把 L q ,q ; t T q ,q 定; t 义 V 为 拉q ; t 格朗日函数，
则拉格朗日方程变为
(1,2, ,s)
从上述s个体系的平衡方程可以解得体系 处于平衡位形时未知的主动力！
例题
• 课本176，例题6.1，例题6.2
§6.3 从牛顿力学到拉格朗日方程
• （一）达朗贝尔原理 研究n个质点组成的体系，每个质点的 运动都服从牛顿定律：
m i r i F i F i' 1 ,2 , ,n
miri
称为逆效力或达 朗贝尔惯性力
以静制动!
• 达朗贝尔-拉格朗日方程
根据虚功原理，体系的静平衡条件为：
n
δW
F iF i' m iri δri 0
i1
只考虑理想约束体系：
n
Fi'
δri
0
得到
n
δW
F i miri δir1i 0
x2y2z2l20
b)半径为 R 的车轮沿水平直线轨道无滑滚 动，由于接触点速度为零，则约束方程为
xC R 0
yc 0
xC R
yc R
不随时间变化的约束称为为稳定约束
fx,y,z0
若约束明显地随时间变化，则称为不稳 定约束
fx,y,z,t0
• 对于完整系，确定系统位置所需要的独 立坐标的数目，称为该系统的自由度 – 对于具有n个质点的力学体系，若存在 k个约束方程，则确定体系位形变化的 3n个坐标参量中有s=3n-k个参量可以独 立变化，其中 s 称为体系的自由度
l const
zA 0
自由度为4！
• 广义坐标： 在给定的约束条件下能完全 确定系统位置的一组独立变量称为系统 的广义坐标
xA ,yA ,xB ,yB
xA,yA,,
对于一个给定的系统，广义坐标的数目是 一定的，但广义坐标的选择不是唯一的！
• 广义坐标的表示：广义坐标一般用符号
xi q
δq
s
1
3n i 1
Fi
xi q
δq
0
s
可写为 δW Qδq 1
Q1q1Q2q2Qsqs 0
其中
Q q1,q2, ,qs;t q W i3 n 1F i q x i
称为广义力在方向 上的分量，所有这些
质点在真实运动中的位移称为 实位移，是由真实运动产生， 与一定的时间相对应，由动力 学方程、初始条件和约束方程 确定。在时间dt之内，质点的 实位移d r 只 有d x 一i 个d 。y j d zk
质点在满足当时约束条件下一切可能的 无限小位移，称为该时刻质点的虚位移
质点的虚位移用 δ表r 示
F i F i' m i r i 01 ,2 , ,n
意义：如果把 m当iri作作用在质点上的 力看待，那么任何瞬时作 用在体系中任 意 ，质和点力i上m的总iri主是动平力衡的，，约F质i束点力的动力F学i '
方程转化为静力学方程，此平衡原则称 为达朗贝尔原理
力的分量构成的总体 则Q是作用在体系上
的广义力
根据广义 平衡方程
Q 0 1,2, ,s
由于广义坐标是描写力学体系位形的独立 参量，因此他们的虚位移变更也都分别相 互独立，则虚功原理的广义坐标表述的物 理意义为：体系处于平衡时广义力的各分 量均为零（体系静平衡的广义平衡方程）
Q q 1 ,q 2 , ,q s;t 0
例题6.4：体现了拉格朗日方程在力学 体系的运动时的优势