成比例线段性质4
北师大版九年级上册数学教案：4.1成比例线段
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将理论知识与实际操作相结合，加深了对成比例线段的理解。但我也发现，部分小组在讨论过程中存在依赖思想，个别成员不够积极参与。为了提高学生的参与度，我打算在下次活动中增加一些互动环节，鼓励每个学生都发表自己的观点。
-掌握比例的基本性质：包括比例的倒数性质（如果a:b=c:d，则b:a=d:c）、交叉相乘性质（如果a:b=c:d，则ad=bc）等。这些性质是解决比例问题的关键，需要在教学中反复强调，并通过练习题巩固。
-应用比例知识解决实际问题：培养学生将比例知识应用于实际情境中，如计算线段长度、解决比例分配问题等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了成比例线段的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对成比例线段的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解成比例线段的基本概念。成比例线段指的是两条线段之间存在一个常数k，使得一条线段的长度是另一条线段长度的k倍。它在几何图形的相似性、比例尺的计算等方面具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设图中有两条线段AB和CD，已知AB的长度是CD的两倍，我们将通过这个案例来展示成比例线段在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
4 怎样证明线段成比例剖析
怎样证明线段成比例【知识要点】本章节中，所要介绍的线段成比例的证明方法，主要有以下几种：（1）利用相似三角形的对应边成比例法证。
思路是：把待证的四条线段视为两个三角形的边，从而把问题转化为证两个三角形相似。
（2）用等线代换法证：若所要证的比例式中的线段不是两个三角形的边，可把比例式中的线段换成与它相等的线段，这四条线段都在两个三角形中，证这两个三角形相似。
（3）用等比代换法去证：若d c b a , , , 是四条线段，欲证d c b a =，可先证得feb a =（f e , 是两条线段）然后证d c fe =，这里把fe叫做中间比。
【典型例题】例1 如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AC 上一点，连DE 并延长交BA 延长线于F ，且ED=FE，AD ∥FD 交BC 于G ，DH ∥BA 交AC 于H ，求证：GD:CD=DH:FB。
例2 如图，已知ABC Rt ∆中，AB CD ACB ⊥︒=∠, 90于D ，E 是BC 的中点，连结ED 并延长交CA 的延长线于F ，求证：CFBCDF AC =。
BCDGE F3例3 已知，如图，在ABC ∆中，AB=AC，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F 。
求证：PF PE BP ⋅=2。
例4 如图，ABC ∆中，DAC BDE BD AD ∠=∠=, ，求证：DCBDEB AE =。
【经典练习】1．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，E 为DC 上的一点，EF ∥AD 交AC 于F ，交BA 延长线于G ，求证：BE:CE=GB:FC。
2．如图，AD 为ABC ∆的角平分线，由D 向ACB ∠的外角平分线作垂线与AC 的延长线交于F 点，由D 作ABC ∠的平分线的垂线与AB 交于E ，垂足分别为N ，M 。
求证：AE AD ⋅=2BCDBDCCDED3．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，M 是AB 的中点，过M 作AB 的垂线交AC 于D ，交BC 的延长线于E 。
九年级成比例线段知识点
九年级成比例线段知识点成比例线段在九年级的数学课程中占据了重要的地位。
本文将对九年级学生需要掌握的成比例线段的相关知识点进行介绍和解析。
一、成比例线段的定义成比例线段指的是在同一直线上的两个线段，它们的长度比相等。
即若线段AB与线段CD成比例，记作AB∶CD，那么有AB/CD=常数k。
二、成比例线段的特性1. 定比分点性质：若在线段AB上有一点M，使得AM/MB=k，则称M为AB的一个定比分点。
定比分点的特性是，若M是AB的定比分点，则AM/MB=k或MB/AM=1/k。
2. 分段问题：设线段AB上有一点E，使得AE为AB的α部分（即AE/AB=α），则BE为AB的β部分（即BE/AB=β）。
若已知α和β，求线段AE和BE的具体长度时，可以使用分段比例定理：AE/BE=α/β。
3. 三点共线问题：若已知A、B、C三点共线，且AB∶BC=k，那么可以得出结论，点A、B、C是成比例线段。
三、成比例线段的性质和定理1. 外分比例定理：在线段AB的延长线上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，则有AC/BC=α/β。
2. 内分比例定理：在线段AB上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，那么有AC/BC=α/β。
3. 同位角定理：若两条平行线被一条交叉线所切分，那么所得的各对共线点所构成的线段成比例。
四、成比例线段的应用成比例线段在实际问题中具有广泛的应用。
以下举例说明：例1：已知在一条长为10cm的铁丝上，从一端开始分别距离1cm和9cm的两个固定点，现在要找到距离这两个固定点等距离的一个点M，该点在铁丝上的位置离起点较近。
求点M在铁丝上的位置。
解：设点M在铁丝上的位置离离起点距离为x cm，则根据定比分点的特性可知，x/9=(10-x)/1，解得x=0.9cm。
所以点M在铁丝上的位置离起点0.9cm处。
例2：已知线段AB和线段CD成比例，且AB=6cm，CD=15cm，在线段AB上取一点E，使得AE/EB=1/3，求线段CE 的长度。
成比例线段与比例的基本性质
成比例线段
四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的, 即 ac
bd
那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比 例线段.
上图中AB,EH,AD,EF是成比例线段， AB,AD,EH,EF也是成比例线段。
跟踪练习
1、判断下列四条线段 a,b,c,d 是否成比例
如果ad=bc(a,b,c,d都不等于零)，那么 a = c bd
例题
如图，一块矩形绸布的长AB=am，宽AD= 1m ,按着图中所示的方式
将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原
a 绸布的宽与长的比相同，即 AE AD ，那么 的值应当是多少？ AD AB
解：根据题意可知，A Ba,m A E1a,m A D 1m 3
如果把 m 表示成比值k,那么 AB k，或AB=k·CD
n
CD
两条线段的比实际上就是两个数的比.
五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′形状相同 AB=5cm,A'B'=3cm,AB:A'B'=5:3, 5 就是线段AB与线段A'B的比。
3
这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
想一想
两条线段长度的比与所采用的长度单位有 没有关系？
对于形状相同而大小不同的两个图形， 我们可以用相应线段长度的比来描述它们 的大小关系
线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的
长度分别是m、n，那么说这两条线段的比就是它们长
度的比，即 AB:CD=m:n或写成 AB m CD n
其中，线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项、后项.
没有关系
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
比例线段知识点总结
比例线段知识点总结一、概念比例线段是指在空间中，两条相交直线及其被它们截断的线段之间的比例关系。
即在一条直线上，有两个点A、B，它们分别位于C、D两点之间，若AC：CB=AD：DB，则称AB 与CD成比例，这里的A、B、C、D称为比例线段。
二、性质1. 等价性：如果AB与CD成比例，那么CB与AD也成比例。
2. 共线性：如果AB与CD成比例，那么A、B、C、D四点共线。
3. 分解性：如果AB与CD成比例且BC=BD-CD，那么A、C、D三点共线。
4. 反比例性：如果AB线段与CD线段成比例，那么AB与DC反比例。
三、比例线段的性质1. 正比例和反比例（1）正比例：如果两个比列线段是正比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D。
即AB/CD=AC/BD；（2）反比例：如果两个比例线段是反比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D的倒数。
即AB/CD=AD/BC。
2. 合比例与轴比例（1）合比例：如果两个比例线段是合比例的，那么它们之间的关系是有一个共同的中点E，其中AE/EB=CE/ED；（2）轴比例：如果两个比例线段是轴比例的，那么它们之间的关系是有中点E，其中AE/BE=CE/DE。
3. 调和比调和比是指四个不相等的正数a、b、c、d，如果满足a/b=c/d，那么称a、b、c、d为调和比，用(a,b,c,d)表示。
四、比例线段的运算1. 和与差（1）和：如果AB与BC成比例，那么AB+BC等于线段AC的长度；（2）差：如果AB与BC成比例，且AB大于BC，那么AB-BC等于线段AC的长度。
2. 积与商（1）积：如果AB与BC成比例，那么AB*BC等于AC*BC；（2）商：如果AB与BC成比例，那么AB/BC等于线段AC的比例。
3. 比值定理如果在三角形ABC内，D、E分别是AB、AC的两个点，而线段DE与BC平行，那么AD/DB=AE/EC。
五、应用1. 已知比例求线段长度对于等比例线段AB、CD，通过已知比例和其中一个线段的长度，可以求解另一个线段的长度。
成比例线段知识点
成比例线段知识点
成比例线段是初中数学中重要的概念之一，它涉及到线段的比例关系和相似三
角形的性质。
在学习成比例线段的过程中，我们需要掌握以下几个知识点：
1. 成比例线段的定义
成比例线段是指在两个线段中，它们的比等于另外两个线段的比。
即如果线段AB和线段CD成比例，那么就有AB/CD = AC/BD。
这个比例关系在几何学中非常
重要，它可以帮助我们解决许多与线段长度有关的问题。
2. 成比例线段的性质
成比例线段具有一些重要的性质，比如说如果两个线段成比例，那么它们的长
度比是唯一确定的，即使线段长度发生变化，它们的比例关系仍然成立。
此外，成比例线段的比例也可以用比例的倒数来表示，比如说如果AB/CD = 2/3，那么
CD/AB = 3/2。
3. 成比例线段的应用
成比例线段的应用非常广泛，它可以帮助我们解决许多实际问题，比如说测量
不规则图形的边长、比较不同尺寸的物体、计算地图的比例尺等。
在实际生活中，我们经常会用到成比例线段的知识，因此掌握好这个知识点对我们的日常生活和学习都非常有帮助。
总的来说，成比例线段是初中数学中的重要知识点，它涉及到线段的比例关系
和相似三角形的性质。
通过学习成比例线段，我们可以更好地理解线段的比例关系，解决实际问题，提高数学的应用能力。
希望同学们能够认真学习成比例线段的知识，掌握好相关的概念和性质，从而在数学学习中取得更好的成绩。
比例线段概念整理
比例线段概念整理
比例线段是数学中重要的概念之一，主要涉及比例、线段和比例线段的性质。
在学习比例线段时，我们需要了解以下几个关键概念：
1. 比例的概念：
比例是指两个量之间的对应关系。
如果两个量之间的比相等，我们就说它们成比例。
比例的基本性质是乘法性质，即如果a/b=c/d，则a×d=b×c。
比例在实际生活中有着广泛的应用，比如食谱中的配料比例、地图上的比例尺等。
2. 线段的概念：
线段是指两个端点之间的部分，它有固定的长度。
线段的长度可以用数值来表示，通常用单位长度来进行测量。
线段的性质包括长度、起点、终点等。
3. 比例线段的概念：
比例线段是指在同一直线上的几条线段，它们之间满足比例的关系。
比例线段的基本性质是比例性质，即如果两条线段成比例，那么它们的比相等。
比例线段的比例关系可以用比例式来表示，比如AB:CD=EF:GH，表示线段AB与线段CD的比等于线段EF与线段GH的比。
4. 比例线段的比例式性质：
比例线段的比例式有一些重要的性质，包括交叉相乘等于交叉相乘、比例线段的比例是对称的等。
其中，交叉相乘等于交叉相乘是比例线段的重要性质，它可以用来求解未知线段的长度。
比例线段的比例是对称的性质则表示比例线段的比例与线段的位置无关，只与线段的长度有关。
总的来说，比例线段的概念涉及比例、线段和比例线段的性质。
通过理解比例线段的概念和性质，可以帮助我们更好地应用比例线段的知识，解决实际生活和数学问题。
希望以上整理的内容对您有所帮助。
如果有任何疑问，欢迎继续咨询。
北师大版九年级数学上册说课稿：4.1成比例线段
北师大版九年级数学上册说课稿：4.1 成比例线段一. 教材分析北师大版九年级数学上册的“4.1 成比例线段”一节，是在学生已经掌握了比例的性质，以及线段的基本知识的基础上进行的一节内容。
这一节主要向学生介绍成比例线段的定义及其性质，以及如何通过成比例线段来解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引出成比例线段的定义，接着通过大量的练习，让学生加深对成比例线段的理解。
在这一节的内容中，学生需要掌握成比例线段的定义，以及如何判断两条线段是否成比例，同时，还需要学会如何通过成比例线段来解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于比例的性质和线段的知识有一定的了解。
但是，对于成比例线段的定义及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步理解成比例线段的定义，并通过大量的练习，让学生掌握成比例线段的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解成比例线段的定义，掌握成比例线段的性质，能够判断两条线段是否成比例，并能够运用成比例线段来解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：成比例线段的定义及其性质。
2.教学难点：如何判断两条线段是否成比例，以及如何运用成比例线段来解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引出成比例线段的定义。
2.新课导入：讲解成比例线段的性质，让学生通过观察、操作、思考，理解并掌握成比例线段的性质。
3.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生通过练习，加深对成比例线段的理解。
数学比例线段的概念和性质
数学比例线段的概念和性质数学中，比例线段是指具有相等比例关系的线段。
比例线段具有以下性质：1. 相似性：比例线段的长度比是相等的。
如果两个线段AB和CD成比例，即AB/CD=k，则两个线段是相似的。
相似的线段具有相似的性质和形状。
2. 约束性：比例线段是有限制的，即如果一条线段成比例于其他两条线段，那么这两条线段的关系也是成比例的。
例如，如果AB/CD=k，CD/EF=m，那么AB/EF=(AB/CD)*(CD/EF)=k*m。
3. 反比关系：比例线段的倒数也是成比例的。
如果AB/CD=k，则CD/AB=1/k。
这意味着如果一个线段是另一个线段的倍数，那么这两个线段的倒数也是成比例的。
4. 比例线段的比例可乘性：如果有三个比例线段AB、BC和CD，且AB/BC=k，BC/CD=m，那么AB/CD=(AB/BC)*(BC/CD)=k*m。
这个性质可以用于求解比例线段之间的未知量。
5. 分离性：如果有两个比例线段AB/CD=k，EF/CD=m，则AB/EF=k/m。
这意味着两个比例线段之间的比例关系不受其他线段的影响，可以独立分析。
6. 平行性：如果两条平行线上的线段成比例，那么这些线段上的任意线段也成比例。
例如，如果ABCD，且AB/CD=k，则对于平行线段EF和GH，有EF/GH=k。
7. 三角形的角平分线：在一个三角形中，角的平分线把相对边分割成比例线段。
例如，如果BE是三角形ABC中角B的平分线，那么AE/EC=AB/BC。
8. 重心和垂心：在三角形中，重心到各个顶点的距离成比例，垂心到各个顶点的距离也成比例。
这是由重心和垂心的特殊性质决定的。
具体来说，如果G是三角形ABC的重心，D是三角形ABC中BC边上的垂足，则AG/GC=BD/DC。
9. 正弦定律和余弦定律：在三角形中，正弦定律和余弦定律也可以看作是比例线段的定理。
正弦定律可以表示为a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)，其中a、b和c是对应的边长，A、B和C是对应的角度。
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a c 例2:已知 b = d ， 判断下例比例 是否成立，并说明理由．
ab cd (1) b d a b cd ( 2) b d a ac (3) b bd
例2：已知，判断下列比例式是否 成立，并说明理由。 （1）
ab cd b d
（2）
主要内容： 1.成比例的定义. 2.比例的基本性质 (a:b=c:d ad=bc) 及其应用. 温馨提示： 1.比例式是等式，因而具有等式的各个性质 2.比例式变形的常用方法: (1)利用等式的性质; (2)参数法.
小结
ace a c e 已知 3 ,求 bd f b d f
蝴蝶身长与双翅展开后 的长度之比接近0.618;
文明古国埃及的金字 塔，形似方锥，大小 各异。但这些金字塔 底面的边长与高之比 都接近于0.618.
一.定义 :四个实数 a、b、c、d 中，如 a c 果 （或a：b=c：d），那么 = b d 这四个实数a、b、 c 、 d 成比例. 其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项， a、d 叫做外项， b、c 叫做内项，
• 分别计算下列比例式的两个 内项的积与两个外项的积: 0.3 0.6 (1) = 2 4 (2)
2 1 6 3
比例的基本性质 a c = b d
ad=bc.
外项之积=两内项之积.
a c （2）如果ad=bc，那么 = 吗？ b d
(b≠0,d≠0)
∵ad=bc，
a c ∴两边同除以bd,得： = b d
ad=bc 由此可得结论：
综上所述, 比例的基本性质:ad=bc
a c = b d
a c = b d (a，b，c，d都是不为零的实数)
例1:
根据下列条件,求
a b
的值.
a b (1)2a 3b (2) 5 4
例1：根据下列条件，求a:b的值 (1)2a=3b (2)
a b 5 4
练一练：求下例式中的x (1)4:3=5:x (2)
的值
与例2相比较,你发现了 什么规律?
a 3 b 4
a ac b bd
练一练：已知 2 a b 的值 （2）a b （3）
b
ab 求（1） b
a 2b
ace a c e 已知 3 ,求 bd f b d f
的值
与例2相比较,你发现了 什么规律?
想一想：已知 2x 3y z 的值
x 3y z
x y z 2 3 4
且xyz≠0求
2
(1)若3x＝4Y，求 (2)若
a+b a X Y
、
X
、
X－2Y Y+X
的值。
Y－X a－2b b
＝
5 3
，求
的值。 的值。
(Байду номын сангаас)x:y:z＝2:3:4 ，求
X－y＋z 2x＋3y－z
(4)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm。求 AB:CD的值。