高等代数选讲第六讲 线性变换的特征值、特征向量
线性变换的特征值与特征子空间
线性变换的特征值与特征子空间线性变换是线性代数中的基础概念之一，它在多个领域有着广泛的应用。
在研究线性变换的性质时，特征值与特征子空间是两个重要的概念。
本文将探讨线性变换的特征值与特征子空间的定义、性质和应用。
一、特征值与特征向量在线性代数中，我们知道线性变换将一个向量映射到另一个向量。
对于给定的线性变换T，如果存在一个非零向量v，使得T(v)与v方向相同，即T(v)与v共线，那么v就称为T的特征向量，对应的数值λ称为T的特征值。
我们可以用以下方式表示：T(v) = λv特征值与特征向量的定义揭示了线性变换对向量进行伸缩或反转的性质。
特征向量对应的特征值可以是实数或复数。
二、特征子空间根据特征值与特征向量的定义，我们可以得出一个结论：对于任意特征值λ，所有特征向量构成的集合组成了一个特征子空间，该子空间关于变换T是不变的。
这个特征子空间称为特征值λ的特征子空间。
特征子空间在理解线性变换的几何意义时起到了重要作用。
通过分析特征子空间的维数和结构，可以揭示变换T在不同方向上的变化特征。
三、特征值与特征子空间的性质1. 同一个特征值对应的特征向量构成的特征子空间是线性无关的。
2. 不同特征值对应的特征子空间是相互垂直的，即两个特征子空间的交集只包含零向量。
3. 特征值的个数不超过线性变换的维数，即一个n维线性变换最多具有n个特征值。
利用这些性质，我们可以对线性变换进行更深入的研究和应用。
四、特征值分解特征值与特征子空间的概念为我们提供了一种将线性变换进行简化的方法，即特征值分解。
对于一个n维线性变换T，如果我们找到了n 个线性无关的特征向量v₁，v₂，…，vₙ，并且它们对应的特征值分别是λ₁，λ₂，…，λₙ，那么我们可以将T表示为以下形式：T(x) = λ₁x₁+ λ₂x₂ + … + λₙxₙ通过特征值分解，我们可以将原始的线性变换转化为一组简单的伸缩变换，为问题的求解和研究提供了方便。
五、特征值与特征子空间的应用特征值与特征子空间在多个领域都有着广泛的应用。
厦大《高代》讲义第6章+特征值
3. 对每个特征值0, 求齐次线性方程组 (0In A)X 0
的基础解系, Xs. 则k1 X1 +
k即2X20+的…特+征k子sX空s,即间是V对0的应基于, 特X1征, X值2, …λ0 ,
的全部特征向量, 其中ki为K上不全为零的数.
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• 掌握复数域上的矩阵可以相似于上三角矩 阵并应用于讨论问题;
• 掌握判断和计算特征值和特征向量的方法; • 注意矩阵与线性变换的对应结论; • 注意特征值的概念与数域有关.
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特征值和特征向量_1
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例子
例5:设A Knn , g( x) K[x],
(1) 若 是A的特征值, 则 g( )是 g( A)的特征值.
(2) 若1, 2 , ..., n是A的全部特征值, 则g(1 ),
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特征值和特征向量_2
定义: 设λ是 的一个特征值, 则 V { V | ( ) }
是V的子空间, 且是称为 子空间, 称为 的
属于特征值λ的 特征子空间.
注: 设α是 的关于λ的特征向量, β是 的关于
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例子
1
例2:
求
a
b
的特征值与特征向量,
其中
d
a d,b 0,a 1,d 1.
3 1 1
例3:
求
2
2
1的特征值与特征向量.
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。
它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。
一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。
特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。
特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。
对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。
我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。
二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。
然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。
三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。
在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。
特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。
通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。
2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。
3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。
第6章线性变换和特征值
第6章线性变换和特征值线性变换是线性代数中的重要概念，它是指一个向量空间V到另一个向量空间W之间的映射，满足线性性质。
线性变换在实际应用中有着广泛的应用，特别是在计算机图形学、信号处理、物理学等领域中。
在进行线性变换时，我们通常会对向量进行一系列的操作，如旋转、缩放、投影等。
这些操作可以通过矩阵来表示，因为矩阵可以将一些向量操作统一起来，从而方便计算。
线性变换可以用一个矩阵A表示，对于输入向量x，其变换结果y=Ax。
线性变换的一个重要性质是保持向量的线性组合。
即对于任意的向量x1, x2和标量a，b，有T(ax1 + bx2) = aT(x1) + bT(x2)。
这一性质在实际应用中非常有用，它保证了线性变换的结果仍然是向量空间中的向量。
在线性代数中，我们研究的是向量空间的特征，即向量空间中的一些特殊向量。
对于一个线性变换T，其特征向量是满足T(v)=λv的非零向量v，其中λ是一个标量，称为特征值。
特征向量和特征值可以用来描述线性变换对向量的“拉伸”和“旋转”效果。
特征值和特征向量的计算是线性代数中的关键问题。
一般来说，我们可以通过求解线性变换对应矩阵的特征方程来求解特征值和特征向量。
特征方程是一个关于特征值λ的方程，其形式为det(A - λI) = 0，其中A是线性变换对应的矩阵，I是单位矩阵。
特征值和特征向量在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，特征值和特征向量可以用来描述3D模型的形状变化。
在信号处理中，特征值和特征向量可以用来解决滤波和降噪问题。
除了特征值和特征向量，线性变换还有一些重要的性质。
例如，对于矩阵为A的线性变换T和标量c，有T(cA)=cT(A)，称为线性变换的齐次性质。
此外，线性变换的核是指所有使得T(v)=0的向量v的集合，而像是指线性变换T的所有可能输出向量的集合。
总结起来，线性变换是线性代数中的重要概念，它可以用矩阵来表示，并且具有许多重要的性质。
特征值和特征向量是线性变换的重要度量指标，可以用来描述线性变换的效果。
线性代数中的特征值与特征向量
线性代数中的特征值与特征向量线性代数是高等数学的一个分支，是研究线性方程组、向量空间、矩阵与线性变换等方面的数学学科。
其中，特征值与特征向量是线性代数的重要概念之一，本文将深入探讨它们的性质及应用。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶矩阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x，使得下式成立：Ax = λx则称λ为矩阵A的特征值，x为A对应于特征值λ的特征向量。
其中，λ是一个实数或复数，x是一个n维向量。
二、特征值与特征向量的求法对于一个n阶矩阵A，求解其特征值和特征向量的方法是通过求解方程组(A-λI)x = 0，其中I是n阶单位矩阵，x是一个非零向量，λ是未知标量。
然后根据解得向量x的非零性质，可以得到矩阵A的特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 特征值不唯一性：对于一个矩阵A，它的不同特征向量所对应的特征值可能是相同的。
2. 特征向量的线性组合仍为特征向量：如果x1和x2为矩阵A的两个特征向量，对应的特征值为λ，则c1x1+c2x2也是A的一个特征向量，其中c1和c2是任意常数。
3. 特征向量构成向量空间：矩阵A特征向量所构成的向量空间，被称作矩阵A的特征空间。
4. 特征值与行列式的关系：如果A是一个n阶方阵，它的特征值λ可以通过求解方程|A-λI| = 0来得到。
该关系式被称作矩阵A的特征方程式。
四、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域应用广泛，其中一些重要的应用如下：1. 特征值分解：矩阵A可以通过特征值分解表示为A = PDP^-1，其中P是n阶可逆矩阵，D是对角矩阵，其对角线上的元素均为特征值。
特征值分解可用于求解矩阵乘法、矩阵指数等问题。
2. 矩阵对角化：如果一个矩阵A可以表示为A = PDP^-1，那么可以将矩阵A对角化为对角矩阵D，其对角线上的元素为特征值。
3. 矩阵的稳定性：矩阵A的特征值可以用于判断矩阵A的稳定性。
如果所有特征值的实部都小于零，则矩阵A是稳定的。
线性代数特征值与特征向量
线性代数特征值与特征向量线性代数是现代数学中的一个重要分支，研究的是向量空间和线性映射的代数结构以及它们之间的关系。
其中，特征值与特征向量作为线性变换中的重要概念，对于矩阵和向量的性质有着深远的影响。
本文将重点介绍线性代数中的特征值与特征向量，并探讨它们的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得以下等式成立：Av = λv其中，v称为A的特征向量，λ称为A对应于v的特征值。
特征值和特征向量的存在使得我们能够更好地理解矩阵的性质和变换过程。
二、特征值与特征向量的计算为了计算特征值和特征向量，需要解决矩阵的特征方程。
对于n阶方阵A，其特征方程为：|A - λI| = 0其中，I为单位矩阵，|A - λI|为A - λI的行列式。
解特征方程可以得到矩阵A的特征值λ。
接下来，求解每个特征值对应的特征向量。
对于特征值λ，需要求解矩阵(A - λI)v = 0的非零解v，即：(A - λI)v = 0上述方程的解空间就是特征值λ对应的特征向量空间。
三、特征值与特征向量的性质与应用1. 特征值的性质特征值具有以下性质：（1）对于n阶方阵，其特征值个数不超过n个；（2）特征值与矩阵的迹、行列式以及其他特征值之间有一定的关系；（3）特征值对应的特征向量可以形成线性无关的向量组。
2. 特征向量的性质特征向量具有以下性质：（1）特征向量与特征值一一对应；（2）特征向量可以进行线性变换；（3）特征向量可以表示矩阵的变换方向和比例关系。
3. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际应用中具有广泛的应用价值，例如：（1）主成分分析（PCA）：通过计算协方差矩阵的特征值与特征向量，实现特征数据的降维和分析；（2）图像压缩：利用矩阵的特征值与特征向量，将图像信号进行压缩和恢复；（3）物理系统的量子力学描述：特征向量描述了系统的稳定状态，特征值表示了系统的能量。
四、总结线性代数中的特征值与特征向量是一对重要的概念，对于矩阵的性质和变换具有重要意义。
线性变换与特征值特征向量的计算
线性变换与特征值特征向量的计算线性变换是线性代数中一个重要的概念，它描述了向量空间内的一种变换关系。
在线性变换中，特征值与特征向量是一对重要的概念，能够帮助我们更好地理解和分析线性变换的性质。
本文将介绍线性变换的定义与性质，并详细阐述特征值与特征向量的计算方法。
一、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个向量空间中的向量，通过某种变换关系，映射到另一个向量空间中的向量。
具体来说，设有两个向量空间V和W，线性变换T是从V到W的一种映射，满足以下两个性质：首先，对于V中的任意向量x和y，以及任意的标量a和b，都有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)；其次，对于V中的零向量0，有T(0)=0。
这两个性质使得线性变换具有保持向量加法和数量乘法运算的特点，从而可以表示向量空间之间的变换关系。
对于线性变换T，我们常常用矩阵A来表示它的变换关系。
设V的一组基为{v1,v2,...,vn}，W的一组基为{w1,w2,...,wm}，则矩阵A的第j 列表示向量vj在基{w1,w2,...,wm}下的表示，即A=[T(v1)|T(v2)|...|T(vn)]。
根据线性变换的定义和性质，我们可以通过计算矩阵A来描述线性变换T。
二、特征值与特征向量的计算特征值与特征向量是线性代数中一个重要的概念，在线性变换中有着重要的应用。
设有线性变换T和向量v，如果存在一个标量λ使得T(v)=λv，那么称λ为线性变换T的特征值，v为对应的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们揭示线性变换的性质和变换结果的特点。
在计算特征值与特征向量时，我们面临的一个关键问题是如何求解特征值方程T(v)=λv。
设A是线性变换T的矩阵表示，v是对应的特征向量，那么特征值方程可以表示为Av=λv。
将其转化为(A-λI)v=0，其中I是单位矩阵，0是零向量。
为了使(A-λI)v=0有非零解，必须满足矩阵A-λI的行列式为零，即|A-λI|=0。
这样就得到了特征值方程的表达式。
线性代数第六章特征值与特征向量课件
4）当 A 是可逆矩阵时，1是 A1的特征值，且 是 A1属于1的特征向量．
例4 设 A 是一个 4 阶方阵，且 2, -1, 1, 3 为 A 的 特征值．
１）求 A 的伴随矩阵 A* 的特征值； ２）求 A3 2A2 2A E 的特征值． 定理5 设 1, 2, , s 是矩阵 A 的互不相同的 s 个 特征值，1,2, ,s 为分别与之对应的特征向量， 则 1,2 , ,s 线性无关．
定理13 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上的一个线性变换． 那么 是可对角化的充分必要 条件是 存在个线性无关的特征向量．
推论 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上 的一个线性变换． 如果 存在 n 个互不相同的特征 值，那么 是可对角化的．
定理14 设 1, 2, , s 是线性变换 的 s 个互不相同 的特征值，i1, i2 , , iri 是 的属于特征值 i的线性
1 1, 2 2 , , n n 为 D 的全部特征值．
如果 A 是可对角化的，且与 A 相似的对角矩阵 D 如（10）所示， 那么， 由于相似矩阵具有相同的 特征值，
1 1, 2 2 , , n n 也是 A 的全部特征值． 若不考虑 1,2, ,n 的顺序， D 是唯一确定的． 因此，也称对角矩阵 D 为 A 的相
定理3 互为转置的两个矩阵具有相同的特征值．
对一个 n 阶方阵 A，我们也可以定义矩阵的多 项式．设
(x) as xs as1xs1 a1x a0
是一个以 x 为未知量的 s 次多项式， a0, a1, , as 为 常数，且 as 0 ．
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注意
有相同特征多项式的矩阵未必相似.
1 0 ,B 1 1 A 如 0 1 0 1
2 ( 1) 它们的特征多项式都是 ，但A、B不相似.
3、哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理
nn A P , f ( ) E A 为A的特征多项式, 则 设
则矩阵 B A3 2 A2 的特征值为： 行列式 B ＝ . ，
16
三、可对角化的概念
定义1
设 维n 线性空间V的一个线性变换，如 果存在V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对角矩 阵，则称线性变换 可对角化（diagonalization）.
定义2 矩阵A是数域 P上的一个 n级方阵. 如果
f ( A) An (a11 a22 ann ) An1 ( 1)n A E 0.
13
4、设 为有限维线性空间V的线性变换，f ( ) 是
的特征多项式，则 f ( ) 0.
14
练习1 已知 A P
1.
nn
, 为A的一个特征值，则
(Ⅰ ) (Ⅱ )
1 ,2 ,,n
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡
矩阵矩阵是X，则
B X 1 AX .
相似矩阵有相同的特征值。
4
1、求特征值与特征向量的一般步骤
（1） 在V中任取一组基 1 , 2 ,, n , 写出 在这组基下 的矩阵A . （2） 求A的特征多项式 E A 在P上的全部根它们
若对于P中的一个数 0 , 存在一个V的非零向量 , 使得 ( ) 0 , 则称0 为 的一个特征值（eigenvalue），称 为 的 属于特征值 0 的特征向量（eigenvector）.
3
定理 设线性空间V的线性变换 在两组基
1, 2 ,, n
1 , 2 ,r 5、设 为n 维线性空间V的一个线性变换，
为全部不同的特征值，则 可对角化
dimVi n,
i 1 r
Vi 为 的特征子空间.
22
例2 设
4 10 0 A 1 3 0, 3 6 1
求 A 特征值、特征向量和
11
2、相似矩阵具有相同的特征多项式.
1 A ~ B B X AX 则存在可逆矩阵X，使得 证: 设
于是， E B E X 1 AX
X 1 EX X 1 AX X 1 ( E A) X X 1 E A X E A
12
1 1 3 , 2 2 3
而属于1的全部特征向量为
k11 k2 2 ,
( k1 , k2 P 不全为零 )
9
把 5 代入齐次方程组 ( E A) X 0, 得
4 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 4 x3 0
1 2 2 A 2 1 2, 2 2 1
求 特征值与特征向量.
解：A的特征多项式
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2 ( 5) 2 2 1
故 的特征值为： 1 1 （二重）, 2 5
19
例1
3 2 , A 设 0 1
求非奇异矩阵 P ，使得 P 1 AP为对角阵。
20
3、（推论1）设 为n 维线性空间V的一个线性变换，
如果 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值， 则 可对角化. 特别地，（推论2）在复数域C上的线性空间中， 如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可 对角化.
18
1、（定理 ）设 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
则 可对角化 有 n 个线性无关的特征向量.
2、（定理 ）设 为n维线性空间V的一个线性变换,
如果 1 , 2 , k 分别是 的属于互不相同的特征值
1 , 2 ,k 的特征向量，则 1 , 2 , k 线性无关.
1 X X AX为对角 存在一个 P 上的n 级可逆矩阵 ，使
矩阵，则称矩阵A可对角化.
17
定理 设线性空间V的线性变换 在两组基
1, 2 ,, n
(Ⅰ ) (Ⅱ )
1 ,2 ,,n
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡
矩阵矩阵是X，则
B X 1 AX .
则 i cij j ,
j 1 n
i 1,2,, r
6
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量. 而 k11 k22 krr , （其中， k1 , k2 ,, kr P 不全为零） 就是 的属于 0 的全部特征向量.
7
例1 设线性变换 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵是
21
4、（定理 ）设 为线性空间V的一个线性变换，
1 , 2 ,k 是 的不同特征值，而 i 1 , i 2 , iri是属于
特征值 i 的线性无关的特征向量， i 1,2,, k ,
则向量 11 , , 1r1 , , k 1 , , krk 线性无关.
异，则A的特征向量恒为B的特征向量的充要条件 是 AB BA 。
例6 设 A 是n阶方阵，E是n阶单位阵。证明：
若Am 0 ，则E-A可逆。 设 Z 是矩阵A对于特征值 0 的特征向量， 试求 P 1 AP 对应 0 的特征向量。
例7
24
A
100
.
例3
3 2 2 设 A k 1 k , 4 2 3
问当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P ，使 得 P 1 AP 为对角阵，并求 P 和相应的 对角阵。
23
例4 设 A, B 均是n阶矩阵，证明 AB 与 BA 有相
同的特征值。
例5 设 A, B 均是n阶矩阵，且A的特征值两两互
解得它的一个基础解系为： (1,1,1) 因此，属于5的一个线性无关的特征向量为
3 1 2 3
而属于5的全部特征向量为 k3 3 ,
( k3 P , k3 0 )
10
二、特征多项式的有关性质
nn A a P , 则A的特征多项式 1、 设 ij
a21 E A ... an 1
第三节 线性变换的特征值、特征向量
1
引入
有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性
变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质，
希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.
从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的
基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个 对角矩阵?
2
一、特征值与特征向量
定义 设 是数域P上线性空间V的一个线性变换，
n
a11
a12 ... a1 n a22 ... a2 n ... an 2 ... ann
n 1
(a11 a22 ann )
( 1) A
n
由多项式根与系数的关系还可得 （1） A的全体特征值的和＝ a11 a22 ann . （2） A的全体特征值的积＝ A .
;
kA ( k P ) 必有一个特征值为
2.
Am (m Z ) 必有一个特征值为
;
;
1 A 3. A可逆时， 必有一个特征值为
* A 4. A可逆时， 必有一个特征值为
.
.
5. f ( x ) P[ x ], 则 f ( A) 必有一个特征值为
15
练习2 已知3阶方阵A的特征值为：1、－1、2，
8
把 1 代入齐次方程组 ( E A) X 0, 得
2 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 2 x3 0
即 x1 x2 x3 0
它的一个基础解系为：(1,0, 1), (0,1, 1) 因此，属于 1的两个线性无关的特征向量为
就是 的全部特征值.
5
（3）把所求得的特征值逐个代入方程组
( E A) X 0
并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值
的全部线性无关的特征向量在基 1 , 2 ,, n 下的坐标.) 如果特征值 0 对应方程组的基础解系为：
(c11 , c12 ,, c1n ),(c21 , c22 ,, c2 n ),,( cr 1 , cr 2 ,, crn )