第六章---理论力学

1、直接投影法(一次投影法)
x
方向余弦
Fx=Fcosα, Fy=Fcosβ, Fz=Fcosγ
2、 二次投影法(间接投影法)
Fx=Fcosθcos , Fy=Fcosθsin , Fz=Fsinθ
C LY
系 列 一
理论力学 说明: (1) 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。 (2) 已知力在坐标轴上的投影，则大小及方向余弦为：
。。 。 β α O 。 。
y Fn
FRx=∑Fx , FRy=∑Fy , FRz=∑Fz
(2) 合力的解析求法
FR F
2 Rx
x
2 2
F
2 Ry
F
2 Rz

Fx
FRy FR ,
C LY
wk.baidu.com
2
Fy Fz
cos
FRx , FR
cos
cos
W
解得，FB 1414 N
FC FD 559 N
C LY
系 列 一
理论力学
§6-3 空间力偶
一、空间力偶的等效定理· 力偶矩矢的概念
I
F′ B A F O FR ′ F2′ F1 ′ B1 II
作用在同一刚体的两平
行平面的两个力偶，若它们 的转向相同，力偶矩的大小
相等，则二者等效。
A1 FR F1
FN2
空间汇交力系
C LY
系 列 一
理论力学
§6-1 空间力沿坐标轴的分解与投影
一、力在空间的表示
大小：
z
F=|F |
E Fz

方向： 由、、 三个方向角确定, 或由方位角与仰角 来确定。 作用点： 力矢的起点或终点。
B A FFy D Fx ′ C B1 y
F
二、力在坐标轴上的投影计算
z
60o
4m
D
F1
O C x 解：具体过程见教材。
系 列 一
F3


2.5m
A
F2
B
y
C LY
理论力学
§6-2 空间汇交力系的合成与平衡
(1) 合力投影定理
将各力用分解表达式表示为：
z F1 γ FR F3
F2
Fi=Fxii+Fyij+Fzik , (i=1,2,…，n)
有： FR=∑F =∑Fxi+∑Fyj+∑Fzk
的平面的方位，方位不同，则力对物体的作用效应也不同。 空间力矩的作用效应取决于以下三要素： 力矩的大小、力矩的转向、 力的作用线与矩心所组成的平面方位 在平面问题中，力对点的矩是代数量； 而在空间问题中，力对点的矩是矢量。 1、力矩矢的表示方法 (1) 力矩矢大小
MO(F)
B F O r
A
MO(F)=Fd=2S△OAB
C LY
系 列 一
内 容 回 顾
（2） 当B处不受张力，基底作用力为三角形载荷 时，大小为 Q W 1bh. ，作用点距A点b/3
理论力学
M
A
0
b b 1 1 M Q M w M q 1bh. . 1bh. . . gh.1h. h 0 3 2 2 3
∴ MO(F)=r×F x
Fx
r
A
y
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
式中，i、j、k的系数就是力矩矢MO(F)在各坐标轴上的投影，由力 矩关系定理知，这些系数又是力F对于各坐标轴之矩，即
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
M (F ) 0 F 0 平 ②二矩式： F 0 M (F ) 0 M (F ) 0 衡 ③三矩式： M (F ) 0 M (F ) 0 M (F ) 0
y o x A B A B C
①一矩式： Fx 0
M x F 0, M y F 0, M z F 0
∴
MO(F)=r×F
O
d
系 列 一
即力对于任一点之矩等于矩心至力的作用线的矢径与该力的矢积。
C LY
理论力学 二、力对轴之矩 ⒈ 实例
C LY
系 列 一
理论力学 2、定义
力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩。
Mz(F)= MO(Fxy)=±Fxyd=2S△OA′ B′
是代数量，正负规定 单位为 N· m + –
C LY
系 列 一
理论力学
例3-4 如图所示，传动轴上圆柱斜齿轮所受的总啮合力为Fn，齿轮压力 角为α，螺旋角为β，节圆半径为r，求该力对于各坐标轴之矩。 解： 将Fn二次分解为沿坐标轴 的三个分力，即圆周力Ft，轴向 力Fa及径向力Fr ，则有，
FRy F FRx , cos , cos Rz FR FR FR
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
MO =MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)
M z ( F ) xFy yFx
Fx 0, Fy 0, Fz 0
C LY
系 列 一
第 6 章
空间力系和重心
C LY 系 列
理论力学 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，
即空间力系，空间力系是最一般的力系。
F1
F2 F4
F3
迎面 F1 风力
W
侧面 风力 F2
FN1
空间任意力系 平面一般力系
(4) 通常用符号M表示 说明： (1) 空间力偶矩矢为一个自由矢量 (2) 凡矩矢相等的力偶均为等效力偶，此即 空间力偶的等效定理。
C LY
力偶矩矢
系 列 一
理论力学
三、空间力偶系的合成与平衡
1、合成
空间各力偶是自由矢量，只要不改变各力偶矩矢方向，将它们 都滑移至某汇交点，按矢量合成法则进行合成。 即，合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。
解得：b=1.32
C LY
系 列 一
内 容 回 顾
平面任意力系
FRx =F1x+ F2x+ ·· Fnx= ΣFx ·+
FRy =F1y+ F2y+ ·· Fny= ΣFy ·+
理论力学 空间任意力系
FRx =F1x+ F2x+ ·· Fnx= ΣFx ·+ FRy =F1y+ F2y+ ·· Fny= ΣFy ·+ FRz =F1z+ F2z+ ·· Fnz= ΣFz ·+
F2
力偶三要素：力偶矩的大 小、力偶的转向、力偶作 用面的方位
C LY
系 列 一
理论力学 二、力偶矩矢 1、定义
空间力偶三要素可用一矢量表示，该矢量称为力偶矩矢。
2、表示方法
(1) 大小：矢量的长度表示力偶矩的大小；
(2) 矢量的方位：与力偶作用面的法线方向相同；
(3) 矢量的指向：与转向的关系服从右手法则。
系 列 一
理论力学 说明:
(1) 利用空间汇交力系的平衡方程可以求解三个未知量。
(2) 解题步骤：首先弄清力系中各力的空间位置关系，适当选取投影轴 (坐标系)，以简化计算过程。理论上来讲，除要求三个投影轴不共面， 且两两之间不相互平行外，投影轴可以任意选取。
(3) 当空间汇交力系平衡时，它在任何平面上的投影力系也必然平衡，
力F对O点的矩矢大小为：
z MO(F)
γ
|MO(F)|=2S△OAB (a)
力F对于通过O点的z轴的矩矢大小为：
B
A F
|Mz(F)|=2S△OA′B′ (b)
根据几何关系：
O xy A′ Fxy
B′
S△OAB · |cosγ|=S△OA′B′ (c)
其中，γ为两个三角形平面之间的夹角， 亦即矢量 MO(F) 与 z 轴之间的夹角。 综合(a)-(c)式，并考虑正负号关系，则有
E
C

D


A
B
W
Fx 0, FC sin FD sin 0
Fy 0, FC cos FD cos FB sin 0
FD FC x FB
z
A y
Fz 0 : FB cos W 0
由几何关系，
cos 24 12 2 24 2 2 5
z
性质：
(1) 当力的作用线与轴平行或相交 时，力对于该轴之矩为零。 (2) 当力沿其作用线平移时， 它对于轴之矩不变。
F A O
d
B
B′
xy
A′ Fxy
(3) 合力对于任一轴之矩等于各分力对于同一轴之矩的代 数和，此即力对轴之矩的合力矩定理。
C LY
系 列 一
理论力学 三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系 1、力矩关系定理
系 列 一
FRz FR
理论力学 四、空间汇交力系平衡的充要条件
平衡充要条件是：力系的合力为零，
FR=∑F =0
几何法平衡的充要条件是力系的力多边形自行封闭。 解析形式表示的平衡充要条件为：
∑Fx =0, ∑Fy =0, ∑Fz =0
即力系中所有各力在三个坐标轴的每个坐标轴上的投影的代数和均为零。
C LY
力对点之矩矢在通过该 点的任意轴上的投影等 于力对于该轴之矩。
|MO(F)| cosγ = Mz(F)= [MO(F) ]z
C LY
系 列 一
理论力学 2、力对坐标轴之矩的解析表达式 由于 F=Fxi+Fyj+Fzk ， r=xi+yj+zk
i j y Fy k z Fz
z MO(F)
B F
k O i x j
C LY
d
系 列 一
理论力学 (2) 力矩矢的方位：
与该力和矩心组成的平面的法线方位相同。
注意：当矩心位置改 变时，力矩矢的大小 和方向也随之改变， 因此，力矩矢为定位 矢量
(3) 力矩矢的指向：与转向的关系服从右手法则。
2、力矩矢的矢积表达式
如果r 表示A点的矢径，则
MO(F) A
B F
MO(F)=r×F 证明： ∵ |r ×F|=r · · F sin(r ,F )=Fd r
M w 1bh. . b 2
理论力学
1 1 M q .gh.1h. h 2 3
（1） 侧墙不绕A点倾倒时
Mw kq Mq
M
A
0
b 1 1 M w kq M q 1bh. . 1.4 . gh.1h. h 0 2 2 3
解得：b=0.9，根据条件知 b 0.9
x y x A A B
o B C
(F ) 0 (F ) 0 (F ) 0
3、解题步骤
(1) 选取研究对象； (3) 选坐标、取矩心 (2) 受力分析（画受力图） (4) 列平衡方程求解未知量。
C LY
系 列 一
内 容 回 顾
一、 4.4 c 固定端约束是3个力； 二、 缺受力图 三、 4-11 解：稳定力矩Mw 倾覆力矩Mq 倾覆系数Kq
且构成一平面汇交力系，故可以把空间问题转化成平面问题来处理。
C LY
系 列 一
理论力学 例6-2 重物W用杆AB和同一水平面的绳索AC与 AD支承。已知W＝1000N，CE＝ED＝12cm， EA＝24cm，β＝45°，不计杆重；求绳索的拉 力和杆的内力。
解：取A点为研究对象，受力分析。 取坐标系Axyz，列平衡方程，有
2 2 2 FR FRx FRy FRz
合 成
FR
FR 2 FR 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 x y
FR y FR x arctan Fy Fx
Fx Fy Fz
2 2
2
arctan
cos
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fy F Fx , cos , cos z F F F
3、空间力沿坐标轴的分解表达式 F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk
C LY
系 列 一
理论力学
例6-1 长方体上作用有三个力,F1 =500N, F2=1000N, F3=1500N, 方向及尺寸 如图所示，求各力在坐标轴上的投影。
内 容 回 顾
1、 平面任意力系的合成结果
① 合力（合力=主矢）
理论力学
FR’ ≠0， MO ＝0，或 FR’ ≠0， MO ≠0
② 合力偶（合力偶矩=主矩） FR’ =0， MO ≠0
③ 平衡 FR’ =0， MO =0
2、平面任意力系的平衡方程
①一矩式： ②二矩式： ③三矩式：
F 0 F 0 M F 0 M (F ) 0 M M (F ) 0 M (F ) 0 M
M=M1+M2+…+Mn=∑M 2、平衡
空间力偶系的平衡条件是： ∑M = 0 投影形式为： ∑Mx = 0, ∑My = 0, ∑Mz = 0 即：各力偶矩矢在三个坐标轴上的投影的代数和等于零。
C LY
系 列 一
理论力学
§6-4 力对点之矩与力对轴之矩
一、空间力对点之矩的矢量表示
力对点的矩,除了力矩的大小、转向外,还应考虑力与矩心所组成